1.) Integralrechnung a) Ermitteln Sie das Marktgleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage:

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Guido Fürst
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1 Übungen: Mahemaik zur Klausurvorbereiung (erweier) Jürgen Meisel Mahemaik.) Inegralrechnung a) Ermieln Sie das Markgleichgewich zwischen Angebo und Nachfrage: pa x x = + ( ) = + und p ( x) x b) Ermieln Sie die Konsumenen- und Produzenenrene bei x =. N.) Ableiungen: Bilden Sie die jeweils erse (parielle) Ableiung der folgenden Funkionen: a) f ( x) = x ( x ) b) (, ) f x y = xy e x+ y f x, y = x y,,8 f c) ( x, y) = x y d) ( ).) Opimum ohne Nebenbedingungen und oales Differenial Eine Ackerfläche wird mi Gereide besell. Zuvor wird Kunsdünger der Sore S in x Mengeneinheien, der Sore S in y Mengeneinheien und der Sore S in z Mengeneinheien ausgesreu. Aus langjähriger Erfahrung weiß der Landwir, dass der Errag in Abhängigkei der Düngung durch folgende Funkion wiedergegeben wird: f ( x, y, z) = 9 + x + y x y z + xy + xz a) Wie muss der Landwir den Acker düngen, dami er einen maximalen Errag erziel? Wie hoch is der maximal erreichbare Errag? b) Wie änder sich der Errag, wenn der Landwir den Düngereinsaz von (x,y,z) = (,,) auf (x,y,z) = (9,,8) änder? (i) (ii) Toales Differenial Genaue Lösung miels Einsezen in die Funkion

2 .) Kurvendiskussion Unersuchen Sie die Funkion f(x) mi der Vorschrif nach folgenden Krierien: ( ) f x = x + x x mi > a) Definiionsbereich, Symmerie und Nullsellen b) Ermieln Sie die ersen drei Ableiungen der Funkion. c) Berechnen Sie das Grenzwerverhalen von ( ) d) Für welche vier Were von wurde die Funkion f ( ) f x für x ±. x hier abgebilde? e) Welche Fläche schließ die Funkion f ( ) x mi der x-achse ein? f) Ermieln Sie die Exrema und Wendepunke der Funkion f ( x )

3 5.) Opimum ohne und mi Nebenbedingungen a) Ermieln Sie die saionären Sellen der Funkion f ( x, y) = x + x y + y und unersuchen Sie diese Sellen auf ihre Exremwereigenschaf. q x, y = x y b) Gegeben sei die Produkionsfunkion ( ),,6 Eine Mengeneinhei von Fakor x kose, eine Mengeneinhei von Fakor y kose 6. Das Budge beräg insgesam 5. Wie viel kann im opimalen Fall produzier werden? 6.) Simplexalgorihmus Ein Gemüsebauer ha für den Anbau von Möhren und Gurken insgesam ha Land zur Verfügung. Davon sollen aber höchsens ha für Möhren und höchsens 5 ha für Gurken verwende werden. Die Pflege der Äcker binde bei Möhren Arbeisage und bei Gurken Arbeisage pro ha. Mehr als 6 Arbeisage können nich verbrauch werden. Der Gewinn pro ha is bei Möhren 5 % höher als bei Gurken, für Gurken erziel man einen Gewinn von,. a) Bilden Sie alle Nebenbedingungen und die Zielfunkion. b) Lösen Sie die Aufgabe graphisch. c) Lösen Sie die Aufgabe rechnerisch.

4 7.) Invesiionsrechnung Die haben zwei Projeke zur Auswahl und sollen eine Invesiionsenscheidung reffen. Beide Projeke verursachen eine Anfangsausgabe von je.,. Die Rückflüsse für Projek I in den folgenden vier Jahren würden bei. (Jahr ),. (Jahr ),. (Jahr ) und. (Jahr ) liegen. Projek II würde in den ersen beiden Jahren keine Rückflüsse erbringen, aber mi 6. (Jahr ) und 9. (Jahr ) absolu gesehen einen vermeinlich höheren Errag liefern. a) Beureilen Sie die Siuaion auf Basis eines Kalkulaionszinssazes von 6 % mi Hilfe der Kapialwermehode und reffen Sie eine Invesiionsenscheidung. b) Wie hoch müsse der Berag im Jahr des Projekes II sein, dami die beiden Kapialwere gleich hoch sind? c) Wie hoch wäre der inerne Zinsfuß/-saz für Projek I? (Anmerkung: eine Näherung per Newon-Ieraion genüg)

5 KR x dx KR x x x + = x + + x x = x = p A 9 ( ) = 9 + = 7 M ( 7) Konsumenenrene: Produzenenrene: K R = + 7 = + 9 = 6 f ' a) ( x) = x x + x 7 PR = x + dx PR = x + x P R x = 9 b) ( x y), ( x y) x+ y x+ y = y e + xy e x x + y, x+ y x+ y = xy e + xy e y x + y

6 c) (, ) (, ) x y f x y x = x y = x y = x y y (, ) y (, ) x y f x y x = = 5,8,,8, x x y y f ( x, y, z) = 9 + x + y x y z + xy + xz ( x, y, z) x ( x, y, z) y ( x y z) = x + y + z = = y + x = y = x +,, = z + x = z = x z ( x, y, z) eingesez in : x = y = 6 z = x H f ( x, y, z) =

7 H H = < = De = > H = De = ( ) < negaiv defini Max df ( x, y, z) = dx + dy + dz x y z ( 6 5, 5) df ( x, y, z) = ( x + y + z) dx + ( y + x) dy + z + x dz dx dy dz df df = 9 = ( ) = = = 8 = ( ) (,,) = ( 77) ( ) ( ) (,,) = 5 ( 9,,8 ) (,,) f = f f f = 7 5 f = 6

8 D = R ( ) ( ) f x = x x + x = x = x = ± ( ) ( ) ( x) f x x x ' = + f '' x = 6x + f ''' = 6 " ## f ( x) $% x lim f ( x) " ## ( ) x f x $% x lim f ( x) x "&' ()'*+*,*-. / (# f ( ) x ' ( ) = ( + ) f x dx x x x dx = x + x x = + = 7 ( ) & 7

9 f x, y = x + x y + y ( ) x( x + ) = I. ) ( x, y) = x + x = x = x II. ) ( x, y) = y + = y = y = y S ( ) S ( ) H f ( x, y) x + = y H f (,) = S is Saelpunk H f (, ) = S is Minimum = + L( x, y, λ ) y nach λ auflösen y = λ = λ = x x x L( x, y, λ ) x nach λ auflösen x = 6λ = λ = y y y L ( x, y, λ ) x, y,6 λ ( 5 x 6y),6,6,6,6,,,,,6, y x nach y auflösen y,6, gleichsezen = = x x y y einsezen in NB x = y = 5 q ( 5) = 5,,6

10 5 x + y x + y 6 x y 5 6$ 6x + y = Z max. Nichnegaiviäsbedingungen : x und y

11 " x y u u b I.) II.) 6 G : 6 Z II.) I.) II.) 5 G : 6 Z I.) II.) G 6 II.) I.) 5 II.) 5 G : Z 9 I.) I.) II.) 5 G : Z II.) I.) G I.) 9 I.) II.) G : Z

12 # 789 : (+;+<*, 7899 : (+;'==*>= 7899#$; x.7, =., + 5.7,7 +, , = x x,6 = 6.989,, 6 x = 8.8,8? $$ ('*'-,>( $$ (*'-,> $@(' - A,, A, + A- ' A- $B@(-, AC + A= ' A- A' $@ $B@ $@ D$B@ ';' ';,E+,';<> ';'-,>+< ' ';'-,>+< ;''=>+,<;'E,>,' ';'-,C, + ';'-,C, ;=,,=;<<=,,E ';'-,<=

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