Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

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1 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden. Zur Hisorie siehe auch: hp://de.wikipedia.org/wiki/inegralrechnung Das Inegral is ein Oberbegriff für das unbesimme und das besimme Inegral. Die Berechnung von Inegralen heiß Inegraion, Inegraion und Differeniaion sind zueinander inverse Operaionen. Der Begriff Inegral geh auf Johann Bernoulli zurück; heue sprich man vom Riemann`schen Inegral, wenn es um das Problem der Flächenberechnung uner einer Kurve geh. Das Inegralzeichen repräsenier lezlich eine Summaion ensprechender infiniesimaler Beiräge. Einführung des Riemann- Inegrals f f f f mi Sammfunkion ( ) ( c ) f MERKE: Die Sammfunkion is bis auf eine Konsane besimm. Geomerische Inerpreaion: f =lim f = (a) l che uner er urve f -Berechnung des Flächeninhales uner einer beliebigen Kurve f(x) im Inervall [a,b] Schreibweise: f lim f Differenial f Inegran a, Inegraionsgrenzen Seie: 1/8

2 2/8 besimmes Inegral wird genuz, um Flächeninhale zwischen dem Funkionsgraphen und der x-achse zu berechnen z.b.: dx= I = 2 4 [ ] unbesimmes Inegral ordne einer Funkion die Menge der Sammfunkionen zu f = F(x) + c0 z.b.: c0, c0 = cons. Definiion. (Sammfunkion) Sei I ein Inervall un f: I ine unkion : I heiß Sammfunkion von f, falls F differenzierbar auf I is und F'(x) = f(x) für alle x I gil. Haupsaz der Differenial- und Inegralrechnung (HDI) Der HDI beinhale zwei grundlegende Aussagen. Die erse Aussage beriff die Exisenz von Sammfunkionen und den Zusammenhang von Ableiung und Inegral. Sei f: [a, ] mi eine reell erige seige unkion auf em a geschlossenen Inervall [a, ], so is für alle [a, ] die Inegralfunkion : [a, ] mi f() ifferenzier ar un eine ammfunkion zu f, h, es gil für alle [a, ] Zu beachen is, dass die Funkion F aufgrund der Exisenz des Riemann-Inegrals für seige Funkionen an allen Sellen in [a, b] definier is. Der zweie Teil des Sazes erklär, wie Inegrale berechne werden können. ei f: [a, ] eine seige unkion mi er ammfunkion : [a, ], ann gil ie e on ei niz ormel: (a) Eigenschafen des Inegrals = c = c = - ( Minus beachen bei Verauschen der Grenzen )

3 3/8 = 0; = 0 Einfache Beispiele unbesimme Inegrale ( c = cons ) = cos c ; = sin x+c ; e = e x c ; e e c ; dx= ln x + c0; besimme Inegrale = [x³] = 4³ = 64 [FE] - = [ + x³ + 4x] - = 2³ - (- 2³) (-8) = 32 [FE] Inegraionsmehoden Poenzregel c ; c cons (n ; n ) Subsiuionsregel Siehe Keenregel! Beispiel 1 Berechnung des Inegrals sin für eine beliebige reele Zahl a > 0: Durch die Subsiuion erhäl man und:

4 4/8 sin sin() sin() [ cos()] ( cos( a) cos) ( cos( a)) Beispiel 2 Berechnung des Inegrals cos Durch die Subsiuion erhäl man bzw. und dami cos cos() (sin sin) Es wird also durch ersez und durch. Die unere Grenze des Inegrals Umgewandel und die obere Grenze wird dabei in in Beispiel 3 Berechnung des Inegrals Man subsiuiere () sin() arcsin. Daraus ergib sich cos() Mi sin () cos () erhäl man sin () cos() cos () Das Ergebnis kann mi parieller Inegraion oder mi der rigonomerischen Formel cos () cos und einer weieren Subsiuion berechne werden.

5 5/8 Spezialfälle der Subsiuion o Logarihmische Inegraion Inegrale mi der speziellen Form Zähler des Inegranden is Ableiung des Nenners können sehr einfach mi Hilfe der logarihmischen Inegraion gelös werden, was einen Spezialfall der Subsiuionsmehode darsell: f f ln f (f ) o Eulersche Subsiuion Nach einem Saz von Bernoulli lassen sich alle Inegrale des Typs a c und elemenar inegrieren. Beispiel: Durch die Subsiuion also,, und ergib sich: ln ln ( ) o Lineare Subsiuion Inegrale mi linearen Verkeungen können wie folg berechne werden: f(m n) m (m n) ( m ) Für das besimme Inegral gil ensprechend: f(m n) [ (m n)] ( m ) m Berechnung von Inegralen durch parielle Inegraion Zu Berechnung des Inegrals von Produken: u v uv = uv- u v dx (parielle Inegraion = Umkehrung der Produkregel aus der Differenialrechnung) Gu an en ar, enn ie ammfunkion zu u ekann o er leich zu esimmen is Herleiung: [u v] u v u v

6 6/8 Links kompensieren sich Ableiung und Inegral und es verbleib die Sammfunkion der Ableiung u v [u v] a - u v b Es gil die Fausregel: ln wird abgeleie e inegrier Beispiele: a) e u v dx 1) u ; v e 2) u ; v e Einsezen in: u v u v u v 1 0 [x e ] - ( e ) = -1e e e e e b) ln u v u ; u(x)= v ln ; v e Einsezen in die Formel: [ ln ] - = [ ] = = 10,3 c) e u ; u v e ; v(x)= e 1 e 1 Nebenrechnung: e u siuion: a a z u e u e Rücksu siuion: e e e e e = e e Nebenrechnung: e u u v e v e e e e e e e e

7 7/8 e e e e ( e e ) e e e c0 Bei der Inegraion sind ofmals Kombinaionen von mehreren Inegraionsmehoden nöig. Berechnung von Inegralen mi Hilfe der Keenregel Allgemein gil: f(g) f g f (g) g d(f(g(x))) = f(g) Beseh as Inegral aus ußerer mal innerer A leiung: f (g) g f(g) Bsp: Spezialfälle: A) f (g) = ln g c0 Bsp: dx = ln c0 B) f (g) g g g g c0 Berechnung von Inegralen mi Hilfe der Parialbruchzerlegung Anwendung: Zur Berechnung des Inegrals Form f(x)= bei gebrochen raionalen Funkionen der Idee: Umwandlung der Funkion in eine Summe von Teilbrüchen. Teilbrüche können über verschiedene andere Inegraionsmehoden gelös werden. Durchführung am Beispiel: 1. Schri: In eine Summe von Teilbrüche verwandeln - Besimmung der Nullsellen des Nennerpolynoms: x²+3x+ 1= -2; x2= -1 - Zuordnung eines Parialbruches: = und = f(x)=

8 8/8 - Besimmung der Variablen A und B: F(x) = A B Für x=-1: f(x) =3=A(-1+1)+B(- ) B B Für x=-2: f(x) = 3=A(-2+1)+B(-2+2)=-A A Schri: Berechnung des Inegrals -3 Subsiuieren: u= x+2; v=x+1-3 = -3ln u ln v c = -3ln +3ln + c =3ln + c Also: ln c Es gil die allgemeine Formel: a= ; b= ln c Skrip ersell von P. Lehmann und S. Gujahr

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