Elektrodynamik II - Wechselstromkreise

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1 Physik A VL36 ( Elekrodynamik II - Wechselspannung und Wechselsrom Wechselspnnung durch Indukion Drehsrom Schalungen mi Wechselsrom Kirchhoff sche h egeln Maschenregel bei Indukiviäen und Kapaziäen Komplexe Darsellung von Wechselsromgrößen Der elekrische Schwingkreis 1

2 Wechselspannung Umkehrung des Elekromoors: mechanische Flächenänderung im Magnefeld es wird Indukionsspannung und somi Srom erzeug: Sromgeneraor periodische Flächenänderung Wechselspannung wird induzier r r Φ B A U B ind B A cosα Φ cos( ω dφ B A Fluss A cosα Φ Φ α ω cos( ω U ind U sin( ω Dynamoprinzip: Werner von Siemens

3 Wechselspannung und Wechselsrom Wechselspannung erzeug über Ohm sches Gesez auch Wechselsrom U ind U sin( ω I I sin( ω I ind allgemeine Formulierung von Spannung, Srom und Leisung U ( U cos( ω + ϕ I ( I cos( ω + φ I P( U ( I( U cos( ω I cos( ω ϕ, φ: Phasenwinkel/-Verschiebungen cos ( ω ϕ und φ sind Phasen bezüglich einer beliebigen eferenz Srom und Spannung müssen nich gleichzeiig ihr Maximum haben Beispiel: Ohm scher Widersand die Phasen zwischen Srom und Spannung sind wegen U ( I( gleich. Ohm sches Gesez In diesem Fall kann ϕ φ gesez werden. bei Wechselsrom U U 3

4 Wechselspannung und Wechselsrom Vergleich Gleichsrom / Wechselsrom Lampen sollen im zeilichen Miel gleich hell leuchen Leisung bei Gleichspannung und bei Wechselspannung P U P ( U cos ( ω P 1 U U U eff U eff Gleichspannung Wechselspannung P U I P ( U ( I ( U eff I eff Sromnez liefer effekive Spannung von U eff 3 V Spizenspannung U U eff 3 V 35 V 4

5 Wechselspannung und Wechselsrom Drehsrom Dreiphasenwechselsrom Generierung eines Dreiphasenwechselsroms: 3 Spulen um einen roierenden Sabmagneen die drei Spannungen werden mi vier Adern (drei Phasen und ein Nullleier überragen. Spannung zwischen einer Phase und Nullleier: 3 V (früher: V im Miel Spannung zwischen zwei Phasen: 3V 3 4V (früher: 38 V im Miel Wechselspannung mi drei Phasen höhere Spannungen für särkere Lasen 5

6 Frage: Ändern sich egeln für Schalungen mi Wechselsrom? Wechselsrom gib im Miel einen Wer für Srom dieselben Geseze gelen egel 1: Knoenregel In jedem Knoen verschwinde die Summe aller N Sröme (1. Kirchhoff sche egel egel : Maschenregel In jeder geschlossenen Masche verschwinde die Summe aller Spannungen (. Kirchhoff sche egel N i 1 I i N i 1 U i Zunächs: Güligkei nur für Ohm sche Widersände im Schalkreis! 6

7 in einem Wechselsromkreis können auch Spulen und Kondensaoren eingebau sein: außer Widersänden noch Indukiviäen L und Kapaziäen C Maschenregel bei Indukiviäen und Kapaziäen wenn Indukionsspannungen und kapaziive Spannungen mi berücksichig werden, gil die Maschenregel weierhin!! U ind L di Indukionsspannung ( VL33 U C Q C kapaziive Spannung ( u.a. VL34 7

8 Kondensaoren Kapaziäen C der Zusammenhang zwischen Spannung und Srom beim Kondensaor is dq I( C du ( Q CU mi der Wechselspannung U ( U cos( ω U( I( C folg für den Wechselsrom: π I ( ω CU sin( ω ω CU cos( ω + 1 ( C C ω ( I U / Am Kondensaor läuf der Srom der Spannung um π/ 9 voraus 8

9 Kondensaoren Kapaziäen C Am Kondensaor läuf der Srom der Spannung um π/ 9 voraus, da sich zunächs Ladungen auf den Plaen ansammeln müssen U(, I( U( I( T T/ U ( U cos( ω I π I cos( ω + ( am Kondensaor wird im Miel keine elekrische Leisung aufgenommen! zeiabhängige Leisung: Scheinleisung oder Blindleisung 9

10 Spulen Indukiviäen L der Zusammenhang zwischen Spannung und Srom bei der Spule is U ( + Uind ( (Maschenregel I( U ( L di( U( L Inegraion ergib den Wechselsrom: U U π I ( sin( ω cos(ω ω L ω L L ω L L ( I U / An einer Spule läuf der Srom der Spannung um π/ 9 nach 1

11 Spulen Indukiviäen L bei der Spule läuf der Srom der Spannung nach, da die Indukionsspannung ihrer Ursache engegenwirk U(, I( U( I( I π I cos( ω + ( T U ( U cos( ω Kondensaor T/ Phasenverschiebung um π/ zwischen Srom und Spannung eine ideale Spule zeig keine milere Leisung: Blindleisung 11

12 Komplexe Darsellung der Wechselsromgrößen nur der Ohm sche Widersand ha eine Wirkleisung Kondensaor und Spule haben eine Blindleisung Darsellung in der komplexen Zahlenebene: Wechselsromwidersand (Impedanz i Im(Z Z Z e ϕ Z indukive Achse Blindwid dersand ϕ Z e(z Ohm sche Achse: Wirkwidersand 1

13 Komplexe Darsellung der Wechselsromgrößen Ohm scher Widersand: reelle Impedanz Z ϕ Z Impedanz am Kondensaor is rein imaginär: Kapaziä Z C 1 1 π Z C ϕ iωc ωc Impedanz an der Spule is rein imaginär: Indukiviä Z L iω L Z ω L Z L π ϕ + Die Widersände von Kondensaor und Spule sind frequenzabhängig! 13

14 Komplexe Darsellung der Wechselsromgrößen Impedanzen und Phasenverschiebung zwischen Spannung und Srom eines Ohm schen Widersandes (, einer Indukiviä (L und einer Kapaziä (C Z ϕ Z C 1 ωcc Z ωl L π + ϕ L Z ϕ ω π ω ϕc 14

15 Der elekrische Schwingkreis eihenschalung aus Spule, Kondensaor und Ohm schem Widersand: Schwingkreis Die Maschenregel und Einsezen der jeweiligen Spannungen ergib nach Differeniaion eine Differenialgleichung für das Verhalen der Spannung und durch Einsezen der Widersände des Sroms in der Zei U UC + U L + U U Q di U L L U I Alle Gleichungen nach ableien und einsezen: C C I ( C + L d I ( + di ( I ( LC + d I ( + L di ( Differenialgleichung in I L 1 γ ω LC 15

16 Der elekrische Schwingkreis Diskussion der Differenialgleichung g ( LC d I( I + + mi γ und ω d I L di( ( L di( + γ + ω I( Differenialgleichung eines gedämpfen harmonischen Oszillaors 1 LC x( ( - Widersand ensprich eibung (Dämpfung γ - Masse m ensprich der Indukiviä L - Federkonsane D ensprich Kapaziä C mx&& 1 - Die Eigenfrequenz ω des Schwingkreises is: ω LC D γ x& - Das Verhälnis von eibung γ zu Eigenfrequenz ω besimm die Ar der Schwingung - Schwingfall für ω > γ LC > C 16

17 Der elekrische Schwingkreis Schwingungsfälle g in Abhängigkei gg der Dämpfung ungedämpfe Schwingung Schwingfall aperiodischer Grenzfall Ki Kriechfall hfll 17

18 Der elekrische Schwingkreis Analogie des Schwingkreises zum mechanischen Pendel: Energievereilung g aus Haren: Physik 18

19 Drah als elekrischer Schwingkreis Ein einfacher Drah ha einen Widersand, eine Kapaziä, und eine Indukiviä Ein Drah is ein Schwingkreis! Oszillaion der Absrahlung zwischen magneischer und elekrischer Energie Absrahlungscharakerisik h ik des Herz schen Dipolsl Energiediche 1 1 w ε E + μ B 19

20 Schalungen mi Wechselsrom Drah als elekrischer Schwingkreis Srahlungsrichung des Dipols: Der Dipol srahl in ichung des Vekors S: Poyning-Vekor der Berag von S gib die Srahlungsleisung an, die durch die Fläche da ri die ichung is die des Energieflusses Poyning-Vekor r S r r r S E B 1 μ r c 1 B ε ce μ EB μ r ichungsabhängigkei Dipol: p( des Poyning-Vekors: maximale Absrahlung erfolg senkrech zur Dipolachse John Henry Poyning ( da r S r

21 Zusammenfassung Wechselspannung und srom ensehen durch Indukion bei bewegen Flächen im Magnefeld sinusförmige Änderung der Indukionsspannung Verhalen von Lasen im Wechselsromkreis: ( ω ϕ ( ω φ U ( Ucos + I ( I cos + Widersand : Srom und Spannung phasengleich, reeller Leisungsverbrauch Indukiviä: Srom läuf Spannung um π/ nach: Blindwidersand Kapaziä: Srom läuf Spannung um π / vor: Blindwidersand Die Kombinaion von, L, C ergib einen Schwingkreis: Srom schwing analog zur Auslenkung im Federpendel: harmonischer Oszillaor Dämpfung Widersand, Masse Indukiviä, Federkraf Kapaziä erzwungene Schwingung: esonanz bei,l,c, Hoch- und Tiefpass bei C und L-Kombinaionen Ein Drah besiz ebenfalls Widersand, Kapaziä und Indukiviä is ein Schwingkreis - Oszillaion der Absrahlung zwischen magneischer und elekrischer Energie Absrahlungscharakerisik h ik des Herz schen Dipols Poyning-Vekor Vk 1