Teil 2. Hier: Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differenzialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz. Stand: 1.

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1 Themenhef Begrenzes Wachsum Teil 2 Hier: Verwendung von Mehoden aus der Analysis: Wachsumsraen Differenzialgleichungen Auch mi CAS-Einsaz Sand: 1. Augus 2012 Daei Nr Gaisex für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwor wichig für das Zurechfinden in diesem Tex! Es gib mehrere Aren von Wachsums und daher auch verschiedene mahemaischen Modelle, die Wachsum beschreiben. Ein Wachsumsmodell is nichs anderes eine Funkion, deren Were eine Wachsumsar möglichs gu beschreib. Das is immer eine Näherungsrechnung, da Wachsum in der Regel so vielen Einflüssen unerworfen is, dass es für Berechnungen nowendig wird, viele Aspeke einfach außer Ach zu lassen, dami sich eine halbwegs handliche Funkion ergib. Prinzipiell kann man das Thema Wachsum auf Mielsufenniveau behandeln, aber auch auf Obersufenniveau. In der Klassensufe 9/10 wird man das Wachsum, man sprich gerne von der Besandsfunkion (denn der Besand wächs ja!) durch ihre Gleichung dergesal unersuchen, dass man berechnen kann, welcher Wer zu einem besimmen Zeipunk erreich sein wird ( is gegeben) bzw. umgekehr, wann ein besimmer Wer erreich sein wird ( is gesuch). Weiere Aufgaben lassen Schüler z. B. die prozenuale Zunahme berechnen und ähnliches. Im Grunde geh es meis nur darum, die Gleichung der Besandsfunkion nach einer ihrer Größen umzuformen und miels der Gleichungslehre deren Were zu berechnen. Für das begrenze Wachsum wird das im Tex gezeig. In der Obersufe kann man mi den Mehoden der Analysis iefer gehende Unersuchungen durchführen. Die Begriffe Wachsumsrae bzw. Wachsumsgeschwindigkei beschreiben, wie schnell das Wachsum zunimm bzw. abnimm. Die Ableiung einer Funkion leise hier wervolle Diense. Of is genau diese Wachsumsrae gegeben, d.h. man erfähr, wie sark eine Größe B() wächs. Dann soll man daraus die Besandsfunkion B errechnen. Dabei auchen sogenanne Differenzialgleichungen auf, Gleichungen, in denen eine Funkion gesuch is. Diese Fragesellungen werden in vorliegendem Tex behandel. Für den Leser wird folgendes möglicherweise zur Verwirrung führen: Wachsum kann prinzipiell auf zwei verschiedene Weisen unersuch werden. Berache man eine Wachsumsfunkion bzw. Besandsfunkion, die in der Regel die Variable (Zei) verwende, dann kann man, mahemaisch gesehen, zu jedem denkbaren -Wer, also zu jedem Zeipunk, einen Besand errechnen. Diese Funkionen sind in der Regel seige Funkionen, so dass man ein seiges Wachsum bekomm. Das heiß, die Were nehmen nie sprunghaf zu. Es gib aber Aufgabensellungen, in denen gerade das sprunghafe Wachsum zu unersuchen is. Man ha dann zu besimmen Zeipunken (1) Das sprunghafe Wachsum ri auf, wenn - wie bei der Verzinsung die Änderung der Were nich gleichmäßig erfolg, sondern nur zu gewissen Zeipunken safinde. Beim Wachsum von Bakerienpopulaionen (z. B.) ensehen dadurch solche Sprünge, dass man ihren Besand nur in besimmen Zeiabschnien unersuch. Der vorhandene und zu- oder abnehmende Besand sind dann einzelne Were, was man eine Zahlenfolge nenn. Hier geh es also dann um Zahlenfolgen. Gaisex für

3 Beim sprunghafen Wachsum, also den Zahlenfolgen, unersuch man dazu meisens die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder, also den Wachsumszuwachs B B1 B. Je nach Ar dieser Differenzengleichung kann man auf die Ar des Wachsumsmodells schließen. (2) Bei einer Temperaurzunahme oder Wachsum von Pflanzen lieg seiges Wachsum vor. Zu dessen Beschreibung verwende man seige Funkionen, die es gesaen, die Größe des sich ändernden Merkmals zu jedem Zeipunk zu berechnen. Man darf sich dabei jedoch nich verwirren lassen, dass man für seiges Wachsum auch of Zahlenfolgen verwende, die dann ensehen, wenn man die Besandswere in besimmen Zeiabsänden ermiel. Beim seigen Wachsum kann man zur Beschreibung eine seige Funkion verwenden, deren Ableiungsfunkion dann die Wachsumsgeschwindigkei der Funkionswere B() beschreib. Für den Leser dieses Texes geh es nun darum, womi er sich beschäfigen will bzw. soll. Er muss dazu miels Inhalsverzeichnis die Abschnie auswählen, die dazu passen. In 1 werden die Grundbegriffe aus dem Mielsufenex wiederhol. Es geh also darum, wie man das mahemaische Modell des begrenzen (beschränken) Wachsums definier. Dazu gib es dann zwei Berechnungsmehoden für die Were der Besandsfunkion, die3 das Wachsum beschreib. Es gib sehr of genau 2 Verfahren, die man auch aus der Theorie der Zahlenfolgen kenn: Wenn man die Gesezmäßigkei kenn, mi der unser Besand wächs, kann man aus vorhandenen Werfen den jeweils nächsen Were vorhersagen, also berechnen. Man nenn die Berechnung von Weren aus seinen Vorgängern die rekursive Berechnung. Kenn man jedoch den Funkionserm der Besandsfunkion, dann kann man direk die Besandswere zu jedem willkürlichen Zeipunk berechnen und muss dazu nich auf Vorgängerwere zurückgreifen. Das nenn man die explizie Berechnung. In 2 wird dies ewas weiergeführ, wobei speziell solche Folgen berache werden. In 3 zeige ich, wie seige Wachsumsfunkionen, die hier immer Exponenialfunkionen sind, unersuch werden können. Vor allem werden Wachsumsraen unersuch. Gaisex für In 4 geh es um Differenialgleichungen, also eigenlich darum, wie man aus der Wachsumsrae die dahiner verborgene Besandsfunkion berechnen kann. 5 enhäl zahlreiche Museraufgaben, die zeigen, wie man mi dieser Themaik umgeh.

4 Inhal Grundaufgaben zum begrenzen Wachsum in diesem Tex 6 1 Zusammenfassung der Grundlagen aus Tex Rekursive und explizie Berechnung von Besandsfolgen. 2 Die Unersuchung von Wachsumsfolgen 11 Differenzengleichungen 3 Die Unersuchung von seigen Wachsumsfunkionen Durchschniliche und momenane Wachsumsrae 13 Arbeien mi dem CAS Rechner TI Nspire Umrechnung der Besandsfunkion in eine e-funkion und umgekehr Trainingsaufgaben 1 bis Die allgemeine Wachsumsfunkion für das beschränke Wachsum 19 Aufsellen der Gleichung einer Besandsfunkion 20 4 Differenzialgleichungen für das beschränke Wachsum Zurückrechnen: Aus der Wachsumsrae die Besandsfunkion ermieln 22 Trainingsaufgabe Zu jeder Wachsumsfunkion gehör eine Differenzialgleichung 23 Trainingsaufgabe Die Lösung einer Differenzialgleichung besäigen bzw. angeben 25 Allgemeiner Ansaz, Wichige Mehode Die Lösung einer Differenzialgleichung berechnen: Schulmehode: 27 Hochschulmehode; 28 Trainingsaufgabe 6 und Museraufgaben mi höherem Anspruch 31 Museraufgabe 1 (Raenpopulaion 1) Lösung manuell und mi CAS 31 Museraufgabe 2 (Temperaurfunkion aus der Wachsumsrae besimmen) 37 Museraufgabe 3 (Kale Vanillesoße erwärmen lassen) (auch CAS) 38 Einschub 1: Rekursive Berechnung miels CAS-Rechner TI Nspire 41 Gaisex für Einschub 2: Rekursive Berechnung miels Tabellenkalkulaion EXCEL 42 Museraufgabe 4 (Mäuseexperimen) 43 Aufgabenbla (Alle Trainingsaufgaben des Texes) 46 Alle Lösungen dazu 47-56

5 45820 Begrenzes Wachsum 2 5 Hier die Übersich über die Vielfal der Texe zum Wachsum: Niveau Klassensufe 10: Lineares Wachsum Aufgaben dazu Exponenielles Wachsum Finanzmahemaik Didakische Hinweise dazu Aufgaben Exponenielles Wachsum 1a Begrenzes Wachsum Aufgaben Begrenzes Wachsum 1b Niveau Obersufe (mi Hilfsmieln der Analysis) Zenralex mi Übersich Mahemaische Hinergründe Quadraisches Wachsum Exponenielles Wachsum Aufgaben Exponenielles Wachsum 2a Begrenzes Wachsum Aufgaben begrenzes Wachsum 2b Logisisches Wachsum Aufgaben logisisches Wachsum Andere Wachsumsmodelle (Logisischer Zerfall, vergifees, chaoisches sowie verzögeres Wachsum) Im Momen sind noch alle Texe verfügbar - April 2012 Grundaufgaben zum begrenzen Wachsum in diesem Tex: Gaisex für 1. Rekursive Berechnung einer Folge beschränken Wachsums: (Seie 7) Gegeben sind Sarwer B(0) = 2, Grenzwer S = 10 und man weiß, dass das Säigungsmanko pro Zeieinhei um 20% abnimm. Daraus werden B(1) und B(2) berechne. 2. Rekursive Berechnung einer Folge beschränker Abnahme: (Seie 8) Gegeben sind Sarwer B(0) = 90, Grenzwer S = 20 und man weiß, dass das Säigungsmanko pro Zeieinhei um 5 % abnimm. Daraus werden B(1) und B(2) berechne. 3. Berechnung der Differenzengleichung einer Besandsfolge. (Seie 11 ff)

6 45820 Begrenzes Wachsum 2 6 So wie man arihmeische Folgen daran erkenn, dass bei ihnen die Differenz aufeinander folgender Glieder konsan is (bei geomerischen Folgen is es deren Quoien), so kann man auch bei Folgen des beschränken Wachsums die Differenz aufeinander folgender Glieder unersuchen. Die Theorie (Seie 10) liefer: B1 B p SB. Diese Differenzengleichung besag, dass die Differenz aufeinander folgender Glieder proporional zum Säigungsmanko is. 4. Berechnung einer mileren und der momenanen Wachsumsrae (Seie 13/16) Es geh hier um eine Sekanenseigung bzw. eine Tangenenseigung zur Wachsumskurve. 5. Umrechnungen von Besandsfunkionen in e-funkionen (Seie 17) Besandsfunkionen können durch die Basis q oder als e-funkion dargesell werden. Jede Form ha ihre Vorzüge. Daher solle man sie ineinander umrechnen können. Beispiel: T ,9895 läss auch als T e 0,0156 darsellen. 6. Allgemeine Besandsfunkion für das beschränke Wachsum (Seie 19) Aufsellen der Funkionsgleichung in Aufgaben. (Seie 19/20) 7. Aus der gegebenen Wachsumsrae die Besandsfunkion berechnen (Seie 22) 8. Zu einer Besandsfunkion eine Differenialgleichung berechnen (Seie 23) Wie sieh allgemein eine Differenzialgleichung beim begrenzen Wachsum aus? 9. Besäige, dass B... Lösung der Differenzialgleichung... is. (Seie 25) 10. Die Lösung einer Differenzialgleichung berechnen Schulmehode mi dem Ansaz B ab c (Seie 27) Hochschulmehode Trennung der Variablen (Seie 28/30) Gaisex für

7 45820 Begrenzes Wachsum Zusammenfassung der Grundlagen Die Einführung in das begrenze Wachsum seh im Tex Hier kompak das Grundwissen aus diesem Tex: 1. Das mahemaische Modell der begrenzen Zunahme geh davon aus, dass ein Besand B() dadurch zunimm, dass die Differenz seiner Were vom Grenzwer S, also S B proporional (also exponenial) abnimm. Diese Differenz heiß Säigungsmanko: d S B d1 d0 q Bei der begrenzen Zunahme gil also:. Also Folgerung gil dann 2 mi q 1 p d2 d1q d0 q d d 1 q d0 q Allgemein: d1 d q Anwendung: Rekursive Berechnung der Folgenglieder bei begrenzem Wachsum. Beispiel: Sarwer B0 2, Grenzwer S = 10 und Abnahmeprozensaz für das Säigungsmanko: p = 20%, also Abnahmefakor q = 0,8 ergeben dann: Zei = 0: Säigungsmanko: d0 SB und Zei = 1: Säigungsmanko: Besandswer: d1 d0 q80,8 6,4. Zei = 2: Säigungsmanko: B1Sd(1) 106,4 3,6 Besandswer: do 8 a0 2 d1 6,4 a1 3,6 a2 4,88 d 2 d 1 0,8 6,4 0,8 5,12. B0 2 B2 Sd2 105,12 4,88 usw. d4 3,2768 d3 4,096 d2 5,12 a4 6,7232 a3 5,904 Geomerische Differenzenfolge Gaisex für Begrenze Zunahme : Folge der Besandswere: Die Besandsfolge heiß hier an sa B(). Abb.: Zusammenhang zwischen der Folge der Säigungsmankos und der Folge der Besandswere

8 45820 Begrenzes Wachsum 2 8 a Das mahemaische Modell der begrenzen Annahme geh davon aus, dass ein Besand B() dadurch abnimm, dass die Differenz des Grenzwers S von seinen Weren, also B S proporional, also exponenial abnimm. Diese Differenz heiß Säigungsmanko: d B S Bei der begrenzen Abnahme gil also: d1 d0 q Allgemein: d 1 d q Anwendung: Rekursive Berechnung der Folgenglieder bei beschränker Abnahme: Beispiel: Sarwer B0 90, Grenzwer S = 20 und Abnahmeprozensaz für das Säigungsmanko: p = 5%, also Abnahmefakor q = 0,95 ergeben dann: Zei = 0: Säigungsmanko: d0 B0 S und Zei = 1: Säigungsmanko: d1 d0 q700,95 66,5. Besandswer: Zei = 2: Säigungsmanko: d 70 O 1 1 Besandswer: a 86,5 d 66,5 a 83,18 2 d 63, B 1 S d(1) 20 66,5 86, 5 d 2 d 1 0,95 66,5 0,95 63,175. B 2 S d ,125 83,2 a 80,02 3 d 60,02 a 77, d 57,02 Geomerische Differenzenfolge B0 90 Begrenze Abnahme: Folge der Besandszwere Gaisex für Abb.: Zusammenhang zwischen der Folge der Säigungsmankos und der Folge der Besandswere

9 45820 Begrenzes Wachsum Verallgemeinerung: Rechne man dies allgemein durch, komm man bei Wachsum und Abnahme auf dieselben Rekursionsformeln. Ob die Folge B() zu oder abnimm, lieg also nur in den Weren von S, B(0) und q begründe. Für das begrenze Wachsum gelen also folgende rekursiven Formeln: Und mi 1 q p B1 qb (1q)S (4) B1 qb ps (4 ) : Für unser Beispiel gil: p = 0,05, also q = 0,95 und es war S = 20, also is p S 1 Dami wird aus (4): Das is eine rekursive Berechnungsfolge für die B()-Were aus B(0). (4*) kann man auch so aufschreiben: B 1 0,95B 1 (4*) B 0,95B 1 1 (4#) Diese Berechnungen sehen ausführlicher im Tex auf Seie 8 Das sieh nun ewas anders aus als in den drei Berechnungen auf der Seie zuvor, denn dor sind wir von S ausgegangen, was eine sehr gue Mehode is. Die Berechnung mi der Formel (4*) geh ewas rascher: B0 90 war gegeben. B 1 0, ,5 B 1 0,95 86,5 1 83,175 83,2 Gaisex für

10 45820 Begrenzes Wachsum 2 10 Aufsellen eines explizien Funkionserms für das begrenze Wachsum: Auch hier wird auf den Tex verweisen (ab Seie 10). Dor werden zwei Mehoden gezeig, wie man einen Funkionserm zur direken, man sag auch explizien Berechnung aufsellen kann. Die bese Mehode geling mi dem Ansaz B ab c Man benöig 3 Werepaare (die man rekursiv berechnen kann), sez sie ein und erhäl so 3 Gleichungen für die 3 Unbekannen a, b und c. Beispiel: Begrenze Temperaurabnahme, von B(0) = 90 auf S = 20 mi q = 0,95. Außer B0 90benöig man noch zwei weiere Were, die man wie oben gezeig rekursiv berechnen kann (wenn sie nich schon gegeben sind): : B0 90, d Abnahme um 5%: B 1 S d(1) 20 66,5 86,5 Abnahme um 5%: : B2 S d(2) 20 63,175 83, : 2 Einsezen in B ab c: 1. Wer: B(0) 90 : O 90 a b c (1) 2. Wer: B1 86,5: 1 86,5 a b c (2) 3. Wer: B2 83,18: 2 83,18 a b c (3) Eliminaion von c durch: (3) (2): 2 3,32 ab a b (4) (2) (1): 3,5 a b a (5) Ausklammern: 3,32 a b b 1 (4 ) 3,5 a b 1 (5 ) Eliminaion von a durch (4') (5') : 3,32 a b b1 3,32 b 0,95 3,5 b1 3,5 a Eingesez in (5 ): Eingesez in (1): c c 20 Ergebnis: 3,5 3,5 3,5 a 0,95 1 a 70 0,05 0,05 B 70 0,95 20 d 1 0, ,5. d 2 66,5 0,95 63,175. Es gib sogar eine KURZÖSUNG, die dann greif, wenn man wie hier B(0) und S kenn: Gaisex für In B ab c is nämlich c = S = 20 und aus B0 a cfolg: a c 90 a 90 c , also kenn man bereis B 70b 20 Nun nimm man das Werepaar B1 86,5und sez es ein: 86,5 70 b 20 70b 66,5 b Dann ha man schon das Ergebnis: Die Abweichung komm daher, dass oben bei B 70 0, B2 83,18gerunde worden is.

11 45820 Begrenzes Wachsum Die Unersuchung von Wachsumsfolgen Lieg eine Wachsumsfolge vor, dann kenn man einzelne Werepaare. Die Frage, wie sich dann diese Were ändern, beanwore die sogenanne Differenzengleichung. Wer sich schon mi Zahlenfolgen beschäfig ha, weiß z. B. folgendes: a) Is die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder einer Folge konsan, dann lieg eine arihmeische Folge vor. Is also an 1an 5, das is hier die Differenzengleichung, dann weiß man, dass die Folge von Glied zu Glied um den Summanden 5 voranschreie, Das is dann lineares Wachsum, wenn es sich um eine Wachsumsfolge handel. b) Eine geomerische Folge unersuch man in der Regel durch eine Quoienengleichung: an1 Is der Quoien 1, 2, dann is wegen an1 1,2 an das nachfolgende Glied der Folge a n ses um den Fakor 1,2 größer als der Vorgänger. Dies ensprich dem prozenualen Wachsum um 20%, weshalb man die Gleichung a 1,2 a a a 0,2 a. n1 n auch so schreiben kann: n 1 n n Daraus folg die Differenzengleichung für das prozenuale bzw. exponenielle Wachsum: a a 0,2 a n 1 n n Sie sag aus, dass die Folgenglieder ses um 20% des akuellen Weres zunehmen. Beim prozenualen, also exponeniellen Wachsum schreib man das gerne so auf: B 1 B p B (Siehe auch Tex 45801). c) Nun kümmern wir uns naürlich um die Differenzengleichung des begrenzen Wachsums. Um diese Formel hier aufzusellen, brauch man die rekursive Formel. Man erhäl sie aus der Definiionsgleichung dieser Wachsumsar: Bei der begrenzen Zunahme ergib sich der neue Besand B 1 durch Subrakion des um p% verkleineren Säigungsmankos: und mi d S B B 1 S d 1 S q d B 1 S q S B B B B 1 S q S B Umformung der rechen Seie: folg dann Hiervon subrahier man B(): SqSqB B S 1q B q1 SpB p SB p p p aus dem Säigungswer S Gaisex für Daraus folg sofor die gesuche Differenzengleichung: B1 B psb Nun müssen wir naürlich noch die begrenze Abnahme anschauen:

12 45820 Begrenzes Wachsum 2 12 ZUSATZ: Bei der begrenzen Abnahme ergib sich der neue Besand B 1 aus dem Säigungswer S durch Addiion des um p% verkleineren Säigungsmankos: ( q 1 p) B1 Sd1 Sq d und mi B 1 SqB S B B B 1 S q B S Umformung der rechen Seie: d B S folg dann Hiervon subrahier man B(): SqB qsb S 1q B q1 SpB p SB p p p Daraus folg sofor die gesuche Differenzengleichung: B1 B psb Man erkenn, dass begrenze Zunahme oder Abnahme dieselbe Differenzengleichung besizen. Wie oben schon gesag, ergeben sich die Unerschiede aus den Zahlenweren! Man bezeichne bei Wachsumsfolgen diese Differenz B B 1 B auch als Wachsumsrae. Sie gib an, um welchen Berag die Besandsfolge B() pro Zeieinhei zunimm (wenn die Zeieinheien zähl). Für die milere Wachsumsrae in der Zeispanne 2 1 kann man dann dafür schreiben: B B 2 1 R p S B Man wird dies in der Schule wohl wenig brauchen. Dazu fehl einfach die Zei :=( Diese Unersuchungen gehören jedoch zur Theorie des Wachsums, wenn es durch Zahlenfolgen beschrieben wird. Also solle es für Sudenen und Lehrer von Bedeuung sein. Gaisex für

13 45820 Begrenzes Wachsum Unersuchung von seigen Wachsumsfunkionen 3.1 Durchschniliche und momenane Wachsumsrae Nebensehende Abbildung veranschaulich ein seiges begrenzes Wachsum. Die Gleichung der Wachsumsfunkion laue B ,99. Der Grenzwer des Wachsums is S = Und es handel sich um begrenze Zunahme, bei dem das Säigungsmanko d S B 800 0,99 exponeniell mi dem Fakor q = 0,99 abnimm, also mi p = 0,01 = 1%. Die Wachsumsrae gib an, um welchen Berag die Besandswere pro Zeieinhei zunehmen oder abnehmen. Wird die Wachsumsrae zwischen zwei Messpunken berechne, dann heiß sie milere oder durchschniliche Wachsumsrae. Sie is die Seigung der Srecke P 1 P 2 : B B( 2) B( 1) R Diese Angabe is naürlich abhängig vom Zeiinervall, in dem die Were gemessen werden. Je weier die beiden Messpunke P 1 und P 2 auseinander liegen, deso weniger aussagekräfig wird der Wer dieser Wachsumsrae. Je kleiner das Mess-Inervall is, deso besser beschreib die milere Wachsumsrae die Zunahme pro Zeieinhei. Idealerweise läss man 0 gehen und erhäl dann als momenane Wachsumsrae die Tangenenseigung an der Selle P 1, deren Berechnung mi der 1. Ableiungsfunkion geschieh: R B' 2 1 Beispiel 1: Rechenbeispiel zur Abbildung: B ,99 1. Milere Wachsumsrae für das Inervall 80 min 160 min :, B Absolue Zunahme B Milere Wachsumsrae für dieses Zeiinervall: K B B B 160 B Zeispanne: 160 min80 min 80 min B R 2,6 80min min Inerpreaion: Würde der Besand von B80 619bis B gleichmäßig zunehmen (lineares Wachsum enlang der Sekane), dann gäbe es dor eine Zunahme von ewa 2,6 Einheien pro Minue. B P 1 y S 80 P 2 y y B Gaisex für

14 45820 Begrenzes Wachsum Milere Wachsumsrae für das Inervall 80 min 100 min :, B Absolue Zunahme B Milere Wachsumsrae für dieses Zeiinervall: B B 100 B Zeispanne: 100 min80 min 20 min B 70 1 R 3,5 20min min Inerpreaion: Würde der Besand von B bis B gleichmäßig zunehmen (lineares Wachsum enlang der Sekane), dann gäbe es dor eine Zunahme von 3,5 Einheien pro Minue. Beide Zunahmen gehen von B80 619aus. Das erse Zeiinervall war größer. Hier erhäl man hier eine geringere milere Wachsumsrae als im 2. Fall, in dem man nur 20 Minuen berache. Hier is die Sekanenseigung, also die durchschniliche Zunahme pro Minue größer. 3. Eine ganz exake Aussage liefer das momenane Wachsum: Besandsfunkion: B ,99 Ableiung: B' 850 0,99 ln0,99 8,54 0,99 Die momenane Wachsumsrae zum Zeipunk 1 = 80 min is der Ableiungswer für = 80: R80 B'80 3,82 Man erkenn, dass zum Zeipunk 1 =80 die Zunahme pro Minue (wenn man die Zunahme so lange konsan halen würde) 3,82 Einheien pro Minue beräg, also naürlich ewas größer als die mileren Wachsumsraen von zuvor. HILFE: Für eine Exponenialfunkion mi der Basis e (Eulersche Zahl 2,71828 ) gil: x x f x e f' x e. Für Exponenialfunkionen mi beliebiger Basis b gil: x x f x b f' x b lnb Wobei ln der naürliche Logarihmus zur Basis e is. ZUSATZ: Arbeien mi dem CAS-Rechner TI Nspire: Zuers wird die Besandsfunkion definier. Dami kann man Were berechnen. Die durchschniliche Wachsumsrae dwr definier man als Funkion mi 2 Variablen. Dami habe ich anschließend die beiden Mileren Wachsumsraen von oben berechne. Dann folge die Berechnung der 1. Ableiung, die dann zur momenanen Wachsumsrae mwr definier wird. Gaisex für

15 45820 Begrenzes Wachsum 2 15 Beispiel 2 Die Temperaurfunkion T beschreib die Temperaur einer sich in Zimmeremperaur erwärmenden gekühlen Vanillesoße: T ,9895 a) Bei welcher Temperaur sare die Erwärmung? Wie wird in dieser Funkion die Zimmeremperaur angesez? Mi welchem Prozensaz änder sich das Säigungsmanko? b) Berechne die durchschniliche Temperauränderung zwischen der 50. und der 100. Minue nach Beginn des Erwärmungsvorgangs. c) Wie groß sind die momenanen Temperauränderungen zu den Zeipunken 1 = 50 min und Lösung: 2 = 100 min? a) 0 T , is die Anfangsemperaur der Soße. S limt 22 is die Zimmeremperaur, denn lim 0, Das Säigungsmanko is die Differenz zwischen Soßenemperaur und Zimmeremperaur: d S T , ,9895. Das anfängliche Säigungsmanko is d0 12. Pro Minue nimm es mi dem Fakor q = 0,9895 ab. Wegen q 1p p 1q 10,9895 0,0105 nimm das Säigungs- manko pro Sekunde um 1,05% ab. b) Durchschniliche Wachsumsrae der Temperaur zwischen der 50. und der 100. Minue:, T 50 14,9 22 T 100 T 50 R 50 T100 17,8 ergib: 17,8 14,9 R 0, , Oder auf einmal berechne: 12 0, c) Die momenane Änderungsrae wird durch deren Ableiung beschrieben: T , ,9895 0,9895 0,058 T' 12 0,9895 ln 0,9895 0,1267 0,9895 (Hinweis: Da Logarihmen von Zahlen des Inervalls 0;1 negaiv sind, enhäl ln 0,9895 ein verseckes Minuszeichen, so dass die Ableiungswere posiiv sind!) Die momenane Änderungsrae nach 50 s is dann: T' ,9895 ln 0,9895 0,075 Das heiß, dass zu diesem Zeipunk die Erwärmung so vor sich geh, dass die Temperaur bei gleichmäßig gedacher Erwärmung pro Sekunde um 0,075 Grad zunimm (enlang der Tangene!). Nach = 100 s: 50 Gaisex für is die Wachsumsrae ewas schwächer. T' ,9895 ln 0,9895 0,044

16 45820 Begrenzes Wachsum 2 16 Beispiel 3: Begrenze Abnahme Ein frisch gekocher Schokopudding kühl sich gemäß der Funkion T ,965 ab. a) Bei welcher Temperaur beginn die Beobachung der Abkühlung? Wie wird in dieser Funkion die Zimmeremperaur angesez? Mi welchem Prozensaz änder sich das Säigungsmanko? b) Berechne die durchschniliche Temperauränderung zwischen der 30. und der 40. Minue nach Beginn des Erwärmungsvorgangs. Vergleiche das Ergebnis mi der Abkühlung zwischen der 60 und 70. Minue c) Wie groß sind die momenanen Temperauränderungen zu den Zeipunken 1 = 30 min und Lösung: 2 = 60 min? a) Anfangsemperaur: 0 Zimmeremperaur: T , S limt 18, denn Säigungsmanko: Zum Zeipunk = 0: d T S 52 0,965. lim0,965 0 d0 52. Dann nimm es pro Minue mi dem Fakor q 0,965 ab, d. h. mi dem Prozensaz p 1q 0,035 3,5% b) T30 35,9,, T 60 24,1 T 40 30,5. Durchschniliche Wachsumsrae: T 70 22,3. Durchschniliche Wachsumsrae: Mi forschreiender Zei is die milere Abnahme pro Minue kleiner. 30,5 35,9 R 0, ,3 24,1 R 0, c) Ableiung: T' 52 0,965 ln9,965 1,85 0,965 Hier der Screensho zur Momenane Wachsumsrae zum Zeipunk 1 = 30 (min): zum Zeipunk 1 = 60 (min): Nach einer Sunde geh die Temp. pro Minue nur noch um 0,2 O C zurück! Eine negaive Wachsumsrae gib die Abnahme der Were an. Berechnung dieser Were R30 T'30 0,64 mi TI Nspire. Erklärung R30 T'30 0,22 2 Seien zuvor! Gaisex für