4. Quadratische Funktionen.

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1 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen Funkion Tpisches Beispiel is die Normalparabel f() = 2 Jede eche quadraische Funkion enseh aus der Normalparabel duch lineares Skalieren, denn ( c 2 + b + a = c + b ) 2 + ( b2 4c + a ) Dies nenn man die Scheielpunksgleichung der Parabel, denn die Koordinaen des Scheielpunks sind gerade = b b2 und = 4c + a 4c + a b2 b2 4c + a c > 0 b c < 0 Wir sehen also: Durch Verschiebung des Koordinaenssems kann erreich werden, dass der Scheielpunk im Ursprung lieg Man erhäl auf diese Weise die quadraische Funkion c 2 (mi dem gleichen c) Für viele Überlegungen reich es also, quadraische Funkionen zu berachen, deren Scheielpunk im Ursprung lieg, also die quadraischen Funkionen f() = c 2 mi c 0 Zu unerscheiden sind dabei die beiden Fälle c < 0 und c > 0 Is c < 0, so gil f() 0 für alle ; is c > 0, so gil f() 0 für alle b c < 0 c > 0

2 Leifaden 4-2 Nullsellen Sei f eine eche quadraische Funkion Die -Koordinae des Scheielpunks gib darüber Auskunf, wieviele Nullsellen f besiz Saz Sei f() = c 2 +b+a mi a, b, c R und c 0 Die Anzahl der Nullsellen von f() is 2 b 2 > 4ac, 1 falls gil b 2 = 4ac, 0 b 2 < 4ac b 2 > 4c b 2 = 4c b 2 < 4c c > 0 c < 0 Is b 2 4ac, so berechne man die Nullsellen mi Hilfe quadraischer Ergänzung! 42 Der Graph einer quadraischen Funkion is eine Parabel Sind in der reellen Ebene eine Gerade l und ein Punk F, der nich auf l lieg, gegeben, so bilden die Punke P, die gleichen Absand von F und l haben, eine Parabel (und jede Parabel enseh auf diese Weise); man nenn F den Brennpunk und l die Leigerade der Parabel Saz Sei c 0 Der Graph der Funkion f() = c 2 is die Parabel mi Brennpunk (0, 1 4c ) und Leigerade = 1 4c Insbesondere besiz die Normalparabel den Brennpunk (0, 1 ) und die Leigerade 4 = 1 4 Beweis: Wir sezen voraus c > 0 (der Fall c < 0 folg durch Spiegelung an der -Achse) und bezeichnen mi P die Parabel mi Brennpunk F und Leigeraden l Wir berachen als erses einen Punk (, c 2 ) auf dem Graphen von f l F (, c 2 )

3 4-3 Funkionen Der Absand des Punks (, c 2 ) von der Geraden = 1 4c is c c Der Absand des Punks (, c 2 ) vom Punk (0, 1 4c ) is 2 + (c 2 1 4c )2 = c c, denn 2 + (c 2 1 4c )2 = 2 + (c 2 ) c + ( 1 4c )2 = 2 + (c 2 ) ( 1 4c )2 = (c 2 ) ( 1 4c )2 = (c c )2 und wegen c > 0 is c c 0 für alle Also sehen wir, dass (, c2 ) zu P gehör Sei nun umgekehr ein Punk (, ) auf der Parabel P gegeben Da der Punk (, c 2 ) zum Graphen von f gehör, lieg er, wie wir gerade gesehen haben, auf P Wir sehen: die Punke (, ) und (, c 2 ) liegen beide auf P und haben die gleiche - Koordinae Nun gib es aber auf jeder zu l senkrechen Geraden g nur einen einzigen Punk P, der zu P gehör, nämlich den Schnipunk der Mielsenkrechen zu F und l g mi g l P F l g g Also is (, ) = (, c 2 ) und daher = c 2 Demnach gehör der Punk (, ) zum Graphen der Funkion f Was is die Bedeuung der Geraden? Saz Die Gerade is die Tangene zu P im Punk P Is P der Graph von f() = c 2 und P = ( 0, c 2 0 ), so is der Graph der linearen Funkion () = 0 c 2 0 Beweis: Wir berachen wieder den Fall c > 0 l P P F F l g g

4 Leifaden 4-4 Sei P = ( 0, c 2 0), also is g die Gerade = 0 Die links schraffieren Dreiecke zeigen, dass die -Achse im Punk ( 0 /2, 0) schneide Die rechs schraffieren Dreiecke zeigen, dass die -Achse im Punk c 2 0 schneide Demnach ha für 0 0 die Gerade die Seigung 0 2/ 0 = 0 und den -Achsenabschni c 2 0 Für 0 = 0 is naürlich die -Achse, also der Graph von () = 0, und demnach gil auch hier die angegebene Formel Nun zeigen wir: die Parabel f() = c 2 und die Gerade () = 0 c 2 0 schneiden sich in einem einzigen Punk, und zwar im Punk = 0 Es gil nämlich: g() () = c c 2 0 = c( ) = c( 0 ) 2 Für = 0 is also g() = () Wegen c 0 gil auch umgekehr: Is g() = (), so is = 0 Man nenn eine Funkion f : R R differenzierbar im Punk 0, wenn der Graph im Punk ( 0, f( 0 )) eine Tangene besiz und diese Tangene nich parallel zur - Achse is Is f in jedem Punk differenzierbar, so nenn man f differenzierbar Is f differenzierbar, so bezeichne man mi f ( 0 ) die Tangenenseigung im Punk ( 0, f( 0 )) Nach Definiion is dies eine reelle Zahl, man erhäl also auf diese Weise eine neue Funkion f : R R Saz Jede quadraische Funkion f() = c 2 +b+a is differenzierbar, und zwar is f () = + b Für den Fall a = b = 0 haben wir dies bewiesen Der allgemeine Fall folg durch Verschiebung des Scheielpunks Man kann diesen Saz naürlich auch mi den Mehoden der Infiniesimal-Rechnung beweisen! Darauf werden wir späer noch eingehen 43 Tangenen-Seigungen Erema Saz Sei f() = c 2 + b + a eine eche quadraische Funkion Die Tangenenseigung an der Selle 0 is genau dann Null, wenn 0 = b gil

5 4-5 Funkionen Hier eine Übersich über die jeweiligen Tangenseigungen, die Krümmungen und das Monoonie-Verhalen Zu unerscheiden is, ob c negaiv oder posiiv is: c < 0 c > 0 < b = b > b < b = b > b Tangenenseigung posiiv Null negaiv rechs-gekrümm Tangenenseigung negaiv Null posiiv links-gekrümm sreng monoon wachsend Maimum sreng monoon fallend sreng monoon fallend Minimum sreng monoon wachsend Minima und Maima Ein wichiger Grund für das Arbeien mi Funkionen is die Suche nach Eremweren, also nach Minima und Maima (meis such man lokale Minima und lokale Maima, falls im vorgegebenen Problem nur Were innerhalb eines gewissen Bereichs von Ineresse sind) Saz Sei f eine quadraische Funkion Genau dann nimm f an der Selle ihr Minimum oder Maimum an, wenn f () = 0 gil Beweis Ganz allgemein gil für differenzierbare Funkionen f : R R: ha f an der Selle 0 ein Minimum oder ein Maimum, so is f ( 0 ) = 0 Is nun f eine eche quadraische Funkion, so gil f ( 0 ) = 0 nur für die -Koordinae 0 des Scheielpunks Is dagegen f linear, so gib es ein 0 mi f ( 0 ) = 0 nur dann, wenn f eine konsane Funkion is: in diesem Fall ha die Funkion f an jeder Selle R ihr Minimum wie ihr Maimum Es solle hier beon werden, dass die Verwendung der Differenialrechnung zur Besimmung der Eremselle einer quadraischen Funkion zwar prakisch, aber nich nowendig is: Immer reich es aus, die Scheielpunksform anzugeben Im Abschni 3 haben wir drei quadraische Funkionen berache (die Funkion h() in 31, und die Funkionen h(a) und g(b) in 33) Sa zu Differenzieren häen wir jeweils die - Koordinae des Scheielpunks besimmen können das wäre auch nich komplizierer gewesen! So war h() = ( i ) 2 = c 2 + b + a, mi c = n und b = 2 i Die -Koordinae des Scheielpunks is demnach b = 1 n i

6 Leifaden Gleichmäßig beschleunige (konsan beschleunige) Bewegungen Sei f() eine Zei-Weg-Funkion, wie sie zur Bescheibung der Bewegung eines Objeks (Mensch, Tier, Auo, ) auf einer Geraden verwende werden kann; die Funkion f() beschreib den zurückgelegen Weg in Abhängigkei von der Zei ; zum Zeipunk befinde sich dabei das Objek an der Selle f() Die Ableiung f () dieser Funkion nenn man die Geschwindigkei, die zweie Ableiung f () die Beschleunigung Gleichmäßig beschleunige Bewegungen werden durch quadraische Funkionen beschrieben Dabei verseh man uner einer gleichmäßig beschleunigen Bewegung (wie der Name sag) eine Bewegung, bei der die Beschleunigung konsan is, man sprich daher auch von konsan beschleuniger Bewegung Is die Beschleunigung konsan, so is die Geschwindigkei eine lineare Funkion und demnach is die Zei-Weg-Funkion f() durch ein Polnom zweien Grads gegeben, also von der Form f() = c 2 + b + a, mi Konsanen a, b, c Die Ableiung einer derarigen Funkion is f () = 2a + b, die zweie Ableiung is 2a; wir können also die Konsanen a, b, c folgendermaßen inerpreieren: Es is a die Posiion zum Zeipunk = 0, wegen f (0) = b is b die Geschwindigkei zum Zeipunk = 0, schließlich is der Wer der Beschleunigung (nich nur zum Zeipunk = 0, sondern zu jedem Zeipunk: es handel sich ja um eine konsan beschleunige Bewegung) Geschwindigkeien werden pischerweise in m/sec oder km/h, Beschleunigungen in m/sec 2 angegeben In der Wikipedia finde man Beispiele für einige pische Beschleunigungen, an denen man sich orienieren kann Anfahren Die Funkion f() = c 2 beschreib den Beginn einer konsan beschleunigen Bewegung: s f() = c 2 Was is hier die Beschleunigung? Die Ableiung f () is eine lineare Funkion (sogar homogen-linear), die Beschleunigung is deren Seigung v f ()

7 4-7 Funkionen Diese Funkion f () is ewas aus dem Allag Wohlbekannes (für jedes Kind!): Man siz im Auo, man sieh, wie die Nadel des Tachomeers seig: bei einer konsan beschleunigen Bewegung mi Fahrbeginn zum Zeipunk = 0 is die Geschwindigkei proporional zur Zei Bremsen Einen ensprechenen Graphen erhäl man, wenn man den Bremsweg s in Abhängigkei von der Geschwindigkei v noier (man berache hier eine Vollbremsung): s g(v) = cv 2 v 45 Der Speziallfall des freien Falls Tpisches Beispiel einer konsan beschleunigen Bewegung is der freie Fall (eines Apfels vom Baum; eines Seins, der vom Brunnenrand in einen Brunnen fäll; eines Menschen, der im Schwimmbad vom 10 Meerurm spring); freier Fall bedeue, dass nur die Graviaionskraf (also die Erdanziehung), nich aber der Luf-Widersand, berücksichig wird Die Beschleunigung, die durch die Graviaionskraf hervorgerufen wird, is konsan (allerdings gib es geringe Unerschiede in Abhängigkei von der Höhe über dem Meerespiegel), sie beräg ewa g 10 m/sec 2 (Genauer: g 9,81 m/sec 2 ; und eigenlich müsse hier ein Minuszeichen hinzugefüg werden, wenn man sich wie üblich eine senkreche Koordinaen-Achse als nach oben geriche vorsell! Zusäzlich beache man, dass die Konsane c in der Zei-Weg-Funkion f() = c 2 + b + a dem halben Wer der Beschleunigung ensprich, also f() = g b + a) Wie gesag, der freie Fall wird durch die Funkion 9, 81 s() = 2 [m] 2 beschrieben, dabei is die Zei, gemessen in Sekunden Die folgende Tabelle liefer einen Eindruck für die ungefähren Were, die dabei aufreen: [sec] s() [m] Zum Beispiel fäll also ein Sein (Ball, Apfel) in 3 Sekunden ewa 44 m Und umgekehr gil: wirf man einen Ball 5 m hoch, so dauer es ewa 2 Sekunden, bis er wieder unen is (1 Sekunde flieg er hoch, 1 Sekunde flieg er heruner)

8 Leifaden 4-8 Zu dieser Tabelle solle noch die jeweilige Endgeschwindigkei hinzugefüg werden Aus der Bewegungsgleichung s() = 9, folg s () = 9, 81, diese Funkion liefer die Geschwindigkei s () zum Zeipunk [sec] s () [m/sec] Wann erreich ein Körper im freien Fall die Geschwindigkei 100 km/h? Es gil 1 km/h 0,28 m/sec, also 100 km/h 28 m/sec Wegen s () = 9, 81 sieh man, dass diese Geschwindigkei nach 2,85 sec erreich wird Die ensprechende Fallhöhe is wegen s() = 9, ,81 (2, 85) 2 39, 8 [m] Wir sehen also: Beim Surz aus 40 m 2 Höhe schläg man mi der Geschwindigkei von ewa 100 km/h auf Zur Illusraion des freien Falls werden zwei verschiedene Aren von Parabel- Bildern herangezogen, die man nich verwechseln darf: nämlich einerseis Zei-Weg-Diagramme, andererseis --Diagramme, wobei jedes Paar (, ) eine räumliche Posiion bedeue; in beiden Fällen erhäl man eine nach unen geöffnee Parabel s Im linken Bild geh man davon aus, dass ein Körper senkrech nach oben geworfen wird (oder dass man nur die verikale Komponene einer Bewegung berache) und noier im Diagram für jeden Zeipunk = 0 die Höhe s( 0 ), die der Körper zu diesem Zeipunk erreich ha Das reche Bild beschreib den Wurf einer Körpers schräg nach oben: eingeragen wird die Parabel, die der Beracher sieh Das reche Bild präsenier nur Ors-Koordinaen Hier handel es sich um die sogenanne Wurf-Parabel: Wird ein Gegensand geworfen, so erhäl er einen Impuls in eine Richung Ohne Einwirken anderer Kräfe würde er sich geradlinig weierbewegen, die Erdanziehung liefer aber eine Kraf in Richung des Erdmielpunks, es erfolg daher eine Ablenkung senkrech nach unen

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