Übungsbuch Physik. Peter Müller, Hilmar Heinemann, Hellmut Zimmer, Heinz Krämer. Grundlagen Kontrollfragen Beispiele Aufgaben ISBN

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1 Übungsbuch Physi Peer Müller, Hilar Heineann, Hellu Zier, Heinz Kräer Grundlagen Konrollfragen Beispiele Aufgaben ISBN Leseprobe Weiere Inforaionen oder Besellungen uner hp:// sowie i Buchhandel

2 W Schwingungen und Wellen W 1 Haronische Schwingungen GRUNDLAGEN 1 Or-Zei-Funion Eine Bewegung i der Or-Zei-Funion () = cos(ω + α ) heiß haronische Schwingung. is die aiale Auslenung (Apliude). Es gil ω = 2π f = 2π/ i Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Periodendauer. ω = ϕ () is ein zeiabhängiger Winel i Arguen der rigonoerischen Funion, α ein onsaner Winel, der Nullphasenwinel. Dieser berücsichig die zeiliche Verschiebung des Maius der Kosinusfunion gegenüber de Zeinullpun. cos Die Konsanen und α werden aus den Anfangsbedingungen gewonnen. Falls α = π/2 is, ann die Kosinusfunion durch eine Sinusfunion ersez werden. Aus der Or-Zei-Funion (sizzier für α =) erhäl an durch zeiliche Ableiung die Geschwindigei-Zei-Funion v = ω sin(ω + α ) v und weier die Beschleunigung-Zei-Funion a = ω 2 cos(ω + α ) a 2 Vergleich an die Funionen für und a, so finde an a = ω 2

3 W 1 Haronische Schwingungen 117 Drüc an a als zweie Ableiung des Ores nach der Zei aus, so enseh die Differenzialgleichung der haronischen Schwingung: ẍ + ω 2 = Die Or-Zei-Funion der haronischen Schwingung is die allgeeine Lösung dieser Differenzialgleichung. 2 Bewegungsgleichung für haronische Schwingungen Jede zeilich veränderliche physialische Größe, für die eine Differenzialgleichung gil, deren äußere For i der Differenzialgleichung der haronischen Schwingung übereinsi, führ eine haronische Schwingung aus. An der Selle des Ores önnen auch andere physialische Größen sehen: der Winel ϕ bei Drehschwingungen, der Sro I oder die Spannung U bei eleroagneischen Schwingungen usw. ω 2 wird dann durch andere Konsanen zu Ausdruc gebrach. Bei echanischen Schwingungen enseh die Differenzialgleichung aus der Bewegungsgleichung. Dabei uss wegen F =+a = ω, 2 alsof, diekraf F eine absandsproporionale, rücreibende Kraf sein. Durch Aufsellen der vollsändigen Bewegungsgleichung finde an bei jede onreen Bewegungsproble heraus, wie ω i den gegebenen Konsanen zusaenhäng. 3 Federschwingung Beweg sich eine Punasse uner de Einfluss einer Federraf F =, so laue die Bewegungsgleichung a = Als Differenzialgleichung geschrieben, erhäl sie die For ẍ + = Dai seh / anselle von ω 2 : ω 2 = bzw. ω = Die Periodendauer is soi = 2π = 2π ω 4 Drehschwingung Bei der Drehschwingung ri an die Selle der veränderlichen Orsoordinae ein veränderlicher Winel ϕ. Beseh beispielsweise das schwingungsfähige Syse aus eine Drehörper (rägheisoen J A ) i der fesen Achse A, der i einer Spiralfeder (Richoen D) verbunden is, so ni die Bewegungsgleichung der Roaion J A ϕ = M A die Gesal D A J A

4 118 W Schwingungen und Wellen J A ϕ = Dϕ bzw. ϕ + D J A ϕ = D JA an. Es is also ω = bzw. = 2π J A D. Die Lösung der Differenzialgleichung is die Winel-Zei-Funion ϕ = ϕ cos(ω + α ) KONROLLFRAGEN W1-1 Ein Maiu der Elongaion einer haronischen Schwingung = cos(ω + α ) liege u vor de Zeinullpun. Berechnen Sie den Nullphasenwinel α! W1-2 Zeigen Sie, dass die beiden Or-Zei--Funionen () = cos(ω + α ) und () = sin(ω + α ) Lösungen der Differenzialgleichung ẍ + ω 2 = sind! W1-3 Was gehör zu eine schwingungsfähigen echanischen Syse? W1-4 Weshalb reen in der Or-Zei-Funion der haronischen Schwingung zwei Inegraionsonsanen auf? Welche physialische Bedeuung haben diese Konsanen? W1-5 Welchen Wer ha der Nullphasenwinel α,wenn die Beziehung ()= cos(ω +α ) = sin ω gil? W1-6 Sellen Sie für den Federschwinger in eine Diagra die poenzielle Energie über der Zei dar! W1-7 Wie lauen die Differenzialgleichung der haronischen Schwingung und die Sro-Zei-Funion in eine elerischen Schwingreis? BEISPIELE 1. Federschwingung Ein Körper (Masse ) durchfäll die Höhe h und riff zur Zei = a Or z auf eine senrech sehende Schraubenfeder (Federonsane ). Nach de Aufreffen bleib der Körper i der Feder verbunden, sodass eine haronische Schwingung enseh. Der Koordinaenursprung z = soll in die Ruhelage der Schwingung geleg werden. Die Masse der Feder bleib unberücsichig. a) Besien Sie den Anfangsor z und die Anfangsgeschwindigei v z der haronischen Schwingung! b) Besien Sie für diese Schwingung die in der Or-Zei-Funion z() enhalenen unbeannen Größen! c) Welche aiale Geschwindigei v z ri bei dieser Schwingung auf? = 5,g = 2,N/ h = 2 h z z z z

5 W 1 Haronische Schwingungen 119 Lösung a) Befinde sich das obere Ende der Feder bei z, so is die Feder enspann. Deshalb gil für die Federraf F z = (z z ) Die Ruhelage z = is dor, wo Gewichsraf F G und Federraf F z i Gleichgewich sind: F z () g = Mi F z () = z folg z = g z = g = 2,45 c Die Anfangsgeschwindigei v z dieser Schwingung liefer der Energiesaz, angewende auf den freien Fall: gh = 2 v2 z v z = 2gh = 1,98 /s (Vorzeichen i Rücsich auf die posiive z-richung). b) Die Or-Zei-Funion der haronischen Schwingung laue z() = z cos(ω + α ) (1) wobei ω = die Kreisfrequenz der Federschwingung is. Die beiden Unbeannen, die Apliude z und der Nullphasenwinel α, üssen aus den Anfangsbedingungen besi werden. Die nowendige zweie Gleichung wird aus (1) durch Differenzieren nach der Zei gewonnen: v z () = z ω sin(ω + α ) (2) Zur Zei = wird(1) z = g = z cos α (3) und (2) v z = 2gh = z sin α (4) Zunächs soll z eriel werden. Dazu is α zu eliinieren. Das geling i der Beziehung sin 2 α + cos 2 α = 1: ( ) g 2 + 2gh z z 2 = 1 z = g 1 + 2h g = 1,2c Zu gleichen Ergebnis gelang an auch i de Energiesaz: g(h + z ) = gz + 2 (z + z ) 2 Zur Besiung von α uss z eliinier werden. Das geling a einfachsen, wenn an (4) durch (3) dividier: sin α cos α = an α = 2gh g / = 2h g

6 12 W Schwingungen und Wellen α = arcan 2h g = 76,1 c) Die Geschwindigeisapliude oder aiale Geschwindigei is der Funion (2) zu ennehen: v z = z ω }{{} sin(ω + α ) v z v z = z ω = g 1 + 2h g v z = g + 2h = 2,4 /s g 2. Physialisches Pendel Eine dünne Sange der Länge l und der Masse ann sich u die durch ihren oberen A Endpun A gehende horizonale Achse drehen. Sie wird u den Winel ϕ aus der Verialen ausgelen und zu Zeipun = losgelassen. l Wie laue die Funion ϕ = ϕ () für die Bewegung der Sange? Wie groß is die Periodendauer? ϕ l = 6 c ϕ =,1 rad ϕ= Lösung Auf die Sange wir infolge der Gewichsraf das Drehoen M A = gs sin ϕ i s = l 2 Dieses verursach ensprechend der Bewegungsgleichung A } l s= 2 M A = J A ϕ g die Winelbeschleunigung ϕ zur Ruhelage der Sange hin. ϕ= Es gil nun, die Bewegungsgleichung so uzuforen, dass einerseis die gegebenen Größen in ihr enhalen sind und andererseis die For der Differenzialgleichung der haronischen Schwingung ϕ + ω 2 ϕ = erennbar is, aus der sich die For der gesuchen Lösungsfunion ϕ = ϕ () ergib. Mihilfe des Sazes von SEINER ann J A durch den Ausdruc (J S + s 2 ) ersez werden. Hierin is J S = l 2 /12 und s = l/2. Daher folg J A = l2 3 Die Bewegungsgleichung laue denach onre für das vorliegende Proble g l l2 sin ϕ = 2 3 ϕ Uner Beachung der aufreenden Auslenungen ϕ () ϕ 1 gil sin ϕ ϕ und dai für die Bewegungsgleichung g l 2 ϕ = l2 3g ϕ oder ϕ + 3 2l ϕ = Sie ha soi die For ϕ + ω 2 ϕ =. Wir önnen daher die Lösungsfunion angeben. Es is ϕ () = ϕ cos(ω + α ) i ω 2 = 3g 2l

7 W 1 Haronische Schwingungen 121 Die Konsanen ϕ und α in der Lösungsfunion ergeben sich aus der Bedingung der Aufgabensellung ϕ ( ) = ϕ i =. Es is ϕ = ϕ cos α Da ϕ die aiale Auslenung is, uss auch der Kosinus aial, d. h. sein Arguen gleich null sein. Daraus ergib sich α =. Die Funion ϕ () laue daher endgülig wobei ϕ () = ϕ cos ω ω = 3g 2l is. Für die Periodendauer gil 2l = 2π 3g = 1,27 s AUFGABEN W1.1 Der Raddurchesser einer Dapfloooive is d. Es wird angenoen, dass der Kolben der Dapfaschine, durch den die Räder angerieben werden, eine haronische Schwingung ausführ. Der aiale Kolbenhub is h. Wie groß sind bei einer Geschwindigei v der Loooive a) die aiale Kolbengeschwindigei v und b) die aiale Kolbenbeschleunigung a? d = 23 c h = 64,c v = 12 /h W1.2 Bei der Schwingung = cos(ω + α )sind zu Zeipun = die Elongaion und die Geschwindigei v geessen worden. Welche Were haben der Nullphasenwinel α und die Apliude? ω = 9 s 1 = 2, c v = 3, /s W1.3 Ein Schüelsieb führ in senrecher Richung haronische Schwingungen i der Apliude aus. Wie groß uss die Frequenz f indesens sein, dai Seine, die auf de Sieb liegen, sich von diese lösen? = 5 W1.4 Eine ellerfederwaage ha bei der aialen Belasung i der Masse 1 die Auslenung 1. Die Waagschale ha die Masse.Eswird ein Körper der Masse 2 < 1 auf die leere Schale geleg. a) Bis zu welcher Selle 2 wird die Waage ausgelen? b) Bis zu welcher Auslenung 3 uss an die Waage niederdrücen, wenn sich nach de Loslassen der Körper während der anschließenden Bewegung gerade noch nich von der Waagschale ablösen soll? = 2 g 1 = 1 g 2 = 9 g 1 = 5 W1.5 Eine Las der Masse häng an der Laufaze eines Kranes und wird i der Geschwindigei v horizonal beweg. Der Schwerpunabsand der Las vo Aufhängepun 1