Medikamentendosierung A. M.

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1 Medikamenendosierung A M

2 Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 2 2 Ar der Einnahme 3 3 Tropfenweise Einnahme 4 31 Differenialgleichung 4 32 Exake Lösung 5 33 Näherungsweise Lösung 5 4 Periodische Einnahme 7 41 Erses Modell 7 42 Zweies Modell 8 43 Dries Modell 9 44 Vieres Modell 10 5 Auswerung der Ergebnisse 12 6 Schlusswor 13 7 Quellenangabe 14

3 1 Einleiung Die richige Dosierung bei Einnahme der Medikamene is deshalb wichig, weil ein besimmer Serumspiegel nowendig is, dami ein Medikamen überhaup wirk Um die opimale Dosierung zu gewährleisen, muss man wissen, wie sich der Serumspiegel nach Einnahme des Medikamens mi der Zei veränder Um dies herauszufinden, versuch man, die in der Praxis aufreenden Prozesse zu versehen und sie dann mi Hilfe von mahemaischen Formeln zu beschreiben Uner Berücksichigung möglichs vieler realer Bedingungen sell man eine Gleichung auf, deren Lösung eine Funkion is Mi dieser Modellfunkion können reale Bedingungen simulier werden und so Voraussagen über den weieren Verlauf eines Prozesses geroffen werden Der Genauigkei eines mahemaischen Modells sind aber Grenzen gesez In der Praxis is eine fas unendliche Anzahl von Fakoren sowie deren Zusammenspiel für den Verlauf eines Prozesses veranworlich Deshalb kann es bei einem Modell keine hunderprozenige Genauigkei geben Normalerweise brauch man aber bei der Medikamenendosierung keine hunderprozenig genauen Modelle Der Körper des Paienen kann einiges an Schwankungen des Serumspiegels aushalen Ausnahmen bilden wahrscheinlich Medikamene, die in hohen Dosierungen für den Paienen gefährlich sein können Bei der Medikamenendosierung gib es sehr viele Bedingungen, die bei einem Modell berücksichig werden müssen In meiner Facharbei werde ich mich aber nur mi den Bedingungen beschäfigen, die keine Fachkennnisse der Medizin benöigen Die wichigsen Bedingungen sind die Ar der Einnahme des Medikamens und die Eigenschafen des Medikamens selbs Die Ar der Einnahme umfass die Menge des verabreichen Medikamens und die Zeiabsände zwischen einzelnen Einnahmen Bei den Eigenschafen des Medikamens geh es darum, wie lange der Körper des Paienen brauch, um das Medikamen aufzunehmen und es auszuscheiden Diese Eigenschafen werden durch Messungen unersuch 2

4 2 Ar der Einnahme Es gib grundsäzlich zwei Aren, ein Medikamen einzunehmen: koninuierlich oder periodisch Koninuierliche Einnahme bedeue, dass ein Soff dauernd ropfenweise direk in die Blubahn eingeführ wird Periodische Einnahme bedeue, dass eine Subsanz porionsweise und immer wieder eingenommen wird, zum Beispiel in Tableen Bei meinen Modellen spiel es aber keine Rolle, in welcher Form ein Medikamen verabreich wird, deshalb werde ich auch in meiner ganzen Facharbei bei der periodischen Einnahme davon ausgehen, dass das Medikamen in Form von Tableen eingenommen wird Bei beiden Aren der Einnahme finden gleichzeiig zwei Prozesse sa: Zufuhr des Medikamens in den Körper des Paienen einerseis, und die Ausscheidung aus dem Körper andererseis Wird ein Medikamen schneller zugeführ als es ausgeschieden wird, wächs der Serumspiegel des Paienen Passier es umgekehr, dann fäll er Is die Menge des zugeführen Medikamens der Menge des Ausgeschiedenen in der selben Zei gleich, veränder sich der Serumspiegel nich Bei einer koninuierlichen Einnahme beginn die Modellfunkion im Ursprung, denn vor dem Beginn der Einnahme is das Medikamen im Körper des Paienen noch nich vorhanden Der Serumspiegel wird also mi der Zei seigen Gleichzeiig wird das Medikamen vom Körper beziehungsweise von der Leber und den Nieren ausgeschieden Da der Serumspiegel eines Paienen nich unendlich anseigen kann, wird er ab einem besimmen Niveau kaum seigen Bei einer periodischen Einnahme beginn die Modellfunkion auch im Ursprung Im Gegensaz zur ropfenweisen Einnahme wächs der Funkionswer aber nich sändig, sondern fäll nach dem Erreichen des Höhepunks, denn irgendwann is der in einer Tablee enhalene Wirksoff vom Körper zersez Wenn kein Medikamen mehr zugeführ wird, finde nur Zersezung sa, der Serumspiegel fäll Dadurch, dass nach einiger Zei wieder eine Tablee in den Körper des Paienen gelang, seig der Serumspiegel wieder Dann fäll er und seig nach der nächsen Einnahme wieder, und immer so weier 3

5 3 Tropfenweise Einnahme Eine Aufgabe zur Besimmung der Medikamenendosierung könne wie folg lauen Dem Paienen wird 0,4 Gramm eines Medikamens pro Minue in die Blubahn zugeführ In dieser Zei werden 10 % der bereis im Körper vorhandener Menge an Medikamen ausgeschieden Wie hoch is der Serumspiegel nach 10 Minuen, 30 Minuen, einem Tag? Die Lösung dieser Aufgabe is eine Funkion 31 Differenialgleichung Es gil nun eine Funkion zu ermieln, die den oben genannen Bedingungen ensprich Mi diesen Bedingungen sell man eine Differenialgleichung auf, deren Lösung die Modellfunkion is Ich beginne mi der allgemeinen Lösung Die Menge an Medikamen, die dem Paienen pro Minue zugeführ wird, nenne ich a Die Obergrenze des Wachsums nenne ich G Die Menge des aus dem Körper ausgeschiedenen Medikamens pro Zei geeil durch die Menge des im selben Momen im Körper vorhandenen Medikamens nenne ich k Die Einhei von k muss die Dimension von 1/Zei haben, da die Einhei für den Serumspiegel mg/ml is Die Einhei für k is also 1/Sunde In der Praxis is k die Konsane, die den Überri des Medikamens in die Blubahn beschreib In der Facharbei werde ich k auch Proporionaliäsfakor nennen Zur Aufsellung der Differenialgleichung berache man zunächs den Zuwachs y Dann versuch man feszusellen, zu welchen Größen y proporional is: y y (G ) y = k (G ) Teil man diese Gleichung nun durch, erhäl man die Differenialgleichung: y () = k (G ) 1 Obergrenze bei 4 Gramm [Abb 1] = 4 4 e 0,1 10 4

6 32 Exake Lösung Die Lösung dieser Gleichung is die Funkionsschar: = G a e k Wie bereis erwähn, G is bei dieser Funkion die Obergrenze des Wachsums und (G a) der Anfangsbesand, also f(0) Die Modellfunkion muss die Bedingung f(0) = 0 erfüllen Deshalb muss für die Modellfunkion G = a gelen Die Gleichung für die Modellfunkion is also: = a a e k Die Differenialgleichung für die oben genanne Aufgabe is: y () = 0, 4 0, 1 y() Die Modellfunkion, die der oben genannen Aufgabensellung ensprich, laue dann: f () = 4 4 e Näherungsweise Lösung Die Differenialgleichung y (x) = 0, 4 0, 1 y(x) kann aber auch näherungsweise gelös werden Bei der näherungsweisen Lösung einer Differenialgleichung rechne man die Were nacheinander aus Man fäng beim Anfangswer y 0 an und sez diesen in die aufgeselle Bedingung ein; das Ergebnis (y 1 ) sez man wieder in dieselbe Bedingung ein, und dieses Ergebnis (y 2 ) wird wieder in dieselbe Bedingung eingesez Man komm sozusagen von einem Wer zum anderen Die Bedingung erhäl man, in dem man in der Differenialgleichung y () durch f x ersez Hierbei gil für f x : f x = lim y 1 y 0 x 0 x x is die Schriweie unserer Berechnung Da wir x nich gleich Null sezen werden, können wir diesen Ausdruck in die Differenialgleichung von vorhin einsezen y 1 y 0 x = 0, 4 0, 1 y 0 Rechne man diesen Ausdruck nach y 1 um, so erhäl man: y 1 = y 0 + x (0, 4 0, 1 y 0 ) Jez wähl man die Schriweie x Je kleiner diese Größe is, deso genauer das Ergebnis Sez man nun 0,5 für x und 0 für y 0 ein, kann man den Wer für y 1 ausrechnen Der Ausdruck für y 2 is dann y 2 = y 1 + x (0, 4 0, 1 y 1 ) Die allgemeine Formel für den Schri Nummer n laue y n = y n 1 + x (0, 4 0, 1 y n 1 ) Wie man sieh, muss man 30 solche Schrie machen, um f(30) auszurechnen Da sich diese Schrie immer wiederholen, muss man eine Voraussage reffen können, wie der Funkionswer nach 30 Schrien aussieh Um die Formel für den Schri beliebiger Nummer aufzusellen, muss man eine Gesezmäßigkei bei den sich sändig wiederholenden Schrien erkennen Hierzu wird der Ausdruck 5

7 für y 1 vereinfach: y 1 = y 0 + 0, 5 (0, 4 0, 1 y 0 ) = = y 0 0, , 2 Nun rechne man einige Were nacheinander aus Der Einfachhei halber benenne ich die Zahl 0, 95 mi dem Buchsaben a; 0, 4 nenne ich b y 1 = y 0 a + b y 2 = (y 0 a + b) a + b = a 2 y 0 + ab + b y 3 = (a 2 y 0 + ab + b) a + b = a 3 y 0 + a 2 b + ab + b Ordne man den Ausdruck ewas um, erkenn man, wie es weiergeh: y 3 = b + ab + a 2 b + a 3 y 0 = y n = b + ab + a 2 b + a 3 b + + a n 1 b }{{} n Mal + a n y 0 [Abb2] Der Ausdruck über der geschweifen Klammer is ein Fall für die Summenformel für endliche geomerische Reihen, s yn (n) denn jedes weiere Glied der Kee wird mi a muliplizier Durch das a n 1 b am Ende des Ausdrucks solle man sich allerdings nich verwirren lassen, weil bei der Summenformel nur die Anzahl der Glieder 1 zähl, und hier ensprich sie n Die Summenformel für diesen Ausdruck is also: s yn = b (1 an ) 1 a 10 Um die Gesamformel für alle Glieder zu erhalen, addier man zu der Summenformel a n y 0 Sez man nun für Buchsaben wieder Zahlen ein, erhäl man die Näherungsfunkion s yn (n) Sie laue: s yn (n) = 0, 2 (1 0, 95n ) 1 0, 95 + y n 0 0, (nɛn) 6

8 4 Periodische Einnahme Bei der periodischen Einnahme kann man wesenlich mehr Modellfunkionen ersellen als bei der ropfenweisen Einnahme, denn hier änder sich der Verlauf der Funkion für den Serumspiegel für eine Einnahme auch mi der Nummer der Einnahme sei dem Beginn der Behandlung Außerdem können einzelne Abschnie der Funkion mi verschiedenen Funkionen beschrieben werden 41 Erses Modell Bei unserem ersen Modell nehmen wir an, dass beim Anfang der Modellfunkion bereis eine besimme Menge an Medikamen eingenommen wurde, dass heiß bei = 0 wurde das Medikamen gerade eben eingenommen Der Zuwachs y is proporional zur Zeidifferenz, denn je mehr Zei vergeh, deso mehr Medikamen wird ausgeschieden Die Differenialgleichung is also: 1000 = 1000 e 005 [Abb3] y () = k y() und die Lösung dieser Gleichung is: = a e k Wenn man in dieser Funkionsgleichung a durch 1000 und k durch -0,05 ersez, erhäl man eine Funkion, die in [Abb3] zu sehen is Das Mass für die Geschwindigkei, mi der das Medikamen vom Körper zersez wird, is k a besimm den Schnipunk des Graphen mi der y- Achse Bei unserer Modellfunkion is a die Menge des Medikamens, die bei einer Einnahme in den Körper des Paienen komm Mi dieser Modellfunkion kann man den Serumspiegel nach einer Einnahme zu jeder Zei fessellen Doch wie sieh der Serumspiegel nach mehreren Einnahmen aus? Nehmen wir an, das Medikamen wird einmal in T Sunden eingenommen Den Anfangsbesand jeder Funkion f n () nenne ich a n mi n als Nummer der Einnahme Zur besseren Übersich fange ich bei der ersen Einnahme an: f 1 () = a 1 e k f 2 () = a 2 e k = (f 1 (T ) + a 1 ) e k = (a 1 e kt + a 1 ) e k 10 f 3 () f 4 () f 5 () f 2 () [Abb4] f 1 () f 3 () = a 3 e k = (f 2 (T ) + a 1 ) e k = ((a 1 e kt + a 1 ) e kt + a 1 ) e k = (a 1 + a 1 e kt + a 1 e 2kT ) e k 7

9 Wie im Kapiel 32, bei der Lösung für den n-en Schri, kann man auch hier erkennen, wie die Funkionen für die nächsen Schrie aussehen müssen Die Anzahl der Glieder in der Klammer des lezen Terms ensprich der Nummer der Einnahme Die Reihe fäng bei a an und wird immer wieder mi e kt muliplizier Die Summe der n Glieder in der Klammer is nach der Summenformel: s fn = a 1 (1 e nkt ) 1 e kt Die komplee Funkion laue dann: f sn (n) = a 1 (1 e nkt ) 1 e kt e k, 0 < < T, nɛn [Abb5] = 0 = 3 = 7 Mi dieser Funkion kann der Serumspiegel zur beliebigen Zei der beliebigen Einnahme des beliebigen Medikamens errechne werden, das in beliebiger Menge bei einer Einnahme verabreich wird Noch einmal zur Erinnerung: T is der Zeiinervall, in dem das Medikamen eingenommen wurde; is die Zei, die sei der lezen Einnahme des Medikamen vergangen is; a is die Menge des Medikamens, die der Organismus des Paienen mi einer Einnahme erhäl In [Abb4] sieh man den Verlauf der Modellfunkion für 5 Einnahmen mi k und a wie in der Funkion in [Abb3] und dem Zeiinervall von 8 Sunden In [Abb5] is die Funkion f sn (n) abgebilde für gleich null, drei und sieben Sunden Dieser Funkionsgraph ha aber eher eine symbolische Bedeuung Eigenlich muss der Graph aus Sufen besehen, denn n kann nur eine naürliche Zahl sein Zweies Modell Wie man in [Abb4] gesehen ha, sieh der Verlauf des Serumspiegels bei fünf Einnahmen rech ungleichmäßig aus, was ewas unrealisisch is Das komm daher, dass bei diesem Modell der allmähliche Ansieg des Serumspiegels nich berücksichig wurde Ein besseres Modell kann enwickel werden, in dem man die Modellfunkion abschnisweise definier, das heiß, für verschieden Bereiche gelen verschiedene Zuordnugsvorschrifen In [Abb 6] sieh man zum Beispiel eine Funkion für eine Einnahme Für 0 < < 0 gil die Funkion = a a e k Für 0 < < gil die Funkion g() = a e m 8 a 0 0 [Abb6]

10 Ein Modell für mehrere Einnahme kann ersell werden, in dem man wie bei beim ersen Modell den Besand der Funkionen auf Veränderungen mi wachsender Zahl der Einnahmen unersuch 43 Dries Modell Eine bessere Möglichkei, Modellfunkionen zu erzeugen, is es, Funkionen mieinander durch Addiion zu verknüpfen Bei der Modellfunkion für eine Medikameneinnahme gib es zwei Vorgänge: die Erhöhung des Serumspiegels nach der Einnahme und gleichzeiig Senkung durch die Zersezung des Medikamens im Körper Für jeden Punk der Modellfunkion gelen beide Vorgänge Die Erhöhung des Serumspiegels muss mi einer Funkion für beschränkes Wachsum beschrieben werden Die Senkung des Serumspiegels kann mi einer Funkion beschrieben werden, die dem Wachsumsprozess das Medikamen sozusagen wegnimm Die Modellfunkion muss in diesem Fall die Differenz beider Wachsumsprozesse sein Diese Wachsumsfunkion muss auch beschränk sein Die Obergrenze dieses Wachsums muss genauso groß sein wie die von der Funkion für die Erhöhung des Serumspiegels Der Serumspiegel beziehungsweise die Differenz der Wachsumsprozesse darf nämlich nich negaiv werden und muss nach einer Zei gegen Null sreben Die Funkionsgleichung muss also lauen: = a a e k (a a e m ) = a (e m e k ) k und m sind Proporionaliäsfakoren beider Funkionen aus der Gleichung für den Zuwachs y k is der Fakor des Wachsums, m is der Fakor des Zerfalls Logischerweise solle man k größer m wählen, anderenfalls würde der Serumspiegel des zu behandelnden Paienen schneller fallen als er anwachsen kann Die Formel für den Hochpunk bei dieser Funkion wäre in diesem Zusammenhang auch ineressan Der Hochpunk einer Funkion is bekannlich die Nullselle der ersen Ableiung (wie wir wissen, gib es nur einen) 9

11 f () = a (m e me k e ke ) 0 = a (m e me k e ke ) ( k ln m) e = k + m Die hinreichende Bedingung enfäll hier, weil wie wissen, dass der Exrempunk der Hochpunk is Den y-wer des Hochpunks erhäl man, in dem Man f( n ) rechne Wähl man zum Beispiel 0, 5 als k, 0, 05 als m und 1000 als a, erhäl man eine Funkion, die in Realiä aufreen könne Die Gleichung für diese Funkion is: = 1000 (e 0,05 e 0,5 ) Der Hochpunk dieser Funkion is ungefähr bei P (5, ) [Abb 6] = 1000 (e 005 e 05 ) Die Unersuchung der Funkionen für n Einnahmen lasse ich hier aus, dafür mache ich die Unersuchung bei dem vieren Modell, weil es ineressaner is 44 Vieres Modell Eine andere Möglichkei, eine Modellfunkion aufzusellen, wäre, eine Wachsumsfunkion als Anfangsbesand einer Zerfallsfunkion zu sehen Der Zerfall des Medikamens is nämlich von dessen Menge im Körper des Paienen abhängig Die Abhängigkei des Zerfalls von der Menge des Medikamens spiegel sich im Anfangsbesand der Zerfalls wieder ( = a e k mi a als Anfangsbesand) Der Besand dieser Modellfunkion wäre die Funkion für den Serumspiegel, und nach Kapiel 4 beschränkes Wachsum Die Funkionsgleichung is demnach: f w () = a w a w e k f z () = a z e m = (f w ()) e m = (a w a w e k ) e m = a w (e m e k m ) Wähl man 1000 als Anfangsbesand des Wachsums a w, 0,5 als dessen Proporionaliäsfakor k und 0,05 als Proporionaliäsfakor des Zerfalls m, so erhäl man die Funkionsgleichung: = 1000 (e 005 e 055 ) Diese Funkion ähnel der Funkion auf der [Abb 6], deshalb erspare ich mir deren graphische Darsellung an dieser Selle Den Hochpunk der Funkion berechne man nach dem selben Lösungsweg wie in Kapiel 4 Der allgemeine Ausdruck für den Höhepunk der Modellfunkion laue: 10

12 ( ) m ln k + m e = k Der Hochpunk unserer eingesezen Funkion lieg bei P (4, ) Um ein Modell für eine beliebige Anzahl von Einnahmen f n (x) aufzusellen, muss man wissen, wie sich die Funkion für eine besimme Einnahme in Abhängigkei von der Nummer der Einnahme veränder Alle Funkionen f n () unerscheiden sich nur durch ihren Hochpunk, denn alle f n () gil lim f n() = 0 und f n (0) = 0 Der x-wer des Hochpunks, wie bereis fesgesell, häng nur von k und m ab k und m müssen aber bei allen f n () konsan sein, es wird immer dasselbe Medikamen immer in derselben Dosis eingenommen Da das Medikamen bei allen Einnahmen gleich is, müssen sich einzelne Modellfunkionen nur durch den Besand a n unerscheiden Die Funkion für die erse Einnahme war: f 1 () = a 1 (e m e k m ) Dami die Schreibarbei nich so viel Mühe mach, berache ich den Ausdruck in der Klammer als Funkion: g() = e m e k m Ich beginne wieder bei der Funkion für die erse Einnahme: f 1 () = a 1 g() f 2 () = a 2 g() = (a 1 + a 1 g(t )) g() f 3 () = a 3 g() = (a 1 + (a 1 + a 1 g(t ) g(t )) g() = (a 1 + a 1 g(t ) + a 1 (g(t )) 2 ) g() Diese Reihe kann wieder mi der Summenformel beschrieben werden, denn die Reihe beginn bei a 1 und wird immer wieder mi f(t ) muliplizier Die Funkionsgleichung laue also: [Abb 7] f n () = a 1 (1 (g(t )) n ) 1 g(t ) g() Sez man nun die Funkionsgleichung für g() ein, so bekomm man: f n () = a 1 (1 (e mt e kt mt ) n ) 1 (e mt e kt mt ) (e m e kx m ) Auf der [Abb7] sind die Funkionen f 1 (), f 2 () und f 3 () zu sehen Bei den abgebildeen Funkionen habe ich für k -0,5, für m -0,05 und für a eingesez 11

13 5 Auswerung der Ergebnisse Mi dem Modellen, die ich in meiner Facharbei vorgesell habe, kann man heoreisch die opimale Dosierung ausrechnen Ob die Richigkei dieser Dosierungen auch in der Praxis gewährleise is, bleib allerdings fraglich Die von mir ersellen Modelle gehen sehr ins Mahemaische und wenig ins Medizinische, also mehr Theorie als Praxis Von allen Modellen finde ich das Fünfe am Besen, denn es is in sich sehr logisch Der Zerfall folg sozusagen dem Wachsumsprozess Modell drei finde ich ewas künslich wegen des beschränken Wachsums des Zerfalls, während das zweie zu aufwendig is und das erse zu einfach Die Modelle habe ich in meiner Facharbei nach Komplexiä geordne Allerdings sag der Schwierigkeisgrad eines Modells nichs über seine Genauigkei aus Gerade das finde ich ineressan am Ersellen der Modelle: da Modelle nur Mahemaische Formeln sind, die auf kompliziere biologische Prozesse angewende werden, kann man sich über die Genauigkei der Modelle sreien In der Medizin kann man durch Messungen relaiv gu nachweisen, ob ein Modell richig is oder nich In der Poliik oder Wirschaf is es aber wesenlich komplizierer 12

14 6 Schlusswor 13

15 7 Quellenangabe Vom Fachlehrer geselle Maerialien, Herkunf unbekann 14