Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN

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1 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser ARBEITSBLATT LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Nachdem wir die Lage weier Ebenen unersuch haben, wollen wir uns nun mi der Lage von drei Ebenen beschäfigen. Anders ausgedrück, möche man die gemeinsame Schnimenge von drei Ebenen wissen. Wir suchen also immer die Menge aller Punke, die auf allen dreien Ebenen liegen. Wie drei Ebenen ueinander liegen können, sehen sie sehr schön in ihrem Lehrbuch REICHEL 6 auf Seie. Schlagen sie sich bie diese Seie einmal auf und denken sie sich die einelnen Möglichkeien durch. Prinipiell gib es also vier verschiedene Möglichkeien für die Schnimenge Die Schnimenge is. eine Ebene (Die. Spale in der Darsellung). eine Gerade (Die. Spale in der Darsellung). ein Punk (Die. Spale in der Darsellung). eine leere Menge (Die. Spale in der Darsellung) Prinipiell geh die Überprüfung der Lage dreier Ebenen immer derar vor sich, dass wir die Ebenen paarweise vergleichen und dann die ensprechenden Folgerungen schließen. Gehen wir dies nun an Beispielen durch Beispiel Ermile die Lage der drei Ebenen Lösung Wir unersuchen unächs einmal unsere drei Ebenen paarweise, ob irgendeine Ebene u einer anderen parallel oder idenisch sind Wenn wir die Ebenen und berachen, so fäll auf, dass die beiden Ebenen idenisch sind, da die Ebene gleich das Dreifache der Ebene is. Wir schreiben Wenn wir nun die Ebenen und unersuchen, so sind auch diese iden, da mi (-) mulipliier ergib Folglich sind also alle drei Ebenen idenisch Wenn aber drei Ebenen idenisch sind, is jede Ebene an sich ugleich wieder die gemeinsame Schnimenge und wir erhalen

2 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Beispiel Ermile die Lage der drei Ebenen Lösung Wir unersuchen wieder paarweise die Ebenen und liegen schief ueinander (Da die Koeffiienen vor, und nich mi derselben Zahl mulipliier wurden). und sind ueinander parallel (Da die Koeffiienen vor, und mi mulipliier sind, der reine Zahlenwer rechs des Gleichheiseichens aber mi einer anderen Zahl). Wir schreiben Nun überlegen sie bie Wenn wei von drei Ebenen parallel ueinander liegen, so kann die gemeinsame Schnimenge aller drei Ebenen nur eine leere Menge sein. Es folg also { } Sa Wenn wei von drei Ebenen parallel sind, so is die gemeinsame Schnimenge aller drei Ebenen immer eine leere Menge. Beispiel Ermile die Lage der drei Ebenen 8 6 Lösung Wir vergleichen wieder die Ebenen paarweise is iden mi. und liegen schief ueinander. Genauso liegen naürlich und schief ueinander (Was aber bereis aus den ersen beiden Unersuchungen gefolger werden kann). Nun überlegen wir Da die ersen beiden Ebenen ja eak das Gleiche sind und die drie Ebene schief u dieser Ebene is, können wir die Schnimenge ja auch aus dem Schni der ersen Ebene und der drien Ebene ermieln. Zwei Ebenen schneiden sich aber in einer Gerade, d.h. wir müssen die Schnigerade wischen und ermieln. Ich schreibe diese beiden Ebenen noch einmal gesonder an 8 Wir berechnen diese Schnigerade, so wie im leen Arbeisbla beschrieben. Zunächs seen wir einmal.b. und seen nun in die beiden Gleichungen ein 8

3 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Nun müssen wir und in Abhängigkei von ermieln. Da in nur die Variable vorkomm, können wir diese direk nach umformen Nun seen wir in ein, um uns u ermieln 8 Wir fassen die linke Gleichungsseie usammen 8 Nun können wir, wie im leen Arbeisbla beschrieben, direk die Schnigerade ablesen. Ich schreibe dau noch einmal unsere Teillösungen vollsändig unereinander Dami muss aber der Punk P() auf der Geraden liegen, welche den Richungsvekor ha. Die Schnigerade wischen und laue also X Diese Gerade muss aber ugleich die Schnimenge aller drei Ebenen sein ( ) X Sprich Die Schnimenge der drei Ebenen is die Menge aller Punke, die auf der Geraden X liegen. Anmerkung Das Zeichen bedeue Für die gil.

4 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Beispiel Ermile die Lage der drei Ebenen 9 Lösung Wenn wir als erses die Ebenen wieder paarweise unersuchen fäll ihnen auf, dass hier alle Ebenen ueinander schief liegen. In diesem Fall kann die gemeinsame Schnimenge aller drei Ebenen eine Gerade (Siehe Abbildung in Reichel. Zeile,. Spale) ein Punk (Siehe Abbildung in Reichel. Zeile,. Spale) eine leere Menge (Siehe Abbildung in Reichel. Zeile,. Spale) werden. Um nun die asächliche Lage fesusellen, müssen wir also dieses Gleichungsssem lösen. 9 Ich will unächs einmal die Variable eliminieren. Ich wähle dau unächs die erse und drie Gleichung 9 6 Dies is prakisch eine Gleichung, die die Schnigerade wischen und darsell (Dies is nich gan eak, da sich eine Gerade im Raum ja bekannermaßen nur in Parameerform darsellen läss. Einfachhei halber sellen wir uns dies aber derar vor). In dieser Gleichung sind aber noch wei Variable ( und ). Deshalb benöigen wir noch eine weie Gleichung, in der nur mehr diese Variablen vorkommen. Wir müssen also noch aus einem anderen Ebenenpaar die Variable eliminieren. Ich wähle die weie und drie Ebene Dies is nun eine Gleichung, die die Schnigerade der Ebenen und darsell. Ich schreibe beide Zwischenergebnisse noch einmal unereinander

5 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Nun eliminieren wir aus diesen beiden Gleichungen eine weiere Variable, ich wähle. Geomerisch inerpreier schneiden wir nun die beiden Schnigeraden. Wir ermieln also die Schnimenge der Schnigeraden ( ) 86 ( ) Da wir einen eindeuigen Wer als Lösung bekommen, muss also die gemeinsame Schnimenge ein Punk sein. Nun müssen wir noch die - und -Koordinae berechnen. Dau see ich je in die Gleichung für ein Nun see ich in die Ebene ein Der Punk S() is also der Schnipunk der drei Ebenen {( )} Beispiel Ermile die Lage der drei Ebenen 6 Lösung Wenn wir die Ebenen wieder paarweise unersuchen, fäll auf, dass alle Ebenen wieder schief ueinander liegen. Also beginnen wir wieder mi dem Schneiden der Ebenen. Ich möche uers die variable eliminieren. Ich unernehme dies unächs einmal bei den ersen beiden Ebenen Diese Gleichung sell prakisch wieder die Schnigerade wischen den Ebenen und dar. Nun eliminiere ich die Variable aus der weien und drien Gleichung

6 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Diese Gleichung sell die prakisch Schnigerade wischen und dar. Wenn wir nun diese beiden Schnigeraden vergleichen, so fäll auf, dass wir die weie Gleichung erhalen, wenn wir die erse Gleichung mi 9 mulipliieren. Die weie Gleichung is also nur ein Vielfaches der ersen Gleichung, folglich sind die beiden Geraden also idenisch. Wenn aber die beiden Schnigeraden idenisch sind, so muss diese Gerade ugleich die Schnigerade aller drei Ebenen sein (Um u versehen, wie die Ebenen liegen Siehe REICHEL 6; Seie.Zeile,.Spale). Anmerkung Wenn sie nich bemerk häen, dass die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind, wäre ihnen Folgendes passier. Wir möchen als nächse Variable eliminieren ( 9) Sie häen eine allgemein gülige wahre Aussage erhalen. Auch dies häe bedeue, dass die beiden Schnigeraden idenisch sind. Nun wissen wir war, dass die Schnimenge eine Gerade is, wir müssen aber noch die Gleichung ermieln (Die obige Inerpreaion als Gerade war ja nur aus Gründen der Einfachhei erlaub. Tasächlich läss sich eine Gerade im Raum nur miels der Parameerdarsellung darsellen. Da sich aber alle drei Ebenen in einer Geraden schneiden, müssen wir nur die Schnigerade weier Ebenen ermieln. Ich wähle die ersen beiden Ebenen 6 Wir seen.b., und seen ensprechend ein 6 Ich eliminiere Wir formen nach um ( 6) 6

7 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Zur Berechnung von see ich in die erse Ebene ein ( ) 6 6 Nun können wir die Gerade wieder angeben. Ich schreibe dau alle Variablen noch einmal ausführlich an Folglich is der Punk P(-) ein Punk der Gerade, mi dem Richungsvekor. Den Richungsvekor können wir aus opischen Gründen noch bruchfrei machen. Dau mulipliieren wir ihn mi (Wir dürfen dies, da ja die Länge in diesem Fall bedeuungslos is).. Die Gerade laue also X. Dies muss die Schnigerade der drei Ebenen sein ( ) X Beispiel 6 Ermile die Lage der drei Ebenen 6 Lösung Wenn wir die Ebenen wieder paarweise unersuchen, so sellen wir fes, dass alle Ebenen schief ueinander liegen. Folglich schneiden wir die

8 Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser Ebenen wieder paarweise. Ich eliminiere unächs die Variable aus den ersen beiden Gleichungen Diese Gleichung sell prakisch wieder die Schnigerade wischen den Ebenen und dar. Nun eliminiere ich die Variable aus der weien und drien Gleichung Diese Gleichung sell die prakisch Schnigerade wischen und dar. Wenn sie nun diese beiden Gleichungen vergleichen, so fäll auf, dass die Koeffiienen vor und in der ersen Gleichung genau das - fache der weien Gleichung sind, der reine Zahlenwer rechs des Gleichheiseichens aber mi einer anderen Zahl mulipliier is. Folglich sind aber die beiden Schnigeraden parallel. Wenn aber die Schnigeraden parallel sind, kann die Schnimenge dieser Geraden nur eine leere Menge sein (Zur Vorsellung, wie die Ebenen liegen REICHEL 6; Seie.Zeile,. Spale). Folglich is also die Schnimenge der drei Ebenen eine leere Menge. { } Anmerkung Wenn sie nich bemerk häen, dass die beiden Geraden parallel sind, wäre ihnen Folgendes passier. Wir möchen als nächse Variable eliminieren ( ) 8 8 Sie häen eine allgemein gülige falsche Aussage erhalen. Auch dies häe bedeue, dass die beiden Schnigeraden parallel sind, sich also nich schneiden und die gemeinsame Schnimenge folglich eine leere Menge sein muss. Übung Übungsbla ; Aufgaben - 8