Kapitel 3. x, wobei x, y R + und t R.

Transkript

1 Lineare Geomerie Kapiel Homogene und inhomogene lineare Gleichungssyseme Täglich werden wir mi Gleichungssysemen konfronier Manche scheinen sehr komplizier zu sein und manchmal können sie nur numerisch gelös werden Dagegen sind lineare Gleichungssyseme üerschauar und ihre Lösungen leich zu erechnen Im Folgenden schreien wir für Lineares Gleichungssysem kurz LGS Schauen wir uns zwei Beispiele an, um den Unerschied aufzuzeigen Beispiele: a) Nichlineares Gleichungssysem sin( ) + y e = 5 cos( ) ln( y) =, woei, y R + und R ) Lineares Gleichungssysem y + πz = sin 5, woei, y, z R ln() + e z =,5 Im ersen Beispiel sind die Varialen durch höhere Rechenoperaionen und Funkionen verknüpf Im zweien Beispiel sind die Varialen gerenn und nur durch Addiion und Surakion verknüpf Das erse Beispiel läss sich nur durch höhere algeraische Mehoden (Kommuaive Algera) zw höhere Analysis (Saz der implizien Funkionen) oder miels numerischer Mehoden (Fipunksaz, Newonsches Verfahren) lösen Ein lineares Gleichungssysem esich in seiner einfachen Form, nämlich, dass jeder Eponen der Unekannen in der ersen Poenz erschein Definiion : Ein Schema a + a + + a = a + a + + a = n n m m mn n m mi a ij, k K heiß inhomogenes lineares Gleichungssysem in n Unesimmen,,, n üer K Gil k = 0 für alle k {,, m}, so heiß es homogen Hierei seh K für Z, Q, R oder C Beispiele: a) Gegeen is folgendes LGS + y = + y = 0 Es is nich lösar, denn sezen wir y= in + y= ein, so erhalen wir ( ) = + = 0, eine offenar falsche Aussage ) Ändern wir das LGS wie folg a: + y = y = 0 PD Dr rer na hail Ger Hillerand

2 Jez is das LGS mi genau einer Lösung lösar, denn y= in + y= eingesez = + =, also = und dami y= c) Als lezes erachen wir folgendes LGS + y= liefer ( ) Dieses LGS esiz unendlich viele Lösungen, denn wählen wir y= mi R, so erhalen wir für die Lösung = ( ) mi R Da es nur auf die Zahlen vor den Unekannen ankomm, wollen wir eine neue Schreiweise einführen, die uns die Arei erleicher, Lösungen zu finden Die Eliminaionsmehode Die Eliminaionsmehode haen wir schon een ei den Beispielen kennengelern Hier soll sie einem neuen Schema gegenüergesell werden Dazu schreien wir das LGS in einer anderen Form a a an = am am a mn n m oder in Kurzform A = Das inhomogene LGS y + z = + y z = schrei sich als y = z zw in Kurzform, da es auf die Unekannen nich ankomm Gesuch sind nun alle Lösungen Dazu muliplizieren wir die zweie Gleichung mi und addieren sie zur ersen Gleichung Wir erhalen dann 7y + z = 0 7 zw + y z =, Muliplizieren wir die zweie Gleichung mi 7 und addieren die erse Gleichung zur zweien, so ekommen wir folgendes LGS: 7 y + z = 7 z = zw Muliplizieren wir die erse Gleichung mi und verauschen dann die Gleichungen, so erhalen wir 7 z = 7 y z = zw Hier können wir nun alle Lösungen alesen Da z nich mehr eliminier werden kann, wählen wir z= 7 Dami erhalen wir = + 7 und y= + 7, mi R Die Lösung kann jez zu einen sogenannen Vekor zusammengesez werden y = + = + = +, R z PD Dr rer na hail Ger Hillerand

3 Wenn man die Addiion von Vekoren und die Muliplikaion von Zahlen mi Vekoren so verseh, wie wir es hier einfach vorgenommen ha, kann die Lösung aus den lezen eiden Spalen einfach agelesen werden Halen wir die neuen Verknüpfungen noch fes Definiion : Es sei n die Anzahl der Unekannen eines LGSs y Zwei Vekoren = y und y= werden wie folg addier: n y n + y + y + y= n+ y n Ensprechend werden mehrere Vekoren addier Ein Vekor = n wird mi einer Zahl r R wie folg muliplizier: r r r = r n Kehren wir zum LGS zurück Alle Lösungen ekommen wir jez, indem wir auf der uneren Diagonalen mi der negaiven Zahl der oeren Diagonalen erweiern Die neue Mari sieh nun wie folg aus: Daei is ein Lösungsvekor des homogenen und 7 des inhomogenen LGSs Definiion : 7 ein spezieller oder parikulärer Vekor 0 Ein Vekor w heiß homogene Lösung des LGSs A =, wenn = 0 is Ein Vekor v heiß Aw spezielle oder parikuläre Lösung des LGSs A =, wenn A v= is Halen wir unsere Ergenisse noch einmal gesonder fes Folgerung : a) Die Differenz zweier spezieller Lösungen eines inhomogenen LGSs is eine Lösung des homogenen LGSs ) Jede Lösung eines inhomogenen LGSs is von der Form w+ v, woei w eine homogene und v eine spezielle Lösung is Lineare Gleichungssyseme und affine Teilräume In diesem Aschni soll der Zusammenhang zwischen affinen Teilräumen (Punke, Geraden, Eenen usw) unersuch werden Dazu sezen wir voraus, dass wir das homogene LGS A = 0 zw inhomogene LGS A = mi dem erweieren Gaußalgorihmus eareie haen, so dass wir alle E C Lösungen alesen können Die Mari A ha danach die Form A r 0 0 zw Er C D (Lösungsmari) PD Dr rer na hail Ger Hillerand

4 Erses Beispiel: Gegeen is eine Gerade durch den Ursprung (0 0) und den Punk ( ) Um von den Punk (0 0) zum Punk ( ) zu gelangen, is eine Verschieung nowendig Diese ezeichnen wir mi ν Es gil also ν (0 0) = ( ) Der Ursprung wird folglich in Richung verschoen Deshal heiß dieser Verschieungsvekor auch Richungsvekor Gesuch wird ein LGS mi diesem Vekor als Lösung Nun wissen wir aer auch, dass alle Verschieungen r mi r R die ganze Gerade darsellen Unsere Lösungsmari laue folglich Das zugehörige homogene LGS laue somi y= 0 Folglich sind r = y, r R und y= 0 äquivalene Beschreiungen für ein und dassele geomerische Ojek, nämlich, in diesem Beispiel, eine Gerade (Bild ) -7 Y = 0,5*X y Y = 0,5*X y Bild Bild Verschieen wir jez die Gerade aus dem Ursprung (Bild ) Wie laue das zugehörige inhomogene LGS? Eine spezielle Lösung laue 0, denn der Ursprung (0 0) is in den Punk (0 ) verschoen worden Sezen wir diese in die linke Seie des LGS y ein, so erhalen wir 0 = Das gesuche inhomogene LGS laue folglich y= Unsere Lösungsmari erschein jez in normierer Form: 0 Man erkenn, dass diese spezielle Lösung gerade die Verschieung zum Durchsoßpunk ( 0) auf der ersen Achse angi Der Verschieungsvekor is dann 0 Merke: Ein Vekor des homogenen LGSs gi immer die Richung an Deshal heißen solche Vekoren Richungsvekoren des geomerischen Ojeks (hier: die Gerade) PD Dr rer na hail Ger Hillerand

5 Der Vekor (spezielle Lösung) des inhomogenen LGSs gi immer die Verschieung zum Durchsoßpunk (hier Achse) an Er heiß Süzvekor (mir würde Soßvekor esser gefallen) des geomerischen Ojeks (hier: die Gerade) Aufgae: Im dreidimensionalen Raum R is der Punk ( ) gegeen Die Gerade durch den Nullpunk (0 0 0) und den Punke ( ) is dami eindeuig esimm a) Wie laue das zugehörige homogene LGS? ) Wie laue das zugehörige inhomogene LGS, wenn die Gerade aus dem Nullpunk parallel in den Punk ( ) verschoen is? c) Wie is hier der Soßvekor zu inerpreieren? Lösung: a) Die Richung wird vom homogenen Vekor Lösungsmari Das homogene LGS laue folglich fesgeleg Folglich is z= 0 y z= unsere ) Das zugehörige inhomogene LGS erhalen wir durch Einsezen des speziellen Vekors Folglich laue das inhomogene LGS z= ( ) = y z= = 0 0 c) Unsere Lösungsmari laue 0 0 Dami is der Soßpunk ( 0 0) Er 0 lieg auf der ersen Koordinaenachse, da y = 0 und z = 0 sind An diesen Beispielen is zu erkennen wie einfach es is zwischen der Lösung in Vekorform (sogenanne Parameerdarsellung) und dem LGS (sogenanne Darsellung in Gleichungsform) hin und her zu wechseln Dieses mach man sich zu nuze, wenn mehrere geomerische Ojeke vorliegen und man wissen will, in welcher Lage sie zueinander sehen PD Dr rer na hail Ger Hillerand 5

6 Lageeziehungen Der Asand eines Punkes zu einer Geraden Achse Q g P Achse O B A Achse Prolemsellung Gegeen is ein Punk Q und eine Gerade g: g( ) : = OP = OA+, R in Parameerdarsellung [Speziell: Q( ) und g: g( ) = OP= 5 +, R ] Gesuch is der 0 Asand (Disanz) d( Q, g) : = { d( Q, P) P g 0 } a) Benuzen Sie dazu das Skalarproduk und das Senkrechsehen zweier Vekoren ) Schreien Sie den Asand d( Q, P ) für P g als Funkion fr ( ) in Ahängigkei von und lösen Sie das Prolem als Eremweraufgae c) Leien Sie eine Formel für den Asand d( Q, g ) her, und erechnen Sie den Asand für die konkree Aufgae Lösung: Zuers führen wir eine neue Akürzung ein d( Q, P) = : QP= QPi QP (Pyhagoras in D) a) Aus der Zeichnung ennehmen wir für den Asand des Punkes Q zu einem elieigen Punk P den Vekor QP Diesen schreien wir als QP = QO+ OP Da der Punk P auf der Geraden g lieg, folg QP = QO+ OP = QO+ OA+ = QA+ Der kürzese Asand ergi sich nach Pyhagoras aus QP zu 0= QA+ = QA + i i i QAi Demzufolge is = Sezen wir das Ergenis in die Parameerdarsellung für g ein, QAi so erhalen wir den Punk P miels OP = OA Hieraus erechne sich der Asand der Punke Q und P durch die Länge des Vekors QP miels Skalarproduk OP = OPi OP zu PD Dr rer na hail Ger Hillerand

7 d( Q, g) = : QP = ( QAi) QA ( QAi) QA = = QA QA ( i ) ) Der Asand is jez durch ( ) ( (, )) = = gegeen Mi f d Q P QP folg ( ) ( ) QP= QA+ f ( ) = QPi QP= QA+ i QA+ = QA + i QA+ Mi f ( ) = i QA+ erhalen wir 0 f ( ) = = i QA+ = i QA QA QA QA ( QA) und dami f ( i ) = QA i QA QA i + i = i Dies is äquivalen zu QA ( QA ) i Ziehen wir die Wurzel, so haen wir den Asand erechne c) In eiden Fällen ergi sich die Formel d( Q, g) = : QP = QA ( i QA ) 0 Speziell ergi sich für das konkree Prolem g( ) = OP = 5 +, R und 0 Q( ) die Lösung: =, QA = 5, i QA=, also 7 = 5 Der Asand eines Punkes zu einer Eene Achse Q P,r ε Achse Achse Prolemsellung Gegeen sind ein Punk Q und eine Eene ε Die Eene kann in Parameerdarsellung oder als eine Gleichung gegeen sein In eiden Fällen is der Normalenvekor ON zur Eene ε sofor ekann Is nun P, r ein elieiger Punk der Eene ε, so is P, r so zu esimmen, dass QP, = s ON, s R r PD Dr rer na hail Ger Hillerand 7

8 ai Die Zahl s is dann der Asand Erinnerung: pr ( ) = a is die Projekion des Vekors auf a ai a a Is P ein elieiger Punk der Eene ε, so erhalen wir pr ( QP) = ONi QP ON und ON s= ONi QP Der loreche Punk P, r uner Q in der Eene ε is dann durch OP, r= OQ+ s ON gegeen Parameerdarsellung: ε (, r) = OP, r= OA+ + r AC,, r R Mi ON, AC folg QP, r= QA+ + r AC, also s= QP, ri ON= QAi ON, also s= QAi ON Gleichung: a y cz d OAi OX d= 0 OAi OX d = 0 Mihin + + = Wir formen um zu ( ) is OAi OQ d der Asand des Punkes Q zur Eene ε OA Bemerkung: Der Normalenvekor ON kann leich mi dem äußeren Produk a erechne werden (Seie 9) OA Der Asand zweier Geraden Achse A B Q r g h D P Achse C Achse Prolemsellung Gegeen sind zwei Geraden g: g( r): = OQ = OA+ r, r R und h: h( ): = OP= OC+, R r als Parameerdarsellungen Gesuch is der Asand d( h, g) : { d( Q, P) Q h P g} = [Speziell: g( r) = OQr= r + ; r R, und 0,5 0 h( ) = OP = 5 +, R ] 0 a) Benuzen Sie dazu das Skalarproduk und das Senkrechsehen zweier Vekoren ) Schreien Sie den Asand d( Qr, P ) für Qr h und P g als Funkion f(, r ) Lösen Sie das Prolem als Eremweraufgae, indem Sie fr ( ) in Ahängigkei von sowie f ( r ) in Ahängigkei von r erachen (Funkionen mi Scharparameern) PD Dr rer na hail Ger Hillerand

9 c) Leien Sie eine Formel für den Asand d( h, g ) her und erechnen Sie den Asand für die konkree Aufgae Lösung: Wir erachen das Quadra des Verindungsvekors f (, r) ( h( ) g( r) ) sels) und erechnen das Minimum dieser Funkion für sowie r Dazu leien wir fr ( ) und f ( r ) a Wir erhalen fɺ ( ) = h( ) g( r) hɺ ( ) r ( ) i ( ) f ( r) = h( ) g( r) i g ( r) = (Skalarproduk mi sich Für ein Minimum müssen eide Aleiungen verschwinden Folglich gil mi g ( r) = und hɺ ( ) = * h( ) g( r) i hɺ ( ) = 0 h( ) g( r) g ( r) = 0 ( ) ( ) i AC+ r i = 0 ri = ACi AC+ r i = 0 i r = ACi ( ) ( ) Insesondere erhalen wir mi hɺɺ ( ) 0 und g ( r) 0 ε R r ε R ɺɺ fr( ) = ( hɺ ( ) ) + ( h( ) g( r) ) hɺɺ ( ) = ( hɺ ( ) ) = > 0 f ( r) = g ( r) h( ) g( r) g ( r) = g ( r) = > 0 ( ) ( ) ( ) Die Schüler lösen nun dieses LGS in r und Da die kürzese Verindungssrecke senkrech auf und seh, is folglich h( ) g( r) ein Vielfaches des Vekors a a a Erinnerung: * a a a = In der klassischen Mahemaik wird dieser Vekor nach a a a a Physikern mi a ezeichne Der Normalenvekor is dami a Zur einfachen Berechnung gehe wie folg vor: Mi a= a e+ a e+ ae = e+ e+ e folg a = ( a a ) e e+ ( a a ) e e ( a a ) e e Da und senkrech auf sehen, erhalen wir die Minimaledingung h( ) g( r) i = ACi ( ) ( ) ( ) Inerpreaion: () Is = 0, so sind die Geraden parallel! () Is ACi ( ) = 0 0, so schneiden sich die Geraden! () Is ACi ( ) 0, so sind die Geraden windschief! Besimmen wir nun den Asand Dazu sei ON : = h( ) g( r) = s ON Wir finden s= ACi ON und der Normalenvekor Dann is PD Dr rer na hail Ger Hillerand 9

10 Folglich is der Asand s : AC s = i AC i = Es sind noch die Punke OQ r und OP zu esimmen Die Schüler lösen das lineare Gleichungssysem r = ACi ON ON AC Wir wollen und r erechnen Dazu dürfen wir annehmen, dass und die Länge eins haen Dann is ON= Wir finden dann das LGS (vgl * Seie 9) ACi r i + = 0 = r i ACi ACi i + r= 0 r= ACi + i Es folg ACi ACi + i i + = also + = 0, ( ) 0 ACi ACi i ( ) i Aus r AC = ACi i ACi = ( i ) i i i i, also i i folg AC ( r AC ) + r= 0 ( ) ACi ACi i r= ( i ) Wir erhalen die gesuchen Punke : ACi ACi i ACi i ACi OQr= OA+ und OP = OC+ i i Ersezen wir noch zw durch zw, so erhalen wir ( i ) ( ) ACi ACi i ACi i ACi OQr= OA+ und OP= OC+ i ( ) Der Minimalvekor Qr P is folglich ACi i ACi ACi ACi i QrP = AC+ i i Lösen wir noch unser spezielles Prolem ( ) ( ) 0 g( r) OQr r = =, h( ) OP 5 + = = +, r, R, 0,5 0 = 5 sowie = AC =, 0,5 = und 0 PD Dr rer na hail Ger Hillerand

11 AC Mi der Formel s= AC i i = errechne der Schüler s=,5=,5 Nun folgen aus r = s ON AC die Parameer = 7, r= Wir erhalen 7 OQ r 7 0 = + =, OP = ,5 5 + =, 0 also Q ( 7, 7, 5 r= ) und (,, ) P= PD Dr rer na hail Ger Hillerand