Bericht zur Prüfung im Oktober 2009 über Finanzmathematik und Investmentmanagement
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- Alfred Brahms
- vor 7 Jahren
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1 Beric zur Prüfung im Okober 9 über Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen Peer Albrec (Manneim Am 6 Okober 9 wurde zum vieren Mal eine Prüfung im Fac Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen nac PO III (Grundwissen eil A durcgefür Es waren 74 eilnemerinnen und eilnemer zu verzeicnen Die Prüfung besand aus einer 9-minüigen Klausur, in der vier Aufgaben gesell wurden, die sämlic zu bearbeien waren Um die Klausur zu beseen, mussen mindesens 4 von 9 möglicen Punken erziel werden Aufgabe : ( Minuen Geen Sie aus von der folgenden allgemeinen Gleicung für den effizienen Rand bei einem rein riskanen Anlagespekrum (, (, wobei (, die Rendie-/Risikoposiion des global varianzminimalen Porfolios bezeicne a Besimmen Sie die Gleicung für den effizienen Rand nac Einfürung einer siceren Anlage mi risikoloser Verzinsung r! b Besimmen Sie die Sandardabweicung des angenialporfolios! Hinweis : Beracen Sie den erm r als eine (nic mer weier aufzuspalende Einei! Hinweis : Verwenden Sie die Sarpe Raio r SR des varianzminimalen Porfolios!
2 Lösungsskizze: a Der effiziene Rand nac Einfürung einer siceren Anlage is eine Gerade Seze Gerade in Punk-Seigungs-Form an: (I r a Zu besimmen is dann der Parameer a Die Gleicung des effizienen Randes laue (II ( Aus Einsezen von (I und (II resulier: ( ( r a r a( r a Dies is eine quadraisce Gleicung in der Variablen der allgemeinen Form (III A B C, wobei A a B a( r C ( r Diese besiz die Lösung (IV B B 4AC, A Der effiziene Rand nac Einfürung einer siceren Anlage is eine angene Die quadraisce Gleicung darf daer nur eine Nullselle aufweisen Dies is gleic bedeuend mi der Bedingung B 4AC Es gil miin die Bedingung (V 4a ( r 4(a [( r ] bzw (VI a [( r ] Hieraus resulier
3 3 (VII a ( r SR bzw (VIII a SR b Die Sandardabweicung des angenialporfolios is durc die Lösung (IV gegeben, wobei B 4AC erfüll, d es gil B a( r a( r a ( r A (a a SR Aufgabe : (5 Minuen Gegeben seien die socasiscen Prozesse { } sowie {Y }, die Lösungen der socasiscen Differenialgleicungen d d dw sowie d d dw sind a Besimmen Sie die socasisce Differenialgleicung des Prozesses Z : / auf der Basis des Lemmas von Io! b Besimmen Sie die socasisce Differenialgleicung des Prozesses Z : / Y! Hinweis: Geen Sie zur Lösung dieser Aufgabe direk von der (als bekann vorausgesezen explizien Form der Geomeriscen Brownscen Bewegung aus! Lösungsskizze: a Berace die ransformaionsfunkion F(x / x für x > 3 Es gil F, F x x, F x Für die Geomerisce Brownsce Bewegung { } gil x und x Nac Io gil miin: xx
4 4 Z F Fx Fxx x x 3 x x / x / x ( / x ( F Z x Fx x x F x Die gesuce socasisce Differenialgleicung laue somi d(/ bzw d Z ( d ( Z d ZdW dw b Explizie Lösungen von und Y : x exp W Y y exp W Hieraus folg: Z / Y x exp ( W y x exp ( ( ( W y x exp ( ( ( W y Dami gil für die socasisce Differenialgleicung: dz ( Z d ( Z dw Aufgabe 3: (5 Minuen a Das Porefeuille eines Invesors besee aus n Zerifikaen auf den DA Uner Einsaz von Fuures auf den DA soll nun zum Zeipunk s eine Hedge-Posiion mi folgender
5 5 Eigenscaf eablier werden: Zum Zeipunk > s soll die Hedge-Posiion G nuzenmaximal sein, d zu einem möglics oen Wer der Risikopräferenzfunkion ( G E(G a Var(G des Invesors füren (a > Welcen Wer nimm die opimale Zal von zu verkaufenden Fuures an? Vergleicen Sie dieses Resula mi dem ensprecenden Ergebnis für eine varianzminimale Hedge-Posiion b Ein Invesor abe ein Budge von EUR - Der Invesor möce in = die Posiion eines Covered Sor Call generieren, wobei er die zugrunde liegende Akie in = zum Preis von EUR - erwerben kann In = sei weier ein Call (Laufzei: Jar auf diese Akie mi einem Ausübungspreis von EUR 3- zu einem Markpreis von EUR 5- verfügbar Der vereinname Callpreis werde zum siceren Zins angeleg Der markeineilice sicere Zins berage 5% pa i Welces Zalungsprofil weis der uner diesen Bedingungen konsruiere Covered Sor Call in = auf? ii iii iv Welcen maximalen Wer kann die so konsruiere Posiion in = annemen? Für die Akie gele lns ~ N(,, wobei lns 8 Wie groß is die Warsceinlickei, mi dem Covered Sor Call in = einen geringeren Endwer zu erzielen, als bei vollsändiger Invesiion des Budges zum siceren Zins? Hinweis: Besimmen Sie die gesuce Warsceinlickei in ermen der Vereilungsfunkion (x der Sandardnormalvereilung (und nic als explizien numeriscen Wer Der Invesor möce nun ein Porfolio aus in = fälligen Eineis-Zerobonds sowie Sor Pus auf die Akie bilden, das in = ein idenisces Rückzalungsprofil wie der Covered Sor Call besiz Die Pus laufen Jar, aben einen Ausübungspreis von EUR 3- und einen Markwer von EUR - Die vereinname Puprämie kann wiederum zum siceren Zins angeleg werden Aus wie vielen Eineis-Zerobonds und aus wie vielen Sor Pus bese das ensprecende Duplikaionsporfolio? Lösungsskizze: a Es bezeicne {K } den Werverlauf des Basisiels (DA-Zerifika und {F } ensprecend den Werverlauf des Fuures Die Hedge-Posiion G zum Zeipunk is dann ge-
6 6 geben durc G nk K xf F, is Es folg: wenn sie zum Zeipunk s eablier worden i E(G nek nks xef xfs s ii VarG n VarK x VarF nxcovk, F iii ( G EG avarg d dx iv F EF axvarf ancovk, F v ancov x n s Cov n Var KF K,F Fs EF avarf K,F EF Fs F avarf E F Fs a VarF s Der erse erm des lezen Ausdrucks enspric dabei der opimalen Konrakzal im Falle des varianzminimalen Hedges, d zur Eablierung des nuzenmaximalen Hedges EF Fs is diese Konrakzal zu reduzieren um den Wer a Var F b Bezeicne S den Wer der Akie in = In = können Akien erworben werden Dami is auc eine Sor-Posiion in Calls zu eablieren i Posiion V des Covered Sor Call in = : ii V [S max(s 3,] C (5 min(s,3 3(5 min(s,3 35 Der maximale Wer beräg iii Der Endwer einer siceren Anlage des Budges von EUR - beräg (5 = Zu evaluieren is daer die Warsceinlickei P[min(S,3 35 ] P[min(S,3 895] Da das Ereignis min(s, nur einreen kann, wenn S 89 5, reduzier sic die zu besimmende Warsceinlickei auf P(S P(lnS Es gil 895 P(lnS
7 7 E(lnS ln 475 (lns Var(lnS 8 44 Durc Sandardisierung von ln S folg dami insgesam lns E(lnS P (lns 44 ( 57 iv Der Eineiszerobond kose in = (5 Geldeineien Der Invesor kann sein gesames Budge zum Erwerb von Eineiszerobonds einsezen, da die Einnamen aus der Sor Pu-Posiion angeleg werden In = gil somi beim Erwerb von x Eineiszerobonds und einem siceren Zins von 5%: x (5, d x (5 Posiion in = bei Vorliegen von y Sor Pus: x ymax(3 S, yp (5 min(s,3 35 Mi x =, P = und bei einer Wal von S = 3 resulier ieraus: y Es sind somi Eineiszerobonds zu erwerben und 388 Pus zu verkaufen Aufgabe 4: ( Minuen a Gegeben sei ein syneisc erzeuges Pu-Hedge (Akie long + Pu long Wie laue die Dela-Normal-Approximaion für diese Posiion über ein Zeiinervall [, +]? b Gegeben sei eine Akie mi bekannem Markwer s in = und zufallsabängigem Markwer S in = Beracen Sie nun ein Zerifika auf diese Akie, das in = mindesens 9% des anfänglicen Markweres, ansonsen den Markwer der Akie in = auszal Wie laue das Zalungsprofil dieses Zerifikas in =? Zerlegen Sie dieses Zerifika so, dass ein Besandeil dieser Zerlegung eine Call-Opion is Welces Werpapier repräsenier der zweie Besandeil dieser Zerlegung? c Weisen Sie nac, dass ein -järiges Zerifika des ypus "Zerobond plus Sor Pu" ein -järiges Zerfika des ypus "eine H-Akie plus Sor Call", zum Zeipunk zu duplizieren vermag (dabei besizen Call und Pu jeweils die H-Akie als Underlying Welces sind die Ausübungspreise von Call und Pu bei dieser Duplikaionsposiion?
8 8 Was is der ensprecende Rückzalungsberag des Zerobond? Hinweis: Zerlegen Sie das Rückzalungsprofil eines Diskonzerifikas mi Cap C auf zwei alernaive Weisen Lösungsskizze: a Syneisce Pu Hedge-Posiion PH S P, wobei S der Kurs des Underlying und P der Wer der ensprecenden Pu-Opion Zu approximieren: PH PH PH Dela-Approximaion: PH PH (S S S Nun gil: PH S (S P S S S P S Normal-Approximaion: Zusäzlic wird angenommen, dass S S normalvereil is P ( b Zalungsprofil in = : max (9 s, S Zerlegung: max(9s,s 9s max(s 9s, Der zweie erm in dieser Zerlegung enspric einer (einjärigen Call-Opion mi Ausübungspreis = 9 s Der erse erm enspric dem Erwerb von 9 s Eineiszerobonds (Zerobonds mi Rückzalung in Höe einer Geldeinei, die in = fällig werden c Bezeicne S den Markwer der H-Akie in Posiion Diskonzerifika in : min (S, C Zerlegung : min(s,c S min(c S, S max(s C, Der zweie erm is eine Sor Call-Posiion, der Ausübungspreis des Call is C Zerlegung :
9 9 min(s,c C min(s C, C max(c S, Der erse erm enspric einem (-järigen Zerobond mi Rückzalungsberag C, der zweie einer Sor Pu-Posiion, wobei der Ausübungspreis des Pu ebenfalls C is
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