Grundlagen der Elektrotechnik 3

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1 Grundlagen der Elekroechnik 3 Kapiel 3. Schalvorgänge - Die aplace Transformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

2 3.. Einführung Nuzung einer komplexen Kreisfrequenz p für Zeisignale. Es gil: p Dami sind neben zeilich konsanen auch exponenielle Hüllkurven für sinusförmige Zeifunkionen darsellbar: j Beispiel zu RC-Schwingkreis: p u Re u e ˆ p u Re u e 2 ˆ 2 p Re ˆie i Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 2 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

3 3.. Einführung Eine Nezwerkanalyse zeig hier im Zeibereich, daß gil: di u i R izdz d C di u i R izdz izdz u izdz d C C C 2 ösung kann erfolgen über : - ösung der Inegro-Differenialgleichungen - die aplace-transformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

4 3..2 Definiion der aplace- Transformaion für Gegeben sei: f() g() () g () für f() soll folgende Eigenschafen aufweisen : ) f() ha endliche Sprünge im Inervall ) f() d is beschränk 3 ) Für soll gelen: lim f( ) e Wenn diese Bedingungen erfüll werden exisier die aplace-transformiere der Funkion f() p f () g() G( p) g() e d is hier beliebige posiive Zahl Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 4 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

5 3..2 Definiion der aplace- Transformaion Die Zuordnung von Zei und Bildfunkion Korrespondenz wird u.a. durch die Symbolik nach DOETSCH beschrieben: g() G( p ) Gp ( ) g() Verwandschaf mi Fourier-Transformaion is gegeben für: - kausale Zeifunkionen und zugleich - Zeifunkionen nach Muliplikaion mi der Funkion Dies führ im Inegrand der Fourier-Transf. zu einem Term Grundlegende Beziehungen zur aplace-transformaion: -p s s e d S p j p 2j j S p lim S p e dp s e j p s() e e s()e Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 5 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

6 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion Direke Mehode: Die Originalfunkion kann ensprechend der Beziehung j p g () lim ( ) 2 Gpe dp j j für > auf direken Wege besimm werden. Die Benuzung dieser Formel erforder allerdings einige Kennnisse der Funkionen-Theorie. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 6 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

7 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion Nuzung von Transformaions-Tabellen: Beispiel: In einem Nezwerk gele für die Bildfunkion des Sromes: U i () mi R p( p) R Gesuch is die Originalfunkion des Sromes i(). ösung: Aus einer Transformaions-Tabelle erhäl man: Mi a e a p( ap) U () e R gil dann für die Originalfunkion: i Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 7 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

8 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion Die Mehode der Parialbruchzerlegung : Es wird angenommen daß sich die Bildfunkion G( p) raionalen Funkion darsellen läß : in einer gebrochenen ( ) G( p) Z p N( p) Ordnung des Zählerpolynoms Z ( p ) < Ordnung des Nennerpolynoms N( p) Die einzelnen Parialbrüche haben dabei die Form: A ( p p ) k k, 2, 3,... Wird nun zu jedem Parialbruch die jeweilige Originalfunkion besimm, so ergib sich als Summe dieser die Originalfunkion g(). Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 8 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

9 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion Der Heavisidesche Enwicklungssaz: Voraussezungen : So gil: G( p) sei eine gebrochene raionale Funkion, Der Nennergrad sei höher als der Zählergrad, Das Nennerpolynom besiz nur n einfache Nullsellen ( k = ) G( p) Z( p) A N( p) p p n ( p p ) Z( p) A A A An N p p p p p p p p p 2 ( p p) G( p) ( p p) ( ) 2 ( p p ) Z( p) ( p p) G( p) A für Grenzübergang mi p p v N( p) n Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 9 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

10 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion Zur weieren Besimmung muß nun die Hospialsche Regel angewende werden, falls nich inearfakorform vorlieg, weil sich dann der Term (p-p ν ) einfach kürzen läss. Ansonsen is also anzusezen: A Es gil also : A lim d dp ' ( ) ( ) ( ) ' ( p p ) Z( p) Z p p p Z p lim d ( ) N( p) N p dp Wegen der Korrespondenz pp p p Z( p) p p lim ' N ( p ) pv e p p berechne sich die Originalfunkion zu v g () Ae v n p Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

11 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion Der modifiziere Heavisidesche Enwicklungssaz: Es mögen weierhin die oben gemachen Voraussezungen gelen. Zusäzlich möge das Nennerpolynom eine Nullselle im Ursprung besizen. Somi gil: ( ) G( p) Z p pn ( p) mi p Für die Originalfunkion ergib sich dann : n Z() Z( pv ) pv g (). e ' N() 2 pvn( pv) Beispiel: In einem Nezwerk sei die Bildfunkion eines Zweigsromes: U p iz (). p p ²( k ²) 2 p ² Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

12 3..3 Mehoden zur Besimmung der Originalfunkion aus der Bildfunkion ösung zu: iz () Z( p) p p ' N ( p) p²( k²) 2 ; N( p) 2 p( k²) ² p 2 und p 3 seien hier die Nenner-Nullsellen. Dami gil : p2 p U 3 p 2 iz () e e 2 2 p2 p2( k²) 2 p3 p3( k²) p 3 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 2 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

13 Grundlagen der Elekroechnik 3 Kapiel 3.2 Schalvorgänge - Berechnungsmehoden für Schalvorgänge Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

14 3.2. Anwendung der aplace- Transformaion di u i R izdz d C di u i R izdz izdz u izdz d C C C 2 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 4 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme I p u2 U piprpipi C p p u2 IpRpIp Ipi pc p

15 3.2. Anwendung der aplace- Transformaion Auflösen nach den Transformieren für Srom und Spannung ergib dann für den quellenlosen Fall: U p I(p) (Rp pc) I p i p U Rp pc U p Zum Vergleich: Rp pc NW-Analyse häe ergeben: ˆ uˆ i( R j ) jc Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 5 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

16 3.2. Anwendung der aplace- Transformaion Vorgehen für allgemeine ösung im Nezwerk:. NW-Analyse im Zeibereich Syseme von Inegro-Differenialgleichungen (häufig höherer Ordnung) 2. aplace-transformaion der Inegro-Differenialgleichungs-Syseme nach Vorgabe der Anfangswere bei = und Besimmung der aplace- Transformieren der gegebenen Größen 3. Auflösung nach aplace-transformieren der gesuchen Größen miels Algebra- Umformung 4. Rückransformaion zu den gesuchen Größen. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 6 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

17 Grundlagen der Elekroechnik 3 Kapiel 3.3 Berechnung der Einschalvorgänge mi Hilfe von Differenialgleichungen und der aplace-transformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 7 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

18 3.3. Einführung Wiederholung zu Nezwerkelemenen bezüglich Srom, Spannung, Energie W bzw. Augenblicksleisung p() : ) Ohmscher Widersand : i u () Ri () R () R R u () R W p() d u()() i d Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 8 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

19 3.3. Einführung 2 ) Indukiviä : i () u () 3 ) Kapaziä : i () C C u () C di () u() oder d i() u( ) d di W magn p( ) d i( ) d idi i ( )² d 2 i () uc() ic( ) d C () du () C ic C d u () C Wel p( ) d C udu CuC ( )² 2 o Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 9 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

20 3.3. Einführung Im Nezwerk sind nur endliche Spannungen und Sröme möglich. Also: Keine sprunghafe Änderung der Energie der Nezwerkelemene i () i kann sich nich sprunghaf ändern ( i is seig ) i( ) i( ) i ( ) ( ) für i C u () C u C kann sich nich sprunghaf ändern ( is seig ) uc( ) uc( ) u ( ) ( ) für C uc u C Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 2 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

21 3.3.2 Die Mehode der Differenialgleichungen - Kirchhoff sche Gleichungen führen zu Differenialgleichungen - Diese Gleichungen haben konsane Koeffizienen - Deren ösungen liefern die gesuchen Nezwerkgrößen -. Schri: ösung des Sysem der homogenen Differenialgleichungen (represenieren die Eigenschwingungen des Nezwerks) - 2. Schri: Hinzufügen jeweils einer parikulärer ösung. Dadurch wird allgemeine ösung des Sysems der inhomogenen Differenialgleichungen erhalen: i () i() i() u () u() u () h p Bei Nezwerk mi Gleichsrom oder konsaner sinusförmiger Erregung, beschreiben parikuläre ösungen des inhomogenen Sysems die eingeschwungenen Zusände im Zeipunk ->. h p Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 2 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

22 3.3.2 Die Mehode der Differenialgleichungen Beispiel : Anschalung einer Gleichspannung an eine R - Schalung. U = = R M i() Zum Zeipunk = soll das Nezwerk an eine Quelle geleg werden. Zu berechnen is der Srom i() mi der Anfangsbedingung: i ( ) ösung : Für ³ gil : di() Ri() U d Die Differenialgleichung is eine gewöhnliche, lineare Differenialgleichung erser Ordnung mi konsanen Koeffizienen, welche inhomogen is. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 22 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

23 3.3.2 Die Mehode der Differenialgleichungen A) ösung der homogenen Differenialgleichung: di() di() Ri() d d R i () Ansaz : dih () K ih () Ke e d K R R e Ke ( ) Ke mi R τ wird als Zeikonsane des Einschalvorganges bezeichne K is hier noch nich besimmbar. Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 23 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

24 3.3.2 Die Mehode der Differenialgleichungen Die Zeikonsane is der Kehrwer des Koeffizienen von i() der homogenen Differenialgleichung erser Ordnung: di() i () ih () d Ke B) Parikuläre ösung der inhomogenen Differenialgleichung: Nach unendlich langer Zei ( ) wird die Spule magneisch aufgeladen sein. Dann verschwinde die Spannung, d.h der Srom i() nimm den Wer an: () U ip f() für R di () Dies ensprich dem Fall:, dh..: u d Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 24 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme R

25 3.3.2 Die Mehode der Differenialgleichungen C) ösung der gesamen Einschalaufgabe: R U i () ih() ip() Ke R Anfangsbedingung: Der Spulensrom kann sich nich sprunghaf ändern R. U Ke R K U R i ( ) i ( ) R Der Srom i() ergib sich dami zu: U i () ( e ) für > R Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 25 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

26 3.3.2 Die Mehode der Differenialgleichungen Bemerkungen über die Exponenialfunkion: f () e 5 f ( ) e und e i () U / R Nach 3 bis 5 is der Einschalvorgang prakisch beende 2 3 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 26 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

27 3.3.3 Übersich Klassische Mehode Zei ber eich Differenial gleichung in i() oder u() ösung der homogenen Differenialgleichung Parikuläre ösung Anfangsbedingungen zur Besimmung des Inegraionskonsane ösung für i() oder u() aplace Transformaion Inverse aplace Transformaion Mehode der aplace ransformaion Bild bere ich Transformiere, raionale, Auflösung nach z.b:parial Algebraische Gleichung i() oder u() bruchzerlegung für i() oder u() Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 27 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

28 Kapiel Die Mehode der aplace- Transformaion Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 28 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

29 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Beispiel: U = R = Anfangsbedingung: i ( ) i() di() U ( ) i mi d R di() U d U pi() i () i() p i () i () () U p p U p( p ) i () Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 29 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

30 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Die Rückransformaion kann z.b uner Zuhilfenahme des modifizieren Heaviside schen Sazes erfolgen: 2 ( ) () Z( p ) - Z p Z p I ( p) i( ) e ' mi p pn( p) N() 2 pvn ( p ) Dami gil: U ' Z( p), N( p) p, p2, N( p) sowie für den Srom i(): U U i () e e mi R U R () ( e ) i für > Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

31 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Zur Rückransformaion häe auch der Falungssaz herangezogen werden können: G ( p) G ( p) g ( ) g ( ) für und e p p U - - Dami folg: i () p ( p ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 3 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme x x e U U U e dx ( ) e U ( e ) R g () g () g ( x) g ( x) dx g ( x) g ( x) dx 2 2 2

32 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Beispiel 2: U S R M C i() Zur Zei = befinde sich auf dem Kondensaor C eine adung Q ) Allgemeine Zusammenhänge nge: Q () Ri() U mi Q () Q ixdx ( ) C Q ir () i( x) dx U C U Q i () ixdx ( ) RC R RC Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 32 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

33 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion 2 ) ösung mi der aplace-transformaion Transformaion: Die Differenialgleichung wird der aplace-transformaion zugeführ: U Q i () ixdx ( ) RC R RC U Q RC p R RC i () i () () Inegralsaz U Q i () RCp R RC p U Q RCp U Q i () R RC RCp p R RC p RC U i () R Q RC e RC Dämpfungssaz für > mi RC Graphische Darsellung der Ergebnisse: i() Q C Q C Q C U Q U C Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 33 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

34 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Beispiel 3 : In diesem Beispiel soll ein Reihenschwingkreis zur Zei = über einen idealen Schaler S verbunden werden mi: = R C S a) Wechselspannung: u ˆ () ucos( u ) u () b) Gleichspannung : i() M c) Mischspannung: ˆ U Gesuch is i() für > u () U u cos( ) u Die Maschengleichung laue : di() Ri () uc () u() bzw. mi d duc () () i C gil: d duc() d ² uc() RC C uc () u() d d Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 34 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

35 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Dami ergib sich: du ² C( ) R duc( ) uc () u() d d C C Es werden folgende Kenngrößen des Schwingkreises eingeführ: - Resonanzkreisfrequenz: C Zk -Güe: Q R C R - Kennwidersand des Schwingkreises: Zk - Dämpfung des Schwingkreises: C C R R 2D mi 2 D Q C Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 35 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

36 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Somi ha die homogene Differenialgleichung die Form : du ² C( ) duc( ) 2 D ² uc ( ) d² d Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 36 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

37 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Fall3 : Periodischer Fall ( D < ) 3. Anregung mi Sprungfunkion U S R C u () C i () U u () U f () Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 37 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

38 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion ösung mi Hilfe der aplace-transformaion: Die inhomogene Differenialgleichung wird der aplace- Transformaion zugeführ (Hier Fall b - Einschalen der Gleichspannung): du ² C( ) duc( ) 2 D ² uc ( ) ² U für > d² d ( Differeniaionssaz für die Originalfunkion ) ² U p² u ( ) pu () u () 2 Dpu ( ) u () ² u ( ) p u und u ' C C C C C C Mi den Anfangsbedingungen folg hieraus : ' C() C() p² u () 2 Dp u () u () C C C U p 2 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 38 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

39 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Somi gil für die Bildfunkion von u () C u C () U 2 p( p² 2 Dp ²) Die Originalfunkion kann uner Verwendung des modifizieren Sazes von Heaviside vorgenommen werden, wobei wieder der periodische Fall D < berache werden soll. Es gil: Z( p) uc () mi Z( p) ² U, N( p) p² 2 Dp² pn( p) dn( p) 2p2 D, p, p2 ( D j D²) dp Dami ergib sich die Originalfunkion uc () zu : p ( D j D²) 3 Z Z p ² U ² U ² U N () p N ( p) ² p 2( p D) p 2( p D) 3 () ( ) ' v2 v v 2. () p p u e e e C p. 3 Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 39 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

40 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion 3.2 Anregung mi Wechselspannung (Fall a): Es soll weierhin nur der periodische Fall (konjugier-komplexe Pole bzw. D < ) berache werden. Hier für gil die inhomogene Differenialgleichung: = u S R i () () C u () C du ² C( ) duc( ) 2 D ² uc ( ) ² u( ) d² d für >, mi u ˆ () ucos( u ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 4 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

41 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion ösung miels der aplace-transformaion: Berache wird die Differenialgleichung für uc () d² uc( ) duc( ) 2 D ² uc ( ) ² u( ) d² d Nach der Transformaion dieser Gleichung in dem Bildbereich ergib sich uner Berücksichigung des Differeniaionssazes für die Originalfunkion der Zusammenhang : ' p² u ( ) pu () u () 2 Dp u ( ) u () ² u ( ) ² u( ) C C C C C C Mi den Anfangsbedingungen: folg hieraus : u ' C() und uc () p² uc( ) 2 D p uc( ) ² uc( ) ² u( ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 4 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

42 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Somi gil für die Bildfunkion von u C : Wird noch: u C () ² u ( ) p² 2 Dp ² () ˆ cos( ) u u uˆ u in die obige Gleichung eingesez erhäl man: p cosu sinu p² ² u () uˆ ² C p cos sin u p² ² p² 2 Dp ² u Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 42 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

43 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Diese Bildfunkion muss dann in den Originalbereich zurückransformier werden z.b uner Zuhilfenahme der Mehode der Parialbruchzerlegung. Es gil : u C () Z( p) N( p) In periodischen Fall ( D < ) gil: p j, p j 2 Z( p) uˆ ( pcos sin ) mi p j ( D j D²) 3,4 und N( p) p² ² p² 2 Dp ² Für die erse Ableiung des Nenners nach der Variablen p gil: dn( p) 3 4p 6 Dp² 2( ² ²) p2 D² dp u u Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 43 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme

44 3.3.4 Die Mehode der aplace-transformaion Dami läß sich die Originalfunkion angeben über: jcos usin u j jcos usin u u () ˆ C u ² e e 4( ) j D ( j )² 2( ² ²) j 4( j ) 6 D ( j )² 2( ² ²)( j ) j pcos sin p cos sin e e p6Dp3 2( ² ²) p32 D² 4p 46Dp4 2( ² ²) p42 D² 3 u u p 3 4 u u p4 Problem: Weiere Vereinfachung zu reellen Termen is aufwendig! Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elekroechnik 3 S. 44 Fachgebie Nachrichenechnische Syseme