Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 13 ABSTANDSBERECHNUNGEN. a) Abstand eines Punktes von einer Geraden

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1 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser ARBEITSBLATT 1 ABSTANDSBERECHNUNGEN a) Absan eines Punkes von einer Geraen Für ie nun folenen Aufabensellunen ib es jeweils eine anze Mene an unerschielichen Lösunsformen. Ich were ihnen jeweils einen We immer vorschlaen. Nach welcher Mehoe sie aber lezenlich as Problem lösen bleib ihnen überlassen. Sehen wir uns as Ganze an einem Beispiel an: Beispiel: Berechne en Absan es Punkes P(10/9/) von er Geraen : X. 8 Lösunswe 1: Diese Lösunsmehoe würe ich ihnen vorschlaen. Sellen wir uns as Problem zunächs rafisch ar: Beachen Sie bie ass as Problem im Raum eeben is un nich in er Ebene. Der Lösunswe is relaiv einfach. Wir sellen uns zunächs eine Ebene ε auf ie normal auf ie Gerae seh un urch en Punk P eh. Diese Ebene schneien wir anschließen mi er Geraen (wourch wir en Punk F als Schnipunk erhalen). Nun müssen wir nur noch en Vekor von F nach P aufsellen un essen Bera muss er kürzese Absan sein. Machen sie sich iese Überleun an er folenen Skizze klar. Der Ausruck (P) seh für ie esuche Disanz zwischen em Punk P un er Geraen : 1

2 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser Berechnen wir uns nun zunächs einmal ie Ebene ε: Da ie Ebene normal auf ie Gerae sehen soll muss er Richunsvekor er Geraen zuleich Normalvekor er Ebene sein. Der Richunsvekor er Gerae laue: Follich is ies also er Normalvekor er Ebene: n Wir wissen aber ass ie einzelnen Were es Normalvekors enau ie Koeffizienen vor x y un z er Ebene in er parameerfreien Darsellunsform sein müssen. Follich können wir also ie Ebene leich anschreiben leilich en reinen Zahlenwer kennen wir noch nich. Ich schreibe für iese vorers ie Variable. ε : x y z Wir müssen uns nur noch ieses ermieln. Da aber ie Ebene ja urch en Punk P ehen soll muss P ie Ebenenleichun erfüllen. Ich arf also essen Koorinaen in ie Ebenenleichun einsezen womi wir uns ermieln können. Wir sezen nun P in ie Ebenenleichun ein: ε : ( ) Dami können wir ie Ebene aneben: ε : x y z Nun schneien wir ie Ebene mi er Geraen : Ich spale azu ie Geraenleichun in ie rei Einzelleichunen auf:

3 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser 8 : X Wir erhalen: z y x 8 Nun seze ich für x y un z in er Ebene ie ensprechenen Ausrücke er Gerae ein: : z y x ε ( ) ( ) ( ) 8 Aus ieser Gleichun können wir uns ermieln. Wir muliplizieren zunächs ie Klammern aus: Wir fassen ie linke Seie zusammen: 70 / 70 : / 1 Wir sezen en berechneen Wer in ie Geraenleichun ein: 1 8 : X Der Punk F ha also ie Koorinaen ) / ( / F. Nun berechnen wir en Vekor FP : 9 10 FP Der Bera ieses Vekors muss nun er esuche Absan es Punkes zur Gerae sein: 9 9 ) ( FP P Lösunswe : Der erse Lösunswe ha en Nacheil ass man abei en Punk F berechnen muss. Wie sie sich vorsellen können ha aber ieser of keine schönen Koorinaen. Es ib aber auch einen We wie ich mir en esuchen Absan berechnen kann ohne iesen Punk F ermieln zu müssen. Die abei verwenee Formel laue:

4 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser Saz: Die Disanz zwischen einem Punk P un einer Geraen ermiel sich folenermaßen: ( P ) ( A P) sin W wobei: A...beliebier Punk er Gerae Schauen wir uns kurz an wie man zu ieser Formel elan: Herleiun er Formel: Wir nehmen uns ireneinen beliebien Punk A auf er Gerae un zeichnen uns auf er Skizze en esuchen Absan ((P)) ie Srecke zwischen A un P ((AP)) un en Winkel zwischen er Srecke un er Geraen ein ( W ) ein. Den Winkel bezeichne ich in er Skizze als α: Nun können wir auf as Dreieck AFP vom Winkel α aus ie Sinusfunkion anwenen a es sich bei iesem Dreieck ja um ein rechwinkelies Dreieck hanel. Lau Definiion für en Sinus il: Geenkahee sin α Hypoenuse Auf unser Dreieck anewan erhalen wir ensprechen: ( P ) sinα / ( A P) ( A P) Schon erhalen wir unsere Formel: ( P ) ( A P) sinα Sehen wir uns nun an unserem Beispiel prakisch an wie man mi ieser Formel rechne: Wir benöien zunächs einen beliebien Punk auf er Gerae. An einfachsen is es en eebenen Punk aus er Geraenleichun zu wählen. Dies is er Punk A er Formel. Er laue also:

5 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser A(/-/8) Wir wollen nun en Absan mi er Formel W P A P sin ) ( ) ( berechnen. Berechnen wir uns als Erses ie Disanz zwischen en Punken A un P also ) ( P A. Wir sellen zunächs einmal en Vekor von A nach P auf Nun müssen wir seine Läne ermieln also en Bera es Vekors: 1 11 ) ( P A Für en zweien Teil er Formel benöien wir en Winkel zwischen em Vekor un em Richunsvekor er Geraen. Die beien Vekoren lauen also: 11 un Den Winkel zwischen iesen beien Vekoren berechnen wir miels unserer Formel aus em lezen Arbeisbla: W cos Wir sezen unsere Were ein: cos W Wir berechnen im Zähler as skalare Prouk un fassen im Nenner ie Ausrücke uner en Wurzeln zusammen: cos W 1 cos W 990 arccos W

6 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser W 81 Nun können wir in unsere Formel einsezen. Ich schreibe iese noch einmal an: ( P ) ( A P) sin W Ich seze ie ensprechenen Were ein: ( P ) 1 sin 8 1 Dies ippen wir am Taschenrechner aus un erhalen: ( P ) 9 Anmerkun: Welchen er beien Lösunswee sie verwenen bleib ihnen überlassen. Sie erkennen aber bereis ass in er zweien Lösunsmehoe er Fußpunk es kürzesen Absanes F nich berechne wir. Wenn also auch ieser efra is so biee sich er erse Lösunswe an. Will man hineen nur en kürzesen Absan wissen so eh vielleich er zweie Lösunswe ewas schneller. Übun: Übunsbla 1; Aufabe 8 8 b) Absan eines Punkes von einer Ebene Auch hier ib es wieer mehrere Lösunsmehoen. Wir rechnen nun an einem Beispiel mehrere Aren urch. Welchen We sie bevorzuen bleib ihnen überlassen ich mache ihnen aber einen Vorschla. Beispiel: Berechne en Absan es Punkes P(-//) von er Ebene ε : 7x y z 1 Lösunswe 1: Diesen We bezeichne ich einmal als en loischen We. Ich mache uns zu iesem Lösunsansaz einmal eine Skizze: P F ε

7 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser Der We is Folener: Wir konsruieren uns zunächs eine Gerae welche urch en Punk P eh un normal auf ie Ebene ε seh. Diese Gerae schneien wir anschließen mi er Ebene ε wourch wir en Punk F als Schnipunk erhalen. Nun müssen wir uns nur noch en Vekor FP aufsellen un er Bera ieses Vekors is er esuche Absan zwischen em Punk un er Ebene ( Als (Pε) bezeichne). Konsruieren wir uns als Erses ie Gerae. Für eine Gerae benöien wir einen Punk un einen Richunsvekor. Der Punk is klar: Da ie Gerae urch P ehen soll können wir iesen Punk verwenen. Für ie Richun nüzen wir aus ass ie Gerae ja normal auf ie Ebene sehen soll. Dies beeue ass er Normalvekor er Ebene er Richunsvekor er Gerae sein muss. Den Normalvekor auf ie Ebene können wir aber aus en Koeffizienen vor x y un z ablesen. Dieser laue bei uns: 7 n Dami können wir unsere Gerae aneben. Allemein laue iese: : X P n Wir sezen ie ensprechenen Were ein: 7 : X Nun schneien wir ie Gerae mi er Ebene ε: Dazu spalen wir ie Gerae in ihre rei Einzelleichunen auf: x 7 y z Nun sezen wir ie ensprechenen Ausrücke in ie Ebenenleichun ein: ε : 7x y z 1 7 ( 7 ) ( ) ( ) 1 Nun können wir en Parameer berechnen. Wir muliplizieren ie Klammern auf er linken Gleichunsseie aus: / / : 81 1 Wir sezen 1 in ie Geraenleichun ein un erhalen unseren Fußpunk F auf er Ebene. 7

8 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser 7 : X F ( /1/ 1) Wir sellen en Vekor FP auf: 7 FP 1 1 Der Bera ieses Vekors muss er esuche Absan sein: ( P ) FP ( 7) 9 ε Anmerkun: Diese Lösunsmehoe is besoners eschick wenn man auch ie Koorinaen es Durchsoßpunkes F benöi. Lösunswe : Für as Problem es Absanes eines Punkes von einer Ebene ib es eine äußers prakische Formel ie so enanne Hesse sche Absansformel. Ich ebe ies Formel einmal an: Hesse sche Absansformel: Absan eines Punkes P ( x p / y p / z p ) von einer Ebene ax by cz 0 ( a b c R ): ( P ε ) a x p b y a p b c z c p Wie sie leich sehen weren is iese Formel viel einfacher anewan als sie sich lies. Auf eine Herleiun er Formel verziche ich a iese Formel im Prinzip leilich eine Anwenun es so enannen Vekorenprojekionssazes is welchen wir aber nich urchenommen haben. Wer sich ennoch afür ineressier fine iesen Saz im Lehrbuch REICHEL auf Seie 1. Nun wollen wir aber iesen Saz auf unser Beispiel anwenen. Unsere Ebene laue: ε : 7x y z 1 Wir formen ie Ebene zunächs so um ass auf er rechen Seie Null seh: 7 x y z 1 0 Wenn wir nun unsere Formel anwenen müssen wir für x y un z nur ie Koorinaen unseres Punkes P((-//) einsezen un urch en Bera es Normalvekors auf ie Ebene iviieren: 8

9 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser ( P ε ) 7 ( ) 7 ( ) ( ) Nun berechnen wir iesen Wer: ( P ε ) ( P ε ) 9 9 P ε ( ) 9 1 Anmerkun: Ich würe ihnen iesen Lösunswe vorschlaen wenn er Durchsoßpunk F nich efra is. Lösunswe : Wir können en Absan auch wieer miels eines Winkels berechnen. Die Formel azu laue: Saz: Die Disanz eines Punkes P zu einer Ebene ε erib sich aus: ( ) ( ) P ε A P sin W ε wobei A ein beliebier Punk er Ebene is. Diese Formel läss sich exak leich zur ensprechenen Formel aus em Kapiel Absan eines Punkes zu einer Geraen herleien. Wenen wir iese Formel nun auf unser Beispiel an. Als Erses müssen wir ireneinen Punk A auf er Ebene ermieln. Unsere Ebenenleichun laue: ε : 7x y z 1 Zwei er rei Koorinaen können wir ja frei wählen. Ich nehme en Punk so an ass seine y- un z-koorinae Null sei. Er laue also: A ( x A / 0 / 0) Die fehlene Koorinae ermieln wir inem wir en Punk in ie Ebene einsezen: ε : 7 xa x A 1 / : 7 x A Der Punk A laue also: A ( / 0 / 0) Als Nächses ermieln wir uns ie Disanz zwischen en Punken A un P. Dies is in er Formel als (AP) aneeben. Dazu berechnen wir en Vekor : 9

10 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser Der Bera ieses Vekors muss nun ie esuche Disanz sein: ( A P) ( 7) 8 Als Lezes benöien wir en Winkel zwischen em Vekor un er Ebene ε in er Formel als W ε bezeichne. Dies is nichs aneres als ie Berechnun es Winkels zwischen einer Ebene un einer Gerae aus em lezen Übunsbla. Dor haben wir elern ass ieser Winkel leich 90 minus em Winkel zwischen un em Normalvekor auf ie Ebene is. Es il also: W ε 90 W n ε Den Normalvekor auf ie Ebene können wir aber irek aus er parameerfreien Ebenenleichun ablesen: 7 n ε Den Vekor haben wir bereis ermiel. Den Winkel zwischen iesen Vekoren können wir nun miels unserer Cosinus-Formel eruieren. Es il: n cos W n ε n Wir sezen ein un berechnen im Zähler sofor ie Beräe: 7 7 cos W n ε 7 7 ( ) ( ) ( ) Wir berechnen im Zähler as skalare Prouk un fassen im Nenner zusammen: cos W n ε 8 81 Wir kürzen: cos W n ε

11 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser 9 cos W n ε 8 9 W n ε arccos 8 Wir ippen ies am Taschenrechner aus un erhalen: W n ε Da wir en sumpfen Winkel erhalen haben berechnen wir en Supplemenärwinkel: W n ε Anmerkun: Es muss hier ses jener Winkel er kleiner oer leich 90 is berechne weren. Wie oben erwähn muss 90 minus iesem Winkel en Winkel zwischen em Vekor un er Ebene ereben: W ε 90 W n ε W ε Nun können wir in unsere Formel einsezen: ( ) ( ) P ε A P sin W ε ( Pε ) 8 sin ( P ε ) 9 Übun: Übunsbla 1; Aufabe 8 c) Absan eines Punkes von einer Geraen im R Auch in er Ebene kann man ie Hesse sche Normalform für ie Berechnun es Absanes eines Punkes von einer Geraen einsezen. Hier zunächs einmal ie Formel: Hesse sche Absansformel: Absan eines Punkes P ( x p / y p ) von einer Geraen ax by c 0 ( a b c R): 11

12 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser ( P ) a x p b y a b p c Sehen wir uns ies an einem Beispiel an: Beispiel: Ermile en Absan es Punkes P(/) von er Geraen : x y Lösun: Wir formen ie Gerae zunächs so um ass auf er rechen Gleichunsseie Null seh: : x y 0 Nun sezen wir in ie Hesse sche Absansformel ein. In as x un y er Geraenleichun sezen wir ie Koorinaen es Punkes P ein un iviieren as Erebnis urch en Bera es Normalvekors. ( P ) 1 Nun berechnen wir en Wer: ( P ) P 1 ( ) 79 Übun: Übunsbla 1; Aufabe 8 ) Absan paralleler Geraen Dies is ein Fall en wir bereis kennen. Zwei parallele Geraen haben ja in jeem beliebien Punk enselben Normalabsan. Follich nehmen wir einen Punk auf er Gerae un müssen nun ermieln wie wei ieser Punk von er Geraen h enfern is. Dies haben wir aber bereis im Kapiel a) ieses Arbeisblaes elern. Übun: Übunsbla 1; Aufabe 87 e) Absan paralleler Ebenen Auch ies können wir bereis berechnen. Wir müssen leilich einen beliebien Punk auf er einen Ebene ermieln un anach en Absan ieses 1

13 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser Punkes zur aneren Ebenen berechnen. Wie man aber en Absan eines Punkes zu einer Ebene berechne haben wir im Abschni b) ieses Arbeisblaes elern. Übun: Übunsbla 1; Aufabe 78 f) Absan zweier winschiefer Geraen Dies is ie schwierise Aufabensellun bei en Absansberechnunen. Zunächs müssen wir einmal klären was wir uner em Absan zweier winschiefer Geraen versehen. Man verseh aruner en kürzesen Absan zwischen en beien Geraen. Da ieser naürlich normal auf beie Geraen sein muss nenn man iesen auch as Gemeinlo. Sehen wir uns ie Berechnun nun an einem Beispiel an: Beispiel: Ermile en Absan er beien winschiefen Geraen: 1 1 : X h : X 1 s Lösun: Der Trick an er Sache is ass wir uns eine Hilfsebene aufsellen so ass ie Gerae in ieser Ebene lie un ie Gerae h parallel zu ieser Ebene is. Dann müssen wir nur noch ausrechnen wie wei ein beliebier Punk auf er Geraen h von ieser Ebene enfern is. Als Erses sellen wir also unsere Ebene auf. Für eine Ebene benöien wir in Parameerarsellun einen Punk un zwei Richunsvekoren. Da ie Gerae in er Ebene lieen soll muss er eebene Punk von auch auf er Ebene lieen. Auch er Richunsvekor von muss ein Richunsvekor er Ebene sein. Dami ie Ebene auch noch parallel zu er Geraen h wir muss er Richunsvekor er Geraen h auch ein Richunsvekor er Ebene sein. Dami laue ie Ebene: 1 1 ε : X r u Punk er Geraen Richunsvekor er Geraen Richunsvekor er Geraen h 1

14 Mahemaik: Ma. Schmi Wolfan Arbeisbla 1. Semeser Nun müssen wir uns einen beliebien Punk auf er Geraen h wählen. Am einfachsen is es en eebenen Punk er Geraenleichun zu wählen: P(/1/-1) Nun müssen wir en Absan ieses Punkes P zu er Ebene ε berechnen. Dies haben wir aber bereis in iesem Arbeisbla im Abschni b) elern. Ich verwene als Mehoe ie Hesse sche Absansformel. Dazu benöien wir ie Ebene in er parameerfreien Darsellunsform. Ich spale hierzu ie Ebene in ie rei Einzelleichunen auf: I : x 1 r u II : y r u III : z 1 r u Nun müssen wir ie Parameer r un u eliminieren. Ich eliminiere zunächs u aus en ersen beien Gleichunen: I : x 1 r u II : y r u x y 1 r Nun eliminiere ich u aus er ersen un rien Gleichun: I : x 1 r u III : z 1 r u x z r Aus en beien erhalenen Gleichunen enfernen wir r: x y 1 r / ( ) x z r / x y 0r x z 10 0r ε : x y z 1 Für ie Hesse sche Absansformel müssen wir nun in er Ebenenleichun rechs Null sehen haben: ε : x y z 1 0 Nun sezen wir in ie Formel ein. Für x y un z sezen wir ie Koorinaen von P ein: ( P ε ) 1 ( 1) ( ) 19 ( P ε ) 9 Dies muss zuleich er kürzese Absan er Geraen un h sein: h ( ) 9 1 Übun: Übunsbla 1; Aufabe 89 1