Konstanten eindeutig bestimmt werden. (Die 6 Gleichungen sind linear unabhängig voneinander.)
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- Claudia Lehmann
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1 Saik und Elemenare Fesigkeislehre Prof. Popov WS 008/09 Lösungshinweise Seie 1 1.Üungswoche: Axiale Flächenrägheismomene; Biegenormalspannungen Aufgae 114 (Tu) (a) Für das Biegemomen gi es drei Bereiche zu unersuchen. Das Sysem is saisch esimm. Bereich I: 0 < x < a Konsanen eindeuig esimm werden. (Die 6 Gleichungen sind linear unahängig voneinander.) Aus (7) in () folg : c 0 (13) Aus (8) in (6) folg : c 6 c 5 l (14) Bereich II: Bereich III: q I Q I Q I 0 Q I c 1 (1) M I Q I M I c 1 M I c 1 x + c () q II Q II a < x < l a Q II 0 Q II c 3 (3) M II Q II M II c 3 M II c 3 x + c 4 (4) q III Q III l a < x < l Q III 0 Q III c 5 (5) M III Q III M III c 5 M III c 5 x + c 6 (6) Somi is es ersichlich, dass pro Bereich Konsanen zu erechnen sind.(3 Bereiche liegen vor, d.h. 3 6 Konsanen: c i mi i 1,..6) M II (x) F a cons. 0 () Für die Berechnung dieser 6 Konsanen rauch PSfrag man replacemens 6 M III (x) F (l x) (3) linear unahängige Gleichungen. Diese Gleichungen ergeen sich aus den Rand-und Üergangsedingungen: Graphische Darsellung: Randedinungen M I (x 0) 0 (7) M III (x l) 0 (8) Aus (9) folg : c 1 a + c c 3 a + c 4 (15) Aus (10) folg : c 1 F + c 3 (16) Aus (11) folg : c 3 (l a) + c 4 c 5 (l a) + c 6 (17) Aus (1) folg : c 3 F + c 5 (18) Die Lösungen dieses Gleichungssysems lauen: c 1 F, c 0, c 3 0 (19) c 4 F a, c 5 F, c 6 F l (0) Somi erhäl man für das jeweilige Biegemomen indem man die Konsanen einsez: M(x) F a M I (x) F x (1) linear (I) (II) (III) linear Üergangsedingungen PSfrag replacemens Freischni an der Selle x a M I F M II a l a l Somi is das Biegemomen im zweien Bereich (enlang des ganzen Bereichs) maximal und konsan. x Q I Q II Die Gleichgewichsedingungen ergeen folgende Üergangsedingungen: M max F a 3750 N m (4) Das is der Maximalwer des Biegemomenes im Balken (um die y-achse). M I (x a) M II (x a) (9) () Flächenmielpunk des T-Profils (Balkenquerschni) Q I (x a) F + Q II (x a) PSfrag (10) replacemens y PSfrag replacemens Freischni an der Selle x l a: z M 1 II F Q II Q III M III Die Gleichgewichsedingungen ergeen folgende Üergangsedingungen: M II (x l a) M III (x l a) (11) Q II (x l a) F + Q III (x l a) (1) Somi liegen jez 6 Gleichungen für die Berechnung der Konsanen c i (i 1,..6) vor. Es können alle diese 6 Flächenmielpunk in y -Richung: Flächenmielpunk in z -Richung: y S 0 (5) Körper yi zi A i yi A i zi A i 1 i i 0 + c c 0 c( + c ) ( + c) c( + c )
2 Saik und Elemenare Fesigkeislehre Prof. Popov WS 008/09 Lösungshinweise Seie 1.Üungswoche: Axiale Flächenrägheismomene; Biegenormalspannungen g replacemens zs i1 A i Z i i1 A i + c + c + c + c + c ( + c) (6) 4, 64mm (7) (c) Flächenrägheismomen um die y-achse (I yy ) y y Mi dem Saz von Seiner: placemens woei y 1 S 1 z S z y 1 z z S I yy I yy,1 + d 1 A 1 + I yy, + d A (8) S 1 jez wird alles (I yy,1, I yy,, A 1, A, d 1, d ) in Gleichnung (8) gesez. I yy c 4 ( c + ) (33) + c ( c + ) c (34) c c 1 [ ( + c 3 (c + ] ) ) + c (35) + c 1, mm 4 (36) PSfrag replacemens (d) Maximale Zug- und Druckspannung im Maschineneil z S y y z S z c z S S d1 d woraus ersichlich is, dass: A 1, A c, d 1 zs c d + c z S c + + c PSfrag replacemens Berechnung von I yy,1 : S c c + + c und σ(z) M I yy z (37) (M is hier das Momen um die y-achse) Flächenrägheismomen aus Gleichung (35): I yy 1 4 [ 1 3 ( + c 3 ) + c (c + ] ) kons. (38) + c σ(z) σ max (z) ei M M max und z z max. M max aus Frage () Gleichung (4): y 1 S 1 M max F a (39) I yy,1 (A 1) Berechnung PSfrag replacemens von I yy, : z 1 z 1 d A 1 (9) z 1 d z 1d y (30) z max kann aus der Skizze zur Geomerie agelesen werden: unerer Rand des T-Profils (Zugeanspruchung): oerer Rand des T-Profils (Druckeanspruchung): Am uneren Rand des Profils: z max + c z S (40) z max z S (41) σ max,zug F a ( ) + c z N I S 165, 963 yy mm (4) S (A ) y z c Analog gil folgendes: I yy, z d A (31) c c z d z d y 1 1 c3 (3) Am oeren Rand des Profils: σ max,druck F a ( ) z N I S 65, 583 yy mm (43)
3 fl-u& e',f:q,: (Pa) Y ar\\ +{f" r>j + (a,h/rwah,,' (?cvn?crr Q 0crn d luu dla'ae ', ( Pa ya/üfae{aa;a / *) ( hie,,fogar olie Her/,r'hug u/ao$la ) Iy {'dr s Ir",.z)dn kon*ßron! c>' uj^fr r QrJzan *,fil fr s' 'ola eoelha,qa - Ykn (4u4auq e^' 1 rh F.(älamr'fupi*r' f,{" 'oln *) Iff lnn flea \- oyy I,?o n ' no{il, h'au,pheorern : fui (' n ;* ol g r; f,'+ U) o r,' n; I Ja{,,/u wc'lcu fo,ql ; JI (+e,f ) zd,c/( fwr(*i ) '*!!! /"',P') ol!: v!w f [f * )'/- n,oj. lp^ (*a ) r ( ;;+1 o r r f J o n' -if -r+d( - irk,.','-! {n*) e- l 1-- AS04 oo,ii-c*( + Yooo\ if ' 'Tl drn I J E 0l OA. it crn l a.h 0,1 m4
4 4a/gailc 44 &; (a) (r*) *^* \ 0, ry+^ H# zhß\ o ) Hk) /,.//-^)' o T {" -!?,//-^) F/ol okn /n ä'u /, o /r*, o m ( u r,' üy * 6lolil3 Ir *{*, z'!/a^) )l 'fl"/ (naa-n'& *, helon --- r i qo //-x)- l #' #'l q l f h/a1l {^o* k) 3 q' //-!)' : ü"/ h x1z J, hh)mu-^) r (L) s -s B S- s.3 - -ö n^,ry' " (ai - 4J - ix u-rf'4 E$ '#- {ffi(ar)ön w'h) s I ür'f '(' F ln*x) u Wf) J öz"l lu (I-*) )* Ele- a Of, X. QU I 6.6u /-x f d +ln,r rlrl r(n**e -J
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