Unendliche Folgen und Reihen

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1 . ) Zu Beginn befinde sich ein neu geborenes Kaninchenpaar K im Gehege (), ebenso zu Beginn des zweien Monas (), zu Beginn des drien Monas wird ein Kaninchenpaar K geboren (), zu Beginn des vieren Monas wirf das ursprüngliche Kaninchenpaar K ein weieres Paar Junge K, die Kindergeneraion K aber noch nich (), zu Beginn des fünfen Monas werden von K und K jeweils ein Kaninchenpaar K und K 4 geboren () usw. )...,, 4,, 89, 44,, 77,, 987, 97, 84, 4 8,... Ein Folgeglied is die Summe der beiden vorangehenden Glieder. Die ersen beiden Glieder sind jeweils. Kaninchenpaare ) f n = f n + f n. a),, 7,, 7 b),,,, c) 8, 4,,,. a),, 4, 48, 9 b),,,, 8 c),,,,.7 a) a n + = a n + mi a = Das erse Folgeglied is, die Folgeglieder werden jeweils um größer. b) a n + = a n mi a = Das erse Folgeglied is, die Folgeglieder werden jeweils um kleiner. c) a n + = a n mi a = Das erse Folgeglied is, das nachfolgende Glied is jeweils das Dreifache des vorhergehenden. d) a n + = a n mi a = Das erse Folgeglied is, das nachfolgende Glied is jeweils die Hälfe des vorhergehenden..8 a) a n = n Folge der ungeraden Zahlen b) a n = ( )n alernierende harmonische Folge n c) a n = n Zehnerpoenzen n d) a n = n + Zähler: naürliche Zahlen, beginnend mi eins Nenner: naürliche Zahlen, um eins größer als der Zähler.9 a),,,, b),,, 9, 7. a) ) 4,888..., 4,777..., 4,4..., 4,9...,,8 7,,47,,, 9,,,, ) a 4 = 8 9 b) ) 7, 9, ) a = (4 ) Unendliche Folgen und Reihen,,, 9, 7, 8, 4, 79. ),,,,, 8,,, 4,, 89, 44,, 77,, 987, 97, 84, 4 8, 7 ) f 4 = ) f =. ) Bei a n is die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern, bei b n is der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern. ) a n = n a n+ = a n + mi a = b n = n b n + = b n mi b =

2 a) ) Geomerisch, da der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. Nich arihmeisch, da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern nich konsan is. ) b n = ( ) n +, b = b) ) Weder arihmeisch noch geomerisch, da sowohl die Differenz als auch der Quoien zweier aufeinander folgender Glieder nich konsan is. ) c n = c n + c n mi c = 4 und c = _ ; c = 97 c) ) Arihmeisch, da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. Nich geomerisch, da der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern nich konsan is. ) a n = n, a = 7 d) ) Geomerisch, da der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. Nich arihmeisch, da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Glieder nich konsan is. ) b n + = b n mi b = _, b = 4, e) ) Arihmeisch, da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. Geomerisch, da der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. ) a n = b n =, a = b = f) ) Arihmeisch, da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. Nich geomerisch, da der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern nich konsan is. ) a n = n_ _, a = 4.4 ) Arihmeisch, da die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is. ) Weder noch, um das darauf folgende Glied zu erhalen, muss ein Folgeglied quadrier werden. Es is daher weder die Differenz noch der Quoien zweier aufeinander folgender Glieder konsan. ) Weder noch, um das darauf folgende Glied zu erhalen, muss ein Folgeglied mi dem Fakor muliplizier und die Zahl addier werden. Es is daher weder die Differenz noch der Quoien zweier aufeinander folgender Glieder konsan. 4) Geomerisch, da der Quoien zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern konsan is.. n = 8, s =. q = _, s g =,7.7 ),9 m ),8 m ) am. Tag (,47...).8 ) am. Tag (,9...) ) 9,9 Höhenmeer.9 ) Die beiden geomerischen Folgen unerscheiden sich durch den Quoienen q. Für die Folge a n is q =, für b n is q =. ) Null is zb kleiner als jedes Glied von a n, da das erse Glied der Folge is und die Folgeglieder immer größer werden. Eine Zahl, die größer is als jedes Glied von a n, gib es aus diesem Grund nich. Null is zb kleiner als jedes Glied von b n, da ein Folgeglied durch Halbieren des Vorgängers gebilde wird. Durch Halbieren eines noch so kleinen posiiven Wers enseh wieder ein posiiver Wer. Zwei is zb größer als jedes Glied von b n, da die Folgeglieder immer kleiner werden und das erse Glied eins is.

3 ... ) Falsch. Die im Buch auf Seie 9 dargeselle Folge is sreng monoon seigend und ha als Supremum den Wer drei. ) Richig. Die Folge is alernierend. ) Richig. Die Glieder einer arihmeischen Folge unerscheiden sich vom Vorgänger um den Wer d. Is d >, so is die Folge sreng monoon seigend oder fallend, is d =, is sie monoon seigend bzw. fallend. 4) Falsch. Für a < is a eine obere Schranke.. a) n > _, w.a. n N* b) < 9, w.a. c) < n + n, w.a. n N*.4 a) <, w.a. b) < 48n + 8n 4, w.a. n N* c) <, w.a.. a),4, 7,,,8,,, 7,,4... ; >,8n 8,n +, sreng monoon fallend für n bzw. sreng monoon seigend für n. b),7...,,...,,9...,,,...,... ; > 7n + n sreng monoon fallend c),, 4,79...,,7..., 8,...,... ; < n sreng monoon seigend d) 9, 8, 7,,497...,,...,,... ; die Folge is ab n alernierend keine Monoonie. a) obere Schranken: zb, 7, ; unere Schranken: zb,, 4 b) obere Schranken: zb 4,, ; unere Schranken: zb, 4, 7 c) obere Schranken: zb,, ; unere Schranken: zb,, 9 d) obere Schranken: zb, 4, ; unere Schranken: zb, 4,.7 a) a is keine obere Schranke, b is eine unere Schranke. b) a is eine obere Schranke, b is eine unere Schranke..8 a) sup a n = a = ; die Folge is sreng monoon fallend. inf a n = ; + n > n N* b) / sup a n ; / inf a n ; die Folge is alernierend, die Absoluberäge der Folgeglieder sind monoon seigend. c) sup a n = ln(); die Folge is sreng monoon fallend. inf a n = ; Umformen des Terms der Folge mihilfe der Logarihmusgeseze ergib a n = ln( n + ). Für n geh a n n gegen ln() =. Da die Folge sreng monoon fallend is, is der Grenzwer gleichzeiig der kleinse Wer. d) / sup a n ; inf a n = a = ; die Folge is sreng monoon seigend..9 ) Ja. ) Die Differenz wird immer kleiner, je mehr Schülerinnen und Schüler mimachen.. ) Falsch. Ha eine Folge mehrere Häufungswere, dann liegen nich alle bis auf endlich viele Glieder in jeder ε-umgebung zu jedem Häufungswer, sondern es liegen auch unendlich viele außerhalb. ) Richig. Is g Grenzwer einer Folge, dann liegen unendlich viele Glieder innerhalb der ε-umgebung von g. g is somi auch ein Häufungswer der Folge. ) Falsch. Die Folge n is eine Nullfolge und ha nur negaive Were. 4) Richig. Die Glieder nehmen nur die Were und an, diese sind daher Häufungswere.. ) a n = 4 + n ) a n = ( )n ) a n = 4) a ( ) n n = ( ) n 7

4 ..49. a) Konvergen, da die Folge sreng monoon fallend is, die Folgeglieder aber nich negaiv werden. b) Divergen, da die Folge sreng monoon wachsend is. c) Divergen, da die Folge sreng monoon wachsend is..4 a) Häufungswere c) Grenzwer b) keines von beiden d) Häufungswere. a) g =, b) g =,. Die Behaupung kann nich simmen, da sich a n dem Wer näher, b n dem Wer und c n dem Wer null..8 a) b) 8 c) d).9 a) g =, Glieder b) g = 4,, 7 Glieder c) g =, 4 Glieder.4 ) a n = n n ) a n = n + 7n n.4 ) bzw. ) 7 bzw..4, 4,, 8,,, 4,, 8,,... ; s = Einsezen von a = und d = in die Summenformel für arihmeische Reihen s n = n_ (a + (n ) d) und Zusammenfassen ergib s n = n_ (n + ). Herausheben und Kürzen von ergib die angegebene Formel..4 a) b) c) d) + + +, +, +, + 7,8 7.4 a) Σ (n + ) b) Σ 7n c) Σ n = n = n =.47 a) ) ) b) ) ) c) ) ).48 a) A) und C) geben dieselbe Reihe an. n d) Σ n = ( ) n Σ 7 ( ) i = = i = i Σ ( ) i + =, aber = Σ 7 ( ) k + 7 = = und n Σ sin(n π_ ) = = = b) A) und C) geben dieselbe Reihe an. n + = = Σ 9 n, aber Σ 8 n = Σ 8 n = n = +.49 Σ (n), s 4 = n = n = und Σ 9 n = n + =

5 ..4. a). Schri: n = f = f =. Schri: f + f f n + f n + = f n + + f n + = f n + b). Schri: n = f = f =. Schri: f + f f n + f (n + ) = f n + f (n + ) = f n + f n + = f n + = f (n + ). a). Schri: n = = ( + ). Schri: n + n + = n_ (n + ) + n + = n + n + = n + (n + ) b). Schri: n = = ( + ). Schri: n + (n + ) = n (n + ) + (n + ) = (n + ) (n + ) c). Schri: n = m + LS = m + = RS (m + n) (n m + ). Schri: LS: m + m n + n + = + n + = n m + m + n + (m + n + ) (n + m + ) RS: = n m + m + n + ( + ) (a + ) d). Schri: n = a + = (n + ) (a + n). Schri: a + a a + n + a + n + = + a + n + = = an + 4a + n + n + n + a (n + ) + n (n + ) + (n + ) = (n + ) (a + n + ) =. a). Schri: n = ( ) ( + ) =. Schri: LS: (n ) + ( (n + ) ) n (n ) (n + ) = + (n + ) = = 4n + n + n + (n + ) ( (n + ) ) ( (n + ) + ) = 4n + n + n + RS: b). Schri: n = = 4. Schri: LS: n + (n + ) = n (n + ) RS: (n + ) (n + + ) = n4 + n + n + n (n + ) = n4 + n + n + n Werden die naürlichen Zahlen {,,,... n} durch Kreise veranschaulich, so kann die Summe n durch ein Dreieck dargesell werden. Das Doppele einer Dreieckszahl ensprich zwei gleichen Dreiecken, die sich zu einem Recheck zusammenfügen lassen (siehe Abbildung im Buch Seie 7). Dieses Recheck is (n + ) Kreise lang und n Kreise brei und enhäl somi n (n + ) Kreise. Eine Dreieckszahl ensprich der Hälfe der Kreise, woraus sich die in. a) angegebene Formel für Dreieckszahlen ergib..4 ) bzw. ) 4 9 ). Schri: n = ( + ) ( + ) =. Schri: LS: n + (n + ) n (n + ) (n + ) = + (n + ) = n + 9n + n + (n + ) (n + ) ( (n + ) + ) RS: = n + 9n + n + 7

6 .. 4) Jede Quadrazahl kann durch eine quadraische Schich gleich großer Würfel dargesell werden. Die Summe der Quadrazahlen kann durch Aufeinandersapeln dieser Schichen dargesell werden (siehe Buch Seie 7). Drei solcher gleicher Pramiden können zu einem Quader mi den Kanenlängen n, (n + ) und (n + ) zusammengefüg werden. Das Volumen des Quaders berechne sich mi der Formel n (n + ) (n + n (n + ) (n + ) ) oder. Um die Summe der Quadrazahlen zu erhalen, muss noch durch dividier werden, also n (n + ) (n + ).. Die Schlussfolgerung is falsch, da man eine Srecke nich in beliebig kleinen Teilinervallen durchlaufen kann. Der Weg, den die Schildkröe bis zum Einholen durchläuf, is um Sadion kürzer als der Weg, den Achilles durchläuf. Is v die Geschwindigkei der Schildkröe, so beräg die Geschwindigkei von Achilles v. Achilles und die Schildkröe sind gleich lang unerwegs, also is die Zei für beide. Die Formel für den Weg s laue s = v. Das ergib die Gleichung v = v bzw. umgeform auf : = v. Einsezen in die Formel für die Wegberechnung des Achilles ergib s = v Sadien =, 8 m. v =.9 ) Divergen, da die unendliche Folge arihmeisch (mi d = ) bzw. geomerisch mi q = is. ) Konvergen, da die unendliche Folge geomerisch mi q = < is. ) Konvergen, da die unendliche Folge geomerisch mi q = bzw. q = < is. 4) Divergen, da die unendliche Folge arihmeisch is (d = ). ) Divergen, da die unendliche Folge geomerisch mi q =, > is. ) Divergen, da die unendliche Folge arihmeisch is (d = ).. a) b) 8 c) Die unendliche Summe exisier nich, da q =,. d), a). b = ; q =,8 79 b) c) d). a) ),... m ),4... m b) ),4... cm ),... cm.4 ),... a ) 7 a ) Die Seie a des ersen Quadras wird im Verhälnis : geeil, beseh also aus zwei Abschnien mi der Länge _ 7 a bzw. 7 a. Die Seienlänge a des zweien Quadras berechne sich mi dem Saz des Phagoras a = ( 7 a ) + ( 7 a ) = 9 89 a = 7 a. Für das Verhälnis der beiden Quadraflächen gil daher A : A = ( A =,48... a 7 a ) : a =. a) ) 4,8... cm ) 4,9... cm b) ) 74,4... mm ) 7,99... mm 9 89 a = 9 a 89. 8

7 . ) Falsch. Die einzelnen Srecken bilden eine geomerische Folge mi q = _ a a = a a = is daher konvergen und die Summe endlich. a π a π _ ) Richig. Das Verhälnis von u : u is q =..77 <. Die Folge =. Die Gesamlänge der Umfänge beräg daher u = a_ π _ = a π. ) Falsch. Das Verhälnis zweier aufeinander folgender Umfänge is lau ) q u =. Das Verhälnis zweier aufeinander folgender Flächeninhale is q A = A A = 4) Falsch. Der Gesamflächeninhal beräg A = ( a_ ) π beräg der Gesamflächeninhal A = ( 4 a_ ) π ( a 4) π ( a ) π _ 4 = a π a π = 4.. Bei gevierelen Srecken _ = 4 a π. 4.7 ) 94, cm ) cm ) Die Summe vervierfach sich in beiden Fällen..8 a) 74,7... % b),9... %.9 ),4... cm ) 8 cm ) π :.7 a) n = :,4 4..., n = :, , n = :, , TR:, b) n = :, , n = :, , n = :, , TR:, ) Is a die Seienlänge des ursprünglichen Dreiecks, so gil für den ersen Umfang u = a. Für den zweien Umfang werden die Seien gedriel und es gil u = 4 a_. a Analog gil für den drien Umfang u = 4 4. Für n Schrie kann der Umfang mi u n = ( 4_ ) n a berechne werden. Daraus folg für den Umfang der Schneeflocke u = lim n ( ( 4_ ) n a ). Dieser Grenzwer is unendlich. Für die Flächeninhale gil A = a _ 4, A = A + _ A 9 = A ( + _ 9 ), A = A ( + _ 9 + _ 9 4_ 9) und A n = A ( + _ 9 + _ 9 4_ 9 + _ 9 ( 4_ 9) _ 9 ( 4_ 9) n ), n >. Für n bilde _ 9 + _ 9 4_ 9 + _ 9 ( 4_ 9) +... eine unendliche geomerische Reihe mi b = _ 9 und q = 4_ 9 mi der Summe S = _. Für den Flächeninhal der Schneeflocke gil daher A n = A ( + _ ) = a _ 4 8_ = _ a. ) Es geh um die Präsenaion einer individuellen Recherche..7 Die Hundebesizerin leg km zurück. Der Hund renn dreimal so schnell und leg daher km zurück. Uner der vereinfachenden Annahme, dass sich die Richungswechsel auf die Geschwindigkei nich auswirken, is es unerheblich, dass der Hund dabei sändig zwischen Besizerin und Hüe hin und her renn..7 Variane A. Ungefähr 9 Jahre lang erhäl man bei Variane B weniger als bei Variane A..7 a) () = 4 + b) () =,.77 a) ( + ) =, (), exponenielles Wachsum b) ( + ) = () c, lineares Wachsum c) ( + ) =, (), exponenieller Zerfall 9

8 a) ) ) 8,4, 4 4,9,7...,... Bei ) is die Wachsumsrae kleiner als. Die Folge konvergier gegen null. Bei ) is die Wachsumsrae größer als. Die Folge divergier daher. b) ) ) 9 9,7 87, ,... 77,4... 7, Bei ) is die Zunahme durch die Wachsumsrae, geringer als die Abnahme um. Die Folgeglieder werden immer kleiner, die Folge divergier. Bei ) is die Zunahme durch die Wachsumsrae, größer als die Abnahme um. Die Folgeglieder werden immer größer, die Folge divergier..79 ) ( + ) =,7 () mi =,, () =,,7 für einen Zwilling, ( + ) = () +, mi =,, () =, +, für den anderen Zwilling. ) Wird der Berag auf ein Kapialsparbuch geleg, is die Änderung () proporional zum angesparen Berag (). Es handel sich um exponenielles Wachsum. Wird der Berag jährlich um, erhöh, is die Änderung () konsan. Es handel sich um lineares Wachsum. ) (),4 bzw. () =,, (8) 99,9 bzw. (8) = 9, Zum. Gebursag is das Guhaben bei linearem Wachsum noch ewas größer als das Guhaben bei exponeniellem Wachsum. Zum 8. Gebursag is das Guhaben bei exponeniellem Wachsum bereis größer als das Guhaben bei linearem Wachsum..8 a) 8 Schülerinnen und Schüler b) 8 Schülerinnen und Schüler 7 9,,8 4 9,4, ,8...,, ,74...,7...,

9 ) ) 4 88,8 ) Ja. 4) ( + ) = ((), ),4, () = 4,,4,,4,4,4 () bis 4) uner der Annahme, dass am Beginn des Jahres geerb wird, und sofor, behoben werden.).8 ) Dosen (,94...) ) Dosen (,94...).8 ) ( + ) = (), ) Die Enwicklung des Fischbesands häng davon ab, in welcher Fangsaison ersmals Fische ennommen werden. Werden beginnend mi der Fangsaison jeweils Fische gefangen, ergib sich für den Fischbesand 9 Fische, für 7 Fische usw. (jeweils am Ende der Fangsaison). Der Fischbesand nimm ab. Werden zb beginnend mi Fangsaison jeweils Fische gefangen, ergib sich für den Fischbesand Fische, für Fische usw. Der Fischbesand nimm zu. ) Die Fische vermehren sich von auf um Fische. Es können daher beginnend mi der Fangsaison jeweils Fische gefangen werden, dami der Besand gleich bleib. 4) ( + ) =, () Fische mi = Fische, () = Fische, Fische, Menschen (4 88,78...) (Uner der Annahme, dass die Abwanderung jeweils am Jahresende berücksichig wird.).8 ) Beschränkes Wachsum ) ) K = Lose, k =, 8 4) 88 Lose (87,) 4 8 4,

10 ) Modell : ( + ) = () + 7 Modell : ( + ) = 4 () Modell : ( + ) = () + () (8 ()) 77 ) Modell Modell Modell Modell : 9 Monae, Modell : Monae (,4...), Modell : Monae (ca.,) Bei exponeniellem Wachsum erreich die Populaion am raschesen 7 Feldhamser, bei linearem Wachsum dauer es am längsen ,79... fm (uner der Annahme, dass die jährliche Erne jeweils am Jahresende abgezogen wird).88 ) 744, ( 744,4...) ) 9,77 (9,7...).9 ) Wird die erse Rae zu Beginn der ersen Verzinsungsperiode bezahl, sprich man von einer vorschüssigen Raenzahlung. Wird die erse Rae hingegen am Ende der ersen Verzinsungsperiode bezahl, sprich man von einer nachschüssigen Raenzahlung. ) Für den Endwer einer vorschüssigen Rae gil E = R q + R q R q n = R q ( + q + q q n ). Anwenden der Summenformel für endliche geomerische Reihen ergib E = R q qn q. ) vorschüssig: Pensionszahlungen nachschüssig: Krediraen.9 a), b) 8 87, c) 8 7,8.9 a) 847, b) 9, c) 7 8, (% KES, Sand 4).94 a) 9 9, (9 9,...) c) 98, ( 98,8...) b) 79, ( 79,...) d) 99, (99,7...).9 9, ( 9,4...).9,7... Monae -

11 Jahre (7,74...).98 88, ( 88,...).99 ) Uschis Endwer wird mi der Formel E v = R qn q berechne, Georgs Endwer mi der Formel E n = R q qn q = E v q. Georgs Endwer is um den Fakor q=,4 größer. ), ) 88, ( 88,9...). ), (,4...) Jahr Saldo zu Jahresbeginn ) 4,8 ( 4,7...) Zinsen Zahlung Tilgung. Die monaliche Kredirae beräg 7,8. Bei gleichbleibender Miee (unrealisisch) müsse Frau Vogl bei Kauf in den Jahren 4 8, mehr invesieren. Seig der Markwer der Wohnung in den Jahren um mehr als 4 8,, solle sie die Wohnung kaufen.. a) Die Folgeglieder sind die ersen zehn Ziffern der Zahl π. b) Die Folgeglieder sind die naürlichen Zahlen von bis 9, alphabeisch geordne.. a) ),,, 9, _ c) ),, _, _ 4, _ 8 ) nich monoon ) sreng monoon fallend ) inf a n =, sup a n = ) inf a n =, sup a n = b) ), 4, 8,, d) ) ;,9...;,98...;,8...;,9... ) nich monoon ) sreng monoon seigend ) ) inf a n =.4 a) ), 4,8, 4,, 4,4, 4, b) ),,,, 4 ) sreng monoon fallend ) sreng monoon seigend ) sup a n = ) inf a n = Resschuld zu Jahresende 8,,, 7, 77, 77, 4,7, 7,78 9,87 9,87,99, 47, 889, 4 889, 4,7, 8,4 8,88 8,88 9,7, 99,8 9,9 9,9 79,7, 8, 8 78, ,7 8,7, 9, 89,4 8 89,4,4,, , ,,4, 9, 49, 49, 8,9, 49,,. a) b) c) 9. ) g = 4 = ) g = =,44... c. Für a > is der Grenzwer g = Für a = is die Folge nich definier. Für a < is der Grenzwer g = c.

12 a),98... b) 7 c) ab + a b a ,988.9 Kann der Verpächer die, des ersen Angebos mi einem jährlichen Zinssaz größer als,... % anlegen, solle er das erse Angebo annehmen. Der jährlich nachschüssig zur Verfügung sehende Berag is uner dieser Voraussezung höher als bei Annahme des zweien Angebos.. Die monaliche Einzahlung berug 89,8 (89,8...). Für den Kauf der Küche sanden ihm 74, ( 74,...) zur Verfügung.. a),,7 7,44 4, Die Folge divergier. b) 4,8,9,8 4,7 4 - Die Folge konvergier.. a) 4 74,77... mm b) 4 887,9... mm. a), cm b) 4 cm.4 a),... a b) a 4

13 ... ) a( + ) = a() mi a =, a() = ),... Jahre ) 4) a( + ) = a() mi a = Anzahl der Schmeerlingsweibchen Anzahl der Schmeerlingsweibchen Mrd. Mrd. Mrd. Jahre Mrd. Jahre. Für den Grenzwer der Folge b n = b q n = b q qn gil lim n ( b q ) qn = b q lim n qn. ) Für q > is die Folge q n sreng monoon seigend, da q n < q n + q n < q n q < q eine wahre Aussage is. Da jedes Folgeglied um den Fakor q größer als das vorhergehende Glied is, ha die Folge keine obere Schranke und es gil lim q n =. Die Folge b n n = b q n divergier. ) Für q = is die Folge q n =,,... konsan. Für den Grenzwer gil daher lim q n = bzw. n lim n ( b q ) qn = b = b. Für q = laue die Folge b n = b,,,.... Außer b sind alle Glieder null und es is daher g =. ) Für q < werden die Beräge der Folgeglieder der Folge q n immer kleiner, aber nie negaiv. Die Folge q n konvergier daher gegen null und es gil lim q ) qn = b q = bzw. g =..7. Schri: n = =. Schri: Für den Nachweis wird die Beziehung Σ n 7.8,.9 9_, 8, 9 n ( b k = n ( + n) benöig, die sich aus der Summenformel für endliche arihmeische Reihen ergib. n + k n = Σ k + (n + ) = (Σ n k)+ (n + ) [n (n + ) + (n + )] = Σ = (Σ n k) = (Σ n + (n + ) ( Σ n k + (n + )) = ( Σ n +, monoonicall decreasing;. 8, ( 8,7...) k) k + (n + )) = (Σ n k) + Σ n k (n + ) + (n + ) =