Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr.

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1 Ganzraionale Funkionenscharen. Grades Umfangreiche Aufgaben Lösungen ohne CAS und GTR Alle Mehoden ganz ausführlich Daei Nr. 7 Sand 3. Sepember 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK ANALYSIS Funkionenraining

2 7 Funkionenscharen. Grades Vorwor Diese Sammlung an umfangreichen Aufgaben zu Funkionen. Grades mi Parameern sind zur Auswahl für Übungszwecke gedach. Meisens Abiurniveau. Die Muserlösungen sind ohne CAS- oder GTR ersell worden, sodass alle Mehoden ausführlich durchgerechne worden sind. Wer dies nich benöig, weil er einen höherwerigen Rechner verwenden darf, kann diese Lösungen dennoch verwenden um die Mehoden zu rainieren und die Lösungen zu vergleichen. Aus folgender Lise kann man erkennen, welche Zusazaufgaben vorkommen. Inhal Funkionserm Inhal Aufgabe Lösung 6 f Orskurve, Schniwinkel, Inegralfläche, Minimale Sreckenlänge f Orskurve, Inegralfläche, Wendeangene Gemeinsamer Kurvenpunk, Welche Kurven geh durch P? 3 63 f Orskurve, Welche Kurven geh durch R? 6 9 Wendeangene schneide K. Inegralfläche, Eremer Dreieckinhal 9 6 f Anzahl der Nullsellen in Abh. von Orskurve, Minimaler Dreiecksinhal Newonsches Näherungsverfahren f Eremer Dreiecksinhal, Inegralfläche, 6 Orhogonale Wendeangene f Funkionsgleichung aufsellen, Orskurve, Inegralfläche, Parabel gesuch, 7 33 f Funkionsgleichung aufsellen, Orskurve, 68 f Inegralfläche, eremer Dreieckinhal Funkionsgleichung aufsellen, Gemeinsame Kurvenpunke, Inegralfläche 8 CAS-Lösung: 9

3 7 Funkionenscharen. Grades 3 Ganzraionale Funkionenscharen. Grades Gegeben is die Funkion f für Aufgabe 6 f durch a) Berechne das Symmerieverhalen des Schaubilds K von f, dessen Schnipunke mi der -Achse sowie Erem- und Wendepunke. Welche Gleichung ha die Orskurve C der Tiefpunke? Zeichne das Schaubild K und C mi Längeneinhei cm für das Inervall [-,5 ;,5 ]. b) Uner welchem Winkel schneiden sich C und K im rechen Tiefpunk? c) Die Kurve K begrenz mi der -Achse im. Feld eine Fläche A. Berechne deren Inhal. In welchem Verhälnis eil C diese Fläche? d) Eine Parallele zur y-achse zwischen dem Hochpunk und dem rechen Tiefpunk von K schneide K in R und C in S. Für welche Lage der Geraden wird die Länge der Srecke RS ein Maimum? Gegeben is die Funkion f für Das Schaubild von f sei K. Aufgabe 6 durch 3 f a) Unersuche K auf Symmerie, Schnipunke mi der -Achse, Erem- und Wendepunke. Zeichne K für 3 3 mi Längeneinhei cm. Berechne die Gleichung der Orskurve C der Tiefpunke. b) Zeige, dass zwei verschiedene Scharkurven nur den Ursprung als gemeinsamen Kurvenpunk haben. c) Durch welche Punke P ( I y ) der Zeichenebene geh keine Scharkurve? d) Die Kurve K begrenz mi der -Achse im. Feld eine Fläche. Berechne deren Inhal A(). In welchem Verhälnis eil C diese Fläche? e) Selle die Gleichung der Tangene im Wendepunk W ( - I... ) auf. In welchem Punk S schneide diese Tangene K noch einmal? Die Wendeangene und die Kurve K begrenzen eine Fläche B. Berechne deren Inhal.

4 7 Funkionenscharen. Grades Aufgabe 63 Gegeben is die Funkion f für durch K sei das Schaubild der Funkion f. f 6 9 a) Besimme Schnipunke mi der -Achse, Erem- und Wendepunke. Zeichne das Schaubild K für 5 5. b) Gib die Gleichung der Orskurve C aller Wendepunke an. c) Welche Scharkurven K gehen durch den Punk R ( I )? d) Die Tangene im Wendepunk S. Berechne dessen Koordinaen. W f schneide das Schaubild K in einem weieren Punk e) Berechne die Fläche, welche von K und der -Achse begrenz wird. f) P u f u sei ein Kurvenpunk auf K zwischen dem Hochpunk und dem rechen Tiefpunk. Q sei das Spiegelbild von P an der y-achse. Berechne den Inhal F(u) des Dreiecks OPQ. Für welchen Wer von u nimm das Dreieck einen eremen Inhal an? Selle die Ar des Eremwers fes und berechne auch den eremen Inhal.

5 7 Funkionenscharen. Grades 5 Gegeben is die Funkion f für K sei das Schaubild der Funkion f. Aufgabe 6 \ 0 durch f a) Unersuche K 6 auf Symmerie, Schnipunke mi der -Achse, Erem- und Wendepunke. Zeichne das Schaubild K 6 für 5 5. Besimme die Anzahl der Nullsellen von K in Abhängigkei von. Gib die Gleichung der Orskurve C der Erempunke an, die nich auf der y-achse liegen. Zwischenergebnis: E, b) Welche Punke haben alle Scharkurven gemeinsam? Pu v sei ein Punk von K 0 mi 0 < u < und Q sein Spiegelbild an der y-achse. Berechne den Inhal F(u) des Dreiecks OPQ. Für welchen Wer von u nimm dieser Inhal einen eremen Inhal an? Zeige, dass es absolues Maimum vorlieg. Wie groß is dieser maimale Inhal? c) Zeichne die. Winkelhalbierende in dieses Schaubild ein und lies einen Näherungswer für die -Koordinae des Schnipunks mi K 6 ab, der dem Ursprung am nächsen lieg. Verbessere diesen Wer durch zwei Schrie des Newonschen Ieraionsverfahrens.

6 7 Funkionenscharen. Grades 6 Aufgabe 65 Gegeben is die Funkion f für durch K sei das Schaubild der Funkion f. f 6 3 a) Unersuche K auf Schnipunke mi der -Achse, Erem- und Wendepunke. Skizziere das Schaubild K für 6. Verwende auf der -Achse die Längeneinhei cm und auf der y-achse 0, cm ( d. h. cm ensprich 5 Einheien) Berücksichige das Inervall 5 y 0. b) P u f u sei ein Punk von K mi 0 < u < 6. Die Parallele zur y-achse durch P, die -Achse und die Srecke OP bilden ein Dreieck. Für welchen Wer von u is die Dreiecksfläche eremal? Besimme die Ar des Eremums und die Größe des eremen Inhals. c) Jede Kurve K und die -Achse begrenzen eine Fläche. Berechne den Inhal A() dieser Fläche. N sei der Schnipunk von K mi der posiiven -Achse und W der nich im Ursprung liegende Wendepunk von K. In welchem Verhälnis eil die Srecke N W die Fläche A()? d) Für welchen Wer von seh N W senkrech auf der Wendeangenen in W?

7 7 Funkionenscharen. Grades 7 Aufgabe 66 Eine ganzraionale Kurvenschar K. Grades ha im Ursprung einen Erempunk, schneide die - Achse bei = und ha W 3 a) Selle die Gleichung der Schar auf. 3 Ergebnis: f 3 3 als Wendepunk. sei eine posiive reelle Zahl. b) Berechne sämliche Nullsellen, Erem- und Wendepunke. Zeichne K in ein geeignees Koordinaensysem. Berechne die Gleichung der Orskurve der Tiefpunke. c) Die Kurve K begrenz mi der -Achse eine Fläche vom Inhal A(). Zeige, dass die Gerade durch W 3 und N 0 diese Fläche halbier. d) Welche Gleichung ha die Parabelschar P, welche die Eigenschaf ha, dass P K in W berühr und durch 3 N 0 geh? e) Zusaz: Wie groß is die Fläche, die von K und P begrenz wird? Aufgabe 67 Das Schaubild einer ganzraionalen Funkion. Grades ha im Ursprung einen Wendepunk und die -Achse als Wendeangene. Der zweie Wendepunk lieg bei = ( > 0). Die dazu gehörende Wendeangene ha die Seigung. a) Selle die Gleichung der Schar auf. 3 Ergebnis: f 3 3 b) Berechne sämliche Nullsellen, Erem- und Wendepunke. Berechne die Gleichung der Orskurve C der Hochpunke. Zeichne K und C in ein geeignees Koordinaensysem. c) Die Kurve K begrenz mi der -Achse eine Fläche vom Inhal A(). In welchem Verhälnis eil C diese Fläche? Zeige, dass die Gerade durch W und d) Die Tangene und die Normale in Berechne dessen Flächeninhal F(). N 0 diese Fläche halbier. W begrenzen mi der -Achse ein Dreieck. Besiz dieser Flächeninhal für einen besimmen Wer von einen Eremwer? Was kann man über die Monoonie dieser Flächeninhalsfunkion aussagen?

8 7 Funkionenscharen. Grades 8 Aufgabe 68 Sehr ineressane und anspruchsvolle Aufgabe, geeigne für CAS-Bearbeiung. (CAS-Lösung lieg auch bei) a) Eine ganzraionale Kurvenschar. Grades ha im Ursprung einen Erempunk, is symmerisch zur y-achse, geh durch den Punk A 5 3 und schneide die -Achse bei Besimme die Gleichung der zugehörigen Funkion f. b) Gegeben sei für die Funkionenschar ( sei eine posiive reelle Zahl). f Berechne Nullsellen, Erem und Wendepunke. Zeichne die Schaubilder K und K 8 in ein gemeinsames Koordinaensysem. c) Berechne die gemeinsamen Schnipunke aller Scharkurven K. d) Zeige: Für 0 gil f f r r > s is. e) Berechne die von den Kurven K und K begrenze Fläche. Was folg daraus für die Fläche zwischen den Kurven K und K 8? Welche Kurve K halbier diese Fläche? s f) Uner welcher Bedingung für r und s liegen die Hochpunke zweier verschiedener Scharkurven K r und K s auf einer Parallelen zur -Achse? Gib zwei Beispiele solcher Kurven an. Is es auch möglich, dass sie auf einer Parallelen zur y-achse liegen?

9 7 Funkionenscharen. Grades 9

10 7 Funkionenscharen. Grades 0 Gegeben is die Funkion f für Lösung Aufgabe 6 f durch a) Berechne das Symmerieverhalen des Schaubilds K von f, dessen Schnipunke mi der -Achse sowie Erem- und Wendepunke. Welche Gleichung ha die Orskurve C der Tiefpunke? Zeichne das Schaubild K und C mi Längeneinhei cm für das Inervall [-,5 ;,5 ]. Symmerieverhalen: Da f nur gerade Eponenen ha, gil für alle : f f Das Schaubild K von f is daher symmerisch zur y-achse. Schnipunke mi der -Achse f Fakor: = 0, doppele Lösung, also is N. Fakor: 0 0 Berührpunk. 0 Ergebnis: N0 0, N,3 0 3 Ableiungen: f ', f '' 3, f ''' 6,3 3 f Erempunke: Nowendige Bedingung:. Fakor: = 0. Fakor: 0 E (*) f 0 0, f y-koordinaen: Hinreichende Bedingung: Tipp zur Berechnung: Ergebnis: H0 0,T, f''0 0 Maimum f '' 3 0 Minimum Hier muss man immer wieder E quadrieren. In der Berechnung oben (*) erkenn man. Wendepunke: Nowendige Bedingung: W 3 Hinreichende Bedingung: 3 y-koordinae: Ergebnis: f '' f ''' 0 Orskurve der Tiefpunke: T, Es gil 6 5 f W, 3 9 T T T und Ersez man erhäl man: y T T Also liegen alle Tiefpunke auf der Kurve C: y Wegen der Einschränkung > 0 wird = 0 ausgeschlossen. y T E

11 7 Funkionenscharen. Grades Schaubild von K : und C: f y b) Uner welchem Winkel schneiden sich C und K im rechen Tiefpunk? Die Tangene an K in T is horizonal. Ableiung der Orskurvenfunkion y g() is Seigung der Tangene an C in T : 3 WISSEN: Es gil an m an an 70,53 O T g'() m g'( ) c) Die Kurve K begrenz mi der -Achse im. Feld eine Fläche A. Berechne deren Inhal. In welchem Verhälnis eil C diese Fläche? Fläche zwischen K und der -Achse: A d Teilfläche A zwischen C und K : 5 3 A d d Teilfläche A : 6 6 A A A Flächenverhälnis: A 5 A 6 6 0, A A C K

12 7 Funkionenscharen. Grades d) Eine Parallele zur y-achse zwischen dem Hochpunk und dem rechen Tiefpunk von K schneide K in R und C in S. Für welche Lage der Geraden wird die Länge der Srecke RS ein Maimum? Die verikale Gerade habe die Gleichung = u. Dann erhäl man folgende Schnipunke: und Su u Ru u u Länge der Srecke RS: L(u) y y u u u u u S R mi dem Definiionsbereich D u ]0; [. Ableiungen: 3 L' u u u, L''(u) 6u Eremwerbedingung: 3. Fakor: u 0 Du. Fakor: E L ' u 0 u u 0 u( u ) 0 aber u3 Du u u,3 Für die einzige in D u liegende Lösung is also u E =. Hinreichende Bedingung: Da die Randwere L(0) = 0 und u = die Sreckenlänge zum absoluen Maimum. Bilderbuchbla: Die Kurvenschar f für = 0, bis = 0, sepp 0, Die schwarze gesrichele Kurve is die Orskurve C der Tiefpunk: y Die innere Randkurve gehör zum verboenen Wer = 0, is also y. Offenbar gehen durch die Punke auf und oberhalb dieser Kurve keine Scharkurven. L'' 60 Maimum L 0 absolue Minima sind, wird für Das beweise ich auf der nächsen Seie. S R

13 7 Funkionenscharen. Grades 3 Zusazaufgabe: Durch welche Punke P y der Zeichenebene geh keine der Scharkurven? Man sell die Kurvengleichung Fallunerscheidung: y nach um: y (*). Fall: Um durch dividieren zu können muss 0 sein. Dann folg: y Da nie negaiv werden kann und 0 auch noch verboen is, muss gelen: Das beiß aber Ergebnis: y 0 y bzw. y. Durch Punk auf oder oberhalb von. Fall: Wenn aber = 0 is, dann muss man in (*) einsezen: 0 0y y 0 Das heiß, dass dann auch y = 0 is, unabhängig von. Inerpreaion: Durch N0 0 geh jede Scharkurve K. Und durch alle anderen Punke der y-achse, also Q0 y 0 y geh keine Scharkurve, geh keine K.