Zwischenwerteigenschaft

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1 Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser Ausarbeiung werden wir die Zwischenwereigenschaf, auch Darboux-Eigenschaf, nach dem französischen Mahemaiker Jean Gason Darboux benann, kennen lernen. Diese Eigenschaf is sehr sark verwand zu dem Zwischenwersaz, auf den am Anfang kurz eingegangen wird. Anschließend wird diese neue Eigenschaf definier und gleich mi ein paar überraschenden Beispielen gezeig, dass man sich in der Mahemaik nich immer darauf verlassen solle, was einem die Inuiion sag. Inhalsverzeichnis 1 Seige Funkionen Eigenschafen seiger Funkionen Zwischenwersaz Zwischenwereigenschaf Definiion Überraschende Beispiele Summe von Funkionen Resümee 8

2 1 Seige Funkionen Wir wollen uns zunächs die Eigenschafen seiger Funkionen anschauen und dabei noch einmal genauer auf den Zwischenwersaz von Bolzano und Cauchy eingehen. 1.1 Eigenschafen seiger Funkionen Definiion 1.1 (Definiion der Seigkei) Sei f : D R eine Funkion und a D. Die Funkion f heiß seig im Punk a, falls lim f(x) = f(a) x a f heiß seig in D, falls f in jedem Punk von D seig is. Dies läss sich mi dem aus der Schule gelernen Krierium für Seigkei, dass man den Graphen der Funkion ohne Absezen des Sifes zeichnen kann gu vereinbaren. Da das Absezen des Sifes aber kein mahemaischer Ausdruck is, benöig man diese Definiion. Spezialfälle der Seigkei wie Lipschiz-Seigkei oder gleichmäßige Seigkei werden wir hier nich weier behandeln. Als nächses schauen wir uns ein paar Eigenschafen solcher seiger Funkionen an. Bemerkung 1.2 Seige Funkionen besizen uner anderem folgende Eigenschafen: Sind f, g : I R seig und λ R, so sind auch die folgenden Funkionen seig: f + g, f g, λ f, f g is weierhin g 0, is auch die Funkion f g seig Is f eine auf einem abgeschlossenem Inervall seige Funkion, dann is f auf diesem Inervall inegrierbar Die Grenzwer- und Funkionswerbildung darf bei seigen Funkionen verausch werden 1.2 Zwischenwersaz Bernard Bolzano und Augusin Louis Cauchy fassen eine weiere Eigenschaf seiger Funkionen in einem Saz zusammen, dem Zwischenwersaz: Saz 1.3 (Zwischenwersaz) Sei f : [a, b] R eine seige Funkion mi f(a) < 0 und f(b) > 0 (bzw. f(a) > 0 und f(b) < 0). Dann exisier ein ξ [a, b] mi f(ξ) = 0 Beweis: Wir werden den Saz mi Hilfe der Inervall-Halbierungsmehode beweisen. Die Idee dabei is, den Bereich um die mögliche Nullselle immer kleiner werden zu lassen, um dann zu zeigen, dass es diese Nullselle dor auch wirklich geben muss. Sei zunächs o.b.d.a. f(a) < 0 und f(b) > 0. 2

3 Wir definieren uns nun eine Folge [a n, b n ] [a, b], n N, von Inervallen mi folgenden Eigenschafen: (1) [a n, b n ] [a n 1, b n 1 ] für n 1 (2) b n a n = 2 n (b a) (3) f(a n ) 0, f(b n ) 0 Nun führen wir eine vollsändige Indukion über n durch. Indukionsanfang: Wir sezen [a 0, b 0 ] := [a, b] Indukionsschri: Sei [a n, b n ] bereis definier und sei m := an+bn 2 die Mie dieses Inervalls. Es können nun zwei Fälle aufreen: 1.Fall: f(m) 0. Dann sei [a n+1, b n+1 ] := [a n, m] 2.Fall: f(m) < 0. Dann sei [a n+1, b n+1 ] := [m, b n ] Wir sehen nun leich, dass die Eigenschafen (1) bis (3) für n + 1 wieder erfüll sind. Wir erhalen dadurch (a n ) n N als beschränke und monoon wachsende Folge, sowie die Folge (b n ) n N die monoon fallend und ebenfalls beschränk is. Da jede beschränke, monoone Folge reeller Zahlen konvergier, konvergieren (a n ) n N und (b n ) n N und wegen Eigenschaf (2) gil: lim a n = lim b n =: ξ n n Da f seig is, können wir wie oben erwähn Grenzwer- und Funkionswerbildung verauschen was dazu führ, dass lim f(a n ) = lim f(b n ) = lim f(ξ). Mi Eigenschaf (3) folg: Daraus folg, dass f(ξ) = 0. f(ξ) = lim n f(a n) 0 und f(ξ) = lim n f(b n) 0 2 Zwischenwereigenschaf 2.1 Definiion Der französische Mahemaiker Jean Gason Darboux formuliere ewas späer eine Eigenschaf einer Funkion, die man versehen kann, als die Übersezung des Zwischenwersazes auf nich-seige Funkionen. Definiion 2.1 (Darboux-Eigenschaf) Wir sagen, dass eine Funkion f auf einem Inervall I die Darboux-Eigenschaf (oder Zwischenwereigenschaf) besiz, wenn für alle x, y I, x y, das abgeschlossene Inervall [f(x), f(y)] {f(z) x z y}. Anschaulich bedeue dies für eine Funkion f auf dem Inervall I, dass es für a, b I und irgendein c zwischen f(a) und f(b), ein ξ zwischen a und b gib, sodass f(ξ) = c gil. Diese Bedingung sieh der des Zwischenwersaes sehr ähnlich, jedoch wird nich die Bedingung der Seigkei an die Funkion gesell. Das heiß wir können jez Funkionen auf die Eigenschaf des Zwischenwersazes, eben die Zwischenwereigenschaf, unersuchen. Wir werden in Kürze zeigen, dass es wirklich Funkionen gib, die diese Eigenschaf besizen, aber nich seig sind. Zunächs schauen wir uns aber seige Funkionen an und zeigen, dass jede seige Funkion die Darboux-Eigenschaf besiz. 3

4 Bemerkung 2.2 Sei f : [a, b] R eine seige Funkion. Dann ha unsere Funkion die Darboux-Eigenschaf, wenn für c R, c zwischen f(a) und f(b), ein ξ [a, b] exisier, sodass f(ξ) = c. Beweis: Sei ewa f(a) < c < f(b). Wir definieren die Funkion g : [a, b] R durch g(x) := f(x) c. Dann is g seig, da die Komposiion seiger Funkionen wieder seig is, und es is g(a) < 0 < g(b). Nach dem Zwischenwersaz (siehe 1.3) exisier nun ein ξ [a, b] mi g(ξ) = 0, woraus folg f(ξ) = c Somi konnen wir zeigen, dass jede seige Funkion die Zwischenwereigenschaf besiz, was wir uns ja schon dachen, da wir den Zwischenwersaz kennen. 2.2 Überraschende Beispiele Wie oben erwähn, wollen wir uns nun Beispiele anschauen, in denen die Funkionen die Zwischenwereigenschaf besiz, aber nich seig is. Beispiel 1: Sei f auf dem Inervall [ 1, 1] folgendermaßen definier: f(x) = { sin 1 x wenn x 0 0 wenn x = 0 Dann ergib sich folgendes Schaubild des Graphen: Abbildung 2.1: Funkionsgraph von f(x) Behaupung: Wir behaupen nun, dass die Funkion f im Inervall I := [ 1, 1] Zwischenwereigenschaf besiz, aber im Punk x = 0 nich seig is. 4

5 Beweis: Teil 1: Zwischenwereigenschaf Der sinus kann in seinem Werebereich nur Were zwischen 1 und 1 annehmen. Berachen wir nun das Schaubild, sehen wir dass die Funkion umso särker oszillier, je näher sie an x = 0 komm. Dabei riff sie alle Funkionswere zwischen 1 und 1, was heiß, dass für jedes c [ 1, 1] exisier ein ξ [ 1, 1], sodass f(ξ) = c. Dies war genau die Bedingung für die Zwischenwereigenschaf. Teil 2: Seigkei bei x = 0 Zur Erinnerung: ( ) ( π sin = 1, sin π ) = Außerdem is sinus periodisch mi der Periodenlänge 2π, d.h. sin(x) = sin(x + 2πn), n N. Wir berachen die beiden Punke: x 1 = 1 π 2 + 2πn, und x 1 2 = π 2 + 2πn Wie man leich sieh is sin 1 x 1 = 1 und sin 1 x 2 = 1 Mi Hilfe dieser beiden Were definier man sich folgende Mengen: E + = {x R x = E = {x R x = π 2 π 2 1 n N} + 2πn, 1 n N} + 2πn, Nun wollen wir uns die Elemene der beiden Mengen anschauen, wenn wir x 0 gehen lassen, was äquivalen zu n is. Es ergib sich: Für x E : lim sin = 1, n x Für x E + : lim sin = 1 n x Jez wissen wir, dass f(x) im Grenzwer x = 0 sowohl den Wer 1, als auch den Wer 1 annimm. Würde man den Limes noch für weiere Funkionswere bilden, würde man sehen, dass die Funkion f an der Selle x = 0 alle Were im Inervall [ 1, 1] gleichzeiig annehmen muss. Eine solche Funkion kann dor nich seig sein. Mi diesem Beispiel haben wir nun eine erse überraschende Tasache, eine Funkion, die die Eigenschaf besiz, die der Zwischenwersaz für seige Funkionen vorhersag, die aber nich seig is, is zunächs nich sehr offensichlich. Nun wollen wir dieses Spiel aber ewas weier reiben und eine Funkion suchen, die zwar in jedem noch so kleinen Ineravall die Darboux-Eigenschaf besiz, aber in keinem dieser Inervalle seig is. Beispiel 2: Schauen wir uns als nächses folgende Funkion an: Sei x (0, 1), x = 0, a 1 a 2 a 3... und sei z := 0, a 1 a 3 a 5... f(x) = { 0 wenn z nich periodisch 0, a 2n a 2n+2 a 2n+4... wenn z periodisch ab a 2n 1 5

6 Da dies ersmal sehr verwirrend aussieh, machen wir uns das anhand zweier kleiner Zahlenbeispiele klar: 1. Wählen wir zum Beispiel unser x 1 als x 1 = 0, dann ergib sich unser z 1 aus den Ziffern, die bei x 1 an einer ungeraden Posiion sehen: z 1 = 0, Wie man sieh, wird z 1 ab a 5 = 5 periodisch, was bedeue, dass wir einen von Null verschiedenen Funkionswer bekommen: f(x 1 ) = 0, Dieser sez sich aus allen Ziffern von x 1 zusammen, die ab a 5 an einer geraden Posiion sehen. 2. Sei nun ein x 2 gegeben durch x 2 =0, dann ergib sich wie oben unser z 2 durch z 2 = 0, Hier wird z 2 nich periodisch, was bedeue, dass f(x 2 ) = 0. Diese Funkion bilde also alle raionalen Zahlen aus Q auf einen Wer f(x) 0 und alle irraionalen Zahlen aus R/Q auf die Null ab. Machen wir uns nun daran, unsere Behaupung von oben, dass diese Funkion in jedem Inervall Zwischenwereigenschafen besiz, aber nirgendwo seig is, zu beweisen. Bemerkung 2.3 Für den Beweis werden wir benöigen, dass Q dich in R lieg. Diese Tasache kennen wir aus der Analysis. Sie sag aus, dass zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen immer eine raionale Zahl lieg. Beweis: Teil 1: Seigkei Die Idee bei der Beweisführung beruh darauf, dass wir uns ein x (0, 1) suchen und zeigen, dass die Funkion dor nich seig sein kann. Wir nehmen also ein Inervall I (0, 1) und wählen unser n so groß, dass I eine abbrechende Dezimahlzahl der Form 0, a 1 a 2...a 2n enhäl, ebenso wie alle Zahlen, die mi den gleichen ersen 2n 1 Sellen beginnen. Wir berachen also alle Zahlen der Form 0, a 1 a 2...a 2n 1 a 2n a 2n+1... Nun wählen wir besimme ungerade Glieder a 2n+1, a 2n+3 so, dass wir x = 0, a 1 a 2...a 2n 1 a 2n a 2n+1... mi diesen Gliedern erhalen. Diese Glieder sind so gewähl, dass das zugehörige z = 0, a 1 a 3...a 2n 1 a 2n+1 a 2n+3... periodisch is. Nehmen wir uns nun irgendeine Zahl y = 0, b 1 b 2... aus (0, 1) und verschmelzen diese zusammen mi x zu x = 0, a 1 a 2...a 2n 1 b 1 a 2n+1 b 2 a 2n+3 b 3... wissen wir, da z periodisch war, dass f(x) = y. Da aber Q dich in R lieg, finden wir zwei reelle Zahlen x 1, x 2 mi x in der Mie der Beiden. Unsere Funkion sorg aber dafür, dass f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0. Die Funkion kann folglich an keiner Selle im Inervall (0, 1) seig sein. 6

7 Teil 2: Zwischenwereigenschaf Bleib noch zu zeigen, dass f(x) Zwischenwereigenschafen besiz. Suchen wir zuers einmal den minimalen bzw. maximalen Wer, den die Funkion f annehmen kann. Die unere Grenze min x (0,1) f(x) = 0 is klar, da alle irraionalen Zahlen x diesen Wer annehmen. Der maximale Funkionswer ergib sich dann folgendermaßen: f(x) = 0, a 2n a 2n+2 a 2n+4... is ein Funkionswer für ein zugehöriges periodisches z. Dieser wird maximal, wenn alle Sellen a i = 9, also max x (0,1) f(x) = 0, = 0, 9 = 1. Man nehme nun irgendein c mi f(x) min c f(x) max, also c (0, 1), z.b. c = 0, c 1 c 2 c 3... Nun konsruier man ein ˆx derar, dass ˆx = 0, k 1 k 2 k 3...k 2n 1 c 1 k 2n+1 c 2... Dazu wähle man die k 2n 1, k 2n+1, k 2n+3,... so, dass ẑ := 0, k 2n 1 k 2n+1 k 2n+3,... periodisch is. Man sieh dann, dass f(ˆx) = 0, c 1 c 2 c 3... = c. Wir haben also bei diesem Beispiel und im Beweis gesehen, dass es Funkionen gib, die nirgendwo seig sind, aber doch die Bedingung der Zwischenwereigenschaf erfüllen. 2.3 Summe von Funkionen Wie oben bereis erwähn, is die Summe seiger Funkionen wieder seig. Inuiiv könne man sich denken, dass dies bei Funkionen mi der Darboux-Eigenschaf auch so sein wird. Immerhin hören sich Zwischenwersaz und die Definiion der Darboux-Eigenschaf seh ähnlich an. Wie wir in Kürze sehen werden, is dem aber nich zwingend so. Es gib Fälle, in denen wir zwei Funkionen f und g haben die beide die Darboux-Eigenschaf besizen, aber deren Summe f +g diese Eigenschaf nich besiz. Dazu benöigen wir aber noch ein bisschen mehr Informaionen über solche Funkionen. Theorem 2.4 (Theorem von Darboux) Wenn die Funkion f(x) auf dem Inervall [a, b] differenzierbar is, d.h. wenn f (x) für alle x [a, b] exisier, dann besiz die Funkion f die Darboux-Eigenschaf in [a, b]. Beweis: Sei c ein Punk zwischen f (a) und f (b). Wir definieren g(x) : [a, b] R durch g(x) = f(x) cx Dann is auch g im Inervall [a, b] differenzierbar und es is g (a) = f(a) c und g (b) = f(b) c. Daraus folg, dass enweder g (a) > 0 und g (b) < 0 oder g (a) < 0 und g (b) > 0 Nehmen wir o.b.d.a. an, dass g (a) > 0 und g (b) < 0. Das bedeue aber, dass g weder bei a, noch bei b ein lokales Exremum annehmen kann. Da aber die Funkion g seig is, muss sie ein Exremum auf dem abgeschlossenen Inervall [a, b] annehmen, sagen wir bei dem Punk ξ [a, b]. Hieraus können wir schließen, dass 0 = g (ξ) = f (ξ) c, woraus folg, dass f (ξ) = c. Wir schauen uns nun ein Beispiel an, in dem deulich wird, dass die Summe zweier Funkionen mi Darboux-Eigenschaf nich zwingend ebenso diese Eigenschaf besizen muss. 7

8 Beispiel: Sei ( ) 2 sin 1 wenn 0 ϕ() = 0 wenn = 0 ( ) 2 cos 1 wenn 0 und ψ() = 0 wenn = 0 Beweis: Aus den obigen Funkionen erhalen wir die Ableiungen: ϕ () = 2 sin ψ () = 2 cos cos ( 1 ) + sin wenn 0, ϕ (0) = 0 wenn 0, ψ (0) = 0 Sei nun f() := (ϕ ()) 2 und g() := (ψ ()) 2, dann haben f, g die Darboux-Eigenschaf, denn nach Theorem 2.4 haben ϕ und ψ diese Eigenschaf. Außerdem gil für eine Funkion F 2, dass sie Darboux-Eigenschaf besiz, wenn F diese besiz, denn aus F 2 (x) c F 2 (y) folg, dass enweder F (x) c F (y) oder F (x) c F (y). Das implizier, dass ein ξ [x, y] exisier, sodass F (ξ) = c (oder F (ξ) = c), was dazu führ, dass wie geforder F 2 (ξ) = c. Jedoch is (f +g)() = wenn 0, (f +g)(0) = 0. Hier sieh man leich, dass f +g die Bedingung für die Darboux-Eigenschaf nich erfüll, wenn man ein Inervall wähl, in dem die 0 enhalen is. 3 Resümee Schauen wir im kurzen Überblick noch einmal was das Ergebnis is, das wir minehmen. Es gib also Funkionen die dem Zwischenwersaz gehorchen, aber die Bedingungen dazu nich erfüllen. Sie sind nämlich nich seig. Was ersmal sehr unglaubwürdig kling, weil man sich unseige Funkionen für gewöhnlich unschön und sehr sprunghaf vorsell, fasse der Mahemaiker Jean Gason Darboux in einer Eigenschaf für Funkionen zusammen. Diese Darboux-Eigenschaf läss verrücke Gedankenspiele zu, die zu überraschenden und noch verrückeren Funkionen führen. Ich fand es sehr spannend mich in dieses Thema einzuarbeien. Es is zwar kein sehr anspruchsvoller Grundgedanke, aber der Fak, dass einem gezeig wird, dass die Inuiion in der Mahemaik nich selen versag, finde ich sehr ineressan. Dazu möche ich noch einmal Carl Friedrich Gauß ziieren, der das scheinbar Widersprüchliche in der Mahemaik beschreib: Man darf nich das, was uns unwahrscheinlich und unnaürlich erschein, mi dem verwechseln, was absolu unmöglich is. (Carl Friedrich Gauss) 8

9 Lieraur [1] Oo Forser: Analysis 1. Vieweg Verlag Siebe Auflage [2] Vladimir A. Zorich: Analysis 1. Springer Verlag 2006 [3] GeoGebra 3.0: zum Ersellen des Funkionsgraphen (2.1) [4] Rajwade, A.R.: Surprises and Counerexamples in Real Funcion Theory, Hindusan Book Agency, Delhi