Bericht zur Prüfung im Oktober 2008 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Transkript

1 Beric zur rüfung im Okober 008 über Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) eer Albrec (Manneim) Am 7 Okober 008 wurde zum drien Mal eine rüfung im Fac Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen nac O III (Grundwissen eil A) durcgefür Es waren 38 eilnemerinnen und eilnemer zu verzeicnen Die rüfung besand aus einer 90-minüigen Klausur, in der vier Aufgaben gesell wurden, die sämlic zu bearbeien waren Um die Klausur zu beseen, mussen mindesens 45 von 90 möglicen unken erziel werden Aufgabe : (0 Minuen) a) Weisen Sie nac, dass für eine Rendie R mi Vereilungsfunkion F und Dicefunkion f die Resrikion (R z) für die Sorfallwarsceinlickei äquivalen is zu der Bedingung z = F ε, wobei F ε das ε-quanil von F bezeicne Hinweis: Wenn F eine Dicefunkion besiz, dann sind die Quanile von F jeweils eindeuig b) Nemen Sie nun an, dass R normalvereil is, R ~ N ( μ, σ ) Weisen Sie nac, dass in diesem Falle die Sorfallresrikion äquivalen is zu wobei Hinweis: (R z) = ε = ε μ = z + σ, N ε N ε das ( ε)-quanil der Sandardnormalvereilung bezeicne N ε = N ε Seie von 8

2 c) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sic die folgende funkionale Form für die ( μ, σ) -Koordinaen der lokal (d für einen fesen Erwarungswer) varianzminimalen orfolios: σ = μ μ + 06 Als Sorfallresrikion sei die Bedingung R folge einer Nor- geforder, wobei malvereilung ( R 0) 0 = R die einperiodige orfoliorendie bezeicne Besimmen Sie uner diesen Voraussezungen die ( μ, σ) -osiion des opimalen orfolios mi maximaler erwareer Rendie! Hinweis: N 0 90 = 8 Lösungsskizze: a) Definiion des ε-quanils Bedingung an z: (R F ε ) = ε (R z) = ε Aufgrund der Eindeuigkei (vgl Hinweis) des ε-quanils folg ieraus: z = F ε b) Bedingung: (R z) = ε Äquivalen: R μ z μ σ σ Dabei is X = (R μ) / σ eine sandardnormalvereile Zufallsvariable Aufgrund von a) und Hinweis gil z μ = Nε = N ε σ Auflösung nac μ: μ = z + σ N ε c) Äquivalene Form der Sorfallresrikion gemäß a): μ = 0 + 8σ Seie von 8

3 Einsezen in σ = μ μ + 06 ergib σ = (0 + 8σ) = ( σ σ = 6384σ (0 + 8σ) σ 0 ) ( σ) + 06 und somi 06384σ 048σ 0 = 0 Hieraus folg (nur posiive Lösung zulässig) Die zugeörige μ-osiion is σ = 356 μ = 0 + (8)(356) = 4368 Die gesuce osiion is gegeben durc (4368, 356) Aufgabe : (0 Minuen) a) Gegeben sei die geomerisce Brownsce Bewegung in irer Darsellung als socasisce Differenialgleicung: ds = μs d + σs dw Besimmen Sie die socasisce Differenialgleicung dυ = μ(, Υ )d + σ(, Υ ) dw des folgenden Bildprozesses: Υ = lns b) Gegeben sei eine uopion, die nac Black/Scoles bewere is Wie oc is die Sandardabweicung der Änderung des Weres der Opionsposiion über ein Inervall der Länge uner Anwendung der Dela-Normal-Meode? Hinweise: ) Das u-dela auf Basis der Black/Scoles-Formel is gegeben durc / S = N[ d()] ) Die Rendie R des Basis-Objeks sei gegeben durc R ~ N( μ, σ ) Seie 3 von 8

4 Lösungsskizze: a) Nac Io gil für Y = u (,S ) : () μ,y ) = u + u μ(,s ) + u σ (,S ) ( x xx () σ,y ) = u σ(,s ) ( x Im vorliegende Falle is u (,x) = u(x) = ln x sowie μ (,S ) = μs und σ (,S ) = σs Dami gil zunäcs u = 0, u x = x und Hieraus folg aus (): (3) μ (, Y ) = μs / S = μ σ u xx x = (4) σ(,y ) = σs / S = σ σ S / S b) Dela-Meode: + = (S + S ) S Nac Hinweis gil / S = N[ d ()] Ferner gil: S = + S S R Insgesam gil dami: + = N[ d()]sr Da Var(R ) = σ folg ieraus: und dami Var ( + ) = Var = N[ d [ N[ d ()]S R ] ()] S Var(R σ + ) = N[ d ()]S σ ( ) Aufgabe 3: (30 Minuen) Unersellen Sie für den Basisiel einer erminposiion einen Binomialgierprozess mi Sarwer s 0 = 00 und einer prozenualen Aufwärsbewegung von 0% bzw einer prozenualen Abwärsbewegung von 0% pro eriode Der einperiodige Zinssaz für eine sicere Kapialanlage bzw Kapialaufname berage 5% Seie 4 von 8

5 a) Besimmen Sie auf Basis des Duplikaionsprinzips den arbiragefreien reis in = 0 einer zweiperiodigen Callopion auf den Basisiel Der Ausübungspreis der Opion sei 6 b) Besimmen Sie auf Basis des Duplikaionsprinzips den arbiragefreien reis in = 0 eines dreiperiodigen Forwardkonraks auf den Basisiel Welce Bezieung weisen der arbiragefreie Forwardpreis und der Sarwer des Basisiels auf? Hinweis zu eilaufgabe b): Ein rekursives Vorgeen is in diesem Fall nic nowen dig! Lösungsskizze: a) Enwicklung Basisiel: <0 S u = 0 S d = 90 S uu = 44 S ud = 08 S dd = 8 = 0 = = Die Rückflüsse der zweiperiodigen Callopion mi Srike 6 ergeben sic zu (C uu, C ud, C dd ) = (8, 0, 0) Der Opionspreis is im Unerscied zu Aufgabeneil b) rekursiv zu besimmen Wir fixieren nun den Zusand S u zum Zeipunk = Die weiere Enwicklung des rozesses enspric dann dem einperiodigen Binomialfall Erwirb der Invesor in = x Eineien des Basisiels und y der siceren Anlage, so gelen für die Duplikaionsposiion in = dann die folgenden Bedingungen: 44x + 05y = 8 08x + 05y = 0 Hieraus folg x = ½ und y = 54(05) = 5486 In = ergib sic ieraus C u = 0x + y = = 8574 Seie 5 von 8

6 Da (C ud, C dd ) = (0, 0), muss auc C d = 0 sein Duplikaion von (C u, C d ) erforder in analoger Weise 0x + 05y = x + 05y = 0 Hieraus folg 30x = 8574 und dami x = 0857 Für y resulier ieraus y = 574 (05) = In = 0 resulier ieraus scließlic C 0 = 00x + y = = Der gesuce Wer der zweijärigen Callopion is somi 408 b) Für Dreiperiodenfall ergeben sic aus der Weierenwicklung des Zweiperiodenfalls uner a) die folgenden möglicen Were des Basisiels: S uuu = 78 S uud = S udu = 96 S udd = S ddu = 97 S ddd = 79 Die in =3 möglicen Were des Forwards sind somi gegeben durc 78 F 0, 96 F 0, 97 F 0 und 79 F 0, wobei F 0 der zu besimmende arbiragefreie Forwardpreis is Erwirb der Invesor in =0 x Eineien des Basisiels und y Eineien der siceren Anlage, so gelen für die Duplikaionsposiion die folgenden Bedingungen: () 78x + (05) 3 y = 78 F 0 () 96x + (05) 3 y = 96 F 0 (3) 97x + (05) 3 y = 97 F 0 (4) 79x + (05) 3 y = 79 F 0 Aus (beispielsweise) () () resulier x= und dami y = F 0 (05) 3 Seie 6 von 8

7 Da der Forward in =0 keinen Kapialeinsaz erforder, muss scließlic für die Duplikaionsposiion in =0 gelen: 0 = 00x + y = 00 F 0 (05) 3 und dami insgesam: F 0 = 00 (05) 3 = 576 Der Forwardpreis enspric somi dem um drei erioden aufgezinsen Kassapreis (Cos of Carry-Formel) Aufgabe 4: (0 Minuen) a) Duplizieren Sie in = den Wer eines Discoun-Zerifikas mi erioden Laufzei und Cap C auf einen Basisiel mi Werenwicklung {S } uner Verwendung eines geeigneen Zerobond Wie laue die Duplikaionsposiion? b) In = 0 sei ein Callable Bond mi Nennwer N = 5000, einem Nominalzins von i = 5%, einer Laufzei von = 4 Jaren sowie einem Kündigungsermin zu = gegeben Besimmen Sie einen geeigneen Finanziel in der Weise, dass gil: Callable + Finanziel = Sandardbond, wobei der Sandardbond die gleicen Aussaungsmerkmale besize wie der Callable bis auf das Kündigungsrec c) Ein Versicerungsunernemen abe einen Feszinsiel mi Nennwer N, Laufzei und Nominalzins i im Besand Durc welces Finanzgescäf kann man erreicen, dass Feszinsiel + Finanzgescäf = Reverse Floaer, wobei der Reverse Floaer ein Zinsiel is, dessen Zinserrag seig, wenn die Geldmarkzinsen (die variablen Zinsen) fallen? Lösungsskizze: a) Wer V des Discoun-Zerifikas in =: Es gil: V V S S C = min(s,c) C S C = = min(s,c) = C + min(s = C max(c S,0) C,0) Die Duplikaionsposiion bese daer aus: ) Einem in fällig werdenden Zerobond mi Rückzalungsberag C Seie 7 von 8

8 ) Einer Sor-osiion in einer (Europäiscen) u-opion auf das Underlying mi Laufzei und Ausübungspreis C b) Rückzalungsreie Sandardbond: {50, 50, 50, 550} Rückzalungsreie des Callable bei Kündigung in =: {50, 550} Durc die vorzeiige Rückzalung se in = ein Berag in Höe von 5000 zusäzlic zur Verfügung Dieser Berag kann für zwei Jare (ewa) zum -Monas-LIBOR angeleg werden Kann im Ramen eines Receiver Swap mi Umfang 5000 mi Jaren Laufzei der - Monas-LIBOR gegen den Nominalzins 5% eingeausc werden, so lauen die Zalungssalden: = = 3 = (Eablierung Geldmarkanlage) LIBOR LIBOR + 50 (Receiver Swap) LIBOR LIBOR + 50 (Receiver Swap) (Auflösung Geldmarkanlage) Insgesam enspric dies dann der Rückzalungsreie des Sandardbonds Da diese Operaionen jedoc nur bei Kündigung erforderlic sind, is der benöige Finanziel eine Receiver Swapion mi Laufzei Jare, die das Opionsrec beinale, in einen zweijärigen Receiver Swap im Umfang von 5000 und einen Srike-Swapsaz von 5% einzureen c) Bei Einri in einen Receiver Swap im Umfang von N und einer Laufzei von eräl das Versicerungsunernemen einen Feszins i und zal einen variablen Zins i V Der Saldo is gegeben durc: i SALDO = i + i i Durc den Einri in einen Receiver Swap wird somi der gewünsc Effek erziel V Seie 8 von 8