Grundlagen zeitveränderlicher Signale, Analyse von Systemen der Audio- und Videotechnik

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1 3. Nichperiodische Signale 3.1 ω ω ω dω Nichperiodische Signale endlicher Länge Die Fourierransformaion zerleg nichperiodische Signale endlicher Länge in ein koninuierliches endliches Frequenzspekrum. π1 u() = [ a( ) cosω + b( ) sinω ] Alle Frequenzen sind saionär im Zeiraum von < < vorhanden. Konvergen für: a( ) = u() cos( ω) d u() = für < Anfang und > Ende Frequenzspekrum is also zeikonsan b( ) = u() sin( ω)d Mahemaischer Bildbereich Zwei mahemaisch äquivalene Berachungsweisen für Signale und Syseme die Zeidarsellung und die Frequenzdarsellung andere Schreibweisen, FFT, Überlagerungssaz, Signalanalyse diskree Fourierransformaion, zeiabhängige Kurzzeispekren, die Hilberransformaion oder die Korrelaionsanalyse Dr. Erich Boeck 1

2 2ε Weierführung: Diskree Signale (nur zu diskreen Zeipunken i von Null verschiedener Wer) diskree Fourierransformaion Messwerabasung oder A/D-Wandlung Mahemaisch Muliplikaion mi einer Folge von Soßfunkionen u( ) u() δ( i = i) Definiion: Fläche = 1 1/ε i= für limδ εε δ() δε() δ() = () = für = Diskree periodische Signale sind der Gegensand der diskreen Fourierransformaion (DFT) Einordnung der Eigenschafen in einer Gegenübersellung koninuierl. period. Signal diskrees endliches Spekrum u() F(ω) f =1/T Fourierreihe 3f f T 5f f Dr. Erich Boeck 2

3 diskrees period. Signal diskrees period. Spekrum F(ω) f =1/T diskree Fourierransformaion T f 3f 5f 1/ f diskrees endliches Signal koninuierl. period. Spekrum u() F(ω) f =1/T A E 1/ f koninuierl. endliches Signal koninuierl. endliches Spekrum u() F(ω) f =1/T Fourierransformaion A f E Dr. Erich Boeck 3

4 Aus Abasweren der Grundperiode des Signals T/2 < T/2 numerisch ω direk Spekralwere des Bereiches f 1/. periodische Forzusezung n 1 2πi jk Es muss exak die Grundperiode sein. n u(i) = u i = Ucke k= n 1 2πi 1 jk n F(fi ) = Uci = u( k ) e für i =,1,2,... n 1 n k= i mi i = i und T = n also i = 2πf i = 2πi/n und fi = i f = n Eigenschafen der diskree Fourierransformaion für weiere Fälle nuzbar. Diskrees endliches (einmaliges) Signal (Einschränkung: nur abgeasees Spekrum des Bereiches f 1/ wird besimm) periodisch Koninuierliches periodisches Signal abgease Spekralwere des Bereiches f 1/2 als diskrees endliches (einmaliges) Spekrum (Fourierreihe) Koninuierliches endliches (einmaliges) Signal abgease Spekralwere des Bereiches f 1/2 als abgeasees Spekrum (Fourierransformaion) Dr. Erich Boeck 4

5 In der Regel möglich, die Grundperiode genau 2n mal äquidisan abzuasen. schnelle Algorihmus (FFT) anselle DFT nuzbar Für prakische Anwendung sind einige Bedingungen zu beachen. 1.Genau eine (oder mehrere) Grundperioden äquidisan und synchron zur Periode abasen. (Hilfesellung: Die numerische Berechnung is so, als ob der abgeasee Bereich immer wieder komple angehäng wird). 2.Abasung muss so schnell erfolgen (1/ groß genug), dass die Perioden des Spekrums nich ineinander laufen. (Aliasingfehler) 3.Wenn Abasung nich nach 1. und 2. müssen durch Inerpolaion neue Abaswere besimm werden. (wenn: nich äquidisane, nich synchrone Abasung oder wenn für FFT nich 2 n Abaswere) 4.Is es nich möglich, die Abasung so vorzunehmen (wenn Grundperiode im Rauschen nich erkennbar), geeignee Fenserfunkion benuzen und die Abasung dieser zuordnen. Bei der prakischen Anwendung der DFT gue Vorbereiung der Messung Sorgfal erforderlich sons ensehen unkalkulierbare Fehler Dr. Erich Boeck 5

6 Beispiel: OFDM (Orhogonal Frequency Division Muliplex) Vielfälige moderne Anwendungen der DFT/FFT Beispiel Realisierung der Modulaion einer ADSL-Überragung Hier soll das Grundprinzip herausgesell werden: Es sollen die seriellen Daen der Pakee in vielen Frequenzkanälen parallel überragen werden. Dazu müssen Daen eines Zeiinervalls auf die Kanäle aufgeeil, dann im gesamen Zeiinervall parallel überragen werden, indem die Frequenzen in diesen Kanälen ensprechend modulier werden. f 1 f 255 f Dr. Erich Boeck 6

7 Binärsignal Umformung seriell in parallel m n binäre Zeichen Muliplexen mehrerer Binärzeichen (QAM) n komplexe Frequenzwere inverse DFT (bzw. FFT) F(f i ) f( i ) n Zeiwere des DSL-Signals DSL-Signal Umformung parallel in seriell D/A Wandler Tiefpass 1. Binärsignal Daenpuffer serielles in ein paralleles Signal 2. Muliplexen Binärzeichen durch Quadraur Ampliuden Modulaion (QAM) 3. Zuordnung paralleler Frequenzwere F i, φi als Diskree-Mulion-Ampliuden 4. inverse diskree Fourierransformaion 5. Ausgabe digialen Zeiwere f( i ) 6. seriell auslesen, digial- analog wandeln und gläen Dr. Erich Boeck 7

8 Diskreen-Mulion-Modulaion (DMT) mi 256 Frequenzbändern je ca. 4 khz 1. bis 32. für analoges Telefon bzw. ISDN freigehalen 33. bis 64. für die Überragung des Upsreams 65. bis 255. für den Downsream (und eins für einen Piloon zur Synchronisaion) zusammen ca. 1,1 MHz Telefon oder. ISDN.. Upsream Downsream f 1 f 32 f 33 f 64 f 65 f 66 f 255 f 256 f prakische Realisierung mi digialen Signalprozessor (DSP) + Mikrokonroller zur Seuerung des Ablaufs wenige inegriere Schalkreise im Modem, keine R, C, L Filer Dr. Erich Boeck 1

9 Demodulaion auf Empfangsseie umgekehr diskreen Fourierransformaion Binärsignal Umformung parallel in seriell Demuliplexen zu mehrerern Binärzeichen DFT (bzw. FFT) f(i) F(fi) Umformung seriell in parallel m n binäre Zeichen n komplexe Frequenzwere n Zeiwere des DSL-Signals Tiefpass A/D Wandler DSL-Signal Modem senden und empfangen zwei verschiedene Modem nowendig Provider: 31 Kanäle für Empfand und 19 zum Senden Nuzer : 19 Kanäle für Empfand und 31 zum Senden Dr. Erich Boeck 11

10 Aufgabe Führe eine Analyse des Rechecksignals mi einem Simulaionsprogramm bei Û = 5 V, T = 2 ms. mi der FFT bei n = 4, 8, 16, 32 und 512 Abasweren durch! Frage 1: Wie viele Oberschwingungen werden jeweils besimm? Frage 2: Wie änder sich die Ampliude der jeweils höchsen ermielen Oberschwingung? Hinweis: Lege den abgeaseen Wer jeweils in die Mie von. Zusazfrage 1:Wie änder sich das Spekrum, wenn der erse Wer weggelassen und dafür am Ende ein Wer mehr genuz wird? Zusazfrage 2:Wie änder sich das Spekrum, wenn die Periode nur in n-1 Inervalle eingeeil wird und dafür ein Inervall angehäng wird? Dr. Erich Boeck 12