Differentialgleichungen

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1 Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachsumsmodell reffen wir die folgenden Annahmen: Kapiel Differenialgleichungen () Erhöhung der Invesiionsrae I() erhöh das Einkommen Y(): dy d = s di (s = konsan) d () Verhälnis von Kapialsock K() zur Produkionskapaziä κ() sei konsan: κ() K() = ϱ (= konsan) (E) In Gleichgewichszusand gil: Y = κ Frage: Welche Invesiionsrae erhäl das Modell für all Zeien 0 im Gleichgewich. Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Ein einfaches Modell (Domar) Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Differenialgleichung erser Ordnung Wir suchen eine Funkion I(), die zu allen Zeien die Modellvoraussezungen und die Gleichgewichsbedingung erfüll. Y() = κ() für alle implizier, dass auch Y () = κ (). Wir erhalen daher s di d oder kurz () = dy d (E) = dκ d s di d = ϱ I() () = ϱ dk d = ϱ I() Eine gewöhnliche Differenialgleichung (DG) erser Ordnung is eine Gleichung in der die Unbekanne eine Funkion in einer Variable is und die die (erse) Ableiung dieser Funkion enhäl. y = a y y + a y = b y + a y = b y sind Differenialgleichungen erser Ordnung, die exponenielles, beschränkes, bzw. logisisches Wachsum beschreiben. Die Gleichung enhäl eine Funkion und deren Ableiung und muss für all gelen. Die Unbekanne dieser Gleichung is eine Funkion. Allgemein y = F(, y) Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 3 / ösung des Domar Modells Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Allgemeine ösung Durch Umformung der Differenialgleichung erhalen wir I() I () = ϱ s Diese Gleichung muss für alle gelen: ln(i) = Wir erhalen daher I di = I() I () d = ϱ s d = ϱ s + c Subsiuion: I = I() di = I () d Alle ösungen der DG I = ϱsi lassen sich darsellen als I() = C e ϱs (C > 0) Diese Darsellung heiß die allgemeine ösung der DG. Wir erhalen unendlich viele verschiedene ösungen! Wir können uns von der Güligkei der ösung durch Probe überzeugen: di d = ϱs C eϱs = ϱs I() I() = e ϱs e c = C e ϱs (C > 0) Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 5 / Anfangswerproblem Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 6 / ösung des Domar Modells In unserem Modell is die Invesiionsrae zum Zeipunk = 0 ( jez ) bekann. Wir erhalen somi zwei Gleichungen: { I () = ϱs I I(0) = I 0 Wir müssen daher eine Funkion I() finden, die sowohl die DG als auch den Anfangswer erfüll, i.e., wir müssen das sogenanne Anfangswerproblem lösen. Wir erhalen die spezielle ösung des Anfangswerproblems durch Einsezen in die allgemeine ösung. Die speziell ösung des Anfangswerproblems { I () = ϱs I I(0) = I 0 erhalen wir durch Einsezen in die allgemeine ösung: und daher I() = I 0 e ϱs I 0 = I(0) = C e ρs0 = C I I 0 Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 7 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 8 /

2 Eine graphische Inerpreaion Trennung der Variablen Die Gleichung y = F(, y) ordne jedem Punk (, y) den Ansieg der Tangene zu. Wir erhalen ein sogenannes Vekorfeld. y Differenialgleichungen der Form y = f () g(y) lassen sich formal durch Trennung der Variablen lösen: y 0 dy = f () g(y) dy = f () d d g(y) Inegraion auf beiden Seien ergib g(y) dy = f () d + c Wir erhalen dadurch eine ösung der DG in implizier Form. Die DG des Domar Modells haben wir mi dieser Mehode gelös. Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 9 / Trennung der Variablen Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 0 / Anfangswerproblem Wir suchen die ösung der DG Trennung der Variablen: Inegrieren ergib y + y = 0 dy d = y dy y = d dy y = d + c y = + c Wir suchen die ösung des Anfangswerproblems Spezielle ösung durch Einsezen: und daher y + y = 0, y(0) = = y(0) = 0 + c y() = + c = und wir erhalen die allgemeine ösung y() = + c Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / ineare DG erser Ordnung Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Homogene lineare DG Ein lineare Differenial Gleichung erser Ordnung ha die Gesal y () + a() y() = s() Wir suchen die allgemeine ösung der homogenen linearen DG y + 3 y = 0 homogene DG, falls s = 0. inhomogene DG, falls s = 0. Homogene lineare DG lassen sich durch Trennung der Variablen lösen. Trennung der Variablen dy d = 3 y y dy = 3 d ln y = 3 + c Die allgemeine ösung laue daher y() = C e 3 Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 3 / Inhomogene lineare DG erser Ordnung Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Inhomogene lineare DG Wir wollen hier nur den Fall berachen, in dem die Koeffizienen a und s der DG konsan und ungleich 0 sind. y () + a y() = s Wir erhalen dann die allgemeine ösung als Für das Anfangswerproblem erhalen wir die spezielle ösung y() = C e a + s a y () + a y() = s, y(0) = y 0 Wir suchen die ösung des Anfangswerproblems y 3y = 6, y(0) = Wir erhalen ȳ = s a = 6 3 = y() = (y 0 ȳ) e a + ȳ = ( ) e 3 + = e 3 + Die spezielle ösung laue daher y() = e 3 + y() = (y 0 ȳ) e a + ȳ mi ȳ = s a Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 5 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 6 /

3 Modell Markdynamik Modell Markdynamik Nachfrage- und Angebosfunkion seien linear: q d () = α β p() (α, β > 0) q s () = γ + δ p() (γ, δ > 0) Die Preisanpassung sei direk proporional zur Differenz (q d q s ): dp d = j (q d() q s ()) (j > 0) Wie enwickel sich der Preis p() in aufe der Zei? dp d = j (q d q s ) = j (α βp ( γ + δp)) = j (α + γ) j (β + δ)p und wir erhalen die inhomogene lineare DG erser Ordnung p () + j (β + δ) p() = j (α + γ) Die ösung des Anfangswerproblems laue mi p () + j (β + δ) p() = j (α + γ), p(0) = p 0 p is gerade der Preis im Markgleichgewich. p() = (p 0 p) e j(β+δ) + p p = s a j(α + γ) = j(β + δ) = α + γ β + δ p 0 p p 0 Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 7 / ogisische Differenialgleichung Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 8 / ogisische Differenialgleichung Eine logisische Differenialgleichung ha die Form y () k y() ( y()) = 0 wobei k > 0 und 0 y(). y 0: y () k y() 0 y() C e k y : y () + k y() k y() C e k Die exake ösung diese DG kann durch Trennung der Variablen gefunden werden. Wir erhalen: y() = + C e k Alle ösungen haben einen Wendepunk in y =. C e k C e k Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 9 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 0 / In einer Sad mi 800 Einwohnern is eine Grippeepidemie ausgebrochen. Als die Grippewelle erkann wird, sind bereis 00 Personen infizier. 0 Tage späer sind es bereis 000. Es wird erware, dass alle Einwohner infizier werden. Beschreiben Sie den Verlauf der Grippeepidemie. Wir verwenden eine logisische DG mi = 800. q() sei die Anzahl der Infizieren, wobei q(0) = 00 und q(0) = 000. Die allgemeine ösung der DG laue q() = C e 800k q(0) = = 00 C = 80 + C 800 q(0) = 000 = 000 k = 0, e k Die Ausbreiung der Epidemie kann beschrieben werden durch die Funkion 800 q() = + 80 e 0, Wir müssen k und C besimmen. Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Differenialgleichungen. Ordnung Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen / Homogene lineare DG. Ordnung Eine gewöhnliche Differenialgleichung zweier Ordnung is eine Gleichung in der die Unbekanne eine Funkion in einer Variable is und die die erse und zweie Ableiung dieser Funkion enhäl: y = F(, y, y ) Wir beschränken uns hier auf lineare Differenialgleichungen zweier Ordnung mi konsanen Koeffizienen: y () + a y () + a y() = s Wir erhalen allgemeine ösung der homogenen linearen DG mi dem Ansaz y () + a y () + a y() = 0 y() = C e λ wobei die Konsane λ die sogenanne charakerisische Gleichung erfüllen muss: λ + a λ + a = 0 Diese Bedingung folg unmielbar aus y () + a y () + a y() = λ C e λ + a λ C e λ + a C e λ = C e λ (λ + a λ + a ) = 0 Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 3 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen /

4 Charakerisische Gleichung Die charakerisische Gleichung ha die ösungen Es gib drei Fälle: λ + a λ + a = 0 λ, = a ± a a Fall: a a > 0 Die allgemeine ösung der homogenen DG laue y() = C e λ + C e λ, mi λ, = a ± a a.. 3. a a > 0: zwei reelle ösungen a a = 0: eine reelle ösung a a < 0: zwei komplexe (nich reelle) ösungen Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 5 / Wir suchen die allgemeine ösung von y y y = 0 Die charakerisische Gleichung λ λ = 0 ha die beiden reellen ösungen Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 6 / Fall: a a = 0 Die allgemeine ösung der homogenen DG laue y() = (C + C ) e λ, mi λ = a Von der Güligkei der ösung e λ kann man sich durch Nachrechnen überzeugen. λ = und λ = Die allgemeine ösung der homogenen DG laue daher y() = C e + C e Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 7 / Wir suchen die allgemeine ösung von y + y + y = 0 Die charakerisische Gleichung λ + λ + = 0 ha die einzige (reelle) ösung λ = Die allgemeine ösung der homogenen DG laue daher y() = (C + C ) e Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 8 / Fall: a a < 0 a a is in diesem Fall nich reell (sondern eine imaginäre Zahl). Aus den Rechenregeln für die komplexen Zahlen läss sich aber eine rein reelle ösung herleien: y() = e a [ C cos(b) + C sin(b) ] mi a = a und b = a a Es sei darauf hingewiesen, dass a gerade der Realeil der ösung der charakerisischen Gleichung is, und b der Imaginäreil. Wir können aber hier nich auf das Rechnen mi komplexen Zahlen eingehen. Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 9 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 30 / Inhomogene lineare DG. Ordnung Wir suchen die allgemeine ösung von Die charakerisische Gleichung y + y + y = 0 λ + λ + = 0 ha keine reellen ösungen, da a a = = 3 < 0 is. a = a = a und b = a 3 = = 3 Die allgemeine ösung der homogenen DG laue daher ( y() = e [C ) ( )] cos 3 + C sin 3 Die allgemeine ösung der inhomogenen linearen DG ha die Form (falls a = 0) y () + a y () + a y() = s y() = y h () + s a wobei y h () die allgemeine ösung der ensprechenden homogenen DG is: y h () + a y h () + a y h () = 0 Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 3 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 3 /

5 Wir suchen die allgemeine ösung der inhomogenen DG y () + y () y() = 0 Die charakerisische Gleichung der homogenen DG λ + λ = 0 ha die beiden reellen ösungen Anfangswerproblem Alle allgemeinen ösungen enhalen zwei unabhängige Koeffizienen C und C. Für das Anfangswerproblem müssen wir daher zwei Were vorgeben: y () + a y () + a y() = s y( 0 ) = y 0 y ( 0 ) = y 0 λ = und λ = Die allgemeine ösung der inhomogenen DG laue daher y() = C e λ + C e λ + s = C e + C e + 0 a Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 33 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 3 / Fixpunk einer Differenialgleichung Wir suchen die spezielle ösung des Anfangswerproblems y () + y () y() = 0, y(0) =, y (0) = Die allgemeine ösung der DG laue y() = C e + C e + 5 y () = C e C e Durch Einsezen der Anfangswere erhalen wir die Gleichungen Die inhomogene lineare DG y () + a y () + a y() = s besiz die spezielle konsane ösung y() = ȳ = s a (= konsan) Der Punk ȳ heiß Fixpunk oder saionärer Zusand der DG. = y(0) = C + C e = y (0) = C C mi der ösung C = und C = 3. Die spezielle ösung laue daher y() = e + 3e + 5 Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 35 / Sabile und insabile Fixpunke Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 36 / Asympoisch sabiler Fixpunk Der Wer von a besimm das qualiaive Verhalen der ösung y() = e a [ C cos(b) + C sin(b) ] + ȳ Falls a < 0, dann konvergier jede ösung y() = e a [ C cos(b) + C sin(b) ] + ȳ gegen ȳ. Der Fixpunk ȳ heiß asympoisch sabil. a < 0 a = 0 a > 0 sabiler Fixpunk insabiler Fixpunk Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 37 / Asympoisch sabiler Fixpunk Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 38 / Falls a > 0, dann wird jede ösung y() = e a [ C cos(b) + C sin(b) ] + ȳ mi Anfangswer y(0) = y 0 = ȳ divergieren. Der Fixpunk ȳ heiß insabil. Die allgemeine ösung von laue (vgl. oben) y() = + e [C cos y + y + y = ( ) ( )] 3 + C sin 3 Der Fixpunk ȳ = is asympoisch sabil, da a = < 0. Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 39 / Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen 0 /

6 Zusammenfassung Differenialgleichung. Ordnung Vekorfeld Trennung der Variablen Homogene und inhomogene lineare DG. Ordnung ogisische DG Homogene und inhomogene lineare DG. Ordnung Sabile und insabile Fixpunke Josef eydold Mahemaik für VW WS 07/8 Differenialgleichungen /