Brush-up Kurs Wintersemester Optionen. Was ist eine Option? Terminologie. Put-Call-Parität. Binomialbäume. Black-Scholes Formel

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1 Opionen

2 Opionen Was is eine Opion? Terminologie Pu-Call-Pariä Binomialbäume Black-Scholes Formel 2

3 Reche und Pflichen bei einer Opion 1. Für den Käufer der Opion (long posiion): Rech (keine Pflich!) einen Vermögensgegensand (Underlying) zu einem vorab fesgelegen Preis* (Ausübungspreis, Srike, Exercise Price) innerhalb der Laufzei (amerikanische Opion) oder am Verfallsag (europäische Opion) zu kaufen (Call Opion, Kaufopion) oder zu verkaufen (Pu Opion, Verkaufsopion) 2. Für den Verkäufer (Sillhaler, shor posiion): Pflich, das Underlying zum Srike zu verkaufen/kaufen (innerhalb der Laufzei bzw. am Verfallsag) * Bei manchen Opionen wird nich der Preis selbs, sondern die Ar und Weise seiner späeren Feslegung fesgeleg 3

4 Besandeile eines Opionsverrages Opionsprämie = Preis der Opion (bei Verragsabschluss zu zahlen) Opionsfris (Laufzei, Mauriy) Ausübungspreis (Srike) Basiswer (Underlying) 4

5 Terminologie Long Call/Pu: Shor Call/Pu: Posiion eines Käufers in einem Call/Pu Posiion eines Verkäufers in einem Call/Pu Verhälnis Srike zu akuellem Kurs des Underlyings bei Calls - am Geld (a-he-money) Srike = Kurs - im Geld (in-he-money) Srike < Kurs - aus dem Geld (ou-of-he-money) Srike > Kurs (für Pus: <> zeichen verauschen!) Plain vanilla Opionen ( exoische Opionen): einfache Kauf- und Verkaufsopionen 5

6 Noaion c : p : Wer Europäischer Call Wer Europäischer Pu S : akueller Underlying-Kurs in X : Ausübungskurs T: Verfallsag T : Laufzei s: Volailiä Underlying S T : Akienkurs in T r f : seiger risikoloser Zins 6

7 Pu-Call-Pariäsbeziehung Fazi: Wer Europäischer Call Wer Europäischer Pu = Akienkurs Barwer des Ausübungskurses c p S X e r f ( T ) p c S X e r f ( T ) 7

8 Beispiel für die Bewerung von Opionen Call-Opion auf Akie mi Srike = 100, eine Periode Laufzei Annahme: Der Akienkurs kann zukünfig zwei Were annehmen (Ein-Perioden-Binomialmodell) c 0 Diskreer Zinssaz: 10% (=exp(r f ) - 1) Gesuch: Wer Call-Opion c Idee: Bilde Porfolio, das gleichen Pay-off wie Call liefer ( replizierendes Porfolio ) 8

9 Replikaion der Opion durch Akie und risikolose Anlage c V/1, Anlagemöglichkeien: Akien + risikolos (d.h. Zerobond mi Nominalwer V kaufen oder verkaufen) Zur Replikaion muss gelen V = V = 0 (I) (II) aus II: V = 75 ; in (I): = 0,5 => V = 37,5 Wer Call c = 0, ,5/1,1=15,91 Call-Opion eilweise kredifinanzierer Kauf von Akien 9

10 Mehrsufiger Binomialbaum

11 Numerische Opionsbewerung mi Binomialbäumen Einsezbar zur Bewerung einfacher und auch komplexer Opionsformen In jedem Zeiinervall der Länge h geh der Akienkurs um Fakor u nach oben oder Fakor d = 1/u nach unen h u e d 1/ u e s s wobei h: Brucheil eines Jahres Opionen werden durch Rückwärsindukion bewere S h u S d S u² S S u 3 S u S d S d² S h (z.b. h=1/12 wenn Periodenlänge=1 Mona) d 3 S 11

12 Die Opionsbewerung nach Black/Scholes ergib sich als Grenzfall der Binomialbewerung mi unendlich vielen Perioden c S ( d 1 ) Xe r ( T ) x Akien + y Kredi f ( d 2 ) Benöige Parameer: Kurs des Underlying heue Ausübungskurs sicherer Zins Volailiä des Underlying Laufzei mi : d 1 ln( S / X ) ( r f 2 s s T / 2)( T ) d 2 d 1 s T 12

13 Die implizie Volailiä Die implizie Volailiä is diejenige Volailiä, die einen heoreischen B/S-Wer in Höhe des beobacheen Markpreises der Opion gib. Inerpreaion: Erwarung des Markes über zukünfige Kursschwankungen Ermilung: in Excel z.b. über ZIELWERTSUCHE 13

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