Semantik. Es ergibt sich die rekursive Bildungsmenge der komplexen Typen: Semantik

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1 Typheorie: Einführung zusäzlicher nich-logischer Ausdrücke uner Erweierung der Synax und der denoaionellen. Besandeile: zwei elemenare Typen zum Aufbau von Säzen/Formeln und der semanischen Komposiion: e (eniy) als Typ von Eigennamen und refereniellen Ausdrücken, die ein Individuum denoieren. (ruh value) als Typ von Säzen, die einen Wahrheiswer denoieren (bzw. einen Sachverhal in der hier nich näher beracheen inensionalen Version der Typheorie). Die Menge der nich - logischen Konsanen eines Typs σ (Con ). DieMenge Variablen einestyps σ (Var ). Die aus der PL bekannen Symbole (Junkoren, Quanoren, Ideniä). Es ergib sich die rekursive Bildungsmenge der komplexen Typen: Wenn σ undτ Typensind (elemenar oder komplex), so is auch Also: Wenn ein Ausdruck A den Typ σ, τ besiz, bedeue das : A nimm ein ein σ und ergib mi diesem ein τ. σ σ σ, τ ein Typ. 173 Beispiele: Prädikaskonsanen (Suden, verheirae, arbeie): Typ <e,>; sie nehmen einen Eigennamen/ein Referenzobjek und liefern einen Saz/einen Wahrheiswer ab. Zweisellige Relaionskonsanen (kenn, größer als): Typ <e,<e,>; sie nehmen zwei Ausdrücke vom Typ e und liefern einen Ausdruck vom Typ. Sazoperaoren (gesern, immer): Typ <,>. Adjekive (als Prädikasmodifikaoren): Typ <<e,>,<e,>>; sie nehmen ein Prädika und bilden ein modifizieres Prädika. Gradmodifikaoren (sehr, ziemlich): Typ <<<e,>,<e,>>, <<e,>,<e,>>>; sie nehmen einen Prädikasmodifikaor (z.b. gu) und bilden mi ihm einen neuen (z.b. sehr gu). Präposiionen: uner anderem Typ <e,<,>>; eine Präposiion wie in nimm einen Ausdruck vom Typ e (z.b. Hamburg) und ergib einen Sazmodifikaor (in(hamburg)). Prädikaenprädikae: Typ <<e,>,>;ausdrücke, die ein Prädika nehmen und einen Saz bilden (wichig für die ypheoreische Analyse)

2 Die Sprache der Typheorie sieh für jeden Typ eine Menge nichlogischer Konsanen vor. Es gib n. Def. eine unendliche Menge beliebig komplexer Typen. Für naürliche Sprache is aber nur eine besimme Menge realisisch, komplexere Typen als <<<e,>,<e,>>, <<e,>,<e,>>> kommen kaum vor. Ineressan sind die Modifikaoren, bei denen Argumen und Resula idenisch sind und die Prädikae, die als Resulayp haben. Für komplexe Ausdrücke der Typheorie gelen die gleichen Wohlgeformheisbedingungen wie für die PL. Eine zusäzliche Regel ergib sich aus der Grundidee der Typklassifikaion: Regel der funkionalen Applikaion Wenn ein A ein Ausdruck des Typs so is A(B) ein Ausdruck des Typs. σ, τ und B ein Ausdruck des Typs σ is, 175 Dieser Wagen fähr sehr schnell. sehr (schnell) (fähr) (dieser-wagen) <<<e,>,<e,>>, <<e,>,<e,>>> <<e,>,<e,>> <e,> e <<e,>,<e,>> <e,> Tom arbeie in Bielefeld. in (Bielefeld) (arbeie(tom) <e,<,>> e <e,> e <,> 176 2

3 Funkionale Applikaion vereinfach Typen für komplexere Ausdrücke. Unerschiede zwischen Wohlgeformhei der Typenlogik zu PL: Ideniäsrelaion verknüpf beliebige Ausdrücke idenischen Typs. Z.B. Äquivalenzbeziehung zwischen Säzen A und B (Typ ): A=B Die Quanoren binden Variablen beliebigen Typs. Tom ha nur nee Seien. F( Tom) ( nee Seien( F)), mi F Var < e, > und nee Seien Con << e, >, > 177 Denoaionelle der Typenlogik Denoabereich für Typ e is Universum U. Denoabereich für Typ is {0,1}. Typ <σ, τ> nimm Denoae vom Typ σ und liefer Denoae vom Typ τ. Das mögliche Denoa eines Ausdrucks <σ, τ> is eine Abbildung von der Menge möglicher Denoae des Typs σ in die Menge möglicher Denoae des Typs τ. Beispiele: Ein geeignees Denoa für ein einselliges Prädika is eine Abbildung von U nach {0,1}. Die Menge der möglichen Denoae für Typ <e,> is die Menge der Abbildungen von D e =U nach D ={0,1}. Denoae für Prädikasmodifikaoren sind Abbildungen von D<e,> nach D<e,> ( schnell nimm ewa ein Prädikasdenoa, ewa die Menge der Auos, und bilde eine neun Menge der schnellen Auos

4 Modellsrukur der Typenlogik is ein Tripel M=<U,V,D> mi U sei ein nich leeres Universum. D sei eine Familie von Mengen möglicher Denoae mi: D ={0,1} D e =U D <σ, τ> =D τ Dσ Einer Werzuweisungsfunkion V, die jeder Konsane vom Typ τ eine Elemen von D τ zuweis. Dieser Wagen fähr schnell. V(schnell) (V(fähr)) (V(dieser-Wagen)) jd <<e,>,<e,>> jd <e,> jd e jd <e,> jd 179 Komposiionaliäsproblem Semanische Sazbedeuung is nich a priori gegeben (wie in unseren Beispielen). Wie kann die auf Basis der komposiionellen synakischen Srukur ermiel werden? Tom arbeie. Jemand arbeie. Jeder Suden arbeie. Kein Suden arbeie. arbeie(tom) jx arbeie(x) ix(suden(x) work(x)) jx(suden(x) m arbeie(x)) Alle Beispiel besehen aus einer Subjek-NP mi ransiivem Verb! 180 4

5 Komposiionaliäsproblem und Typenlogik Die Überführung des 1. Beispielsazes is direk möglich. arbeie(tom) Für die folgenden Säze gil diese Zerlegung nich. Mi Hilfe der Typenlogik wird aber den ensprechenden <e,> e Sazkonsiuenen verschiedene Typen in der Typenlogik zugewiesen. jeder-suden is nich vom Typ e (Eniä)! Es wird kein Individuum denoier! In der Typenlogik kann man die Formeln als Funkor-Argumen- Beziehung anderer Aren auffassen. jeder-suden(arbeie) jeder (suden)(arbeie) <<e,>,> <e,> <<e,>,<<e,>,>> <e,> <e,> <<e,>,> 181 Typenlogik erlaub die Definiion von Quanoren als direke Relaionen zwischen Prädikaen.! Somi sind grammaikalische Konsiuenen direk als semanische Objeke repräsenierbar.! Gleiche grammaikalische Elemene werden durch srukurgleiche semanische Repräsenaionen darsellbar. Wo is nun der Bezug zu den Sandardquanoren der PL? Wo is die Moivaion für ein logisches Kalkül mi Dedukion? Um das Sandardinvenar der PL-Repräsenaion mi verallgemeinerer Quanorenrepräsenaion zu verbinden wird ein weiere Absrakionsschri benöig: λ-absrakion 182 5

6 λ-absrakion λ-operaor binde als logische Konsane Variablen (s. Quanoren). λ-operaor erzeug einen Funkor aus einem komplexen Ausdruck (der Typenlogik), indem gebundene Variablen als Argumenposiion deklarier wird. λ-operaor renn die Funkion vom Funkionsbezeichner. λx(ineger(x) [! λ-ausdrücke können Variablen v eines Typs σ in wohlgeformen Ausdrücken A eines Typs τ binden. λva is vom Typ < σ, τ>. )XQNWLRQDOH$SSOLNDWLRQYRQλvA und Ausdrücken vom Typ σ ergib einen Ausdruck λva(b)