Mathematik III DGL der Technik

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1 Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und Ableiungsausdrücke weisen dabei alle dieselben, als variabel gedachen Argumene auf. Sysem von DGL: Mehrere DGLs. Ordnung: Höchse in den Bedingungen vorkommende Ordnung von Ableiungen zu suchender Funkionen. Gewöhnliche DGL: Nur Ableiungen nach einer Variablen. Parielle DGL: Ableiungen nach mehreren Variablen. Lösung der DGL: Jede Funkion die in einer gegebenen Menge, mindesens so of differenzierbar is, wie es die Ordnung der DGL erforder, und die für jedes Argumen aus dieser Menge die durch die DGL gesellen Bedingungen erfüll. Sysem von DGL: Familien von Funkionen die ebengenannes erfüllen. Gewöhnliche DGL: Implizie DGL: F(, x(), x ()) = 0 Explizie DGL: x () = f(, x()) Jede explizie DGL läss sich implizi anschreiben. (Umkehrung gil nich) o Erse Ableiungen durch ersez, nulle durch, durch o Alles auf eine Seie bringen => F(,, ) Höhere Ordnung Sysem von DGL 1. Ordnung: x() = x1() x () = x2() Alle vorkommenden Funkionen/Ableiungen zu xnr, bis zur vorlezen Ordnung. Als Marix anschreiben. Klassen von Differenialgleichungen: auonom:, ri nur als Argumen der zu suchenden Funkion und deren Ableiungen auf. Lineares Sysem von DGL (explizi): x () = A() x() + b() o A Koeffizienenmarix o b Sörvekor Lineares Sysem von DGL (implizi): C() * x () = A() * x() + b() Homogenes Sysem, b() = 0, sons inhomogen. Veranschaulichungen: Richungsfeld Ausgehend von einer implizien DGL definieren wir folgende Begriffe: Linienelemen: Ein Tripel besehend aus, und welches die DGL erfüll. Vorzusellen als Seigung im Punk (, ) Richungsfeld, Menge der Linienelemene. Isokline: Menge aller Linienelemene mi gleicher Seigung. I 0 = { (, ) (,, 0 ) D und F(,, 0 ) = 0 } Seie 1 von 12

2 Eigenschafen des Richungsfeldes: Nur wenn die DGL explizi is, ha jeder Punk (, ) lediglich eine Seigung. Bei implizien, können mehrere Seigungen im selben Punk exisieren. Ses is es möglich dass mehrere Grafen durch denselben Punk gehen. Nich immer läss sich die DGL in explizier Form anschreiben um dennoch das Richungsfeld zu erhalen wird die implizie Form null gesez. Und ein Richungsfeld für die einzelnen Nullsellen ersell und übereinander geleg. Vekorfeld der Tangenen an die Graphen der Lösungen Man such die gemeinsamen Nullsellen eines implizien Sysems. Diese kann als Linienelemene veranschaulichen. (Gerade im Punk (, 1,, m ) mi dem Richungsvekor (1, 1,, m ), mi passender Länge) Das Vekorfeld der Tangenen an die Graphen der Lösungen erhäl man nun, durch Einzeichnen einer passenden Anzahl von Linienelemenen. Prakisch lediglich für m=2 möglich! Vekorfeld der Tangenen an die Werebereiche der Lösungen Wie Vorhergehendes, nur bei fesgehalenem Zeipunk, somi bis m = 3 prakisch anwendbar. Zeilicher Verlauf durch Darsellung mehrerer Vekorfelder für verschiedene. Problemypen DGL mi Zusazbedingungen Im Allgemeinen gib es unendlich viele Lösungen. Einschränkung durch zusäzliche Bedingungen. Anfangsbedingungen: müssen von der zu suchenden Funkion und ihren Ableiungen an einer Anfangsselle erfüll werden. Anfangswerproblem in Normalform: Sysem explizier DGL 1. Ordnung. x () = f(, x() ) x( 0 ) = a Vekoren Randwerproblem: Bedingungen die die zu suchende Funkion und deren Ableiungen an zwei Sellen, den Randesellen erfüllen müssen. Lineare Randbedingungen: Gesal: C 0 x( 0 ) + C 1 x( 1 ) = c wenn c = 0 homogene lineare RB. Eigenwerprobleme Randwerprobleme mi einem anpassbaren Parameer. Für besimme Were dieses Parameers (Eigenwere) exisieren nich riviale Lösungen, die Eigenfunkionen. BEISPIEL KNICKLAST STÜTZENDER STAB S.23ff KRITISCHE DREHZAHLEN BEI ROTIERENDER WELLE S.26f Lösbarkei Aussagen über lokale Exisenz (mind. eine Lösung) und Eindeuigkei (genau eine Lösung). Saz von Picard Lindelöf über die lokale Exisenz und Eindeuigkei der Lösung eines Anfangswerproblems in Normalform Gegeben sei ein Anfangswerproblem in Normalform x () = f(, x()) x( 0 ) = a wobei D 1+m eine offen Menge mi ( 0, a) D is und f: D m seig und seig differenzierbar nach. Dann gil: Es gib ein Inervall I, in dem 0 lieg und es gib genau eine in I differenzierbar Funkion x: I m, die Lösung des gegebenen Anfangswerproblems im Inervall I is. Seie 2 von 12

3 (Dieser Saz kann noch abgeschwäch werden, z.b. reich für die Exisenz die Seigkei von f) Mehode zur Konsrukion eines Lösungsinervalls Man wähl zuers u, v > 0, aber so, dass der Quader Q: Q = { (, 1,, m ) [ 0, 0 + u], i [a i v, a i + v] für i {1,, m}}, der rechs von 0 lieg, noch zur Gänze in D enhalen is. Die Größe M = max{ f i (, 1,, m ) (, 1,, m ) Q, i {1,, m}} Is dann die maximale Seigung einer Lösung, deren Graph in Q lieg. h = min{u, v/m}, das Exisenzinervall is dann mindesens I = [ 0, 0 + h]. Mehode zur Forsezung der Lösung Mi oben beschriebener Mehode ein Lösungsinervall besimmen, in diesem einen neuen Sarwer wählen und dami ein neues Inervall mi derselben Mehode berechnen und diese vereinigen. Saz über den Graphen einer nich mehr weier forsezbaren Lösung Gegeben sei die Differenialgleichung x () = f(, x()), wobei die Menge D 1+m offen und f: D m seig is. Dann gil: Der Graph jeder nich mehr weier forsezbaren Lösung der DGL reich über jede kompake (abgeschlossen und beschränk) Menge, die in D enhalen is, hinaus. (Sag aus, dass sich ein Exisenzinervall nich immer beliebig wei ausdehnen läss.) Globale Eindeuigkei und Fehlerforpflanzung Saz über die globale Eindeuigkei der Lösung von Anfangswerproblemen und über die Differenzierbarkei nach dem Anfangswer. Gegeben sei ein Anfangswerproblem in Normalform x () = f(, x()) x( 0 ) = a, wobei D 1+m eine offene Menge mi ( 0, a) D is und f: D m seig und seig differenzierbar nach. Dann gil: Es gib genau eine nich mehr weier forsezbare Lösung x Jede weiere Lösung is eine Einschränkung von x Die Lösung x is in ihrem ganzen Exisenzinervall seig differenzierbar nach dem Anfangswer a. Überragungsmarix Man erhäl sie, durch Ableien einer nich weier forsezbaren Lösung, eines Anfangswerproblems in Normalform, nach dem Anfangsvekor a. (Jede Zeile (x 1, x 2, x m ), Ableiungen einer Funkion nach allen m- Komponenen von a. Abschäzung des durch fehlerhafe Anfangswere hervorgerufenen Fehlers durch: ~ Ü(, 0, a) * a Seie 3 von 12

4 Näherungslösungen Sukzessive Subsiuion nach Picard- Lindelöf Anfangswerprob. in Normalform: x'() = f(, x()) x( 0 ) = a durch Inegraion: x' x x f, x Daraus folg die Inegralgleichung x a f, x Feslegen der rekursiven Definiion: x 0 : a x n1 : a f, x n Saz über die Konvergenz der nach der Mehode der sukzessiven Subsiuen erzeugen Funkionenfolge gegen die Lösung und über die Abschäzung des Fehlers Gegeben sei ein Anfangswerproblem in Normalform, wobei D 1+m eine offene Menge mi ( 0, a) D is und f: D m seig und seig differenzierbar nach. Q, M, h, I durch Mehode zur Konsr. des Lösungsinervalls erzeug. Dann gil: Die durch sukzessive Subsiuion erzeuge Funkionenfolge konvergier in I gleichmäßig gegen die Lösung x. Mi L : m max f i k, 1,..., m i, k 1,..., m,, 1,..., m Q gil für jedes aus I, jedes n aus den naürlichen Zahlen (inkl. 0) und jedes i {1 m} die Abschäzung für den Fehler bei der i-en Komponene x ni x i M L L n1 n 1 Taylor Enwicklung Saz über mehrmalige Differenzierbarkei der Lösungen: Gegeben sei ein Anfangswerproblem in Normalform x () = f(, x()) x( 0 ) = a, wobei D 1+m eine offene Menge mi ( 0, a) D is und f: D m n- mal seig differenzierbar nach allen Variablen. Dann gil: Die Lösung x is in ihrem Exisenzinervall mindesens (n+1)- mal seig nach differenzierbar. Sie läss sich nach der Taylor Formel als n1 x i0 i i x i 0 R n1 ; 0 n R n1 ; 0 : x n1 x n1 0 n anschreiben (inkl. Resglied) Als Taylor Koeffizienen werden x (i) ( 0 ) bezeichne. Ableiungen an der Selle ( 0, a) ausgewere. Seie 4 von 12

5 Abschäzung für die i- e Komponene des Resgliedes. (r n := x (n) ) K n1 : max r n1,i, r n1,i 0, a, 1,..., m Q, i 1,..., m R n1,i, 0 n1 0 K n1 n1 Die Lösung x muss in 0 nich beliebig of differenzierbar sein Auch wenn die Lösung in 0 beliebig of differenzierbar is, muss die Reihe nich für jedes aus I konvergieren. Auch wenn die Reihe für jedes aus einem geeigneen Teilinervall konvergier, muss sie nich zur Lösung konvergieren. Eines gil immer: Saz über die Konvergenz der Taylor Enwicklung, uner den bekannen Voraussezungen: Is x beliebig of differenzierbar in I, die unendliche Taylor Reihe konvergen und konvergier das Resglied gegen Null, so läss sich die Lösung durch die unendliche Taylor Reihe darsellen. Runge Kua Mehoden Wiederum geh es um die Näherungslösung eines Anfangswerproblems in Normalform, hier durch Anwendung des Mienwersazes der Differenialrechnung: x( 0 + h) = a + h * x () mi [ 0 ; 0 + h] Ziel is es eine möglichs gue Näherung für x () zu erhalen! Euler Cauchy scher Polygonzug für ein kleines Inervall h, wird sa der mileren Seigung die Seigung am Inervallbeginn herangezogen, also x ( 0 ) = f( 0, a) x( 0 + h) a + h * f( 0, a) Runge Eine Verbesserung der Näherung für die milere Seigung. Über Euler Cauchy wird der Funkionswer von x( 0 + h) besimm, dessen Seigung ermiel und danach eine neue Näherung für x( 0 + h) mi dem Mielwer der Seigung am Beginn und Ende des Inervalls berechne. Einführung des Koeffizienenschemas zur kompaken Darsellung der Berechnungsvorschrif für die Näherung der mileren Seigung und dem Funkionswer. Selle ( Koeff * h) k 1 * Koeff + k 2 * Koeff + k n * Koeff k 1 = f( 0 +, a+ Berechnung k 2 0 +, a+ Berechnung k n 0 +, a+ x( 0 + h) a + h * ( ) Kua ½ ½ /6 2/3 1/6 Seie 5 von 12

6 Runge Kua ½ ½ ½ 0 ½ /6 1/3 1/3 1/6 Die bisher angeführen Schemaa sind explizi, zum Berechnen der einzelnen Seigungen wird jeweils nur auf bekanne Were zurückgegriffen. Bei einem implizien Schema erhäl man ein Gleichungssysem für die Seigungen k. Die Runge Kua Verfahren unerscheiden sich von anderen Verfahren wie der Taylor Enwicklung oder der sukzessiven Subsiuion dadurch, dass sofor numerisch gerechne wird. Auonome Differenialgleichungen Eigenschafen der Lösungen: Saz über die Verschiebbarkei von Lösungen auonomer DGL. Gegeben sei eine explizie auonome DGL: x () = f(x()) und eine beliebige reelle Zahl *. Dann gil: Is x eine Lösung mi Definiionsbereich I, dann is y mi y() := x( + *) eine Lösung mi Definiionsbereich { * I} Das heiß, dass Lösungen auonomer DGL enlang der - Achse verschoben werden können. Definiion: Jede Nullselle a, von f(x()) heiß kriischer Punk bzw. Libraionspunk. Die konsane Funkion x() = a heiß Libraionslösung der DGL. Saz über die Typen von Werebereichen von Lösungen auonomer DGL. Voraussezungen: D m eine offene Menge, f: D m seig differenzierbar nach. und x () = f(x()) dann gil: Durch jeden Punk a aus D geh genau ein Werebereich von nich weier forsezbaren Lösungen. Dieser Werebereich is enweder ein Punk (Werebereich einer Libraionslösung) oder eine glae Kurve ohne Mehrfachpunke, mi einem eindeuig fesgelegen Durchlaufsinn. Verschiedene Werebereiche von Lösungen schneiden einander nich, können sich aber beliebig nahe kommen. Höchsens drei Typen von Werebereichen können aufreen: o ein einziger Punk, eine Libraionspunk o eine einfache geschlossene glae Kurve (periodische Lösung) o eine nich geschlossene glae Kurve ohne Mehrfachpunke von endlicher oder unendlicher Länge (nich periodische Lösung) Lineare Differenialgleichungen Formulier für explizie lineare Syseme von DGL erser Ordnung. Überragbarkei dieser Mehoden auf implizie lineare Syseme, der Form C() x () = A() x() + b(), für C()!= 0. Bei den linearen DGL gelen die Aussagen von Picard Lindelöf global. Saz über die globale Exisenz und Eindeuigkei von Lösungen linearer Syseme x () = A() x() + b() Seie 6 von 12

7 Sind A und b in einem Inervall I seig, so exisier jede Lösung im ganzen Inervall. Sind A und b in einem Inervall I seig, is 0 I und a m, so exisier genau eine Lösung des Anfangswerproblems x () = A() x() + b() mi x( 0 ) = a in ganz I. Saz über den Lösungsraum linearer DGL Is A seig im Inervall I, so bilden die Lösungen des homogenen linearen Sysems x () = A() x() einen m- dimensionalen Vekorraum. Die Lösungen des inhomogenen linearen Sysems bilden eine lineare Mannigfaligkei. Jede Lösung des inhomogenen linearen Sysems erhäl man als Summe einer speziellen Lösung des inhomogenen und einer Lösung des homogenen linearen Sysems (Superposiionsprinzip) Fundamenalmarix und Marizan Gegeben sei ein homogenes lineares Sysem. Die m x m Marix A sei in I seig und y 1 y m sind linear unabhängige Lösungen in I. Die Marix Y() := [y 1 (),, y m ()] heiß Fundamenalmarix, diese erfüll: Y () = A() * Y() Mi 0 als fesem Punk in I folg der Marizan zum Punk 0 (. ; 0 ), mi ( 0 ; 0 ) = E (Einheismarix) läss sich aus der Fundamenalmarix folgenderweise besimmen (zum Punk 0 ): ( ; 0 ) = Y() Y( 0 ) -1 Formel von Liouville Gegeben sei ein homogenes lineares Sysem x () = A() x(), A sei im Inervall I seig, Y sei eine Fundamenalmarix und 0 I. Dann gil für jedes aus I dey dey 0 0 i m 1 aii Eigenschafen des Marizanen Der Marizan zum Punk 0 is Lösung des Anfangswerproblems: ( ; 0 ) = A() ( ; 0 ) ( 0 ; 0 ) = E Alle Verfahren zur näherungsweisen Erzeugung einer Lösung können zur Gewinnung des Marizanen herangezogen werden, insbesondere das Verfahren der sukzessiven Subsiuion. 0 ; 0 : E n1 ; 0 : E An ; 0 Für den Fall, dass A konsan is, ergib der Grenzwer obiger Formel für n : ; 0 : 0 A Eine Lösung des homogenen Sysems x(. ; 0, a) (mi Anfangswer a zum Zeipunk 0 ) erhäl man aus: x(; 0, a) = ( ; 0 ) a Die Überragungsmarix häng nich von a ab und simm mi dem Marizanen überein: Ü(; 0, a) = ( ; 0 ) Die Inverse des Marizanen erhäl man durch Verauschen von und 0 Seie 7 von 12

8 Lösung von linearen Differenialgleichungsproblemen miels Fundamenalmarix Allgemeine Lösung des homogenen Sysems x () = A() x() x() = Y() c wobei c ein m- dimensionaler Vekor is Spezielle Lösung des inhomogenen Sysems x () = A() x() + b() Lösung miels Variaion der Konsanen. Als Ansaz: x() = Y() c(), einsezen ergib: Y () c() + Y() c () = A() Y() c() + b() Y() c () = c() [ A() Y() Y ()] + b() Y () = A() Y() c () = b() Y() -1 mi x( 0 ) = o folg somi: x Y Y 1 b Die allgemeine Lösung des inhomogenen Sysems durch Superposiion x Yc Y Y 1 b Die eindeuige Lösung eines Anfangswerproblems x( 0 ) = a in vorhergehende Formel eingesez liefer dies x( 0 ) = a = Y( 0 ) c nach c umgeform und eingesez ergib es: x YY 0 1 a Y Y 1 b Bei Verwendung des Marizanen wird ( 0 ; 0 ) = E Lösung eines linearen Randwerproblems Anpassen der allgemeinen Lösung des inhomogenen Sysems an C 0 x( 0 ) + C 1 x( 1 ) = d einsezen ergib: d C 0 Y 0 c C 1 1Y Y 1 c Y 1 1 b C 0 Y 0 C 1 Y 1 c d C 1 Y 1 1Y 1 b o de(c 0 Y( 0 ) + C 1 Y( 1 )) = 0 o de(c 0 Y( 0 ) + C 1 Y( 1 ))!= 0 unendlich viele oder keine Lösung Lösung häng linear von b und d ab Berechnung der Fundamenalmarix bei einem linearen Sysem von DGL mi konsanen Koeffizienen Zum Aufsellen der Fundamenalmarix benöig man m linear unabhängige Lösungen des homogenen Sysems! x () = A() x() Besimmen der k- Eigenwere: de[ (A - E) ] = 0 k Für jeden Eigenwer mi der Vielfachhei n machen wir n Lösungsansäze e e ( ),, e ( + + n-1 ) Einsezen in das homogene Gleichungssysem, Umformen zu: o = [Marix] Besimmen der Komponenen von, einige müssen fesgesez werden. Y() = [x 1 (),, x m ()] wobei komplexe Lösungen, in Real- und Imaginäreil aufgespale, zwei linear unabhängige Lösungen ergeben! Seie 8 von 12

9 Sabiliä Folgende Aussagen gelen für x () = f(, x()), die für jedes (a, 0 ) D jeweils eindeuig lösbar sind. Wir bezeichnen wie üblich die nich mehr weier forsezbare Lösung des Anfangswerproblems als x(. ; 0, a). is eine im Inervall I definiere, ausgezeichnee Lösung der Differenialgleichung. sabil heiß eine Lösung, wenn für jede Schranke > 0 und für jede Anfangsselle 0 eine Zahl exisier, sodass für alle Anfangswere a mi ( 0 ) a < die Lösung x(. ; 0, a) in I[ 0, [ exisier für > 0 x(. ; 0, a) - () < is dies nich erfüll, heiß die Lösung insabil. Für Sabiliä muss also eine Lösung, für eine kleine Abweichung des Sarweres, innerhalb eines Schlauches um die ursprüngliche Lösung bleiben. Einzugsbereich: Das Inervall I muss dazu nach rechs unbeschränk sein und 0 enhalen. Die Menge der Anfangswere a, für die die Lösung x(. ; 0, a) in [ 0, [ exisier und lim x(. ; 0, a) - () = 0 gil, heiß dann Einzugsbereich von bei 0 arahierend: Wenn alle Anfangswere a, welche ( 0 ) a < erfüllen, zum Einzugsbereich von bei 0 gehören. Wenn bei einer kleinen Abweichung des Sarweres, die Abweichungen von der ursprünglichen Lösung, für große, gegen Null gehen. global arahierend: wenn die Bedingung für arahierend für alle Anfangswere gülig is. Wenn also beliebig große Sörungen wieder abklingen. asympoisch sabil = sabil und arahierend Differenialgleichung für die Abweichungen Die Abweichung, einer Lösung x, von der ausgezeichneen Lösung wird als z = x - definier. z () = f(, x()) f(, ()) x() = z() + () z () = f(, () + z()) f(, ()) Ausgezeichnee Lösung der DGL für die Abweichungen is die Nullfunkion. Saz: Sabiliäsaussagen mi Hilfe der DGL für die Abweichungen für eine DGL x () = f(, x()) is die ausgezeichnee Lösung genau dann sabile bzw. arahierende Lösung, wenn die Nullfunkion sabile bzw. arahierende Lösung der DGL für die Abweichungen is. Vereinfachung bei linearen DGL x () = A() x() + b() hier simm die DGL der Abweichungen unabhängig von der gewählen Lösung und der Sörung b immer mi der zugehörigen homogenen DGL überein. is eine Lösung (in)sabil, (nich) arahierend, so riff dies auf alle Lösungen zu. Is A seig, dann is jede arahierende Lösung sogar global arahierend. Seie 9 von 12

10 Zerlegung der DGL für die Abweichungen z () = f ~ (,z()) in ihren linearen und nich linearen Aneil. z () = A() z() + g(, z()) g is der nichlineare Aneil Solle die Zerlegung nich unmielbar ersichlich sein, kann z miels Ableiung zerleg werden: f z', 0 z f f, z, 0 z wenn gil: g, lim sup 0 0 I so is der lineare Aneil dominierend. Im Allgemeinen is die gleichmäßige Konvergenz nich gegeben. Für den Fall, dass g() nich von abhäng, is die Konvergenz aber ses gleichmäßig bezüglich Is g darüber hinaus in einer Umgebung der Nullfunkion seig, so is der lineare Aneil immer dominierend. Sabiliäsaussagen bei linearen DGL mi konsanen Koeffizienen x () = A x() + b(), somi simm auch die DGL für die Abweichungen mi der homogenen DGL überein. Saz Sabiliäsaussagen: Weisen alle Eigenwere von A negaive Realeile auf, so is jede Lösung sabil und global arahierend. Sobald ein Eigenwer einen posiiven Realeil aufweis, is jede Lösung insabil und nich arahierend. Weisen einige einfache Eigenwere den Realeil Null auf, alle übrigen jedoch negaive Realeile, dann is jede Lösung sabil aber nich arahierend. Sabiliäsaussagen bei linearen DGL mi periodischen Koeffizienen x () = A() x() + b() mi A() = A( + T) Jeder Eigenwer des Marizanen (zum Punk 0 an der Selle T) ( T, 0) heiß charakerisischer Muliplikaor. Saz Sabiliäsaussagen: Sind die Beräge aller charakerisischen Muliplikaoren ech kleiner als 1, dann is jede Lösung sabil und arahierend Sobald der Berag eines charakerisischen Muliplikaors ech größer als 1 is, sind alle Lösungen insabil und nich arahierend Is der Berag einiger charakerisischer Muliplikaoren, die einfache Eigenwere sind, 1 und sind alle übrigen Beräge ech kleiner 1, dann is jede Lösung sabil aber nich arahierend. Formel von Liouville Zur Fessellung ob das Produk aller charakerisischen Muliplikaoren größer als 1 is. Triff dies zu, so sind alle Lösungen insabil und nich arahierend (Achung Umkehrung gil NICHT) 1... m 0 i1 m aii Seie 10 von 12

11 Saz Sabiliäskrierien, bei dominierendem linearen Aneil 1. Mehode von Ljapunow bei konsanen Koeffizienen im linearen Aneil, d.h. A() = A: o Weisen alle Eigenwere der Marix A negaive Realeile auf, dann is die Nullfunkion sabile und arahierende Lösung. o Weis mindesens ein Eigenwer einen posiiven Realeil auf, is die Nullfunkion insabile Lösung. bei fas konsanen Koeffizienen im linearen Aneil, d.h. A() = A + B(), wobei B() seig is und für gegen die Nullmarix konvergier: o Weisen alle Eigenwere der Marix A negaive Realeile auf, dann is die Nullfunkion sabil und arahierend. bei periodischen Koeffizienen im linearen Aneil, d.h. A() = A( + T): o Weisen ALLE charakerisischen Muliplikaoren ech kleinere Beräge als 1 auf, dann is die Nullfunkion sabil und arahierend. o Weis ein charakerisischer Muliplikaor einen ech größeren Berag als 1 auf, is die Nullfunkion insabil. Sru Karen Sabiliäsaussagen bei DGL mi frei wählbaren Parameern. Veranschaulichung über Sru Karen. Die freien Parameer werden als Koordinaenachsen gezeichne. Allgemeine Sabiliäsunersuchung durchführen, Bedingungen für die Parameer aufsellen, um sabil ec. zu werden, und diese einzeichnen. Sabiliäsaussagen nach der 2. Mehode von Ljapunow Auf sämliche explizie Differenialgleichungen anwendbar, hier auf explizie auonome beschränk. Voraussezungen: Explizie, auonome DGL x () = f(x()). D m is offen, f seig differenzierbar und es gil f(o) = o Des Weieren m offen mi o und V is eine seig differenzierbare Funkion von nach V heiß posiiv defini in, wenn V(o) = 0 und V() > 0 für alle!= o V heiß negaiv defini in, wenn V(o) = 0 und V() < 0 für alle!= o Die Funkion V* von nach mi V*() := grad V() f() heiß Ableiung von V längs der Lösungen der DGL. Saz, Sabiliäsaussagen nach der Mehode von Ljapunow Is V posiiv defini in und V*() 0 für jedes aus, so heiß V schwache Ljapunow Funkion. Die Nullfunkion is sabile Lösung. Is V posiiv defini in und V* negaiv defini in, so heiß V sarke Ljapunow Funkion. Die Nullfunkion is sabile und arahierende Lösung. Is V* enweder posiiv defini oder negaiv defini in und gib es in beliebiger Nähe von o eine Selle, wo V und V* dasselbe Vorzeichen haben, dann is die Nullfunkion insabile Lösung. Ha V und V* in keinem Bereich das gleiche Vorzeichen so is die Nullfunkion sabil und arahierend. Überscheiden Sie sich jedoch bei Null so is die Lösung lediglich sabil. Haben beide dasselbe Vorzeichen is die Nullfunkion insabile Lösung. Seie 11 von 12

12 Hyperbolische Differenialgleichungen Bsp. Modell für Schwingungen einer gespannen Saie Skrip Seie 111 Bsp. Die eindimensionale (in)homogene Wellengleichung mi (inhomogenen) Anfangs- und (in)homogenen Randbedingungen Skrip Seie 115ff Separaionsansaz u(x, ) = X(x) T() Trennung der Variablen. Da nun beide Seien unerschiedliche Parameer haben, jedoch gleich sind, können diese gleich einer Konsane gesez werden. Dadurch erhäl man zwei DGL die man lösen kann. Anpassen der Lösungen an die Randbedingungen Dami das Produk der beiden gefundenen DGL die Randbedingungen erfüll, muss für eine nichriviale Lösung X(x) die RB erfüllen. (Somi auomaisch für alle ) Dadurch erhäl man ein Eigenwerproblem. Die Bedingung für den Eigenwer in die Funkionen einsezen. Diese werden in der Folge mi dem Index n gekennzeichne. Bei T() verbleiben noch die unbesimmen Koeffizienen welche nun a n und b n genann werden. Anpassung an die Anfangsbedingungen durch Reihenansaz ux, X n xt n n1 Die Anfangsbedingung u(x, 0) bilden. Durch Koeffizienenvergleich bzw. formales Rechnen o Muliplikaion beider Seien mi derselben Winkelfunkion bei der n durch m ersez wurde. o beide Seien hinaufinegrieren, von 0 bis L o Summe und Inegral verauschen o uner Ausnüzung der Orhogonaliäseigenschafen kann a n und b n besimm werden. Seie 12 von 12

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

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