Lebensdaueruntersuchungen an Energiesparlampen

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1 Wilfrie Rohm Leensauerunersuchungen Seie von 6 Wilfrie Rohm wrohm@aon.a Leensauerunersuchungen an Energiesparlampen Link zur Beispielsüersich Mahemaische / Fachliche Inhale in Sichworen: Weiullvereilung, Leensauerunersuchungen, Ausfallrae, charakerisische un milere Leensauer, Prinzip er kleinsen Quarae, Ausgleichsfunkion. Kurzzusammenfassung Es soll aus gegeenen Versuchsaen as Leensauergesez für esimme Energiesparlampen nach em Prinzip er kleinsen Quarae ermiel weren. Ausserem sollen Berachungen üer ie Begriffe Ausfallrae, charakerische Leensauer un milere Leensauer angesell weren. Lehrplanezug Angewane Mahemaik, 5.Jahrgang, alle Aeilungen Aufgaensellung In en Jahren wuren an er HL Saalfelen in Zusammenarei mi er auernkrafwerke AG un er Salzurger AG für Elekriziäswirschaf Vergleichsunersuchungen an Beleuchungskörpern urchgeführ. Daei ging es in erser Linie um ie Ermilung von Leensaueraen. Es soll emonsrier weren, wie ie Ermilung er Leensauervereilung eines esimmen Lampenyps aus en Daen erfolgen kann. a) Aus en angegeenen Daen is (nach em Prinzip er kleinsen Quarae) ie passene Leensauervereilung zu ermieln. Vorgangsweise un Ergenis sin ensprechen zu erklären zw. zu kommenieren. Uner anerem soll ie gefunene Vereilung in geeigneer Weise auch als Gerae argesell weren ("Leensauernez"). ) Erklären Sie, was man uner er "Ausfallsrae" verseh un sellen Sie iese in Ahängigkei von er Zei für iesen Lampenyp ar (Inerpreaion er Kurve!). c) Es sollen ie Begriffe "milere Leensauer" un "charakerisische Leensauer" sowie ihr Zusammenhang (unahängig vom oigen Beispiel; z.b. mi ) in Ahängigkei von er Ausfallsseilhei ausführlich rechnerisch un graphisch erläuer weren. Leensaueraen von 7 Energiesparlampen k 8 i.. k üerle i k N 7 üerle i Anzahl er Daenpunken (Klassen) Anzahl er unersuchen Lampen eines esimmen yps Zeipunke in Sunen Anzahl er zu einem esimmen Zeipunk noch funkionsfähigen Lampen HL Saalfelen 22 / 3

2 Wilfrie Rohm Leensauerunersuchungen Seie 2 von 6 eil a) Ermilung er Leensauervereilung (Weiullvereilung) Rach i üerle i N Vekor mi en eoacheen relaiven Häufigkeien an Lampen, welche einen Zeiraum üerleen. R (,, ) e Formel für ie Üerleenswahrscheinlichkei er zweiparamerigen Weiullvereilung... charakerisische Leensauer... Ausfallsseilhei n länge( üerle) n 8 Dimension es gegeenen Vekors Ermilung er passenen Were un nach em Prinzip er kleinsen Quarae: sinnvolle Schäzwere für en numerischen Lösungslock max( ) + min() F (, ) Vorgae n i ( ( )) 2 Rach i R,, (Exponenialvereilung) Diese Zielfunkion soll ein Minimum weren (Prinzip er kleinsen Quarae) F (, ) Minfehl(, ) Zeichnerischer Vergleoich zwischen en gemessenen Weren un er Ausgleichsfunkion (Weiullvereilung) Vereilungsfunkion Üerleenswahrschienlichkei G (,, ) R(,, ) R (,, ) e.. 3 e G (,, ) N üerle i N , HL Saalfelen 22 / 3

3 Wilfrie Rohm Leensauerunersuchungen Seie 3 von 6 R (,, ) üerle i N.5 e , Darsellung im sogenannen Leensauernez: Dor soll ie Weiullvereilung als Gerae argesell weren. R () e Durch 2-maliges Logarihmieren wir R() zu einer "Geraen" gemach ln( R() ) log( ln( R() ) log() + log( ) In einem ensprechen skalieren Leensauernez is ies eine Gerae mi Seigung ("Ausfallsseilhei").5 log( ln( R(,, ) )) ( ( )) log ln Rach i , HL Saalfelen 22 / 3

4 Wilfrie Rohm Leensauerunersuchungen Seie 4 von 6 eil ) Ausfallrae Die Sichproengröße, welche zur näherungsweisen Berechnung er Ausfallrae verwene wir, heiss Ausfallquoe un is folgenermassen efinier: λ ach () ( ) B ( i+ ) ( ) B B Es wir also er Aneil er ausgefallenen Elemene ezogen auf en akuellen Besan B Beoachungszeiraum erechne. ( ) un en Durch Umformen erhäl man: λ ach () ( ) B ( i ) ( ) B + B g B ( ) B ( i ) ach () R ( ) Für gegen Unenlich un uner Berücksichigung von g () Differenialgleichung G () R () erhäl man schließlich ie R () λ () R () Daher kann man sagen: Die Ausfallrae λ() is er Proporionaliäsfakor, mi er ie Üerleenswahrscheinlichkein Ahängigkei von er Zei animm. Is λ() consan, so erhäl man ie Differenialgleichung, welche ie Exponenialvereilung fesleg (Analogie zum raiokaiven Zerfall!) Hinweis: g()... Dichefunkion G()... Vereilungsfunkion R() -G()... Üerleenswahrscheinlichkei Verlauf von λ() für unser Beispiel Lau Formelsammlung gil: λ (, ) λ(, ) HL Saalfelen 22 / 3

5 Wilfrie Rohm Leensauerunersuchungen Seie 5 von 6 Die oige Kurve zeig, ass ie Ausfallrae er Energiesparlampen mi er Zei ZUNIMM. Dieses Verhalen is ypisch für Prouke, welche einem Verschleiss in Ahängigkei von er Zei unerliegen. Dies is wieerum ypisch für Leensauervereilungen mi einer Ausfallsseilhei >, welche ypischerweise für Prouke in Phase III er sogenannen "Baewannenkurve für ie Ausfallrae λ()" gil. Für (Fall er Exponenialvereilung) erhäl man aus er oigen eine Funkionsgleicung für λ() einen konsanen Wer, wie man nachfolgen siieh: λ (, ) eil c) Vergleich Erwarungswer (milere Leensauer) mi charakerisischer Leensaue Die charakerisische Leensauer is jene Zei, welche % er Lampen üerleen. Dies erhäl e man, wenn man in er Formel für ie Üerleenswahrscheinlichkei einsez: R () e wir zu R ( ) e Ineressaner Weise ha - wie man sieh - ie Ausfallsseilhei einen Wer, er UNABHÄNGIG von er Ausfallsseilhei is, wie man auch aus em folgenen Diagramm sieh. R (, ) e R (, ) R2 (, ) R5 (, ) R(,.6).5 e Die milere oer urchschniliche Leensauer hingegen ensprich em ERWARUNGSWER er ensprechenen Weiullvereilung un wir aher folgenermassen erechne: G weiull (,, ) e g weiull (,, ) G weiull (,, ) µ (, ) g weiull (,, ) Anschaulich ensprich ie milere Leensauer em Schwerpunk er Aszisse er Dichefunkion! HL Saalfelen 22 / 3

6 Wilfrie Rohm Leensauerunersuchungen Seie 6 von 6 Die milere Leensauer µ un ie charakerisische Leensauer können üer einen relaiv komplizier zu erechnenen Fakor a() mieinaner in Beziehung gesez weren: µ a ( ) Der Fakor a() is für > (also für Elemene mi Verschleisserscheinungen Phase III er Baewannenkurve) ses kleiner als - also isn iesem Fall ie milere Leensauer ses kleiner als ie charakerisische Leensauer. Der Fakor a() is < (also für sogenanne "Frühausfälle" Phase I er Baewannenkurve) ses größer als - also isn iesem Fall ie milere Leensauer ses größer als ie charakerisische Leensauer Nur für en Fall (konsane Ausfallrae; Exponenialvereilung) is milere Leensauer gleich er charakerisischen Leensauer. Dies wir in en nachfolgenen Berechnungseispielen un er Grafik verifizier: a (, ) µ (, ) µ (, ) µ (,.5).93 µ (,.8).33 µ (, 2).886 µ (,.5) 2, µ (, 3).893 µ (, 5) Diche er Weiullvereilung mi 2 Diche er Weiullvereilung mi Diche er Weiullvereilung mi.6 Erwarungswer für.6 Erwarungswer für Erwarungswer für 2 Auch eine ensprechene Animaion is auf er Basis ieser Berechnungen un er Grafik möglich. Link zur Beispielsüersich HL Saalfelen 22 / 3