Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011

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Markus Kopp
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1 Prüfung Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen 0 Aufgabe : (0 Minuen) a) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sich die folgende funkionale Form für die (, ) -Koordinaen der (rein riskanen) Randporfolios (lokal varianzminimalen Porfolios): 0 05 i) Wie laue der effiziene Rand, wobei μ als Funkion von σ darzusellen is? ii) Besimmen Sie die Gleichung der Tangenialgeraden uner der Annahme eines sicheren Zinses von r ! b) Gegeben sei ein synheisch erzeuges Pu Hedge (Basisiel + Pu long) Wie laue die Dela-Normal-Approximaion für diese Posiion über ein Zeiinervall [, h] im Falle von Black/Scholes-Opionspreisen? Hinweis: Das Pu-Dela laue im Falle der Black/Scholes-Formel [ d ()] N Lösungsskizze: a) i) Löse quadraische Gleichung 0 (05 Lösung laue: ) (05 ) Der effiziene Rand ensprich dem oberen As dieser Wurzelfunkion, d h ii) Seze Tangenialgerade an in der Form r 0 a 004 a Einsezen [Alernaive: Schni mi effizienem Rand aus Aufgabeneil a)] in 0 05 liefer

2 bzw (0a 0(004 a) a 0a (004 a) 05 ) a a 05 Die Lösung dieser quadraischen Gleichung führ auf a a, (0a ) Eine Tangene kann nur vorliegen, wenn die Diskriminane Hieraus folg a 0744 / 6 04 bzw a Die Gleichung der Tangenialgerade laue somi a null is b) Synheisches Pu Hedge PH S P, wobei S den Kurs des Underlying und P den Wer der ensprechenden Puopion bezeichne Zu approximieren: PH PH PH h Ansaz Dela-Approximaion: PH PH PH (S h S ) S S S Nun gil: PH (S P ) S P P(), wobei P ) S S S S ( das Pu-Dela bezeichne Dami haben wir nach Hinweis im Falle der Black/Scholes-Formel: PH ( N[ d()]) S N[d()] S Normal-Approximaion: Zusäzlich wird angenommen, dass S S S normalvereil is h

3 3 Aufgabe : (5 Minuen) a) Berachen Sie den sochasischen Prozess ( 0) V ( r) S, wobei S einer Geomerischen Brownschen Bewegung folg Der Prozess V is der ensprechende diskoniere Kursprozess Wie laue die sochasische Differenialgleichung dieses Prozesses in kanonischer Form (dh Darsellung von Drif und Diffusion als Funkionen von V)? Hinweis : Produkregel oder Lemma von Io Hinweis : a x exp( x lna) b) Gegeben seien die sochasischen Prozesse { X } sowie { }, die Lösungen der sochasischen Differenialgleichungen sowie sind dx d X d X dw d dw Besimmen Sie die sochasische Differenialgleichung des Prozesses kanonischer Form! Z : X / in Hinweis : Produkregel Hinweis : Sezen Sie als bekann voraus: d ( ) d dw Lösungsskizze: a) Definiere h() ( r) exp[ ln( r)] Hieraus folg mi u : ln( r) dh() d bzw dh() ln( r)h() uh() uh() d Insbesondere besiz diese Differenialgleichung keinen Diffusionserm, dh es gil 0 h

4 4 Produkregel: dv d(hs) h ds S dh d Für die Geomerische Brownsche Bewegung gil Insgesam gil dami: dv h ( S d S dw ) S uh d ( u) h S d h S dw ( u) V d V dw S h ds S d S dw Alernaiver Lösungsweg: (Basis: Lemma von Io) F(, x) ( r) x e u x F u e u x u F F x e F xx 0 S u x, x S F x F F Fx S Fxx S u F F x ( u)f x F S F x x F F x b) Produkregel: d X X d Somi gil dx X / d d X X ( ( X d X dw ) [( ) d X X ) ] d ( ) dw X d dw bzw mi Z : X / und Umsorierung der Parameer dz [( ) ]Z d ( ) Z dw

5 5 Aufgabe 3: (5 Minuen) Unersellen Sie für die Kursenwicklung einer Akie einen zweiperiodigen Binomialgierprozess mi Sarwer s 0 00 und einer prozenualen Aufwärsbewegung von 30% bzw einer prozenualen Abwärsbewegung von 0% pro Periode Der Zinssaz für eine sichere Kapialanlage bzw Kapialaufnahme berage r = 5% und es herrsche eine flache Zinssrukur a) Sellen Sie zunächs die Enwicklung des Akienkurses von = 0 bis = dar! b) Besimmen Sie auf Basis des Duplikaionsprinzips den arbiragefreien Preis in = 0 einer zweiperiodigen Europäischen Callopion auf die berachee Akie Der Ausübungspreis der Opion sei 60 c) Berachen Sie nun eine Bearanleihe (ohne Kuponzahlungen) auf die zugrunde liegende Akie mi einer Laufzei von Jahren und einem Nennwer von Die Parizipaionsrae an der nich-annualisieren (negaiven!) Rendie der zugrunde liegenden Akie berage 40% i) Besimmen Sie den Markwer der Bearanleihe durch (direke) Duplikaion des Rückzahlungsprofils der Anleihe! ii) Wie hoch is der Markwer, wenn die Bearanleihe zusäzlich einen jährlichen Nominalzins von 5% abwirf? Lösungsskizze: a) s 0 =00 S u = 60 S d = 60 S uu = 338 S ud = S du = 08 S dd = 8 b) Wer der Callopion C max{s 60,0} Werenwicklung daher

6 6 C uu = 78 C 0 C u C d C ud = C du = 0 C dd = 0 Rekursive Besimmung des Callpreises: i) Besimmung von C u : Duplikaion in = ergib (I) 338x + (05)y = 78 (II) 08x + (05)y = 0 Aus (I) (II) folg 30x = 78 und dami x = 06 Dami is y (05) In = resulier hieraus: C u x y ii) Da C C 0 is auch C d 0 ud dd iii) Besimmung von C 0 : Duplikaion in = ergib (I) 60x + (05)y = 374 (II) 60x + (05)y = 0 Aus (I) (II) folg 00x = 37 und dami x = 0374 Aus (II) ergib sich hieraus für y: y (05) Hieraus folg insgesam C

7 7 c) i) Enwicklung Bear-Anleihe: BA uu BA u BA 0 BA ud = BA du BA d B dd Die Bear-Anleihe zahl einen Bonus auf den Nennwer nur im Falle einer negaiven Rendieenwicklung der Akie, d h zunächs gil BA uu BA ud Es gil ferner Sdd (08) S0 064 S0 Der Bonus im Zusand dd laue somi [Alernaiv: Rückzahlung in dd laue Sdd S [ 04 S ] [ 04( 036)] Insgesam gil somi BA dd α) Besimmung BA u : Da aus Sich des Knoens u (in = ) die Rückzahlung in = sicher is, dh sowohl in uu als auch in ud beräg, gil BA u (05) β) Besimmung BA d : (I) 08x + (05)y = (II) 8x + (05)y = Aus (I) (II) folg 80x = und dami x = 80 Hieraus folg y ( )(05) (05) und dami BA d 60( 80)

8 8 γ) Besimmung BA 0 : (I) 60x + (05)y = (II) 60x + (05)y = Aus (I) (II) folg 00x = und dami x = Hieraus folg y [ (685745)](05) ( )(05) (05) Hieraus folg dami insgesam BA 0 00(685745) Im Vergleich dazu laue der Wer einer vergleichbaren Anleihe ohne Bonus (05) ii) Die zusäzlichen Zahlungen sind (005) = sowohl in = als auch in = Bewerung durch Barwerbildung zu 5% ergib eine Markwererhöhung von 5 000(05) 5 000(05)

9 9 Aufgabe 4: (0 Minuen) a) Gegeben sei eine einfache DAX-Bullanleihe (ohne Kuponzahlungen) mi einer Laufzei von Jahren und einem Nennwer von Die Parizipaionsrae an der nichannualisieren posiiven DAX-Rendie berage 0% Der DAX sehe bei Emission der Anleihe bei 5000 i) Welches Rückzahlungsprofil weis diese Bullanleihe in = auf? ii) Zerlegen Sie dieses Rückzahlungsprofil so, dass ein Besandeil dieser Zerlegung eine Puopion is Wie läss sich der zweie Besandeil dieser Zerlegung repräsenieren? b) Ein Invesor habe ein Budge von EUR 500- Der Invesor möche ein Porfolio aus in = fälligen Einheis-Zerobonds sowie Long Calls auf die X-Akie bilden, das in = ein idenisches Rückzahlungsprofil wie ein (voll invesieres) : Pu Hedge besiz Die zur Verfügung sehenden Opionen weisen dabei folgende Aussaungsmerkmale auf Die Pus laufen Jahr, haben einen Ausübungspreis von EUR 30- und einen Markwer von EUR 388 Der Call auf die X-Akie laufe ebenfalls Jahr, habe einen Ausübungspreis von EUR 30- und einen Markwer von EUR 5- Unersellen Sie, dass sämliche eingegangenen Opionsposiionen auf Kredi finanzier werden Der einheiliche Markzins für eine Kapialanlage bzw Kapialaufnahme berage 5% Die X-Akie besiz in = 0 einen Markpreis von EUR 00 Wie lauen die Posiionsaneile, die für eine Duplikaion nowendig sind? Lösungsskizze: a) i) Rückzahlungsprofil is gegeben durch B DAX() max00 000, max00 000, [DAX() 5 000] ii) Zerlegung des Rückzahlungsprofils uner ii) durch Herausziehen der zweien Komponene B [DAX() 5 000] max [DAX() 5 000], DAX() 4max{5 000 DAX(),0} Die zweie Komponene dieser Zerlegung beseh aus 4 zweijährigen Pus auf den DAX mi Ausübungspreis X = Die erse Komponene beseh aus einem

10 0 zweijährigen Zerobond mi Rückzahlung sowie dem Wer von 4 DAX- Aneilen (in = ) b) Bezeichne S den Wer der X-Akie in = In = 0 können 5 Akien erworben werden Dami is auch eine Long-Posiion in 5 Pus zu eablieren i) Posiion V des Pu Hedge in = : ii) V 5[S max(30 S,0)] 5P (05) 5max(S,30) 9405(05) 5max(S,30) Der Einheiszerobond kose in = 0 (05) Geldeinheien Der Invesor kann sein gesames Budge zum Erwerb von Einheiszerobonds einsezen, da die Einnahmen aus der Long Call-Posiion auf Kredi finanzier werden In = 0 gil somi beim Erwerb von x Einheiszerobonds und einem sicheren Zins von 5%: x (05) 500, d h x 500(05) 55 Duplikaionsgleichung in = bei Vorliegen von y Long Calls: x ymax(s 30,0) yc (05) 0 5max(S,30) 0375 Mi x = 55, C 0 = 5 und bei einer Wahl von S = 30 resulier hieraus: y bzw 575y und dami y 5 Es sind somi insgesam 55 Einheiszerobonds zu erwerben und 5 Calls zu kaufen, um die voll invesiere Pu Hedge-Posiion zu duplizieren

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