2. Grundlagen Schwingungslehre

Transkript

1 Zusammenfassung Harmonische Anregung (5)

2 Zusammenfassung Harmonische Anregung (6)

3 .4 Akive Schwingungsisolaion (1) a) Schuz der Umgebung von Maschinen, die Schwingungen erzeugen (akiv) b) Schuz eines Geräes, das empfindlich auf Schwingungen reagier (passiv) x( ) p 0 Akive Isolierung x( ) p k 0 Ve i( ) p k Versärkungsfakor für p 0 sin(ω) 0 e i 1 (1 ) id (D ) (.44)

4 Mi.3 "Konsane" Anregung, gedämpfer Einmassenschwinger () n und D c mn x () Erweiern mi i pe o k 1 id (1 id ) (.31) x() p k 0 i 1 id e 1 D (.3)

5 .4 Akive Schwingungsisolaion () Kräfe auf Unerlage überragen i 1. (Federkraf) R kx() p Ve F ip c RD cx() Ve k. 0 i (Dämpferkraf) R max = R m = maximale Reakionskraf 0 Phasenverschoben c Rm RF RD p0v 1 p0v 1 D k (.45) kons. Anregung Für quadraische Anregung laue.45 Rm me V 1 D (.46)

6 .4 Akive Schwingungsisolaion (3) Krafüberragungsfunkion: Rm Rm VR V 1 D p me 0 (.47) Dämpfung ha nur einen posiiven Effek, solange die Erregerfrequenz kleiner als mal die Eigenfrequenz is! Bild.10. Krafüberragungsfunkion für verschiedene Dämpfungsverhälnisse D

7 .4 Akive Schwingungsisolaion (4) Beache Einfluss von D!

8 .4 Akive Schwingungsisolaion (1) a) Schuz der Umgebung von Maschinen, die Schwingungen erzeugen (akiv) b) Schuz eines Geräes, das empfindlich auf Schwingungen reagier (passiv) x( ) p 0

9 .4 Passive Schwingungsisolaion Boden schwing m x c( x x ) k( x x ) 0 (.48) i mi xb xb0e i und xb i xb 0 e (.49) Ampliude: b mx cx kx x ( k ic ) e i bo b (.50) vergl..7 x ( k ic ) k b0 A V xb0 1 id V A V 1 D x bo (.51) (.5) So erhäl man dieselbe Überragungsfunkion wie in.47

10 .5 Sossarige Belasung, Recheckförmiger Soss (1) (ungedämpfer Fall da Soss sehr kurz, D spiel unergeordnee Rolle) Phase I Phase II Belasungsphase Ausschwingphase

11 .5 Sossarige Belasung, Recheckförmiger Soss () Phase I Belasungsphase saische Einsenkung x() xhomogen x p0 parikulär x x k Ansaz: (.53) p s Anfangsbedingungen: 0 x( ) B sin B cos 1 n x n p k x( 0) x( 0) 0 p k 0 ( ) 1 cos n (.54) für 0 < < d (.55)

12 .3 "Konsane" Anregung, ungedämpfer Einmassenschwinger (1) allgemeine Lösung = homogene + parikuläre Lösung Ansaz: mx kx p0 sin( ) x x x () h p x B sin( ) B cos( ) h 1 n n (.0) (.1) x C sin( ) p C in Gleichung.0 einsezen : (.) p0 p0 1 k m k 1 n (.3) Definiion Frequenzverhälnis (.4)

13 .5 Sossarige Belasung, Recheckförmiger Soss (3) Phase II Ausschwingphase d x( ) B sin B cos 1 n nur noch freie Schwingung x x x 0 ( ) sin n 0 cos n n n (.56) (.57)

14 .5 Sossarige Belasung, Soss Anworspekren (1) Verwendung von Diagrammen zur Besimmung von x max

15 .5 Sossarige Belasung, Soss Anworspekren () Verwendung von Diagrammen zur Besimmung von max

16 .6 Allgemeine Belasung (1) Ungedämpfes Sysem dx x 0 ( ) sin n n (.58) aus Lösung von.57 mi x 0 =0 Geschwindigkei am Ende des Impulses mi Hilfe. Newon`schen Gesez dx m d p (.59) Bild.13. Zerlegung der allgemeinen Belasung in einzelne Impulse wie bei Recheckimpuls (.5) und superponieren der einzelnen Schrie dx 1 m pd (.60)

17 .6 Allgemeine Belasung () Anfangsbedingung für freie Schwingung p d dx( ) sinn m n Gesame Lösung = Summaion (.61) Bewegungsgleichung für das ungedämpfe Sysem: 1 x( ) p sinn d m n 0 Duhamel-Inegral (.6) Bewegungsgleichung für das gedämpfe Sysem 1 D n ( ) x( ) p( ) e sin( D( )) d m D 0 (.63)

18 .6 Anworspekrum (1) Hilfsmiel für Ermilung der Anwor eines Sysems auf eine Anregung am gebräuchlichsen: - Soss-Anworspekrum - Erdbebenanworspekrum Modellvorsellung n Anwor x n,max p() x n,max ω 1 ω ω 3 ω 4 ω n ω ω 1 ω ω n f T x n,max : - Beschleunigung - Geschwindigkei - Verformungen

19 .6 Anworspekrum Andere Darsellung Beschleunigung Geschwindigkei Verschiebung a v x für sinusförmige Anregung: a a/ω a/ω v x a Ampliudenänderungen

20 .6 Anworspekrum Andere Darsellung Kombiniere doppellogarihmische Darsellung Dazio, 006

21 .6 Anworspekrum () Bei Erdbeben x max : Beschleunigung a Anworspekrum (Response specra) Geschwindigkei: v = a/ω Weg x = a/ω pseudo D Anworspekrum = Fingerabdruck eines Erdbebens

22 .6 Typische Anworspekren (3) Nord - Süd Friaul Erdbeben, recorded a Tolmezzo

23 .6 Typische Anworspekren (4) Verikal Friaul Erdbeben, recorded a Tolmezzo

24 .6 Typische Anworspekren (5) Os - Wes Friaul Erdbeben, recorded a Tolmezzo

25 .6 Anworspekum (6) Zum Design und Enwurf werden elasische Bemessungsanworspekren verwende Aus Anworspekren abgeleie Fracile = x % Umhüllende (unrealisisch konservaiv) z.b. 84 % - Frakile (m+s) z.b. 50 % - Frakile (m) m = mediane Were

26 .7 Nichlineare Syseme (1) Bewegungsgleichung is nur numerisch lösbar Vorgehen: - Bewegung im Zeiinervall berachen Innerhalb Zeiinervall lineare Verhälnisse ansezen - Neue Seifigkei besimmen die akuellem Verschiebezusand ensprich. Bewegungsgleichung: = : f I ( ) f ( ) f ( ) p( ) muss immer erfüll sein = + Δ: f I D F ( ) f ( ) f ( ) p( ) D F (.66) (.67)

27 .7 Nichlineare Syseme (1)

28 .7 Nichlineare Syseme () Subrakion (.67) (.66) ergib: f ( ) f ( ) f ( ) p( ) I D k m x() c( ) x( ) k( ) x( ) p( ) (.68) (.69) milere Were während Δ. Um Ieraionen zu vermeiden, werden in Praxis die Were am Anfang des Zeiinervalls verwende numerische Auswerung: verschiedene Verfahren

29 .7 Nichlineare Syseme (3) Beispiel: Mehode lineare Beschleunigung (Newmark, β = 1/6) Annahme : a = linear v = quadraisch x = kubisch am Ende Zeiinervall + Δ

30 .7 Nichlineare Syseme (4) Am Ende Zeiinervall ergeben sich folgende Geschwindigkeis- und Verschiebungsinkremene: x () 1 x( ) x( ) ( ) x( ) ( ) 1 1 x( ) x ( ) x( ) x ( ) 6 (.70) (.71) Für Auswerung von (.69) benöig man inkremenelle Geschwindigkei und Beschleunigung als Funkion der inkremenellen Verschiebung. (.71) nach auflösen und in (.70) einsezen; 6 1 x( ) x( ) x( ) x( ) 3 1 x( ) x( ) x( ) x( ) 6 (.7) (.73) x()

31 (.7,.73) in (.69) einsezen: (.74).7 Nichlineare Syseme (5) p x k x x x c x x x m ) ( ) ( 6 1 ) ( ) ( ( 3 ) ) ( 1 ) ( ) ( ( 6

32 .7 Nichlineare Syseme (6) Alle Summanden mi bekannen Anfangsbedingungen auf die reche Seie: Form einer Las-Deformaion Beziehung (p = k x) k x( ) p( ) (.75) 6m 1 1 p( ) x x 3 c x x( ) 6 6m 3c k () (.77) (.76) (.75) ha die Form einer saischen Las-Deformaions-Beziehung. Der dynamische Effek is dadurch berücksichig, dass Trägheis- und Dämpfungskräfe im Las- und Seifigkeiserm ~ enhalen sind Δ ~ p und k

33 .7 Nichlineare Syseme (7) Verschiebungsdekremen x() ergib sich aus (.75); dieser Wer in (.73) eingesez liefer x(). Durch Addiion von x() zur Verschiebung bzw. zur Geschwindigkei am Anfang des Zeischris erhalen wir die Anfangsbedingungen für den nächsen Zeischri. Anfangsbedingung für Beschleunigung berechne sich aus 1 (.78) x() p fd ff m x()

34 .7 Nichlineare Syseme (8); Berechnungsschema 1. gegeben: Anfang. berechne: (.78) 3. berechne: (.76/.77) k, p 4. berechne: 5. berechne: 6. berechne: x( ), x( ) 1 x() p fd ff m p x k x( ) x( ) x( ) 7. berechne: 1 x p fd ff 8. Zurück zu Punk 3. m x( ) x( ) x x + Δ Explizies Verfahren: prakisch Δ < 1/10 T genügend (T: Schwingdauer)