1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale

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1 Abasung, Quanisierung und Codierung analoger Signale Analoge Signale werden in den meisen nachrichenechnischen Geräen heuzuage digial verarbeie. Um diese digiale Verarbeiung zu ermöglichen, wird das analoge Signal abgease, quanisier und codier. Diese Verarbeiungsschrie werden in den folgenden Abschnien beschrieben. Zum Versändnis der mahemaischen Beschreibungen werden im ersen Abschni einige elemenare Signale eingeführ, die häufiger bei der Berachung nachrichenechnischer Überragungssyseme benöig werden.. Elemenare Signale Uner einem Signal in der Nachrichenechnik verseh man die Darsellung einer Nachrich als zeilichen Verlauf einer physikalischen Größe, z.b. einer elekrischen Spannung. Häufig sind nachrichenechnische Signale nur durch rech komplexe mahemaische Ausdrücke exak zu beschreiben. Einige elemenare Signale lassen sich jedoch durch einfache algebraische Ausdrücke beschreiben: Sinussignal: x( ) sin( π ) Gauß-Signal: x( ) e π Für einige andere elemenare Signale werden häufig die folgenden Sonderzeichen verwende: Sprungfunkion: ε ( ) für < Recheckimpuls: rec ( ) für / > / -/ / Dreieckimpuls: Λ( ) für > - Bild.: Elemenarsignale H.G. Hirsch DN-SS 8

2 Läss man die Breie eines Recheckimpulses gegen Null gehen, so erhäl man das mahemaische Modell eines Dirac-Sosses δ(): δ() Bild.: Dirac-Soß δ() Mi Hilfe des Dirac-Sosses als Eingangssignal eines Überragungssysems läss sich am Ausgang die das Sysem charakerisierende Sossanwor besimmen. Die elemenaren Signale werden in Form einer normieren Darsellung beschrieben, die in der Signal- und Sysemheorie häufig verwende wird. Dabei wird mi dimensionslosen Größen gerechne, in dem beispielsweise Zeigrößen auf s und Spannungsgrößen auf V normier werden. Die eingeführen Signale können zeilich gedehn oder verschoben werden durch einfache Koordinaenransformaion der Zeiachse. Ersez man die Zeikoordinae durch -, so ensprich dies für posiive einer zeilichen Verschiebung nach rechs und dami einer Verzögerung des Signals. Ersez man durch /, so ensprich dies einer zeilichen Dehnung um den Fakor, wobei das Signal für > breier und für << schmäler wird. Als Beispiel für ein Signal, das sowohl zeilich verschoben als auch gedehn wurde, wird in Bild. ein Recheckimpuls dargesell, dessen Breie beräg und der durch eine Verschiebung des Rechecks um die Zei ensanden is. Zudem besiz die Ampliude des Rechecks den Wer a. a -/ / Bild.: Verschiebung und Dehnung des Recheckimpulses Der zeilich verschobene und gedehne Recheckimpuls mi der Ampliude a läss sich formal beschreiben als s( ) a rec H.G. Hirsch DN-SS 8

3 Ausgehend von der Definiion des Recheckimpulses rec (), der für die Ampliude annimm, kann man den zeilichen Bereich, in dem s() den Ampliudenwer a annimm, durch eine Subsiuion von durch besimmen:. Abasung + Eine Quelle liefer ein deerminieres analoges Signal, das als zei- und werekoninuierlich berache wird. Das Signal besiz Frequenzaneile im Bereich von Hz bis zu einer imalen Frequenz f. Um das analoge Signal digial zu verarbeien, wird es zu äquidisanen Zeipunken n abgease, wie es Bild.4 veranschaulich. Quelle x() P x P () x(n) f a / Bild.4: Abasung des iefpassgefileren Signals einer Quelle Zur Erfüllung des. Nyquiskrieriums muß das Signal mi einer Frequenz f f ( f a ) abgease werden. Da man die imal aufreende Frequenz bei vielen a Signalen nich exak kenn oder die Abasfrequenz f a durch die beschränke Rechen- oder Überragungskapaziä der nachfolgenden Verarbeiung oder Überragung auf einen Wer f a <f beschränk werden muß, erfolg vor der Abasung eine Filerung mi einem iefpaß. Dieser verhinder weigehend das Aufreen von Frequenzaneilen oberhalb von f a /. Da ein realer analoger iefpaß nich die ideale Charakerisik ohne Dämpfung der Frequenzaneile unerhalb von f a / und mi einer vollsändigen Unerdrückung der Frequenzkomponenen oberhalb von f a / besiz, wird die Grenzfrequenz f g des iefpasses in der Regel zu f g <f a / gewähl. Dami wird dem Dämpfungsverlauf mi einer endlichen Flankenseilhei im Bereich der Grenzfrequenz Rechnung geragen. H.G. Hirsch DN-SS 8

4 Als Beispiel wird ein Sprachsignal berache, das über einen Fernsprechkanal mi beschränker Bandbreie überragen werden soll. Sprache besiz Frequenzaneile ewa bis zu einer Frequenz von 8 khz. Dies würde eine Abasung mi f a 6 khz bedingen. Da jedoch einerseis die Frequenzaneile oberhalb von 4 khz nur einen geringen Aneil an der Gesamleisung eines Sprachsignals haben und auch nich wesenlich zur Versändlichkei der Sprache beiragen und zum anderen die Bandbreie des Fernsprechkanals beschränk is, wird das Signal mi einer Frequenz f a 8 khz abgease. Dazu erfolg eine Filerung des Signals mi einem iefpaß, der in vielen prakischen Anwendungen eine Grenzfrequenz von ewa,4 khz besiz. Die Abasung eines Signals zu äquidisanen Zeipunken kann man beschreiben durch die Muliplikaion des Signals mi einer Folge von Dirac Impulsen. Dies wird in Bild.5 veranschaulich. Bild.5: Analoges Signal (oben), Folge von Dirac-Impulsen (mie), PAM Signal (unen) Ein derariges Signal is zwar noch werekoninuierlich, nimm jedoch nur noch Ampliudenwere H.G. Hirsch 4 DN-SS 8

5 zu diskreen Zeipunken an, so daß es als zeidiskre bezeichne wird. Die beschriebene Vorgehensweise zur Abasung eines analogen Signals nenn man Pulsampliudenmodulaion (PAM). Die Folge von Dirac Impulsen läß sich formal beschreiben als n δ ( n ) Unerwirf man diese Impulsfolge einer Fourier ransformaion, so läß sich diese Folge im Spekralbereich ebenfalls durch eine Folge von Dirac Impulsen beschreiben: n δ ( n ) n δ ( f ) δ ( f n n n f Die Dirac Impulse reen bei Vielfachen der Abasfrequenz f a auf. Aus der Muliplikaion des Signals mi einer Impulsfolge im Zeibereich wird eine Falung des Spekrums mi der ensprechenden Impulsfolge im Frequenzbereich. a ) x( ) n δ ( n ) X ( f ) n δ ( f n f Dies wird in Bild.6 veranschaulich, in dem das Leisungsdichespekrum des iefpassgefileren Signals, die Folge von Dirac Impulsen im Frequenzbereich sowie das Leisungsdichespekrum des abgeaseen Signals dargesell sind. X P (f) a ) -f a / f a / -f a -f a f a f a X abgease (f) -5f a / -f a -f a / -f a -f a / f a / f a / f a f a f f f Bild.6: Spekrum eines P Signals (oben), Folge von Dirac-Impulsen im Spekralbereich (mie), Spekrum des abgeaseen Signals (unen) H.G. Hirsch 5 DN-SS 8

6 Das Bild beinhale zur besseren Verdeulichung die zweiseiige spekrale Darsellung einschliesslich negaiver Frequenzen. Diese Berachungsweise veranschaulich, daß die Abasung im Zeibereich zu einer periodischen Wiederholung des iefpassgefileren Spekrums bei Vielfachen der Abasfrequenz führ. Dies mach wiederum deulich, daß das abgeasee iefpaßsignal wiederum mi einem iefpaß gefiler werden muß, um daraus wieder ein zeikoninierliches Signal zu gewinnen, das dem ursprünglichen iefpassgefileren Signal ensprich. Die komplee Verarbeiungskee zur Gewinnung und Rekonsrukion eines pulsampliudenmodulieren Signals mi einer Überragung des PAM Signals is in Bild.7 dargesell. x() x P () x(n) x P () Quelle P P Senke f a / Überragungssrecke Bild.7: PAM Signalgenerierung und Rekonsrukion des P gefileren analogen Signals Die spekrale Darsellung in Bild.6 kann auch herangezogen werden, um die Effeke der Unerabasung eines Signals zu verdeulichen. Von Unerabasung sprich man, wenn das abzuasende Signal noch Frequenzaneile oberhalb der halben Abasfrequenz beinhale, z.b. infolge eines nich vorhandenen oder falsch ausgelegen iefpasses. Dann komm es nach der Falung im Spekralbereich zur Überlappung von Spekren, was man auch als Aliasing bezeichne. Davon leie sich auch die Bezeichnung des vor dem Abaser angeordneen iefpasses als Anialiasingfiler ab. Wird ein unerabgeasees Signal mi einem korrek gewählen iefpaß mi fg<f a / gefiler, so reen Spekralaneile, die im abzuasenden Signal oberhalb von f a / bei f a /+f vorhanden sind, nach der Abasung und Filerung bei f a /-f auf. In Bild.8 wird dies noch einmal beispielhaf verdeulich für ein Sinussignal, das eine Frequenz von 5 khz besiz und das ungefiler mi f a 8kHz abgease wird. Nach der iefpassfilerung des unerabgeaseen Signals erhäl man ein Sinussignal, dessen Frequenz jedoch dann khz beräg. H.G. Hirsch 6 DN-SS 8

7 X(f) f/khz X abgease (f) f/khz X abgease&p (f) -4-4 f/khz Bild.8: Spekrum eines 5 khz Signals (oben), Spekrum des unerabgeaseen Signals (mie), Spekrum des P gefileren Signals (unen). Quanisierung und Codierung Um die digiale Verarbeiung des abgeaseen Signals zu ermöglichen, muß neben der Abasung zu diskreen Zeipunken auch eine Quanisierung der Ampliudenwere erfolgen. Dazu wird der Werebereich, in dem die Ampliudenwere aufreen, in eine fesgelege Anzahl von Inervallen unereil. Ein Ampliudenwer wird dann durch den dem Inervall zugeordneen digialen Wer codier. Daher nenn man diese Ar der Abasung, Quanisierung und Codierung Pulscodemodulaion (PCM). Eine Folge von PCM Weren beschreib somi ein zei- und werdiskrees Signal. Die prakische Realierung zur Generierung einer Folge von PCM Weren aus einem analogen Eingangssignal finde in einem Analog-Digial Umsezer (ADU) sa. Die Vorgehensweise zur Quanisierung und Codierung is exemplarisch in Bild.9 für eine lineare Unereilung des Werebereichs in 8 Inervalle dargesell. Dem Bild kann man ennehmen, daß die Breie aller Inervalle gleich groß is. Dies führ zu einer linearen Quanisierung, auf die sich auch im weieren die Berachung beschränken soll. Bei der Rekonsrukion des analogen Signals aus den PCM Weren mi Hilfe eines Digial-Analog Umsezers wird in der Regel der Ampliudenwer in der Mie des jeweiligen Inervalls gewähl, um den zugehörigen digialen Wer darauf abzubilden. Da der Ausgangswer der Pulscodemodulaion eine Dualzahl is, ergib sich die Anzahl der Inervalle zur Unereilung des gesamen Werebereichs in der Regel zu k, wobei k der Anzahl der H.G. Hirsch 7 DN-SS 8

8 x -A -x x/ x A Eingangsspannung Bild.9: Quanisierungs- und Abbildungskennlinie für eine PCM bei einer Worlänge von Bi Binärsellen ensprich. Der Ausgangswer der PCM is ein Codewor mi einer Worlänge von k Bi. Die Wahl der Worlänge ergib sich aus der Nowendigkei oder der Anforderung, ein besimmes minimales Signal/Rauschleisungsverhälnis (SNR signal-o-noise raio) zu gewährleisen. Bei der Abbildung der koninuierlichen Ampliudenwere auf eine endliche Anzahl diskreer Were werden Quanisierungsfehler eingebrach, die sich als sogenannes Quanisierungsrauschen bemerkbar machen. Dies wird in Bild. veranschaulich uner Verwendung der Quanisierungskennlinie in Bild.9 mi A. In der uneren Darsellung von Bild. sind die Quanisierungsfehler dargesell, die sich als Differenz des akuellen Abaswers und des zugeordneen diskreen Wers in dem ensprechenden Inervall ergeben. Dabei wird als diskreer Zuordnungswer jeweils der Wer in der Mie eines Inervalls gewähl, der auch späer bei der D/A Umsezung verwende wird. Im folgenden wird die Besimmung der Leisung des Quanisierungsrauschens und des Signal/Rauschleisungsverhälnisses vorgenommen. Dazu wird eine Gleichvereilung der Quanisierungsfehler über die gesame Inervallbreie im Ampliudenbereich ±x/ angenommen, wie es die Vereilungsdichefunkion in Bild. zeig. H.G. Hirsch 8 DN-SS 8

9 Bild.: Analoges und PAM Signal (oben), PCM Signal (mie), Quanisierungsfehler (unen) p(x) /x -x/ x/ x Bild.: Vereilungsdichefunkion des Quanisierungsfehlers Die Leisung N des Quanisierungsrauschens läss sich bei Kennnis der zugehörigen Vereilungsdichefunkion p(x) berechnen zu N x ( ) x p x dx x dx x x x x x Die Leisung S des zu quanisierenden Signals läß sich ebenfalls bei Annahme einer Gleichvereilung miels des zuvor genannen Inegrals berechnen zu H.G. Hirsch 9 DN-SS 8

10 S x p( x) dx x A A A x dx A x A A 6 A ( A ) A Dami ergib sich das Signal/Rauschleisungsverhälnis in db zu S A SNR log ( ) log ( N A 4 A Mi SNR log ( k 4 A ) k ) log ( k ) k log () SNR k, k 6, db Das Signal/Rauschleisungsverhälnis wächs linear mi der Anzahl k der Bis des PCM Codewors an. Dami ergib sich beispielsweise das häufig zu findende Signal/Rauschleisungsverhälnis von 96 db ( 66,dB) als Qualiäsangabe bei CDs (compac disks), bei denen ein Audiosignal in 6 Inervallen, d.h. mi einer Worlänge von 6 Bi, quanisier wird. Die zuvor beschriebene Vorgehensweise zur Besimmung des SNR berücksichig jedoch einige prakische Gesichspunke nich. Eine wesenliche Annahme war die Gleichvereilung der Ampliuden über den gesamen Werebereich der Quanisierung. In vielen prakischen Anwendungen wird bei der Erfassung analoger Signale enweder die Vorversärkung (oder Dämpfung) des analogen Signals oder umgekehr der imale Ampliudenbereich des Analog/Digial Umsezers so gewähl, daß das Uner- bzw. Überschreien des minimal bzw. imal zu quanisierenden Ampliudenwers vermieden wird. Eine derarige Überseuerung führ zu unerwünschen nichlinearen Verzerrungen, die sehr sörend sein können und die in der prakischen Realisierung nich aufreen sollen. Wird jedoch zur Vermeidung einer Überseuerung der gesame Ampliudenbereich für das zu quanisierende Signal nich verwende, so reduzier sich die Signalleisung bei der weierhin angenommenen Gleichvereilung der Ampliudenwere auf wobei r einen Wer größer annimm. S A r H.G. Hirsch DN-SS 8

11 Beispielsweise würde r bedeuen, daß nur die Hälfe des möglichen Werebereichs des A/D Umsezers verwende wird. Dami ergib sich das Signal/Rauschleisungsverhälnis zu SNR log ( S ) log N k 6, db log ( r) A ( ) log r ( r k ) log ( k ) log ( r ) Für das Beispiel einer Quanisierung mi 6 Bi (wie bei der CD) würde eine Beschränkung der Ausseuerung auf die Hälfe des imal möglichen Ampliudenbereichs zu einem SNR von 96 lg 9dB führen. Dies ensprich einer Quanisierung mi 5 Bi. Bi der insgesam 6 Bi wird dabei nich verwende. SNR/dB log ( S S Bild.: Abhängigkei des SNR von der Ausseuerung des imalen Ampliudenbereichs voll ) / db H.G. Hirsch DN-SS 8

12 Die lineare Abhängigkei des SNR (in db) von der Ausseuerung innerhalb des imal möglichen Ampliudenbereichs wird in Bild. für eine lineare Quanisierung mi unerschiedlicher Anzahl von Bis dargesell. Die Verläufe des Signal/Rauschleisungsverhälnisses (SNR) werden dabei über der relaiven Leisung log ( S ) (in db) des Signals dargesell. Die relaive Leisung S voll von db repräsenier den Fall der Vollausseuerung mi S Svoll, bei dem das Signal alle Ampliudenwere des imalen, zur Quanisierung zur Verfügung sehenden Ampliudenbereichs annimm. Des weieren besizen viele Signale asächlich keine Gleichvereilung der Ampliudenwere. Beispielsweise reen bei Sprachsignalen kleine Ampliudenwere wesenlich häufiger auf als große. Eine näherungsweise Darsellung der Vereilungsdichefunkion für Sprachsignale finde sich in Bild.. Diese Funkion besiz die Charakerisik einer Laplace oder Gamma Vereilung. Dabei is die logarihmische Skalierung der Ordinae zu beachen. Bild.: Gamma Funkion zur Beschreibung der Vereilungsdichefunkion bei Sprachsignalen H.G. Hirsch DN-SS 8

13 Für Sprache erhäl man daher bei linearer Quanisierung ein SNR, das um ewa 6 bis 7 db schlecher is als bei einem Signal, dessen Ampliudenwere eine Gleichvereilung über den gleichen Ampliudenbereich besizen. Diese beispielhafe Berachung zeig, daß die häufig angegebenen Were für das SNR eines digialen Signals nich die in der Praxis anzureffenden Signal/Rauschleisungsverhälnisse wiederspiegeln. Desweieren kann die Kennnis der zu erwarenden Wahrscheinlichkeisdichevereilung eines Signals beispielsweise zum Enwurf einer nichlinearen Quanisierung bei gleichbleibender Worlänge mi dem Ziel einer Verbesserung des SNR verwende werden, wie es bei der Überragung von Sprachsignalen im ISDN der Fall is. H.G. Hirsch DN-SS 8