Finanzmathematik. Wolfgang Müller. Institut für Statistik Technische Universität Graz

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1 Finanzmahemaik Wolfgang Müller 213 Insiu für Saisik Technische Universiä Graz

2 Inhalsverzeichnis 1. Markmodelle in diskreer Zei Das Binomialmodell Das allgemeine N-Perioden Markmodell Handelssraegien und Arbirage Der Fundamenalsaz der Arbirage-Theorie Bewerung europäischer Opionen Der faire Preis einer Forderung Vollsändige Markmodelle Das Binomialmodell Bewerung amerikanischer Opionen Der faire Preis eine amerikanischen Forderung Bewerung einer amerikanischen Call-Opion Bewerung einer amerikanischen Pu-Opion Markmodelle in seiger Zei Selbsfinanzierende Handelssraegien Arbirage Der faire Preis einer Forderung Das Black-Scholes Modell Das äquivalene Maringalmaß Vollsändigkei des Black-Scholes Modells Konsrukion einer Arbirage im Black-Scholes Modell Nicheindeuigkei absichernder Handelssraegien Das mehrdimensionale Black-Scholes Modell Kriik am Black-Scholes Modell Sprung Diffusions Modelle Fourieranalyische Mehode der Preisberechnung Varianz-opimales Hedgen uner Q Alernaive äquivalene Maringalmaße Modelle mi sochasischer Volailiä Das Heson Modell Das Baes Modell

3 Inhalsverzeichnis 8. Hedgen in unvollsändigen Markmodellen Lokal risikominimierendes Hedgen Anwendung auf das zeidiskree Black-Scholes Modell Lokal risikominimierendes Hedgen und Fourieranalysis Zinssrukurmodelle Der Zinsmark Shor-Rae Modelle Das erweiere Vasiček Modell Wechsel des Numéraire Die Markformel für Caples Das LIBOR-Markmodell A. Sochasische Differenialgleichungen 87 B. Poisson Prozesse 99 W. Müller ii

4 1. Markmodelle in diskreer Zei 1.1. Das Binomialmodell Das Binomialmodell oder Cox-Ross-Rubinsein Modell beseh aus zwei Finanzgüer, die nur zu den Zeipunken,1,...,N gehandel werden. Das erse Finanzgu is eine risikolose Anleihe mi einer fesen Zinsrae ρ, d.h. der Preis einer zum Zeipunk in die Anleihe invesieren Geldeinhei is zum Zeipunk n gleich S n = 1+ρ n. Das zweie Finanzgu is eine Akie, deren Preis zum Zeipunk n als zufällig modellier wird, und zwar durch n Sn 1 := S 1 Y k. Dabei is S 1 der gegebene deerminisische Anfangspreis der Akie und Y 1,...,Y N sind unabhängige, idenisch vereile Zufallsvariable, die nur die Were d und u mi < d < u annehmen. Es gil PY j = u = p, PY j = d = 1 p. k=1 Eine alernaive Darsellung des Akienpreises is S 1 n = S 1 u Wn d N Wn, wobei W n := #{k n Y k = u} eine binomialvereile Zufallsvariable is, d.h. n PW n = k = p k 1 p n k k n. k Die Preisenwicklung der Akie läss sich gu in einem Binomialbaum veranschaulichen. Seine Wurzel beseh aus dem Anfangspreis der Akie. Jeder Knoen der n-en Ebene des Baumes repräsenier einen möglichen Preis der Akie zum Zeipunk n und ha zwei Nachfolger. Man beache, dass S 1 n nur n+1 verschiedene Were annimm. Durch die Preise der Finanzgüer is das Binomialmodell noch nich vollsändig beschrieben.zusäzlichnehmenwiran,dasszumzeipunknallebisherigenakienpreises 1,...,S1 n bekann sind. Dieser Informaionsverlauf wird alernaiv durch die Filraion F = F n n N, F n := σs 1,...,S 1 n, beschrieben, wenn man annimm, dass zum Zeipunk n genau die F n -messbaren Zufallsvariablen bekann sind. Das is deshalb sinnvoll, weil eine Zufallsvariable Z genau dann σs 1,...,S1 n-messbar is, wenn sie sich in der Form Z = hs 1,...,S1 n schreiben läss, wobei h eine messbare Funkion is. Im Binomialmodell gil F n = σy 1,...,Y n.

5 1. Markmodelle in diskreer Zei Bemerkung. Das Binomialmodell kann wie folg auf einem endlichen Wahrscheinlichkeisraum realisier werden: Man seze Ω = {,1} N, A = PΩ, und P{ω} = p ω 1 p N ω. Dabeibezeichne ω dieanzahldereinseninω = ω 1,...,ω N {,1} N.DannsinddieZufallsvariablen Yω := uω j +d1 ω j unabhängig mi PY j = u = p und PY j = d = 1 p. Bemerkung. Das Binomialmodell schein auf den ersen Blick exrem unrealisisch zu sein. Zerleg man allerdings das Zeiinervall [,T] in N Teilinervalle der Länge = T/N, und modellier man die Preise der Anleihe und der Akie zum Zeipunk n durch den Anleihenpreis S n und den Akienpreis S 1 n eines N-Perioden Binomialmodells mi den Parameern ρ N = r, u N = e σ, d N = 1 u N, p N = 1+µ d N u N d N, dann konvergier für N der Anleihenpreis des Binomialmodells bei linearer Inerpolaion zwischen den Süzsellen gegen S = e r, und der Akienpreis des Binomialmodells gegen den Akienpreis µ S 1 = S 1 σ 2 exp +σb 2 T des Black-Scholes Modells. Dabei bezeichne B T eine Brownsche Bewegung. Die Parameer der Black-Scholes Modells sind r, µ R und σ > Das allgemeine N-Perioden Markmodell Die folgende Definiion beschreib das mahemaische Modell eines Markes, bei dem nur zu den Zeipunken,...,N gehandel wird, und der aus d+1finanzgüern Anleihen, Akien, Rohsoffen, Devisen, ec beseh. Der Preis des j-en Finanzgues wird mi S j n bezeichne. Das Finanzgu of eine risikolose Anleihe wird zum Preisvergleich herangezogen. Wir sezen daher voraus, dass S n > und nennen S j n = Sj n S n den diskonieren Preis des j-en Finanzgues zum Zeipunk n. Definiion 1.1 N-Perioden Markmodell. Ein N-Perioden Markmodell beseh aus einem Wahrscheinlichkeisraum Ω, A, P, einer Filraion F = F n n N von A, die den Informaionsverlauf beschreib, einem d+1-dimensionalen Preisprozess S = S n n N mi S n = S n,s 1 n,...,s d n. W. Müller 2

6 1. Markmodelle in diskreer Zei Wir sezen voraus, dass der Preisprozess S an die Filraion F adapier is d.h. dass zum Zeipunk n alle Preise S j k mi k n bekann sind. Weiers sezen wir voraus, dass S n > und nennen S = S n n N, Sn = 1, S n,..., 1 S n, d den diskonieren Preisprozess. Wir nehmen ses an, dass F nur P-Nullmengen enhäl, d.h. alle F -messbaren Zufallsvariable sind P-f.s. konsan. Zum Zeipunk lieg also keine Informaion über das Zufallsexperimen vor. Ein Beispiel is das Trinomialmodell, das analog zum Binomialmodell definier is, bei dem aber die Zufallsvariablen Y j drei verschiedene Were < d < m < u annehmen können. Aus jedem zeiseigen Markmodell ewa dem Black-Scholes Modell erhäl man ein zeidiskrees Modell, indem man Handel nur zu endlich vielen Zeipunken zuläss Handelssraegien und Arbirage Die folgenden Begriffe beschreiben das Handeln in einem N-Perioden Markmodell. Ein Porfolio is die Zusammensellung von x j Einheien des Finanzgues j. Es wird durch einen Vekor x = x,...,x d R d+1 beschrieben. Der Wer des Porfolios x zum Zeipunk n is definier durch d x S n := x j Sn. j Eine Handelssraegie is ein vorhersagbarer d + 1-dimensionaler Prozess j= X = X n 1 n N, X n = X n,...,x d n. X n wird inerpreier als das in der n-en Periode n 1,n] gehalene Porfolio. Wir sezen zusäzlich X := X 1 und X N+1 :=. Man beache: Weil X vorhersagbar is, is X n F n 1 - messbar, und daher bereis zum Zeipunk n 1 bekann 1. Der Wer der Handelssraegie X zum Zeipunk n is durch V n X := X n S n n N fesgeleg. V n X is der Endwer des im Zeiinervall n 1,n] gehalenen Porfolios. Der Wer der Handelssraegie X zum Zeipunk n+ is durch V n+ X := X n+1 S n n N definier. V n+ X is der Anfangswer des in n,n + 1] gehalenen Porfolios. Speziell is V X = V + XundV N+ X =.DerProzessVX = V n X n N heißwerprozess der Handelssraegie X. Analog heiß Ṽ n X := S n 1 V n X = X n S n der diskoniere Wer zum Zeipunk n und ṼX = ṼnX n N der diskoniere Werprozess der Handelssraegie X. 1 Mi dieser Inerpreaion is für beschränkes X der Prozess X = X I {} + N n=1 XnI n 1,n] ein einfach vorhersagbarer Prozess im Sinn der Sochasischen Analysis. W. Müller 3

7 1. Markmodelle in diskreer Zei Der Ennahmeprozess oder Konsumprozess δx = δ n X n N is durch δ n X := V n X V n+ X = X n X n+1 S n n N definier. δ n X beschreib das Kapial, das zum Zeipunk n bei der Umschichung vom alenporfoliox n zumneuenporfoliox n+1 freiwirdbzw.zugeschossenwerdenmuss.insbesonders is δ X = und δ N X = V N X der Wer der Handelssraegie zum Zeipunk N. Man beache, dass δx adapier is. Analog is der diskoniere Ennahmeprozess δx := δ n X n N durch definier. δ n X := S n 1 δ n X = X n X n+1 S n n N Definiion 1.2 selbsfinanzierend. Eine Handelssraegie X heiß selbsfinanzierend, wenn δ n X = für alle 1 n < N, d.h. das Anfangsporfolio wird zu jedem Zwischenzeipunk zur Gänze neu invesier. Nach N Perioden enseh aus dem Anfangswer V X der Endwer V N X. Für selbsfinanzierende Handelssraegien gil V n X = V n+ X für n < N. Definiion 1.3 Arbirage. Eine Handelssraegie X heiß Arbirage, wenn i V X P-f.s., ii δ n X P-f.s. für alle 1 n N, iii Pδ n X > > für ein n. Das Anfangsporfolio X kann also ohne Kosen aufgebau werden und Handel gemäß X ermöglich mi posiiver Wahrscheinlichkei risikolosen Gewinn. Ein Markmodell, in dem es keine Arbirage gib, heiß arbiragefrei. Lemma 1.4. Ein Modell is genau dann arbiragefrei, wenn es keine selbsfinanzierende Handelssraegie mi Anfangswer V X = gib, deren Endwer erfüll. V N X P-f.s., und PV N X > > 1.1 Beweis. Is das Modell arbiragefrei, dann gib es offensichlich keine selbsfinanzierende Handelssraegie mi Anfangswer die 1.1 erfüll. Sei umgekehr diese Bedingung erfüll und X eine Handelssraegie mi V X und δ n X für alle n. Wir konsruieren aus X eine selbsfinanzierende Handelssraegie X mi V X =, die sich von X nur in der ersen Komponene unerscheide, und für die Ṽ N X = N δ n X ṼX. 1.2 n=1 W. Müller 4

8 1. Markmodelle in diskreer Zei Dazu sezen wir X n = ξ n,x 1 n,...x d n. Die Bedingung ṼX = is gleichbedeuend mi ξ 1 = X 1 ṼX. Die Handelssraegie X is genau dann selbsfinanzierend, wenn δ n X = δ n X X n X n+1+ξ n ξ n+1 = 1 n < N. Das leg die ξ n eindeuig fes man beache, dass ξ n F n -messbar is. Summaion über 1 n < N liefer N 1 δ n=1 n X + XN X 1 + ξ 1 ξ N =. Daraus folg mi ṼNX = ξ N + δ N X XN die Gleichung 1.2. Auf die so konsruiere Handelssraegie X is die Voraussezung des Lemmas anwendbar. Das liefer P-f.s. Ṽ N X = und, weil alle δ n X, auch P-f.s δ n X =. Das Modell is also arbiragefrei. Bemerkung. In realen Märken gib es of Arbirage-Möglichkeien. Diese ensehen z.b. wenn ein Gu zu verschiedene Preisen angeboen wird. Diese Preisunerschiede werden aber schnell verschwinden, wenn Markeilnehmer die Arbirage-Möglichkei zu ihren Gunsen ausnuzen. Ein realer Mark wird also annähernd arbiragefrei sein. Im Gegensaz dazu sollen mahemaische Markmodelle ses arbiragefrei sein, weil das Modell sons beliebig hohe risikolose Gewinne zuläss Der Fundamenalsaz der Arbirage-Theorie Saz 1.5 Fundamenalsaz der Arbirage-Theorie. Ein N-Perioden Markmodell is genau dann arbiragefrei, wenn ein zu P äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß Q exisier, bezüglich dem der diskoniere Preisprozess S ein Maringal is. Bemerkung. Zwei Wahrscheinlichkeismaße heißen äquivalen, wenn sie die selben Nullmengen haben. Das Maß Q heiß äquivalenes Maringalmaß oder risikoneurales Maß für S. Q is im Allgemeinen nich eindeuig besimm. Die Menge M S der zu P äquivalenen Maringalmaße für S is eine konvexe Menge. Der Beweis der Fundamenalsazes verwende das diskree sochasische Inegral: Sind X = X n 1 n N und Z = Z n n N zwei Prozesse gleicher Dimension d, dann heiß der durch n X Z n := X k Z k Z k 1 k=1 definiere Prozess X Z = X Z n n N das diskree sochasische Inegral 2. Lemma 1.6 diskrees sochasisches Inegral. Sei X vorhersagbar und Z ein Maringal, dann gil: i X Z is ein lokales Maringal. ii Is X beschränk d.h. X n K für 1 n N, dann is X Z ein Maringal. iii Is X Z N inegrierbar, dann is X Z ein Maringal. iv Is X Z N P-f.s. durch eine Konsane nach unen beschränk, dann is X Z ein Maringal. 2 Bei dieser Definiion is ses X Z =. W. Müller 5

9 1. Markmodelle in diskreer Zei Beweis. Wir zeigen zuers ii. Is X beschränk, dann sind alle in X Z aufreenden Summanden inegrierbar, weil Z inegrierbar is. Die Behaupung folg aus EX Z n+1 F n = X Z n +X n+1 EZ n+1 Z n F n = X Z n. i Im zeidiskreen Fall is ein vorhersagbarer Prozess X ses lokal beschränk. Das sieh man wie folg: T m := inf{n X n+1 > m} N is eine Soppzei mi T m N für m. Weil Xn Tm m für n 1 is X lokal beschränk. Nach ii is daher X Z Tm = XI,Tm] Z ein Maringal. Das beweis i. Zum Beweis von iii zeigen wir allgemeiner,dassjedeszeidiskreelokalemaringalm,dessenendwerm N inegrierbaris, ein Maringal is. Sei T m eine Lokalisierungfolge. Aus der Jensenschen Ungleichung folg, dass M Tm ein Sub-Maringal is. Die Inegrierbarkei von M n erhäl man mi Hilfe des Lemmas von Faou E M n = Eliminf m MTm n liminf m E MTm n liminf m E MTn N Elimsup M Tm N EM N <. m Dami is U := N n= M n eine inegrierbare Majorane von sup n N M n. Miels dominierer Konvergenz sieh man nun leich, dass M ein Maringal is. Zum Beweis von iv zeigen wir, dass ein lokales Maringal M = M n n N mi M N K ses ein Maringal is. Dazu können wir obda K = annehmen sons berache man das lokale Maringal M +K. Durch Rückwärsrekursion zeigen wir zuers, dass dann M n für alle n. Sei T m eine Lokalisierungsfolge und M n für ein n 1. Weil M Tm ein Maringal is, gil = E I {Mn 1 <,T m n}m Tm n M Tm n 1 = E I {Mn 1 <,T m n}m n M n 1. Mi m folg miels monooner Konvergenz EI {Mn 1 <}M n M n 1 =. Man beache, dass M n M n 1 > auf {M n 1 < }. Das beweis PM n 1 < =, was wiederum gleichbedeuend zu M n 1, P-f.s., is. Aus dem Lemma von Faou folg nun die Inegrierbarkei von M n EM n = E liminf m MTm n liminf E M Tm m n = EM <. Dami is U := N n= M n eine inegrierbare Majorane und aus der dominieren Konvergenz folg, dass M ein Maringal is. Die finanzmahemaische Bedeuung des Sochasischen Inegrals wird durch folgendes einfache Lemma sichbar. Lemma 1.7. Is X eine Handelssraegie, dann gil und speziell X S n 1 n = δ k X+ṼnX ṼX n N k=1 X S N N = δ k X ṼX. k=1 W. Müller 6

10 1. Markmodelle in diskreer Zei Wir nennen X S den diskonieren Vermögenszuwachsprozess der Handelssraegie X. Er sez sich zusammen aus der Summe der vergangenen diskonieren Ennahmen und der Differenz aus dem Wer des in der Sraegie verbleibenden Porfolios und dem Wer des Anfangsporfolios. Beweis. X S n = n X k S k S k 1 = k=1 n k=1 X k S n 1 k X k+1 S k = k= n 1 δ k X+X n S n X 1 S. Die gleiche Rechnung zeig, dass diese Beziehung auch für nich diskoniere Prozesse richig is. Lemma 1.8. Sei U := {X S N X is beschränk und selbsfinanzierend mi V X = }. Ein Wahrscheinlichkeismaß Q is genau dann Maringalmaß für S, wenn E Q U = für alle U U. Beweis. Is Q ein Maringalmaß für S und U = X S N U, dann is X S ein Maringal bezüglich Q und daher E Q U =. Sei umgekehr E Q U = für alle U U. Zu zeigen is, dass S j für alle 1 j d ein Maringal bezüglich Q is. Das is äquivalen zu E Q I A S j n S j n 1 =, A F n 1, 1 n N, 1 j d. Das wiederum folg aus unserer Annahme, wenn wir zeigen können, dass I A S n S j j n 1 U. Dazu berachen wir die Handelssraegie X mi X m = für m n und X n = I A e j. Hier bezeichne e j den j-en Einheisvekor. Für n 2 erfüll diese Handelssraegie δ n 1 X = I A Sj n 1, δ n X = I A Sj n und δ m X = sons. Für n = 1 is ṼX = I A Sj, δ 1 X = I A Sj 1 und δ m X = sons. Wie im Beweis von Lemma 1.4 konsruieren wir daraus eine beschränke selbsfinanzierende Handelssraegie X mi ṼX = und X S N = N n=1 δ n X ṼX = I A S n j S j n 1. k=1 Beweis der Fundamenalsazes: Sei zuers S ein Maringal bezüglich Q und X eine HandelssraegiemiṼX undδ n X fürallen 1.InsbesondersisX S N. Nach Lemma 1.6 is X S ein Q-Maringal, und daher E N Q n=1 δ n X ṼX = E Q X SN =. Daraus folg Q δn X > = für alle n 1 und, weil Q äquivalen zu P is, auch P δ n X > = für alle n 1. Das Modell is daher arbiragefrei. Diese für die Anwendung bedeuendere Richung des Sazes haben wir in voller Allgemeinhei bewiesen. Die Umkehrung is schwieriger. Wir beweisen Sie uner der vereinfachenden Annahme, dass der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeisraum endlich is, d.h. Ω <. Dann sind alle Zufallsvariable beschränk. Zusäzlich nehmen wir an, dass P{ω} > für alle ω Ω. Das is keine Einschränkung, weil wir ses zu einem kleineren Wahrscheinlichkeisraum übergehen können, der diese Bedingung erfüll und der sich vom Ursprünglichen nur auf einer Nullmenge unerscheide. Wir berachen die Mengen { U := X S } X N is beschränk und selbsfinanzierend mi V X = R Ω R Ω W. Müller 7

11 1. Markmodelle in diskreer Zei und { K := Z : Ω R Z, ω ΩZω } = 1. U is ein linearer Unerraum des R Ω und K eine kompake, konvexe Teilmenge. Wir zeigen U K =. Jedes Z U K besiz eine Darsellung Z = X S N = ṼNX. Aus der Arbiragefreihei folg Z =, also Z K. Nun verwenden wir folgende geomerisch evidene und nich schwer zu beweisende Tasache: Is K eine kompake, konvexe Teilmenge des R Ω und U ein linearer Teilraum, der mi K keinen gemeinsamen Punk ha, dann gib es eine Hyperebene, sodass einerseis K ganz auf einer Seie der Hyperebene lieg, und die andererseis U als Teilraum enhäl. Das bedeue, es gib ein λ R Ω, λ, mi λωyω = für Y U, ω Ω λωyω > für Y K. ω Ω Wegen I {ω} K is λω >. Wir sezen Q{ω} := λω ω Ω λω. Dann is Q ein zu P äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß und E Q U = für alle U U. Nach Lemma 1.8 is Q ein Maringalmaß für S. W. Müller 8

12 2. Bewerung europäischer Opionen 2.1. Der faire Preis einer Forderung Eine europäische Call-Opion Pu-Opion für das Finanzgu j is das Rech keine Pflich zum fesgesezen Zeipunk N eine Einhei des Finanzgues j zum verraglich vereinbaren Ausübungspreis K zu kaufen Call-Opion bzw. zu verkaufen Pu-Opion. Das bedeue, dass dem Besizer der Opion zum Zeipunk N die Auszahlung H call N := S j N K + bzw. H pu N := K S j N + garanier wird. Diese Opionen sind Spezialfälle allgemeiner Forderungen. Eine Forderung is ein Verrag, der dem Besizer der Forderung zum Zeipunk 1 die Auszahlung H 1, zum Zeipunk 2 die Auszahlung H 2, und allgemein zum Zeipunk 1 n N die Auszahlung H n zusicher. H n kann zufällig sein, muss aber zum Zeipunk n bekann sein. Eine Forderung wird also durch einen adapieren Prozess beschrieben. Definiion 2.1 absicherbar, vollsändig. Eine Forderung is ein adapierer Prozess H = H n 1 n N mi H n für alle n. Wir sezen zusäzlich H :=. Eine Forderung H heiß absicherbar, wenn es eine Handelssraegie X gib mi δ n X = H n 1 n N. In diesem Fall heiß X eine perfeke Hedge von H. Ein arbiragefreies Markmodell heiß vollsändig, wenn jede Forderung absicherbar is. Definiion 2.2 fairer Preis. Sei H eine absicherbare Forderung mi Hedge X. In einem arbiragefreien Modell is der faire Preis von H zum Zeipunk n durch π n H := V n X definier. Der faire Preis zum Zeipunk n+ is durch π n+ H := V n+ X definier. Bemerkung. Jede andere Preisfessezung π n H V n X führ zu Arbiragemöglichkeien. Is ewa π n H > V n X, dann verkauf man die Forderung H zum Preis π n H und kauf X n zum Preis V n X. Die posiive Differenz wird im Finanzgu angeleg und liefer risikolosen Gewinn, während Handel gemäß X genau die Zahlungsverpflichungen aus dem Verkauf von H abdeck. Im Fall π n H < V n X verkauf man X n und kauf H. Die Erlöse aus H erlauben Handel gemäß X ohne zusäzliche Kosen. Bemerkung. Es gil π n H = H n + π n+ H. Der Preis π n H enhäl noch die Zahlungsverpflichung H n, wärend diese bei π n+ H bereis abgezogen is. Is H =,...,H N eine endfällige Forderung, dann gil π n H = π n+ H für n < N, π N H = H N und π N+ H =.

13 2. Bewerung europäischer Opionen Saz 2.3. In einem arbiragefreien Modell gil für den fairen Preis einer absicherbaren Forderung H π n H = E Q N k=n H k Fn bzw. π n+ H = E Q N k=n+1 H k Fn. Dabei bezeichne Q ein beliebiges äquivalenes Maringalmaß für S. Insbesonders is π H = E Q N k=1 H k. Der faire Preis π n H is unabhängig von der im Allgemeinen nich eindeuigen Hedge X. Bemerkung. Der Saz ermöglich die Berechnung des fairen Preises ohne eine Hedge zu besimmen. Allerdings muss dazu bekann sein, dass H absicherbar is. Das is in vollsändigen Markmodellen auomaisch erfüll. Bemerkung. Der Saz beinhale die Aussage, dass alle H n auomaisch Q-inegrierbar sind. Der Beweis verwende H n. Das is der Grund warum wir in der Definiion einer Forderung diese Einschränkung gemach haben. Für Forderungen, die auch Zahlungen des Besizers vorsehen, müssen an H zusäzliche Inegrierbarkeis-Annahmen gesell werden, z.b. E Q H n < für alle n N und Q M S. Beweis. Weil H absicherbar is, exisier eine Handelssraegie X mi δ n X = H n für 1 n N. Es gil X S N = N H k=1 k ṼX ṼX. Weil ṼX F -messbar is und F nur P-Nullmengen enhäl, is ṼX konsan. Nach Lemma 1.6 is X S ein Q-Maringal. Daraus folg X S n = E Q X SN F n N = E Q H k ṼX Fn = n 1 k=1 k=1 H N k +E H k F n ṼX. Die linke Seie is X S n = n 1 k=1 H k +ṼnX ṼX. Einsezen liefer k=n π n H = ṼnX = E Q N k=n H k F n. Weil ṼnX bei fes gewähler Hedge X unabhängig von Q is, is die reche Seie unabhängig von der Wahl des äquivalenen Maringalmaßes Q. Weil umgekehr die reche Seie bei fes gewählem Q unabhängig von X is, is auch der faire Preis unabhängig von der im Allgemeinen nich eindeuigen Hedge. W. Müller 1

14 2. Bewerung europäischer Opionen 2.2. Vollsändige Markmodelle Lemma 2.4. Ein zeidiskrees arbiragefreies Markmodell is genau dann vollsändig, wenn alle endfälligen Forderungen abgesicher werden können. Beweis. Weil δ n X linear in X is, genüg es alle Forderungen H abzusichern, die nur zum Zeipunk j den Berag H j auszahlen d.h. H n = für n j. Is j = N, dann sind diese Forderungen nach Voraussezungen absicherbar. Sei nun j < N. Dann exisier eine Hedge X der endfälligen Forderung H N := S N H j, d.h. δ n X = für 1 n < N und δ N X = S N H j. Mi Hilfe von X konsruieren wir eine neue Handelssraegie X durch X n := X n für n j und X n := X n H j e für j < n N. Es gil δ j X = H j und δ n X = für n j. Die Handelssraegie X sicher daher die Forderung H ab. Saz 2.5 Vollsändige Markmodelle. Ein arbiragefreies N-Perioden Markmodell is genau dann vollsändig, wenn das äquivalene Maringalmaß Q auf F N eindeuig fesgeleg is. Bemerkung. Nur wenige zeidiskree Markmodelle sind vollsändig. Man kann zeigen, dass im Fall der Vollsändigkei der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeisraum nur endlich viele Aome besiz, d.h. er kann ses als endlich gewähl werden. Insbesonders is in einem vollsändigen Modell jede Forderung beschränk. Beweis. Wir nehmen zuers an, dass das Modell vollsändig is. Für jedes A F N ha die endfällige Forderung H N := SN I A den von der Wahl von Q unabhängigen diskonieren fairen Preis π = E Q I A = QA. Das Maß Q is daher auf F N eindeuig fesgeleg. Is das Modell nich vollsändig, konsruieren wir zwei verschiedene Maringalmaße für S. Dabei nehmen wir der Einfachhei halber an, dass Ω < der Saz bleib aber im allgemeinen Fall richig. Sei Q ein beliebiges Maringalmaß für S. Wir berachen U := {Ṽ X+X S } X N selbsfinanzierend R Ω. Das is ein linearer Teilraum von L 2 Ω,F N,Q wegen Ω < sind alle Zufallsvariable beschränk. Auf L 2 Ω,F N,Q is durch X,Y := E Q XY ein Skalarproduk definier. Weil das Modell nich vollsändig is, gib es nach Lemma 2.4 ein Y das nich in U lieg und dami auch ein Y das orhogonal auf U seh. Weil Ω < können wir zusäzlich annehmen, dass Y 1 2. Mi Hilfe dieses Y definieren wir ein neues Maß durch Q A := 1 E Q 1+Y A 1+YdQ A F N. Q is ein zu Q äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß das wegen Y von Q verschieden is. Zu zeigen bleib, dass S ein Maringal bezüglich Q is, d.h für 1 j d, 1 n N und A F n 1 is zu zeigen, dass Das is äquivalen zu E Q I A S n j S j n 1 =. = E Q I A S j n S j n 1 1+Y = E QI A S j n S j n 1 Y. W. Müller 11

15 2. Bewerung europäischer Opionen Im lezen Schri wurde verwende, dass S ein Q-Maringal is. Die Bedingung besag, dass I A S n j S j n 1 orhogonal auf Y seh. Das aber folg aus der bereis im Beweis von Lemma 1.8 bewiesenen Behaupung I A S n j S j n 1 U U Das Binomialmodell Saz 2.6. Das Binomialmodell is genau dann arbiragefrei, wenn d < 1+ρ < u. In diesem Fall is das Modell auch vollsändig. Das eindeuig besimme risikoneurale Maß Q is dadurch fesgeleg, dass die Zufallsvariablen Y 1,,Y N bezüglich Q unabhängig sind, und mi QY n = u = p, QY n = d = 1 p, p = 1+ρ d u d erfüll. Das bedeue, dass in der Darsellung S 1 n = S 1 uwn d N Wn des Akienpreises die Zufallsvariablen W n bezüglich Q eine binn,p -vereile Zufallsvariable is. Beweis. Wir zeigen, dass Q auf F N eindeuig fesgeleg is. Im Binomialmodell gil S n 1 = S n ρ 1 Y n. Die Maringal Bedingung E Q S n F 1 n 1 = S n 1 1 is daher äquivalen zu E Q Y n F n 1 = 1+ρ 1 n N. Wir wissen zwar, dass Y n von F n 1 bezüglich P unabhängig is, bezüglich Q wissen wir das aber noch nich. Aus diesem Grund führen wir die vorers noch von n abhängende Zufallsvariable p := E Q I {Yn=u} F n 1 ein. Wegen Y n = ui {Yn=u} +d1 I {Yn=u} is die obige Bedingung äquivalen zu Das is gleichbedeuend mi up +d1 p = 1+ρ. p = 1+ρ d u d Das is eine von n unabhängige Konsane. Der Saz folg nun aus dem nachsehenden Lemma. Lemma 2.7. Is die bedinge Wahrscheinlichkei PA F := EI A F = p konsan, dann is A unabhängig von F und PA = p. Beweis. Die Bedingung EI A F = p is gleichbedeuend mi F I AdP = F pdp für alle F F. Das bedeue PA F = ppf. Mi F = Ω folg PA = p, und daraus PA F = PAPF für alle F F. Das is die Unabhängigkei von A und F. Mi diesem Saz is die Bewerung europäischer Opionen im Binomialmodell sehr einfach. Für die Call-Opion H call N = S 1 N K +. W. Müller 12

16 2. Bewerung europäischer Opionen erhäl man π H call N = E Q 1+ρ N S 1 N K + = 1+ρ N E Q S 1 u W N d N W N K + und allgemeiner = 1+ρ N N k= π n H call N = 1+ρ N n S 1 u k d N k K + N p k k 1 p N k N n k= S 1 n u k d N n k K + N n p k k 1 p N n k. Eine ensprechende Formel gil für den Preis der Pu-Opion. Die Preise einer Call-Opion und Pu-Opion hängen über die Call/Pu-Pariä π n H call N π n H pu N = S n 1+ρ N n K zusammen. Diese folg aus der für alle x R güligen Zerlegung x + x + = x und π n H call N π n H pu N = E Q S 1 N 1+ρ N K F n = S 1 n 1+ρ N K. Berechnung einer Hedge im Binomialmodell Die bisherige Theorie liefer uns zwar den Wer einer Hedge, nich aber die Hedge selbs. Diese kann im Binomialmodell ses durch eine einfache Rückwärsrekursion berechne werden. Im allgemeinen Fall hängen X n+1 und X1 n+1 von den 2n möglichen Weren von Y 1,...,Y n ab, d.h. bereis für kleine N is der Speicher- und Rechenaufwand enorm. Wir beschränken uns daher auf den Fall von Forderungen H = H n 1 n N, bei denen die Auszahlung H n und dami auch H n nur vom Akienpreis S 1 n abhäng. Wegen S 1 n = S 1 uwn n n Wn is das gleichbedeuend dami, dass H n nur von W n abhäng, d.h. H n = h n W n mi geeigneen Funkionen h n. Es wird sich heraussellen, dass dann auch die Zufallsvariablen X n+1, X1 n+1 und V n+x nur Funkionen von W n sind. Wir schreiben X n+1 = η n W n, X 1 n+1 = ξ n W n, Hn +Ṽn+X = ṽ n W n und besimmen die Funkionen η n, ξ n und ṽ n rekursiv. Man beache, dass diese Funkionen nur an den Sellen k n ausgewere werden. Für n = N gil η N =, ξ N =, ṽ N = h N. X sicher die Forderung H ab, wenn δ n X = ṼnX Ṽn+X = H n für 1 n N. Das is gleichbedeuend mi ṼnX = Ṽn+X+ H n, beziehungsweise X n +X 1 n1+ρ n S 1 u Wn d n Wn = ṽ n W n. Schreib man W n = W n 1 +ζ n mi ζ n = I {Yn=u}, erhäl man die Ideniä X n +X 1 n1+ρ n S 1 u W n 1+ζ n d n W n 1 ζ n = ṽ n W n 1 +ζ n. W. Müller 13

17 2. Bewerung europäischer Opionen Diese Ideniä muss sowohl für ζ n = 1 als auch ζ n = richig sein. Das liefer zwei lineare Gleichungen mi der Lösung Xn = 1 uṽn W n 1 dṽ n W n 1 +1, u d Xn 1 1+ρ n = ṽn u ds 1uk d n 1 k W n 1 +1 ṽ n W n 1. Das zeig, dass X n = η n 1 W n 1, X 1 n = ξ n 1 W n 1 und H n 1 +Ṽn 1+ = ṽ n 1 W n 1, wobei η n 1, ξ n 1 und ṽ n 1 durch die Rekursion k n 1 η n 1 k = 1 uṽn k dṽ n k +1, u d 1+ρ n ξ n 1 k = ṽn u ds 1uk d n 1 k k +1 ṽ n k, ṽ n 1 k = h n 1 k+η n 1 k+ξ n 1 k1+ρ n S 1 u k d n 1 k, fesgeleg sind. Das Anfangsporfolio der Hedge is X 1 = η,ξ und ṽ is der faire Preis der Forderung zum Zeipunk. W. Müller 14

18 3. Bewerung amerikanischer Opionen 3.1. Der faire Preis eine amerikanischen Forderung Eine amerikanische Call-Opion Pu-Opion is das Rech eine Akie zum Ausübungspreis K zu einem beliebigen Zeipunk 1 n N zu kaufen bzw. zu verkaufen. So eine Opion wird durch eine Folge von Auszahlungen Z = Z n 1 n N, Z n, beschrieben. Enscheide sich der Käufer der Opion diese zum Zeipunk n auszuüben, erhäl er Z n Geldeinheien vom Verkäufer. Im Fall der amerikanischen Call-Opion is Zn call = Sn 1 K + und im Fall der amerikanischen Pu-Opion is Zn pu = K Sn 1 +. Die Auszahlung Z n muss zum Zeipunk n bekann sein, d.h. Z muss adapier sein. Definiion 3.1 amerikanische Opion, Ausübungssraegie. i Eine amerikanische Opion wird durch einen adapieren Prozess Z = Z n 1 n N mi Z n fesgeleg. Wir sezen zusäzlich Z :=. ii Eine Ausübungssraegie is eine Soppzei T mi Weren in 1 n N. Wir bezeichnen mi T n die Menge aller Soppzeien mi Weren in {n,...,n}. Jede Ausübungssraegie wird durch eine Soppzei beschrieben, weil zum Zeipunk n mi der dann zur Verfügung sehenden Informaion fessellbar sein muss, ob ausgeüb wird oder nich, d.h. {T = n} F n. Ha sich der Käufer der Opion für eine Ausübungssraegie T enschieden, muss sich der Verkäufer gegen die Forderung HZ,T := Z n I {T=n} 1 n N absichern. Wir nehmen nun an, dass das Markmodell vollsändig is. Dann benöig der Verkäufer das Kapial N π HZ,T = E Q Z n I {T=n} = E Q Z T, n=1 um sich gegen die Forderung HZ, T abzusichern. Da der Verkäufer die Ausübungssraegie T des Käufers nich kenn, muss er sich gegen jede Forderung HZ,T absichern. Definiion 3.2 fairer Preis einer amerikanischen Opion. In einem vollsändigen Markmodell is der diskoniere faire Preis einer amerikanischen Opion Z zum Zeipunk durch π Z = sup T T 1 E Q Z T definier. Allgemeiner is der diskoniere faire Preis zum Zeipunk n durch definier. π n Z = ess sup T T n E Q Z T F n

19 3. Bewerung amerikanischer Opionen Bemerkung. Is Ω <, dann ha T n nur endlich viele Elemene und das essenielle Supremum kann durch ein gewöhnliches Supremum ersez werden. Im Allgemeinen ha T n überabzählbar viele Elemene, sodass das Supremum keine Zufallsvariable is. Als Ersaz dien das essenielle Supremum Z = ess sup T Z einer überabzählbaren Familie F-messbarer Zufallsvariabler. Das is durch folgende zwei Eigenschafen P-f.s. eindeuig besimm: Für jedes T gil Z Z P-f.s.. Is Z eine weiere F-messbare Zufallsvariable mi dieser Eigenschaf, dann is Z Z P-f.s.. Analog is das essenielle Infimum definier. Bemerkung. Man beache, dass wir bei der Definiion von π n Z Soppen zum Zeipunk n zugelassen haben, bei der Definiion von π Z aber nich. Wegen Z n und Z = gil allerdings ess sup T T E Q Z T F = ess sup T T E Q Z T 1 F = sup T T 1 E Q Z T Q f.s., sodass die beiden Definiionen übereinsimmen. Bemerkung. Mi dieser Definiion des fairen Preises is der Verkäufer voll abgesicher. Dieser Preis is auch für den Käufer akzepabel. Wähl er nämlich seine Ausübungssraegie opimal, dann benöig der Verkäufer zur Absicherung das ganze Kapial π Z. Die Besimmung des fairen Preises einer amerikanischen Opion is ein Problem des opimalen Soppens. Das kann wie folg formulier werden: Für eine Folge inegrierbarer Zufallsvariable Z = Z n n N besimme man U n := ess sup T T n EZ T F n n N und eine opimale Soppzei T n, bei der dieses Supremum angenommen wird. Saz 3.3 Opimales Soppen. Der Werprozess U = U n n N des Sopp-Problems kann durch die Rückwärsrekursion U N = Z N besimm werden. Für n N is U n 1 = max Z n 1,EU n F n 1 1 n N T op n := min{k n Z k = U k } eine opimale Soppzei, d.h. U n = EZ T op n F n P-f.s.. Bemerkung. Die im Saz angegebene opimale Soppzei Tn op Soppzeien diejenige, die am schnellsen sopp. is uner allen opimalen Beweis. Offensichlich is U N = Z N und T op N = N. Weil Z und U adapier sind, is Top n eine Soppzei. Wir beweisen den Saz durch Rückwärsindukion. Dazu nehmen wir an, dass die Behaupung für ein n 1 richig is. Für beliebiges T T n 1 is P-f.s. EZ T F n 1 max Z n 1,EU n F n 1, 3.1 EZ T op F n 1 = max Z n 1,EU n F n 1, 3.2 n 1 W. Müller 16

20 3. Bewerung amerikanischer Opionen zu zeigen. Für eine F n 1 -messbare Zufallsvariable Y is die Bedingung EX F n 1 Y äquivalen zu EI A X EI A Y für alle A F n 1. Uner Benuzung der Gläungseigenschaf und der Definiion von U n erhäl man für A F n 1 EI A Z T = E I A {T=n 1} Z n 1 +E IA {T n} Z maxt,n = E I A {T=n 1} Z n 1 +E IA {T n 1} ceez maxt,n F n F n 1 E I A {T=n 1} Z n 1 +E IA {T n} EU n F n 1 E I A max Z n 1,EU n F n 1. Das beweis 3.1. Zum Nachweis von 3.2 is zu zeigen, dass in dieser Rechnung bei der speziellen Wahl T = T op n 1 auch in den lezen beiden Zeilen Gleichhei gil. Auf der Menge n} folg aus der Indukionsvoraussezung {T op n 1 EZ maxt op n 1,n F n = EZ T op n F n = U n. Das liefer die erse Gleichhei, die zweie folg aus T op n 1 = n 1 Z n 1 EU n F n Bewerung einer amerikanischen Call-Opion Weil eine amerikanische Opion Z = Z n 1 n N zu jedem Zeipunk ausgeüb werden kann, is ihr fairer Preis ses größer oder gleich dem fairen Preis ihres europäischen Pendans bei dem zum Zeipunk N die Zahlung Z N erfolg. Für die Call-Opion auf eine nich Dividenden ausschüende Akie simmen beide Preise überein. Saz 3.4. Is der Preis der risikolosen Anleihe monoon wachsend, dann is der faire Preis einer amerikanischen Call-Opion gleich dem fairen Preis der europäischen Call-Opion. Beweis. Wir zeigen zuers: Is der faire Preis π n Z N der endfälligen europäischen Opion Z N zu jedem Zeipunk n größer oder gleich der Auszahlung Z n, dann is der faire Preis der amerikanischen Opion gleich dem fairen Preis der europäischen Opion. Wegen π n Z N = E Q Z N F n besag die Voraussezung E Q Z N F n Z n. Für den diskonieren fairen Preis U n der amerikanischen Opion is U n = E Q Z N F n zu zeigen. Das folg mi Saz 3.3 durch Rückwärsrekursion aus U N = Z N und U n 1 = max Zn 1,E Q U n F n 1 = max Zn 1,EE Q Z N F n F n 1 = E Q Z N F n 1. Im Fall der Call-Opion is Z n = S n K +. Bei monoon wachsendem S gil π n Z N = E Q S 1 N KS N 1 + F n E Q S 1 N KS N 1 F n S 1 n KS n 1. Wegen π n Z N folg daraus π n Z N maxs 1 n K, = S 1 n K + = Z n. Bemerkung. Saz 3.3 liefer als opimale Soppzei den ersen Zeipunk, bei dem Z n = E n Z N F n erfüll is. Wegen π n Z N = E Q Z N F n is auch die konsane Soppzei T = N opimal. Bei einer amerikanischen Call-Opion is es also nich von Voreil vor dem Ende der Laufzei auszuüben. W. Müller 17

21 3. Bewerung amerikanischer Opionen 3.3. Bewerung einer amerikanischen Pu-Opion Im Gegensaz zur Call-Opion is der faire Preis einer amerikanischen Pu-Opion in der Regel ech größer als der faire Preis einer europäischen Pu-Opion. Im Binomialmodell liefer Saz 3.3 eine numerisch sehr schnell lösbare Rekursion für den diskonieren fairen Preis π n Z pu = U n = ess sup T T n E Q Z T F n. WeilZ n nurvons 1 n abhäng,hängu n auchnurvons 1 n abdaswirddierückwärsrekursion zeigen. Im Binomialmodell is S 1 n = S 1 uwn d N Wn, daher hängen π n Z pu und U n nur von W n ab. Wir schreiben π n Z pu = v n W n, dann is U n = 1 + ρ n v n W n. Es genüg die Were v n k k n zu besimmen. Aus U N = Z N folg v N k = K Su 1 k d N k + k N. Is v n besimm, dann kann v n 1 aus berechne werden. Zuers is U n 1 = max Z n 1,E Q U n F n 1 E Q U n F n 1 = E Q 1+ρ n v n W n F n 1 = 1+ρ n E Q v n W n 1 +ζ n F n 1, wobei ζ n eine von F n 1 unabhängige Bernoulli Variable mi Qζ n = 1 = p bezeichne. Weil zusäzlich W n 1 eine F n 1 -messbar Zufallsvariable is, folg und dami für n 2 E Q U n F n 1 = 1+ρ n p v n W n p v n W n 1, U n 1 = 1+ρ n 1 v n 1 W n 1, mi v n 1 k = max K Su 1 k d n 1 k +, p v n k +1+1 p v n k 1+ρ Wegen Z = gil im Fall n = 1 v = p v p v 1 1+ρ. k n 1. Saz 3.5 Amerikanische Pu-Opion im Binomialmodell. Im Binomialmodell is der faire Preis der amerikanischen Pu-Opion gleich wobei v 1 1 und v 1 rekursiv durch π Z pu = p v p v 1 1+ρ v N k = K S 1 u k d N k +, k N und, für 2 n N, v n 1 k = max K Su 1 k d n 1 k +, p v n k +1+1 p v n k 1+ρ besimm sind. k n 1 W. Müller 18

22 4. Markmodelle in seiger Zei Die folgende Definiion beschreib das mahemaische Modell eines Markes bei dem zu jedem Zeipunk T gehandel wird, und der aus d+1 Finanzgüern beseh. Der Preis des j-en Finanzgues wird mi S j bezeichne. Das Finanzgu wird zum Preisvergleich herangezogen. Wir sezen daher voraus, dass S > und nennen S j = Sj n den diskonieren S Preis des j-en Finanzgues zum Zeipunk. Definiion 4.1 Zeiseiges Markmodell. Ein zeiseiges Markmodell beseh aus einem Wahrscheinlichkeisraum Ω, A, P, einer Filraion F = F T von A, die den Informaionsverlauf beschreib wir nehmen ses an, dass F rechsseig is und F alle P-Nullmengen enhäl, d.h. F erfüll die üblichen Bedingungen der Sochasischen Analysis, einem d+1-dimensionalen Preisprozess S = S T mi S = S,S 1,...,S d. Wir sezen voraus, dass alle S j Semimaringale sind, d.h. sie sind adapiere Prozesse mi càdlàg Pfaden und das sochasische Inegral XdS j is für alle vorhersagbaren S j - inegrierbaren Prozesse X definier. Weiers sezen wir voraus, dass S P-f.s. srik posiiv is. Wir nennen S = S T mi S = 1, S 1,..., S d den diskonieren Preisprozess. Bemerkung. Das ypische Beispiel für S sind Prozesse der Form S = exp rs ds, wobei r T eine möglicherweise zufällige Zinsrae bezeichne. Dabei is r T adapier und P-f.s. gil T rs ds <. Das bei weiem bekannese Modell is das Black-Scholes Modell: Es beseh aus einer risikolosen Anleihe mi Preis S = e r und einer Akie mi Preis µ S 1 = S 1 σ 2 exp +σb 2 T. Dabei bezeichne B = B T eine Brownsche Bewegung. Wie aus der Sochasischen Analysis bekann is, is der Akienpreis S 1 die eindeuige Lösung der sochasischen Differenialgleichung ds 1 = S 1 µd+σdb.

23 4. Markmodelle in seiger Zei Komplexere Modelle erhäl man, wenn man den Akienkurs S 1 als Lösung solch einer sochasischen Differenialgleichung mi zeiabhängigen und zufälligen Koeffizienen µ, ω und σ, ω modellier. Darüber hinaus kann die Brownsche Bewegung z.b. durch einen Lévy- Prozess ersez werden. Die Gleichung is dann in der Regel nich mehr explizi lösbar. Wir werden sehen, dass viele Argumene nich von der explizien Lösung abhängen Selbsfinanzierende Handelssraegien Wie im zeidiskreen Fall is eine Handelssraegie ein vorhersagbarer d + 1-dimensionaler Prozess X = X T. Sein Werprozess VX = V X T is durch V X = X S definier. Die zeidiskree Definiion 1.2 von selbsfinanzierend läss sich nich direk auf den zeiseigen Fall überragen. Man benuz daher eine der beiden folgenden zur Definiion 1.2 äquivalenen Formulierungen von selbsfinanzierend X S n = V n X V X n N, oder X S n = ṼnX ṼX n N. Definiion 4.2 selbsfinanzierend. Eine Handelssraegie X heiß selbsfinanzierend, wenn X nach S inegrierbar is und Dabei bezeichne X ds = V X V X X ds := d j= X j ds j T. den Vermögenszuwachsprozess der Handelssraegie X. Alle aufreenden Inegrale sind sochasische Inegrale im Sinne von Iô. Bemerkung. Diese Definiion wird wie folg inerpreier: Eine Handelssraegie is selbsfinanzierend, wenn zu jedem Zeipunk der Vermögenszuwachs auf Grund von Preisschwankungen X ds mi der Weränderung des Porfolios V X V X übereinsimm. Zu keinem Zeipunk muss zur Umschichung des Porfolios Kapial zugeschossen werden bzw. wird Kapial frei. Aus dem Anfangswer V X enseh durch Handel gemäß X bis zum Zeipunk der Wer V X = V X+ X ds. Diese Inerpreaion is nur dann sinnvoll, wenn das Inegral als sochasisches Inegral im Sinne von Iô versanden wird, und die Handelssraegie X càglàd Pfade besiz. Man vergleiche dazu die Diskussion am Ende dieses Abschnis. Bemerkung. Für allgemeine vorhersagbare X besiz VX weder links- noch rechsseiige Limien. Für Handelssraegien mi càglàd Pfaden is das ses richig, diese Einschränkung W. Müller 2

24 4. Markmodelle in seiger Zei is aber manchmal zu sark. Das is ein Grund warum wir in zeiseigen Modell nur selbsfinanzierende Handelssraegien berachen 1. Deren Werprozess is als sochasisches Inegral auomaisch càdlàg. In differenielle Schreibweise laue die Bedingung für selbsfinanzierend dvx = X ds dvx = d X j ds j, j= beziehungsweise d dv X = X j dsj j= T. Lemma 4.3. X is genau dann selbsfinanzierend, wenn dṽx = X d S, d.h. d dṽx = X j d S j. j=1 Bemerkung. Man beache, dass die reche Seie nich mehr von X abhäng. Für selbsfinanzierende Handelssraegien is daher wegen X + d X j S j ṼX = ṼX ṼX = j=1 d j=1 X j ud S j u die Komponene X durch den Anfangswer V X und X 1,...,X d eindeuig besimm. Beweis. Wir beweisen gleich allgemeiner, dass die Selbsfinanzierbarkei nich von der Wahl des zur Diskonierung verwendeen Finanzgues dem Numéraire abhäng. Dazu sei N ein srik posiives Semimaringal. Mi VX = N 1 VX und S = N 1 S bezeichnen wir die mi N diskonieren Prozesse. Wir zeigen, dass X genau dann selbsfinanzierend is, wenn d VX = X d S. Dazu nehmen wir zuers an, dass X selbsfinanzierend is. Die Iô Formel und die Produkformel liefern uner anderem, dass mi N auch N 1, VX und alle Sj = N 1 S j Semimaringale sind. Aus der Regel für die Sprünge des sochasischen Inegrals folg VX VX = VX = X ds = X S = X S S, und daraus VX = X S. Aus den Regeln für die Kovariaion folg [VX,N 1 ] = [ X ds,n 1 ] = X d[s,n 1 ]. 1 Will man Handelssraegien mi Ennahmen modellieren, kann man das über einen eigenen Konsumprozess machen, relaiv zu dem die Handelssraegie selbsfinanzierend is. Die Pfade des Konsumprozesses müssen von beschränker Variaion sein, dami die Summe der Ennahmen endlich bleib. W. Müller 21

25 4. Markmodelle in seiger Zei Dami liefer die Produkformel d VX = dn 1 VX = N 1 dvx+vx dn 1 +d[vx,n 1 ] = N 1 X ds +X S dn 1 +X d[s,n 1 ] = X N 1 ds +S dn 1 +d[s,n 1 ] = X dn 1 S = X d S. Die Umkehrung folg analog. Bemerkung. Das seige Rebalancieren einer selbsfinanzierenden Handelssraegie is naürlich eine mahemaische Idealisierung die prakisch nich durchgeführ werden kann. Die folgende Überlegung zeig, dass selbsfinanzierende Handelssraegien, deren Pfade càglàd sind, ses durch sückweise konsane und approximaiv selbsfinanzierende Handelssraegien angenäher werden können. Dazu sei π n : = n < < n k n = T ein Folge von Zerlegungen von [, T], deren Feinhei gegen Null sreb. Für die nich selbsfinanzierende Handelssraegie X πn := k n k=1 X n k 1 I n k 1, n k ] sind die auf diskonieren Gesamkosen aller Porfolio Umschichungen gleich R n := k n k=1 X n k X n k 1 S n k = ṼTX ṼX k n k=1 X n k 1 S n k S n k 1. Aus der Sochasischen Analysis wissen wir, dass die Riemann-Sieljes Summe auf der rechen Seie gegen das sochasische Inegral im Sinn von Iô T X d S = T X d S sreb. Is X selbsfinanzierend, dann ha das leze Inegral den Wer ṼTX ṼX. Die diskonieren Gesamkosen R n aller Porfolio Umschichungen sreben daher in Wahrscheinlichkei gegen Null, wenn X selbsfinanzierend is. Das bedeue, dass eine selbsfinanzierendehandelssraegiemicàdlàgpfadenbeliebiggenaumi prakischdurchführbaren, approximaiv selbsfinanzierenden Handelssraegien angenäher werden kann. Dieses Argumen zeig auch, dass in der Definiion von selbsfinanzierend das Iô Inegral verwende werden muss, und nich ewa das Fisk-Sraonovich Inegral beide simmen für einfach vorhersagbare Inegranden überein, wenn S seig is. Bei Verwendung eines anderen Inegral-Begriffs sreb R n im Allgemeinen nich gegen Null Arbirage Das folgende Lemma is das zeiseige Analogon zu Lemma 1.6. Sei S ein lokales Maringal. Für seiges S is das sochasische Inegral XdS ses ein lokales Maringal. Für allgemeine S is das nur uner zusäzlichen Voraussezungen richig, z.b. wenn X lokal beschränk is. Eine alernaive Bedingung is, dass das Inegral nach unen beschränk is. W. Müller 22

26 4. Markmodelle in seiger Zei Lemma 4.4. Sei S ein lokales Maringal und X L 1 S. i Is XdS nach unen beschränk, dann is XdS ein lokales Maringal. ii Jedes nach unen beschränke lokale Maringal is ein Super-Maringal. Bemerkung. Im zeidiskreen is ein nach unen beschränkes lokales Maringal ses ein Maringal. Hier erhalen wir ohne zusäzliche Bedingungen nur ein Super-Maringal. Beweis. i Nach Voraussezung gil Y := XdS K, K, für alle T, d.h. Y K. Aus der Sochasischen Analysis is bekann: Y = XdS genau dann ein lokales Maringal, wenn der Prozess sup s Ys lokal inegrierbar is. ii Sei M ein lokales Maringal und M K für alle. Wir können obda annehmen, dass K =. Sei T n eine Lokalisierungsfolge, d.h. die gesoppen Prozesse M Tn sind Maringale. Für s, A F s und N N beliebig gil EI A {M Tn s N} MTn s = EI A {M Tn s N} MTn. Wende man links dominiere Konvergenz und rechs das Lemma von Faou an, folg mi n EI A {Ms N}M s = liminf n EI A {M Tn s N} MTn Eliminf n I A {M Tn s N} MTn EI A {Ms N}M. Mi N folg aus der monoonen Konvergenz EI A M s EI A M. Das is die Super- Maringal Eigenschaf. Mi s = und A = Ω enhäl sie EM EM <. Definiion 4.5 zulässig. Eine Handelssraegie X heiß zulässig, wenn ṼX nach unen beschränk is, d.h. es gib eine Konsane K, sodass P-f.s. Ṽ X K für alle T. Bemerkung. Das bedeue, dass der Invesor nur einen beschränken Kredirahmen ha. Diese Bedingung is ökonomisch sinnvoll. Man beache, dass die konsane Handelssraegie X = e i das Shor-Selling einer Einhei des i-en Finanzgues den diskonieren Wer ṼX = S ha, und dami im Allgemeinen nich zulässig is. Diese Definiion von zulässig is für die Arbirage-Theorie besonders geeigne. Nach Lemma 4.4 is der diskoniere Werprozess ṼX einer zulässigen selbsfinanzierenden Handelssraegie X bezüglich jedem äquivalenen Maringalmaß Q ein Q-Super-Maringal. Bemerkung. Es gib andere Definiionen von zulässig. Zum Beispiel nenn man eine Handelssraegie X L 2 -zulässig bezüglich einem äquivalenen Maringalmaß Q, wenn E Q sup Ṽ X 2 <, T und L 2 -zulässig, wenn sie das bezüglich jedem äquivalenen Maringalmaß Q is. Für L 2 - zulässige Handelssraegien is der diskoniere Werprozess ein quadraisch inegrierbares Q-Maringal und nich nur ein Q-Super-Maringal. Ein Voreil dieser Definiion is, dass W. Müller 23

27 4. Markmodelle in seiger Zei der Raum der zulässigen Handelssraegien ein Vekorraum is, insbesonders is das Shor- Selling zulässig. Ziel all dieser Definiionen is es zu garanieren, dass ṼX uner jedem äquivalenen Maringalmaß ein Super-Maringal, ein lokales Maringal, oder noch besser ein Maringal is 2. Definiion 4.6 Arbirage. Eine selbsfinanzierende Handelssraegie heiß Arbirage, wenn sie zulässig is und V X, V T X, PV T X > > erfüll. Ein Modell, in dem es keine Arbirage gib, heiß arbiragefrei. Saz 4.7 Fundamenalsaz der Arbirage-Theorie. Exisier ein zu P äquivalenes Maß Q bezüglich dem der diskoniere Preisprozess S ein lokales Maringal is, dann is das Modell arbiragefrei. Bemerkung. Das is die prakisch relevanere Richung der Fundamenalsazes. Im Fall posiiver oder lokal beschränker Preisprozesse kann man zeigen, dass die Exisenz von Q äquivalen zu der schwächeren Bedingung no free lunch wih vanishing risk is, die hier nich formulier wird. Beweis. Sei X eine zulässige, selbsfinanzierende Handelssraegie mi V X und Endwer V T X. Nach Voraussezung is S ein lokales Maringal bezüglich Q. Weil X zulässig is, is ṼX K. Nach Lemma 4.4 is daher ṼX = V X + Xd S ein Supermaringal. Daraus folg E Q ṼTX E Q ṼX. Wegen V T X bedeue das QV T X > = und dami auch PV T X > =. Es gib also keine Arbirage Der faire Preis einer Forderung Wie im zeidiskreen Fall wird eine zum Zeipunk T fällige Forderung durch eine F T - messbare Zufallsvariable H T beschrieben. Wir nennen sie perfek absicherbar, wenn es eine selbsfinanzierende, zulässige Handelssraegie X mi V T X = H T gib. Dabei heiß zulässig, dass der diskoniere Werprozess ṼX nach unen beschränk is. Im Gegensaz zum zeidiskreen Fall is dadurch der Wer der Handelssraegie V X zu einem früheren Zeipunk < T nich eindeuig fesgeleg 3. Definiion 4.8. Is H T eine absicherbare Forderung, dann heiß der kleinse Wer einer absichernden Handelssraegie π H T := ess inf X V X der faire Preis oder Hedge-Preis von H T zum Zeipunk. 2 Im zeidiskreen Fall is nach Lemma 1.6 jede selbsfinanzierende Handelssraegie mi nich negaivem Endwer auomaisch zulässig. 3 Im Kapiel 5.4 wird gezeig, dass im Black-Scholes Modell jede absicherbare Forderung durch unendlich viele nich wergleiche, selbsfinanzierende, zulässige Handelssraegien perfek abgesicher werden kann. Dieses Phänomen ri nich auf, wenn man nur L 2 -zulässige Handelssraegien berache. Ihr diskonierer Werprozess is als Q-Maringal durch H T eindeuig fesgeleg. W. Müller 24

28 4. Markmodelle in seiger Zei Sei Q ein beliebiges Maringalmaß, d.h. der diskoniere Preisprozess is ein lokales Maringal bezüglich Q. Die Nich-Eindeuigkei des Weres einer absichernden Handelssraegie X lieg daran, dass ṼX nach Lemma 4.4 nur ein lokales Q-Maringal und ein Q-Super- Maringal is 4. Daraus folg und dami E Q H T F = E Q ṼTX F ṼX E Q H T F ess inf X Ṽ X. Is ṼX sogar ein Q-Maringal, dann wird das Infimum wegen angenommen. Zusammenfassend gil Ṽ X = E Q ṼTX F = E Q H T F Lemma 4.9. Sei Q ein beliebiges äquivalenes Maringalmaß und H T eine Forderung. Gib es eine absichernde Handelssraegie X, deren diskonierer Werprozess ein Q-Maringal is, dann gil π H T = E Q H T F. Wir nennen so eine Handelssraegie X eine Hedge. Sie sicher H T perfek ab und ihr Wer is zu jedem Zeipunk gleich dem fairen Preis. Bemerkung. Weil der diskoniere faire Preis π H T nich von Q abhäng, häng für eine absicherbare Forderung H T auch E Q H T F nich von Q ab. Korollar 4.1 Eindeuigkei des Maringalmaßes in vollsändigen Modellen. Besiz jede Forderung mi H T 1 eine Hedge, dann is das äquivalene Maringalmaß auf F T eindeuig besimm. Beweis. Wähle H T = I A mi A F T. Dann is QA = E Q I A = π H T. Man kann zeigen, dass umgekehr aus der Eindeuigkei des Maringalmaßes die Vollsändigkei der Modells folg. Dabei nennen wir eine Modell vollsändig, wenn für jede Forderung, deren diskoniere Auszahlung beschränk is, eine Hedge exisier. Saz 4.11 Vollsändige seige Markmodelle. Ein arbiragefreies Markmodell is genau dann vollsändig, wenn das äquivalene Maringalmaß auf F T eindeuig besimm is. Wir beweisen diesen Saz späer im Spezialfall des Black-Scholes Modells. Auf den allgemeinen Fall gehen wir nich ein. 4 Man beache, dass H T dami auomaisch Q-inegrierbar is. W. Müller 25