Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

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1 Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) = f (). Inegraion miels Subsiuionsregel: y y 0 dη g(η) = f (τ)dτ Separierbare Differenialgleichungen II Bezeichnen wir mi H(y) eine Sammfunkion von 1/g(y), also dy H(y) = g(y) so folg H(y) = H(y 0 ) + f (τ)dτ Da g(y) 0, is die Sammfunkion H(y) injekiv und daher inverierbar: y() = H 1 H(y 0 ) + f (τ)dτ dy, H(y) = g(y) einer separierbaren Dgl einer separierbaren Dgl (Forsezung) Berache die Gleichung y = /y: Daraus folg: yy = y y 0 ηdη = τdτ. y 2 2 y2 0 2 = 1 2 (2 2 0) y = y = r 2 Uner Vorgabe einer Anfangsbedingung y( ) = y 0 erhalen wir die Lösungen in der Form y = y = r 2 Dies sind gerade Kreise in der (, y) Ebene.

2 Typ B: Ähnlichkeisdifferenialgleichungen Differenialgleichungen der Form ( y ) y () = f lassen sich durch die Subsiuion u() := y() auf separierbare Gleichungen zurückführen: f (u) = y () = (u()) = u() + u (). Auflösung nach u () ergib die separierbare Gleichung u () = f (u) u. einer Ähnlichkeisdifferenialgleichung Gesuch is eine Kurve, so dass für jeden Punk der Kurve der Tangenenabschni auf der y Achse gleich dem Absand des Punkes vom Ursprung is. y() y (,y) Die zugehörige Differenialgleichung laue: y y = 2 + y 2 y = y ( y ) Subsiuion u = y/ ergib: u = 1 + u 2 Trennung der Variablen liefer zunächs: du d = 1 + u 2. Trennung der Variablen liefer zunächs: du d = 1 + u 2 und dami ln (u + ) 1 + u 2 = ln + C 1.

3 Aus der Beziehung (siehe Analysis II) arcsinh(u) = ln (u + ) 1 + u 2 folg u = sinh( ln + C 1 ) und dami durch Rücksubsiuion y = 1 ( e C 1 ) e C 1. 2 Wähl man C = e C 1, so erhalen wir 2y = C 2 C und es ergib sich als Lösung die Parabelschar: 2 = C 2 2Cy, C = e C 1. Typ C: Lineare Differenialgleichungen erser Ordnung Differenialgleichungen der Form y () + a()y() = h() sind linear erser Ordnung mi Inhomogeniä h(). Man nenn die Gleichung homogen, falls h() = 0. Die allgemeine Lösung läß sich ses in der Form y() = y p () + y h () schreiben. Dabei is y p () eine spezielle (parikuläre) Lösung und y h () die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y h () + a()y h() = 0. Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung Trennung der Variablen dy h () d ergib miels Inegraion dyh = y h + a()y h () = 0 und man erhäl die allgemeine Lösung y h () = C exp a()d a(τ)dτ mi einer beliebigen (Inegraions )Konsanen C R.

4 Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung Dazu verwende man den Ansaz (Variaion der Konsanen) y p () = C() exp a(τ)dτ. Spezialfälle Konsane Koeffizienen a() = cons. und spezielle Form von h(). Folgende Ansäze liefern dann einfacher eine spezielle Lösung h() y p () Einsezen in die inhomogene Gleichung ergib C () exp a(τ)dτ a()y p () + a()y p () = h(). m b k k k=0 m c k k k=0 Durch Inegraion der Differenialgleichung für C() erhäl man C() = h(τ) exp τ a(ξ)dξ dτ. b 1 cos(ω) + b 2 sin(ω) c sin(ω γ) be λ ce λ falls λ a ce λ falls λ = a y () + y() = sin y () + y() = sin II Berache die Differenialgleichung y () + y() = sin Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung laue y h () = C exp dτ = C exp( ). Mi der Variaion der Konsanen machen wir den Ansaz y p () = C() exp( ). Einsezen ergib C() = sin(τ) exp(τ )dτ.

5 Spezielle Lösung Besimmung einer speziellen Lösung über den Ansaz y p () = C sin( γ). Einsezen ergib C cos( γ) + C sin( γ) = sin. Mi den Addiionsheoremen erhalen wir C(cos cos γ + sin sinγ) + C(sin cos γ cos sinγ) = sin. Daraus folg C cos (cos γ sinγ) + C sin(sinγ + cos γ) = sin sowie cos γ sinγ = 0, sinγ + cos γ = 2, C = 1/ 2 Bernoullische Differenialgleichung Differenialgleichungen der Form y () + a()y() + b()(y()) α = 0 (α 0, 1) lassen sich durch die Subsiuion u() := (y()) 1 α ses auf lineare Differenialgleichungen zurückführen: u () + (1 α)a()u() = (α 1)b() Probleme ergeben sich bei der Rücksubsiuion y = u 1 1 α. Zum kann y() (in endlicher Zei) singulär werden. y () = y() + y 2 () y () = y() + y 2 () II Berache die Differenialgleichung y () = y() + y 2 () Eine Lösung is y() = 0. Subsiuion u() = 1/y() ergib u () + u() = Lösung u() beseh aus allgemeiner plus spezieller Lösung u() = C e + 1. Rücksubsiuion: y() = C e (C Konsane). Konkrees : Mi der Anfangsbedingung y(0) = 2 exisier die Lösung nur auf dem Inervall [ , ].

6 Typ E: Riccaische Differenialgleichungen einer Riccaischen Gleichung Differenialgleichungen der Form y () + a()y() + b()y 2 () = c() lassen sich nur in speziellen Fällen in geschlossener Form lösen. Sei eine spezielle Lösung y p () bekann, subsiuiere u() := Dann lös u() die lineare Gleichung 1 y() y p (). u () [a() + 2b()y p ()]u() = b(). Gegeben sei die Riccaische Gleichung y () = 2 + 3y() y 2 () Man sieh direk, dass y p () = 1 eine spezielle Lösung is. Subsiuion u() = 1/(y() 1) y = 1 + 1/u liefer u () = u 2 y = u 2 ( 2 + 3y() y 2 ()) ( = u u 2 u ) u 2 = u() +. Riccaische Gleichung II Typ F: Exake Differenialgleichungen Gegeben sei die Differenialgleichung Dies is eine lineare Differenialgleichung mi Lösung ( ) u() = 1 + C exp 2 2 und dami erhäl man 1 y() = 1 + ( ). 1 + C exp 2 2 g(, y()) + h(, y())y () = 0 Annahme: Es exisiere eine Funkion Φ(, y) mi: Dann folg Φ(, y) dφ(, y()) d = = g(, y), Φ(, y()) + Φ(, y) Φ(, y()) = h(, y) y () = 0 Die Lösungen der Differenialgleichung sind dann gegeben durch Φ(, y()) = C = cons. Man nenn die Differenialgleichung g + hy = 0 dann exak.

7 Exakhei und Poenial Poenial (Vorgriff auf Analysis III) Analysis III: Definiere ein Vekorfeld F(, y): F(, y) := (g(, y), h(, y)) T Die Differenialgleichung heiß exak, falls F ein Poenial besiz: g(, y) = Φ (, y), h(, y) = Φ y (, y) Φ C 1 Dies geh nich immer: Inegrabiliäsbedingung Saz Sind die beiden Funkionen g(, y) und h(, y) seig differenzierbar und is der Definiionsbereich einfach zusammenhängend, so besiz das Vekorfeld F ein Poenial Φ genau dann, wenn im Definiionsbereich die Bedingung erfüll is. h g (, y) = (, y) Darsellung des Poenials Berechnung des Poenials Φ(, y) miels Kurveninegral: Φ(, y) = F(τ, η)d(τ, η). c (,y) Dabei bezeichne c (,y) eine C 1 Kurve, die die Punke (, y 0 ) (fes) und (, y) (variabel) verbinde. Gil D = R 2, so kann man den Hakenweg (, y 0 ) (, y 0 ) (, y) wählen und erhäl für das Poenial die Darsellung Φ(, y) = g(τ, y 0 )dτ + y y 0 g(, η)dη Eine exake Gleichung Gegeben sei die Differenialgleichung Wegen (1 + 2y + y 2 ) + ( 2 + 2y)y = 0 ((, y) R 2 ) (2 + 2y) = (1 + 2y + y2 ) = 2( + y) is die Inegrabiliäsbedingung erfüll, d.h. die Gleichung is exak.

8 Berechnung des Poenials Berechnung des Poenials II Erser Schri Φ = g = 1 + 2y + y2 Inegraion bezüglich ergib Φ(, y) = (1 + y 2 ) + 2 y + C(y) Zweier Schri: Wir haben bereis die Form Es muss aber noch gelen Φ(, y) = (1 + y 2 ) + 2 y + C(y). Φ = h = 2 + 2y Beache: Inegraionskonsane kann von y abhängen!! Einsezen des Ergebnisses aus dem ersen Schri liefer 2y C (y) = 2 + 2y C(y) = cons. Berechnung des Poenials III Mehode des inegrierenden Fakors Gegeben sei die nich exake Differenialgleichung g(, y) + h(, y)y = 0 (Implizie) Lösung der Gleichung (1 + y 2 ()) + 2 y() = C Wir suchen nun eine Funkion m(, y) so, dass die Gleichung exak is. Bedingung: m(, y)g(, y) + m(, y)h(, y)y = 0 Die Inegrabiliäsbedingung is erfüll! (m h) (m g) = 0 Daraus ergib sich die Bedingung: ( h m g m ) + m ( h g ) = 0

9 Einfache Sonderfälle: Nichexake Gleichung 1. Wir nehmen an, dass m = m() nur von abhäng. [( dm h d = g ) ] /h m() }{{} Bed.: häng nur von ab 2. Wir nehmen an, dass m = m(y) nur von y abhäng. [( dm h dy = g ) ] /g m(y) }{{} Bed.: häng nur von y ab In beiden Fällen erhalen wir eine gewöhnliche Differenialgleichung und die Lösung m is ein inegrierender Fakor! Gegeben sei die nich exake Gleichung Es gil: Ansaz: (1 y) + (y 2 )y = 0 ( h g ) /h = y y 2 = 1 dm d = 1 m() m() = 1 Nichexake Gleichung II Dami is die Differenialgleichung ( ) 1 y + (y )y = 0 ( 0) Ende 2. Vorlesung exak und die (implizie) Lösung laue Φ(, y()) = ln y() y2 () = cons.