Das lineare H-unendlich Problem

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1 Das lineare H-unendlich Problem Salah-Eddine Sessou Seminarvorrag vom. Juli 6. Problemsellung Bild z P x u K Der Regler (Konroller)K ha zei Eingänge, x und den exogenen Eingang. Das H-unendlich Problem beseh darin, einen Regelkreis zu sabilisieren und die Wirkung von (exogen Eingang) au den Ausgang z zu minimieren. K soll kausal und linear sein und bilde die Konrolle u x u = K (.) x is die Lösung zur Dierenialgleichung: xɺ = Ax B B u x () = (.), ir berachen Cx z = Du (.3) in dem D D = I

2 . Das Endlich-Horizon Problem Das Endlich-Horizon Problem erlaub uns den Schlüssel zu einer srukurieren Lösung zu inden. In diesem Abschni berachen ir das zeivariane Sysem (.) und (.3). In dem D D = I, ür alle Zeien. Die Konrolle u is erzeug durch (.) in dem K kausal und linear is. Sei K die Menge aller Regler. Das Ziel is, einen Regler K K zu inden, sodass das geschlossene Sysem in Bild ( z z γ ) d x ( ) x( ) ε, [, ] (.5) erüll. Für alle L [,] und ε > und eine Marix nich negaiv deini. Und paramerisieren solche Regler, enn sie exisieren. Angenommen, γ >. Der erm x ( ) x( ) enn ir berachen. ird verende um einen sabilisierenden Regler zu erhalen. Beziehung zur Spielheorie Wir haben einen Designer und die Naur, die gegeneinander spielen, in dem das Ziel des Designers is,ein K K auszuählen, so dass (.5) erüll is, obei das Ziel der Naur is, das zu verhindern, in dem sie ein maximales ausähl ( Sörgrösse). Wir deinieren die Kosenunkion: ( γ ) ( ) ( ) J ( k,,, ) = z z d x x, (.) in der k ein Regler, is eine Sörung und eine beliebige nich negaive Marix. Wenn Designer ein K ausähl und Naur ein, is J ( k,,, ) die Kosenunkion von Designer obei J ( k,,, ) is ür Naur ein Geinn. Deshalb ill der Designer J ( k,,, ) minimieren und Naur ill J ( k,,, ) maximieren. Deiniion: Das Spiel ha einen Saelpunk, enn es exisier ein Paar ür alle L [,] und K K gil: ( k, ), sodass J ( k,,, ) J ( k,,, ) J ( k,,, ) (.)

3 Wir merken, dass k der bese Regler is in K obei der schlechese exogene Eingang in L [,] is. Die Exisenz des Saelpunks is eine noendige Bedingung, dass ein Regler (.5) erüll. Um das zu sehen: Wenn ein ˆk K erüll (.5) dann J ( kˆ,,, ) ür alle L [,]. also J ( k,,, ) = ür alle K K da x () = und K = so J ( kˆ,,, ) J ( kˆ,,, ) J ( k,,, ) Für alle L [,] und K K Dann is klar, dass = die schlechese Sörung is, desegen assen ir zusammen, dass das Paar ( k ˆ,) immer ein Saelpunk is ann immer ˆk (.5) erüll. Desegen können ir einen Reglerkandidaen suchen, indem ir die noendigen Bedingungen erser-ordnung ür die Exisenz eines Saelpunks unersuchen.. Noendige Bedingungen erser-ordnung Angenommen, es exisier eine Konrolle u und eine Sörung Sei x das zugehörige Zusandragekorie in dem erüll: erüllen (.) xɺ = Ax B B u, x () =. (.3) Minimierungsproblem: Angenommen ixier und u gesör zu u = u ηuɶ Sei xɺ = Ax B B u, x () = subrahieren (.3) haben ir = ηɶ, x x x In dem xɶ erüll: x ɺɶ = Ax ɶ Bu ɶ, x ɶ () = So xɶ ( ) = Φ(, τ ) B ud ɶ τ, (.4) in dem Φ (.,.) die Überragungsmarix zu A is.

4 Direk Ersezung in (.) ergib sich: u minimier (,,, ) ( = ) ( ) ( ) J u x C Cx u u γ d x x ( x C Cx u u ) d x ( ) x ( ) η ɶ ɶ ɶ ( η x ɶ C Cx ɶ u ɶ u ɶ ) d x ɶ ( ) x ɶ ( ) J ( u,,, ) dann muss der erm ( x C Cx u u ) d x ( ) x ( ) ɶ ɶ ɶ =. (.5) ersezen (.4) in (.5) bekommen ir uɶ ( B λ u ) d = (.6) in dem λ is die adjungiere Variable, deinier als ( ) = Φ (, ) C Cx d Φ (, ) x ( ) λ τ τ (.7) da uɶ is beliebig erhalen ir u = B λ (.8) Maximierungsproblem: Is analog zum Minimierungsproblem. obei hier u u ixier is und zu = ηɶ ir assen zusammen: = γ B λ (.3) gesör is Zei-Punk-Rander Problem (ZPRB): Die Dynamik der Laubahn des Saelpunks und die dazugehörige Dynamik der adjungieren Variablen können ir in (ZPRB ) zusammenassen. Dierenzieren (.7) haben ir da Φ (, ) = I ɺ ( ) = A λ C Cx, λ ( ) x ( ) λ = Kombinieren ir dieses mi (.3) und (.8) (.3) haben ir ( xɺ A BB λ BB ) x = ɺ λ C C A λ (.5)

5 mi Randbedingung: x () = λ( ) x ( ) (.6) Wie bereis gezeig, dami die Konrolle Saelpunk is, muss u = B λ gelen. = γ B λ u und der exogene Eingang ein in dem λ Lösung von ZPRB is. Obohl das eine noendige Bedingung is, haben ir noch nich gezeig, dass der Saelpunk exisier. Die (ZPRB) ha die rivial Lösung x und λ. Ob es neben dieser Lösung eine andere Lösung gib, erden ir im Folgenden unersuchen..3 Die Riccai-Gleichung Wir haben das Formal von u und, aber ir haben nich den Regler k dargesell. Wir zeigen, dass x und λ eine Verbindung mi Riccai-Dierenialgleichung (RDG) haben. Sei Φ (, ) die Überragungsmarix zu (.5): indem dann H d (, ) H (, ) d Φ = Φ, Φ (, ) = I (.7) A ( BB λ B B ) = C C A x ( ) Φ(, ) Φ(, ) x ( ) = λ( ) Φ (, ) Φ (, ) λ( ) (.8) bei eliminieren λ ( ) = x ( ) erhalen ir mi λ = x ( ) und λ ( ) in (.8), Benuzung der Randbedingung ( ) P( ) x ( ) P( ) = ( Φ (, ) Φ (, ) )( Φ (, ) Φ (, ) ) so lang Invers exisier in [, ]

6 x ir haben schon u = B P( ) x = ( B P( ) ) und deshalb k = ( B P( ) ) is Kandida Regler und P is die Lösung zu RDG : Pɺ = A P PA P B B B B P C C, P( ) = (.) ( γ ) Wir können noieren, dass ir die Konrolle als u = B P( ) x schreiben können,enn RDG eine Lösung ha, die der Inverierbarkei von Φ (, ) Φ(, ) im Zeiinervall [,] equivalen is. Unser Ziel is jez im Res dieses Abschnis zu zeigen, dass RDG (.) eine Lösung in [,] ha exisier ein Regler k der (.5) erüll. heorem.: Angenommen, dass RDG (.) eine Lösung in [, ] ha, deinieren: u = B Px (.) daraus olg: γ = B Px (.) J ( k,,, ) = u u γ (.3) [ ] [ ],,,, ür jeden Regler k und jeden Eingang, enn u = u dann (.5) is erüll ür ε >, das bedeue, u = B Px is die Lösung ür das H -Regler Problem in der Zei [,]. Beeis: Da P( ) = und x () = ür jede u und is d (,,, ) = ( ) J k z z γ x Px d d da d ( x Px ) = x ɺ Px x Px ɺ x Px ɺ d ersezen xɺ und P ɺ bekommen ir

7 ( γ ɺ ) J ( k,,, ) = x C Cx u u ( x A B u B ) Px x Px x P( Ax B B u d = ( ( ɺ ) γ ( ) ( ) x C C A P PA P x u u B u B Px x P B B u d = ( ( γ ) γ ( ) ( ) x P B B B B Px u u B u B Px x P B B u d γ γ γ = ( ) ( ) = u B Px ( u B Px) d B Px ( B Px) d u u γ [ ] [ ],,,, es bleib zu zeigen, dass (.5) is erüll sei L bilde direk Ersezung sehen ir xɺ = ( A B B P) x B K = K = B Px γ ( u u ) = in (.3) haben ir J ( k,,, ) = γ ür ε posiiv ε = γ / L = γ ε [ ],, L [ ],, [ ],, [ ],, zu zeigen : P is nich negaiv deini : Angenommen (.) ha eine Lösung in [, ] Deinieren dann ( γ ) ( ) ( ) J ( k,,, ) = z z d x x J ( k,,, ) = u u γ x ( ) P( ) x( ) [ ] [ ],,,, da x ( ) P( ) x( ) = J ( k,,, ) γ [ ],, J ( k,,, ) ür alle und (.6) is ahr ür jede x( ), dann olg dass P( ) ür alle [, ].

8 .4 Noendigkei Bisher haben ir gezeig, dass jeder Regler der (.5) erüll ein Saelpunk ür Dierenial Spiel sein muss. Bei Analyse der Noendigen-Bedingung-Erser-Ordnung ür eine Saelpunk haben ir (ZPRB) erhalen, dass jede Saelpunk-Sraegie gegeben is durch u = B λ, = γ B λ in dem die adjungiere Variable eine Lösung von (ZPRB) is. Wir haben dann gezeig,dass λ als Funkion von x sein kann, vorausgesez, die RDG ha eine Lösung in [,]. Bei heorem (.) haben ir gezeig, dass die Exisenz einer Lösung der RDG asächlich eine genügende Bedingung ür die Exisenz einer Lösung von H- unendlich Regler Problem. Es bleib uns zu zeigen, dass RDG eine Lösung ha enn H- unendlich Regler Problem eine Lösung ha. Daür müssen ir zur Frage zurückkehren ob (ZPRB) nich nur die rivial Lösung ha. Die Frage kann anhand der Exisenz der konjugieren Punke beanore erden. Deiniion: Zei Zeien und,, sind konjugiere Punke von ZPRB (.5), enn es eine nich riviale Lösung zu (.5) gib, sodass x( ) = und λ ( ) = x( ) ür ein gegebenes ixieres. Lemma.: Sei Φ (, τ ) die Übergangsmarix zu ZPRB (.5), die Marix Φ (, ) Φ(, ) is singulär genau dann, enn und konjugiere Punke sind. Daraus schließen ir von diesem Lemma, dass RDG eine Lösung in [,] ha enn es kein [,] gib, ür das und konjugiere Punke sind. Lemma.3: Sei zei beliebige Zeien und. Die eindeuige Lösung zu ZPRB (.5) is die riviale Lösung x( ) λ( ). heorem.4: Berachen ir das lineare Sysem (.) mi Ausgang (.4) und Kosen (.) mi alls es exisier ein Regler ˆk K sodass J ( kˆ,,, ) ε ür alle L [,] und > ε, dann [, ] und sind nich konjugiere Punke. Daraus olg auch, dass die Marix Φ (, ) Φ(, ) nich singulär is ür alle [, ] und die RDG (.) ha eine Lösung in [,].,[, ] heorem (.) (.4) lassen zur Schlussolgerung kommen, dass ein kausaler linearer Regler exisier, der (.5) erüll RDG eine Lösung in [,] ha.

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