Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl"

Transkript

1 Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) = f (). Inegraion miels Subsiuionsregel: y y 0 dη g(η) = f (τ)dτ Separierbare Differenialgleichungen II Bezeichnen wir mi H(y) eine Sammfunkion von 1/g(y), also dy H(y) = g(y) so folg H(y) = H(y 0 ) + f (τ)dτ Da g(y) 0, is die Sammfunkion H(y) injekiv und daher inverierbar: y() = H 1 H(y 0 ) + f (τ)dτ dy, H(y) = g(y) einer separierbaren Dgl einer separierbaren Dgl (Forsezung) Berache die Gleichung y = /y: Daraus folg: yy = y y 0 ηdη = τdτ. y 2 2 y2 0 2 = 1 2 (2 2 0) y = y = r 2 Uner Vorgabe einer Anfangsbedingung y( ) = y 0 erhalen wir die Lösungen in der Form y = y = r 2 Dies sind gerade Kreise in der (, y) Ebene.

2 Typ B: Ähnlichkeisdifferenialgleichungen Differenialgleichungen der Form ( y ) y () = f lassen sich durch die Subsiuion u() := y() auf separierbare Gleichungen zurückführen: f (u) = y () = (u()) = u() + u (). Auflösung nach u () ergib die separierbare Gleichung u () = f (u) u. einer Ähnlichkeisdifferenialgleichung Gesuch is eine Kurve, so dass für jeden Punk der Kurve der Tangenenabschni auf der y Achse gleich dem Absand des Punkes vom Ursprung is. y() y (,y) Die zugehörige Differenialgleichung laue: y y = 2 + y 2 y = y ( y ) Subsiuion u = y/ ergib: u = 1 + u 2 Trennung der Variablen liefer zunächs: du d = 1 + u 2. Trennung der Variablen liefer zunächs: du d = 1 + u 2 und dami ln (u + ) 1 + u 2 = ln + C 1.

3 Aus der Beziehung (siehe Analysis II) arcsinh(u) = ln (u + ) 1 + u 2 folg u = sinh( ln + C 1 ) und dami durch Rücksubsiuion y = 1 ( e C 1 ) e C 1. 2 Wähl man C = e C 1, so erhalen wir 2y = C 2 C und es ergib sich als Lösung die Parabelschar: 2 = C 2 2Cy, C = e C 1. Typ C: Lineare Differenialgleichungen erser Ordnung Differenialgleichungen der Form y () + a()y() = h() sind linear erser Ordnung mi Inhomogeniä h(). Man nenn die Gleichung homogen, falls h() = 0. Die allgemeine Lösung läß sich ses in der Form y() = y p () + y h () schreiben. Dabei is y p () eine spezielle (parikuläre) Lösung und y h () die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y h () + a()y h() = 0. Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung Trennung der Variablen dy h () d ergib miels Inegraion dyh = y h + a()y h () = 0 und man erhäl die allgemeine Lösung y h () = C exp a()d a(τ)dτ mi einer beliebigen (Inegraions )Konsanen C R.

4 Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung Dazu verwende man den Ansaz (Variaion der Konsanen) y p () = C() exp a(τ)dτ. Spezialfälle Konsane Koeffizienen a() = cons. und spezielle Form von h(). Folgende Ansäze liefern dann einfacher eine spezielle Lösung h() y p () Einsezen in die inhomogene Gleichung ergib C () exp a(τ)dτ a()y p () + a()y p () = h(). m b k k k=0 m c k k k=0 Durch Inegraion der Differenialgleichung für C() erhäl man C() = h(τ) exp τ a(ξ)dξ dτ. b 1 cos(ω) + b 2 sin(ω) c sin(ω γ) be λ ce λ falls λ a ce λ falls λ = a y () + y() = sin y () + y() = sin II Berache die Differenialgleichung y () + y() = sin Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung laue y h () = C exp dτ = C exp( ). Mi der Variaion der Konsanen machen wir den Ansaz y p () = C() exp( ). Einsezen ergib C() = sin(τ) exp(τ )dτ.

5 Spezielle Lösung Besimmung einer speziellen Lösung über den Ansaz y p () = C sin( γ). Einsezen ergib C cos( γ) + C sin( γ) = sin. Mi den Addiionsheoremen erhalen wir C(cos cos γ + sin sinγ) + C(sin cos γ cos sinγ) = sin. Daraus folg C cos (cos γ sinγ) + C sin(sinγ + cos γ) = sin sowie cos γ sinγ = 0, sinγ + cos γ = 2, C = 1/ 2 Bernoullische Differenialgleichung Differenialgleichungen der Form y () + a()y() + b()(y()) α = 0 (α 0, 1) lassen sich durch die Subsiuion u() := (y()) 1 α ses auf lineare Differenialgleichungen zurückführen: u () + (1 α)a()u() = (α 1)b() Probleme ergeben sich bei der Rücksubsiuion y = u 1 1 α. Zum kann y() (in endlicher Zei) singulär werden. y () = y() + y 2 () y () = y() + y 2 () II Berache die Differenialgleichung y () = y() + y 2 () Eine Lösung is y() = 0. Subsiuion u() = 1/y() ergib u () + u() = Lösung u() beseh aus allgemeiner plus spezieller Lösung u() = C e + 1. Rücksubsiuion: y() = C e (C Konsane). Konkrees : Mi der Anfangsbedingung y(0) = 2 exisier die Lösung nur auf dem Inervall [ , ].

6 Typ E: Riccaische Differenialgleichungen einer Riccaischen Gleichung Differenialgleichungen der Form y () + a()y() + b()y 2 () = c() lassen sich nur in speziellen Fällen in geschlossener Form lösen. Sei eine spezielle Lösung y p () bekann, subsiuiere u() := Dann lös u() die lineare Gleichung 1 y() y p (). u () [a() + 2b()y p ()]u() = b(). Gegeben sei die Riccaische Gleichung y () = 2 + 3y() y 2 () Man sieh direk, dass y p () = 1 eine spezielle Lösung is. Subsiuion u() = 1/(y() 1) y = 1 + 1/u liefer u () = u 2 y = u 2 ( 2 + 3y() y 2 ()) ( = u u 2 u ) u 2 = u() +. Riccaische Gleichung II Typ F: Exake Differenialgleichungen Gegeben sei die Differenialgleichung Dies is eine lineare Differenialgleichung mi Lösung ( ) u() = 1 + C exp 2 2 und dami erhäl man 1 y() = 1 + ( ). 1 + C exp 2 2 g(, y()) + h(, y())y () = 0 Annahme: Es exisiere eine Funkion Φ(, y) mi: Dann folg Φ(, y) dφ(, y()) d = = g(, y), Φ(, y()) + Φ(, y) Φ(, y()) = h(, y) y () = 0 Die Lösungen der Differenialgleichung sind dann gegeben durch Φ(, y()) = C = cons. Man nenn die Differenialgleichung g + hy = 0 dann exak.

7 Exakhei und Poenial Poenial (Vorgriff auf Analysis III) Analysis III: Definiere ein Vekorfeld F(, y): F(, y) := (g(, y), h(, y)) T Die Differenialgleichung heiß exak, falls F ein Poenial besiz: g(, y) = Φ (, y), h(, y) = Φ y (, y) Φ C 1 Dies geh nich immer: Inegrabiliäsbedingung Saz Sind die beiden Funkionen g(, y) und h(, y) seig differenzierbar und is der Definiionsbereich einfach zusammenhängend, so besiz das Vekorfeld F ein Poenial Φ genau dann, wenn im Definiionsbereich die Bedingung erfüll is. h g (, y) = (, y) Darsellung des Poenials Berechnung des Poenials Φ(, y) miels Kurveninegral: Φ(, y) = F(τ, η)d(τ, η). c (,y) Dabei bezeichne c (,y) eine C 1 Kurve, die die Punke (, y 0 ) (fes) und (, y) (variabel) verbinde. Gil D = R 2, so kann man den Hakenweg (, y 0 ) (, y 0 ) (, y) wählen und erhäl für das Poenial die Darsellung Φ(, y) = g(τ, y 0 )dτ + y y 0 g(, η)dη Eine exake Gleichung Gegeben sei die Differenialgleichung Wegen (1 + 2y + y 2 ) + ( 2 + 2y)y = 0 ((, y) R 2 ) (2 + 2y) = (1 + 2y + y2 ) = 2( + y) is die Inegrabiliäsbedingung erfüll, d.h. die Gleichung is exak.

8 Berechnung des Poenials Berechnung des Poenials II Erser Schri Φ = g = 1 + 2y + y2 Inegraion bezüglich ergib Φ(, y) = (1 + y 2 ) + 2 y + C(y) Zweier Schri: Wir haben bereis die Form Es muss aber noch gelen Φ(, y) = (1 + y 2 ) + 2 y + C(y). Φ = h = 2 + 2y Beache: Inegraionskonsane kann von y abhängen!! Einsezen des Ergebnisses aus dem ersen Schri liefer 2y C (y) = 2 + 2y C(y) = cons. Berechnung des Poenials III Mehode des inegrierenden Fakors Gegeben sei die nich exake Differenialgleichung g(, y) + h(, y)y = 0 (Implizie) Lösung der Gleichung (1 + y 2 ()) + 2 y() = C Wir suchen nun eine Funkion m(, y) so, dass die Gleichung exak is. Bedingung: m(, y)g(, y) + m(, y)h(, y)y = 0 Die Inegrabiliäsbedingung is erfüll! (m h) (m g) = 0 Daraus ergib sich die Bedingung: ( h m g m ) + m ( h g ) = 0

9 Einfache Sonderfälle: Nichexake Gleichung 1. Wir nehmen an, dass m = m() nur von abhäng. [( dm h d = g ) ] /h m() }{{} Bed.: häng nur von ab 2. Wir nehmen an, dass m = m(y) nur von y abhäng. [( dm h dy = g ) ] /g m(y) }{{} Bed.: häng nur von y ab In beiden Fällen erhalen wir eine gewöhnliche Differenialgleichung und die Lösung m is ein inegrierender Fakor! Gegeben sei die nich exake Gleichung Es gil: Ansaz: (1 y) + (y 2 )y = 0 ( h g ) /h = y y 2 = 1 dm d = 1 m() m() = 1 Nichexake Gleichung II Dami is die Differenialgleichung ( ) 1 y + (y )y = 0 ( 0) Ende 2. Vorlesung exak und die (implizie) Lösung laue Φ(, y()) = ln y() y2 () = cons.

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten!

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Universiä Regensburg, Winersemeser 3/4 Examenskurs Analysis (LGy) Dr. Farid Madani Probeklausur Thema Nr. (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeien! Aufgabe (5 Punke). Man

Mehr

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN Skrium zum Fach Mechanik 5Jahrgang HTL-Eisensad DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN DilIngDrGüner Hackmüller 5 DilIngDrGüner Hackmüller Alle Reche vorbehalen

Mehr

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen 58 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Die Unersuchung der Normalformen von Marizen soll nun auf die Lösung von Differenialgleichungssysemen angewende

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sysemheorie eil A - Zeikoninuierliche Signale und Syseme - Muserlösungen Manfred Srohrmann Urban Brunner Inhal 3 Muserlösungen - Zeikoninuierliche Syseme im Zeibereich 3 3. Nachweis der ineariä... 3 3.

Mehr

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

MATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

MATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4. Einleiung Eine der herausragenden Särken von MATLAB is das numerische (näherungsweise) Auflösen von Differenialgleichungen. In diesem kurzen Kapiel werden wir uns mi einigen Funkionen zum Lösen von

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 4

Lösungen zu Übungsblatt 4 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt Prof Dr M Gerds Dr A Dreves J Michael Winerrimeser 6 Mahemaische Mehoden in den Ingenieurwissenschafen 4 Übungsbla Aufgabe 9 : Mehrmassenschwinger Berache wird ein schwingendes Sysem aus Körpern der Masse

Mehr

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur

Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Insiu für Mahemaik Winersemeser 0/3 Universiä Würzburg 0 Februar 03 Prof Dr Jörn Seuding Dr Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Aufgabe : (0 Punke) Zeigen

Mehr

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2 Fachhochschule Nordwesschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Insiu für Geises- und Naurwissenschaf Dozen: Roger Burkhard Klasse: Sudiengang ST Lösungen Tes Büro: 4.613 Semeser: Modul: MDS Daum: FS1 Bemerkungen:

Mehr

Differentialgleichungen: Einführung

Differentialgleichungen: Einführung Kapiel 12 Differenialgleichungen: Einführung In diesem Kapiel enwickeln wir keine größere Theorie, sondern geben nur einige Rezepe für die Lösung spezieller Differenialgleichungen an. Die Rezepe dienen

Mehr

2.2 Rechnen mit Fourierreihen

2.2 Rechnen mit Fourierreihen 2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

3. Partielle Differentialgleichungen

3. Partielle Differentialgleichungen 3.. Grundlagen und Klassifikaion Welche Ordnung haben diese Gleichungen?? 3.4.1 Lineare parielle Differenialgleichungen. Ordnung Analogie: Klassifikaion Kegelschnie 1 3.4.3 Korrek geselle Probleme Anfangs-

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 13 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 13 Wintersemester 2011/2012 Prof Dr O Junge, A Biracher Zenrum Mahemaik - M3 Technische Universiä München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 3 Winersemeser 2/22 Tuorübungsaufgaben (3-3222) Aufgabe T Berachen Sie das Anfangswerproblem

Mehr

Laplacetransformation in der Technik

Laplacetransformation in der Technik Verallgemeinere Funkionen Laplaceransformaion in der echnik Fakulä Grundlagen Februar 26 Fakulä Grundlagen Laplaceransformaion in der echnik Übersich Verallgemeinere Funkionen Verallgemeinere Funkionen

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS 015 17.05.015 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla

Mehr

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2 Flugzeugaerodynamik I Lösungsbla 2 Lösung Aufgabe Bei der vorliegenden Aufgabe handel es sich um die Nachrechenaufgabe der Skele Theorie. a) Der Koeffizien A 1 is durch die Wölbung des gegebenen Skeles

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppiz, Dr. I. Rbak 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mahemaik Sommersemeser 9 Prof. Dr. M. Sroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Konvergenzverhalen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik 3

Grundlagen der Elektrotechnik 3 Grundlagen der Elekroechnik 3 Kapiel 3. Schalvorgänge - Die aplace Transformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. Fachgebie Nachrichenechnische Syseme 3.. Einführung Nuzung einer

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla 3 7.. Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor

Mehr

Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 1, 3.Aufl. (Version 2010), Kapitel 6

Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 1, 3.Aufl. (Version 2010), Kapitel 6 Lösungsvorschläge zu ausgewählen Übungsaufgaben aus Sorch/Wiebe: Lehrbuch der Mahemaik Band, 3.Aufl. Version, Kapiel 6 6 Sammfunkionen und Inegrale Abschni 6.A, Variane zu Aufg. 5, p. 44.4. : Man gebe

Mehr

Motivation: Sampling. (14) Sampling. Motivation: Sampling. Beispiele. Beispiel Kreisscheibe. Beispiel: Kreisscheibe

Motivation: Sampling. (14) Sampling. Motivation: Sampling. Beispiele. Beispiel Kreisscheibe. Beispiel: Kreisscheibe Moivaion: Sampling (4) Sampling Vorlesung Phoorealisische Compuergraphik S. Müller Ein naiver (und sehr eurer) Ansaz, die Rendering Equaion mi Hilfe eines Rayracing-Ansazes zu lösen, wäre wird eine diffuse

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwere un Eigenvekoren Vorbemerkung: Is ie n n Marix inverierbar, so ha as lineare Gleichungssysem A x b für jees b genau eine Lösung, nämlich x A b. Grun: i A x A A b b, ii Is y eine weiere Lösung,

Mehr

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen Differenzieren von Funkionen zwischen Banachräumen Ingmar Gezner In dieser Seminararbei wollen wir das Differenzieren auf Funkionen zwischen Banachräume verallgemeinern. In unendlichdimensionalen Räumen

Mehr

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com

Mehr

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h

Mehr

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012

Technische Universität München. Lösung Montag SS 2012 Technische Universiä München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis für Physiker Lösung Monag SS 0 Aufgabe Gradien und Tangene ( ) Besimmen Sie zur Funkion f(x, y) = x y + xy + y die pariellen Ableiungen,

Mehr

10 Gleichspannungs-Schaltvorgänge RL-Reihenschaltung

10 Gleichspannungs-Schaltvorgänge RL-Reihenschaltung GleichspannungsSchalvorgänge eihenschalung Seie von 6 222 Prof. Dr.Ing. T. Harriehausen Wolfenbüel.9.2. Beziehung zwischen en lemmengrößen einer konsanen Inukiviä Die Abhängigkei zwischen en lemmengrößen

Mehr

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen Mahemaik I Übungsaufgaben 8 Lösungsorschläge on T. Meyer Era-Mahemaik-Übung: 005--06 Aufgabe Berechnen Sie die Ableiung der Funkion f an einer beliebigen Selle 0 ohne Verwendung irgendwelcher Vorkennnisse

Mehr

MATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer)

MATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer) TU DRESDEN Dresden, 16. Februar 4 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer) Name: Matrikel-Nr.:

Mehr

Zeitreihenökonometrie

Zeitreihenökonometrie Zeireihenökonomerie Kapiel 4 Schäzung univariaer Zeireihenmodelle Y = c+ α Y + + α Y + ε + βε + + β ε p p q q Problem: Direke Schäzung der Parameer α,, αp und β,, βq über OLS nich möglich, da die Residuen

Mehr

12 Gewöhnliche Differentialgleichungen

12 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert

Mehr

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4.1 Einleitung Definition 4.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten

Mehr

Fourier- und Laplace- Transformation

Fourier- und Laplace- Transformation Skrium zur Vorlesung Mahemaik für Ingenieure Fourier- und Lalace- Transformaion Teil 3: Lalace-Transformaion Prof. Dr.-Ing. Norber Höner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsen Benkner) Fachhochschule

Mehr

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten.

Lösung Klausur. p(t) = (M + dm)v p(t + dt) = M(v + dv) + dm(v + dv u) Wir behalten nur die Terme der ersten Ordnung und erhalten. T1 I. Theorieeil a) Zur Zei wird ein Pake der Masse dm mi der Geschwindigkei aus der Rakee ausgesoÿen. Newon's zweies Gesez läss sich schreiben als dp d = F p( + ) p() = F d = Av2 d Der Impuls des Sysems

Mehr

2. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB

2. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lang Dipl.-Math. C. Schönberger Dipl.-Math. L. Kamenski WS 007/08 6.Oktober 007. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB Gruppenübung Aufgabe G4

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

Name: Punkte: Note: Ø:

Name: Punkte: Note: Ø: Name: Punke: Noe: Ø: Kernfach Physik Abzüge für Darsellung: Rundung: 4. Klausur in K am 5. 5. 0 Ache auf die Darsellung und vergiss nich Geg., Ges., Formeln, Einheien, Rundung...! Angaben: e =,60 0-9 C

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen

Mehr

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1 Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil -E -E Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt f ( y) dy = g (x) dx Satz: Sei f (y) im Intervall I und g

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

Kapitel : Exponentielles Wachstum

Kapitel : Exponentielles Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine

Mehr

Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Inhaltsverzeichnis. Tabelle unbestimmter Integrale............................... iii.. Integrale mit Eponentialfunktionen........................

Mehr

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 9. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs Seie von 9 Unerlagen für die Lehrkraf Abiurprüfung 9 Mahemaik, Leisungskurs. Aufgabenar Lineare Algebra/Geomerie ohne Alernaive. Aufgabensellung siehe Prüfungsaufgabe. Maerialgrundlage 4. Bezüge zu den

Mehr

Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr.

Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr. Ganzraionale Funkionenscharen. Grades Umfangreiche Aufgaben Lösungen ohne CAS und GTR Alle Mehoden ganz ausführlich Daei Nr. 7 Sand 3. Sepember 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel )

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel ) 1. Übun KW 43) Aufabe 1 M 1. Schwinender Körper ) Ein schwinender Körper ha die Geschwindiei v x ) = v m cosπ ). Er befinde T sich zur Zei 0 = T am Or x 4 0. Geben Sie den Or x und die Beschleuniun a x

Mehr

Berechnungen am Wankelmotor

Berechnungen am Wankelmotor HTL Saalfelen Wankelmoor Seie von 7 Schmihuber Heinrich heinrich_schmihuber@homail.com Berechnungen am Wankelmoor Link zur Beispielsübersich Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Linieninegral,

Mehr

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Casrigiano Dr. M. Prähofer Zenralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zenrum Mahemaik Mahemaik 3 für Physik (Analysis ) hp://www-hm.ma.um.de/ss/ph/ 49. Eine reguläre Kurve ha keinen Knick

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi

Mehr

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten Einmassenschwinger eil I.7 Impulslasen 53 7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasen Impulslasen im echnischen Allag sind zum Beispiel Soß- oder Aufprallvorgänge oder Schläge. Die Las seig dabei in kurzer

Mehr

Freie Schwingung - Lösungsfälle

Freie Schwingung - Lösungsfälle Freie Schwingungen Seie von 6 Peer Schüller peer.schueller@bbw.gv.a Freie Schwingung - Lösungsfälle Maheaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Differenialgleichung.Ornung i onsanen Koeffizienen, Schwingung

Mehr

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach)

Übungen zur Einführung in die Physik II (Nebenfach) Übungen zur Einführung in ie Physik Nebenfach --- Muserlösung --- Aufgabe: Konensaorenlaung Ein mi Glimmer ε r = 8 gefüller Plaenkonensaor mi er Fläche A=6 cm un einem Plaenabsan = 5 μm enlä sich wegen

Mehr

Gewöhnliche Dierentialgleichungen

Gewöhnliche Dierentialgleichungen Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat

Mehr

Theoretische Physik I/II

Theoretische Physik I/II Theoreische Physik I/II Prof. Dr. M. Bleicher Insiu für Theoreische Physik J.. Goehe-Universiä Frankfur Aufgabenzeel IV 9. Mai hp://h.physik.uni-frankfur.de/ baeuchle/u Lösungen Die Vorlesung wird durch

Mehr

15 Erzwungene Schwingungen

15 Erzwungene Schwingungen 11 Unwuchen in elasischen Rooren oder Fahrbahnunebenheien bei Fahrzeugen führen auf erzwungene Schwingungen. Berache werden soll im Folgenden der Fall der Schwingungserregung durch eingepräge Kräfe. Bei

Mehr

Lösung Abiturprüfung 2000 Grundkurs (Baden-Württemberg)

Lösung Abiturprüfung 2000 Grundkurs (Baden-Württemberg) Lösung Abiurprüfung 2 Grundkurs (Baden-Würemberg) Analysis, Aufgabe I.1. a) ( x) = 1 [( x)3 9 ( x)]= 1 ( x3 + 9x)= 1 ( x3 9x) = ( x) Somi is (x ) punksymmerisch zum Ursprung. ( x) = 1 (x3 9x)= x(x 2 9)=

Mehr

Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg)

Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I.1. a) D f = IR / { 1 } f x= = K besiz keine Nullsellen 1x f ' x= 8 1x = 8 K besiz keine Exremsellen senkreche Asymoe : x= 1 waagereche

Mehr

Demo-Text für Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel.

Demo-Text für  Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Funkionen und Kurven Differenialgeomerie Tex Nummer: 5 Sand: 9. März 6 Demo-Tex für www.mahe-cd.de INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de 5 Differenialgeomerie Vorwor Das Thema Kurven is

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universiä München WS 11/1 Insiu für Informaik Prof. Dr. Hans-Joachim Bungarz Michael Lieb, M. Sc. Dipl.-Inf. Chrisoph Riesinger Dipl.-Inf. Marin Schreiber Numerisches Programmieren 4. Programmieraufgabe:

Mehr

2. Torsion geschlossener Profile

2. Torsion geschlossener Profile Berache werden Balken mi einem konanen einzelligen gechloenen dünnwandigen Hohlquerchni, die durch ein konane Torionmomen M x belae werden. A B () D C M x x y Prof. Dr. Wandinger 5. Dünnwandige Profile

Mehr

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse:

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse: Masse, Kraf und Beschleunigung Masse: Sei 1889 is die Einhei der Masse wie folg fesgeleg: Das Kilogramm is die Einhei der Masse; es is gleich der Masse des Inernaionalen Kilogrammprooyps. Einzige Einhei

Mehr

Musterlösungen Serie 9

Musterlösungen Serie 9 D-MAVT D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 9 1. Frage 1 Gegeben ist eine lineare und homogene Differenzialgleichung, welche y : x sin x als Lösung besitzt. Welche der folgenden

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen Definition. Eine partielle Differentialgleichung ist eine Dgl., in der partielle Ableitungen einer gesuchten Funktion z = z(x 1, x 2,..., x n ) mehrerer unabhängiger Variabler

Mehr

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Homogene lineare Differentialgleichung. Ordnung Sanddünen und Integralkurven E Ma Lubov Vassilevskaa E Ma Lubov Vassilevskaa E3 Ma Lubov Vassilevskaa Lineare DGL. Ordnung Definition: Eine Differenzialgleichung.

Mehr

Fokker-Planck-Gleichung

Fokker-Planck-Gleichung Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung sochasischer Prozesse David Kleinhans kleinhan@uni-muenser.de WWU Münser David Kleinhans, WWU Münser Fokker-Planck-Gleichung Beschreibung elemenarer sochasischer Prozesse

Mehr

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2

Strömung im Rohr. Versuch: Inhaltsverzeichnis. Fachrichtung Physik. Physikalisches Grundpraktikum. 1 Aufgabenstellung 2 Fachrichung Physik Physikalisches Grundprakikum Ersell: Bearbeie: Versuch: L. Jahn SR M. Kreller J. Kelling F. Lemke S. Majewsky i. A. Dr. Escher Akualisier: am 29. 03. 2010 Srömung im Rohr Inhalsverzeichnis

Mehr

Energiespeicherelemente der Elektrotechnik Kapazität und Kondensator

Energiespeicherelemente der Elektrotechnik Kapazität und Kondensator 1.7 Energiespeicherelemene der Elekroechnik 1.7.1 Kapaziä und Kondensaor Influenz Eine Ladung befinde sich in einer Kugelschale. Auf der Oberfläche des Leiers werden Ladungen influenzier (Influenz). Das

Mehr

The Matlab ODE Suite. Simone Bast Martin Vogt

The Matlab ODE Suite. Simone Bast Martin Vogt The Malab ODE Suie Simone Bas Marin Vog Gliederung Wiederholung BDF-Verfahren Verbesserung: NDF-Verfahren ode5s und ode3s User Inerface Vergleich der Löser Zusammenfassung ) Implizie Formeln für seife

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K

Abiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Für jedes * is die Funkion f gegeben durch f (x) = x x + x +, x Ds Schubild von f is K. ( )( ).. (4 Punke) Zeichnen Sie K und K

Mehr

IX. Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik

IX. Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik IX. Lagrange-Formulierung der Elekrodynamik In diesem Kapiel wird gezeig, dass die Maxwell Lorenz-Gleihungen der Elekrodynamik hergeleie werden können, wenn dem Sysem {Punkladung + elekromagneihes Feld}

Mehr

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Sei I R ein Intervall. Geben Sie Beispiele für Differentialgleichungen für Funktionen y = y in I mit den folgenden Eigenschaften an: Beispiel separabel, nicht

Mehr

Empirische Wirtschaftsforschung

Empirische Wirtschaftsforschung Empirische Wirschafsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuh Universiä Leipzig Insiu für Empirische Wirschafsforschung Volkswirschafslehre, insbesondere Ökonomerie 9.6. Zeireihen und Zeireihenmodelle Prinzipielle

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

Institut für Analysis SS 2015 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets

Institut für Analysis SS 2015 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Institut für Analysis SS 25 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 7.9.25 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfung Aufgabe :

Mehr

8.1 Begriffsbestimmung

8.1 Begriffsbestimmung 8 Gewöhnliche Differentialgleichungen 8 Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1 Begriffsbestimmung Wir betrachten nur Differentialgleichungen für Funktionen einer (reellen) Variablen. Definition: Für eine

Mehr

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige

Mehr

Zwischenwerteigenschaft

Zwischenwerteigenschaft Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen)

Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen) Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen) 1. Lösen Sie intuitiv (d.h. ohne spezielle Verfahren) die folgenden DGLn (allgemeine Lösung): = b) =! c) = d)!! = e at. Prüfen Sie, ob die gegebenen Funktionen

Mehr

Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011

Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011 Prüfung Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen 0 Aufgabe : (0 Minuen) a) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sich die folgende funkionale Form für die (, ) -Koordinaen der (rein riskanen) Randporfolios

Mehr

5. Vorlesung Wintersemester

5. Vorlesung Wintersemester 5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode

Mehr

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiuiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichung Technik Diensag, 4. Juni 2013, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z. 18 1 Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als

Mehr