Freie Schwingung - Lösungsfälle

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1 Freie Schwingungen Seie von 6 Peer Schüller peer.schueller@bbw.gv.a Freie Schwingung - Lösungsfälle Maheaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Differenialgleichung.Ornung i onsanen Koeffizienen, Schwingung Kurzzusaenfassung Die Lösungsfälle er Freien Schwingung weren rechnerisch un graphisch analysier - ie Grafien erlauben ie selbsänige Veränerung er Paraeer (Feeronsane), (Däpfungsfaor) un (Masse) Diaische Überlegungen / Zeiaufwan: Üblicherweise weren ie Konsanen,, un urch w un bzw. ersez. Dies erfolg hier absichlich nich, u eine anschaulichere Variaion un Inerpreaion er Paraeer in er Grafi zu eröglichen! Lehrplanbezug (bzw. Gegensan / Abeilung / Jahrgang): Angewane Maheai,.Jahrgang, alle Abeilungen Mahca-Version: Mahca 7 / 8 / / Aufsellen er Schwingungsgleichung Feerraf bei Auslenung - proporional e Weg s s...feeronsane Däpfung - proporional er Geschwinigei s... Däpfungsfaor Massenräghei s ies ergib ie Gleichung s s s ies is eine lineare Differenialgleichung.Ornung i onsanen Koeffizienen nach Division urch erhalen wir s s s un i e Ansaz s( ) e λ araus ie charaerisische Gleichung λ λ

2 Freie Schwingungen Seie von 6 Besiung er Lösung er charaerisischen Gleichung λ λ auflösen, λ ( ) ( )... l... l nun üssen wir 3 Fälle unerscheien, in Abhängigei er Disriinane. Fall : l un l sin oplex In er Regel wir ie Disriinane negaiv sein, a er Däpfungsfaor (eulich) leiner sein wir als as Prouf aus * (Feeronsane*Masse). soi erhalen wir, a λ, λ ja oplex sin, als Lösung er DG s( ) e C cos C sin wir versuchen nun ie Koeefizienen C un C auszurechnen. Ranbeingung : Auslenung zu Zeipunf is e C cos C sin ergib C Soi laue nun ie neue Funionsgleichung s( ) e C sin Ranbeingung : Anfangsgeschwinigei zu Zeipun sei v wir leien also ab s( ) e C sin s( ) C sin cos Einsezen von s()v un ergib Auflösen nach C v C C v

3 Freie Schwingungen Seie 3 von 6 soi erhalen wir ie engülige (Schwingungs)Gleichung i s( ) e C sin oer s( ) v sin Wir efinieren ie Gleichung nun so, aß wir ie Paraeer variieren önnen. Zur Kennzeichnung es Lösungsfalles nennen wir ie Funion s ( ) : s,,,, v v sin Definiion Bereichsvariable :,... s (, 3, 5,, 3 Geäpfe Schwingung HINWEIS: In er obigen Grafi is eine zweie Funionsgleichung vorgesehen, ie oben "" gesez wure. Durch Variaion er Paraeer is nun eine ineressane Möglichei gegeben, ineraiv as Verhalen er geäpfen Schwingung zu analysieren. Als Beispiel is unen ie Feeronsane veräner woren, was sich (siehe Funionsgleichung) auf Apliue UND Frequenz auswiren uß! s (, 3, 5,, s (,, 5,, 3

4 Freie Schwingungen Seie von 6 s ( ) v ( ) ( ) wir sezen ie berechneen Konsanen in ie Ausgangsgleichung ein: C v v C C v eingesez zur Zei : s ( ) C C... ie Ableiung ergib s ( ) C e C e v( )v : C C C e C e C C > s( ) : Ranbeingungen wie i ersen Fall: s( ) un v( )v s ( ) C e C e ann erhalen wir als Lösung er Differenialgleichung Was geschieh nun, wenn ie Däpfungsonsane größer wir (Däpfung größer als *), also ie Disriinane posiiv wir un soi gil λ, λ verschieen reell?. Fall: l un l sin verschieen reell

5 Freie Schwingungen Seie 5 von 6 un so erhalen wir ie Funion ( ) : v s,,,, v ( ) ( ) s (,, 5, 9, 8) Aperioische Bewegung 3. Fall: ll Als lezer Fall bleib offen, aß ie Däpfung gleich ** wir, also ie Disriinane wir un in er Folge λ, λ gleich reell weren. Was für einen Funionsverlauf erhalen wir ann? wir erhalen als Lösung er Differenialgleichung ( ) e s( ) C C Ranbeingungen wieerul: s( ) un v( ) s( ) : v( )v un C : C s( ) C abgeleie un eingesez s( ) C C v C

6 Freie Schwingungen Seie 6 von 6 wir erhalen ie Funion ( ) : ( v ) e 5.7 s 3,,,, v ( ) s 3, 3, 5, 5, ieser "Übergangsfall" beginn wie ein Schwingung, geh aber ann och in eine Däpfung ohne Nullurchgang über. ("Aperioischer Grenzfall") Gegenübersellung er Fälle für verschieene Were er Däpfung 3 s (,, 5, 3, s (,, 5, 8, ( ) s 3,, 5, 5, 3 3