Motivation: Sampling. (14) Sampling. Motivation: Sampling. Beispiele. Beispiel Kreisscheibe. Beispiel: Kreisscheibe

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1 Moivaion: Sampling (4) Sampling Vorlesung Phoorealisische Compuergraphik S. Müller Ein naiver (und sehr eurer) Ansaz, die Rendering Equaion mi Hilfe eines Rayracing-Ansazes zu lösen, wäre wird eine diffuse Oberflächen geroffen, so werden viele Srahlen weierverfolg riff so ein Srahl wieder auf eine diffuse Oberfläche, geh man genauso weier, bis eine Lichquelle geroffen wird. Wie sampled man die Hemisphäre? (oder eine BRDF?) S. Müller - - Moivaion: Sampling Beispiele Ein anderer (immer noch naiver) Ansaz beseh darin, zumindes die Lichquellen direk abzuasen Das direke Lich wird also eingesammel und man überläss es nich dem Zufall, ob ein Srahl die Lichquelle riff Für das indireke Lich werden wieder viele Srahlen verschick Wie sampled man eine Lichquelle? Im Zusammenhang mi Compuern verwenden wir einen Zufallsgeneraor (floa) rand() / RAND_MA liefer uns eine Zufallszahl im Bereich (,) Beispiel: Samplen eines Parallelogramms Wähle zwei Zufallszahlen und y im Bereich (,) (, y) is dami der gesuche Sample y v A v S. Müller - - S. Müller - 4- Beispiel: Kreisscheibe Beispiel Kreisscheibe Wie wähl man Samples auf einer Kreisscheibe? Variane : Russisches Roule Wähle zwei Zufallszahlen und y im Bereich (,) wie beim Quadra Prüfe, ob (, y) im Kreis lieg: + y Wenn ja, dann is ein Sample gefunden Wenn nein, wird der Sample nich verwende. y v A v Ergebnis: gleichmäßige Vereilung, aber man generier Punke umsons. (Anmerkung: dies würde nur einen Vierelkreis ergeben; für einen ganzen Kreis müssen die Were ransformier werden durch - bzw. y- ) S. Müller - 5- Einen Punk innerhalb des Kreises kann man berechnen mi: cos r ; r (,); (,π ) y sin Variane : Versuch eines direken Samplings Wähle eine Zufallszahlen für r im Bereich (,) Wähle eine zweie für und mulipliziere sie mi π. Berechne daraus den gesuchen Sample (, y) y v v Ergebnis: keine gleichmäßige Vereilung mehr n k f r S. Müller - 6-

2 Begriffe an Beispielen Grundlagen der Wahrscheinlichkeisrechnung Eine wichige Basis in der Wahrscheinlichkeisrechnung bilde das Zufallseperimen Mi Hilfe eines Zufallseperimens werden zufällige Ergebnisse ω erziel. Ein Beispiel für ein diskrees Zufallseperimen is das dreimalige Werfen einer Münze. Einzelne Würfe: : Wappen : Zahl Mi den Wahrscheinlichkeien p/ für Wappen bzw. Zahl. Die Ergebnismenge läss sich darsellen durch: Ω {(,,), (,, ),..., (,, )} S. Müller - - Zufallsvariable Zufallsvariable Mi Hilfe dieser Ergebnisse werden Zufallsvariablen definier, die die jeweiligen Ergebnisse auf reelle Zahlen abbilden : Ω R Eine Zufallsvariable is also eine Abbildung. Beispiel: Unersuch wird die Anzahl der Wappen beim dreimaligen Werfen einer Münze ((,,)) ((,,)) M ((,,)) Zum Versändnis: Wir haben ein Zufallseperimen Daraus erzielen wir zufällige Ergebnisse Diese Ergebnisse werden auf Zahlen abgebilde Umgekehr: Die Zufallsvariablen sind Wahrscheinlichkeisbehafe Wir erzeugen die Zahlen mi gewissen Wahrscheinlichkeien S. Müller - 9- S. Müller - - Wahrscheinlichkeien Die Wahrscheinlichkei, dass einen besimmen Wer annimm, erhäl man z.b. durch Abzählen: P( ) P( ) P( ) P( ) Ofmals ineressier man sich nich direk für die Wahrscheinlichkei P( ) für einen besimmen Wer von, sondern für die Wahrscheinlichkei, dass in einem besimmen Bereich lieg Hierfür verwende man die F() F ( ) P( ), R Die erhäl quasi die kumulieren Wahrscheinlichkeien Für ein beliebiges Inervall (a,b] der Zufallsvariablen läss sich die Wahrscheinlichkei mi Hilfe der berechnen durch P( a < b) F( b) F( a) S. Müller - - S. Müller - -

3 Wahrscheinlichkei und Eigenschafen P ( ) F( ) P( ) P ( ) F( ) P( ) / / / / 6 / 6 / 6 / 4 / 6/ 4 / 4 / 4 / / / / / Wahrscheinlichkeien Wahrscheinlichkeien: Were im Bereich [,] : Definier im Bereich (, ) Were im Bereich [,] S. Müller - - S. Müller - 4- Seig vereile Zufallsvariablen Bisher: Diskree Ergebnisse Diskree Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeien konnen klar zugeordne werden Seige Vereilung Beispiel: Der Winkel beim Drehen eines Rades Problem: wie groß is die Wahrscheinlichkei für ein besimmes Ergebnis? S. Müller - 5- Seig vereile Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkei für ein besimmes Ergebnis is Null Die Wahrscheinlichkeien können nur für Inervalle angegeben werden Wichig is hier also die P( a < b) F( b) F( a) Mi den < oder < nimm man es hier nich so genau, da die Wahrscheinlichkei für einen besimmen Wer ohnehin Null is. F( ) P( ) 6 S. Müller - 6-, funkion Bei diskreen Ergebnissen gab es Wahrscheinlichkeien die ergab sich durch Summaion die Zufallsvariable nimm mi einer Wahrscheinlichkei einen Wer an Bei seig vereilen Zufallsvariablen gib es eine funkion (pdf, probabiliy densiy funcion) Die (cdf, cumulaive disribuion funcion) ergib sich durch Inegraion Definiion der funkion durch die Hinerür Eine Zufallsvariable heiß seig vereil mi der p, falls sich ihre schreiben läss als: F( ) p( ) d S. Müller - 7- Glücksrad a b F( ) p( ) d a b p( ) S. Müller - -

4 Eigenschafen p( ) F( ) p( ) d Recheck-/Gleich-/(a,b)-Vereilung a < < b a a p( ) F( ) a < < b sons b a b a b a b Were sind immer posiiv Fläche uner der Kurve muss Eins sein: Ω p( ) d Monoon seigend Were im Bereich [,] a b a b S. Müller - 9- S. Müller - - (,)-Vereilung < < p( ) sons (, )-vereile Zufallsvariablen werden auch als ξ geschrieben Die Zufallswere der rand()-funkion sind (,)-vereil F( ) < < S. Müller - - Beispiel: Samples Die Idee is, dass wir uns Zufallsvariablen mi einer besimmen erzeugen Die Zufallsvariablen beschreiben in unserem Kone of einen Or auf einer Oberfläche, wodurch die Bedeuung sehr anschaulich wird. Ha die an einer Selle einen großen Wer, dann is hier auch die Wahrscheinlichkei sehr hoch, dass hier Samples generier werden. S. Müller - - Beispiel Wie groß is die Wahrscheinlichkei, dass Samples zwischen Posiion und generier werden? P( ) F( ) F( ). 5 Die große Frage Wie generier man Zufallszahlen mi einer gegebenen? Als Basis haben wir den (,)-vereilen Zufallsgeneraor unseres Compuers (rand) Beispiel: Wir haben eine Reihe von (,)-vereilen Zufallszahlen ( ξ, ξ, K, ξ n ) Wir wollen daraus Samples i mi einer gegebenen erzeugen (s. Bsp.) p( ), (,) S. Müller - - S. Müller - 4-4

5 Inverse CDF-Mehode Is eine Zufallsvariable mi F(), dann liefer F() selbs Zufallswere mi einer (,)- Vereilung Auch das wäre ein Zufallsgeneraor einer (,)- Vereilung: Man generier Zufallszahlen mi beliebiger p Man berechne F(), wobei F die dazugehörige is. Das Resula is eine (,)- vereile Zufallszahl ξ S. Müller - 5- F( ) p( ) Inverse CDF-Mehode ξ F( ) Is eine Zufallsvariable mi p und Vereilung F, dann liefer F() eine (, )- vereile Zufallsvariable Umkehrung F ( ξ ) liefer aus einer (, )- vereilen Zufallsvariablen ein Zufallsvariable mi p und Vereilung F Wie generier man Zufallszahlen mi einer gegebenen p? Vorgehen Besimme die F Inveriere diese Als Ergebnis erhäl man die Zufallsvariable mi der gewünschen aus einer (, )-Vereilung S. Müller - 6- Beispiel Beispiel p( ) p( ) Besimme Zufallszahlen mi der p( ), (,) Die Vereilungsfk. erhäl man durch: ξ F( ) p( ) d d + Inverierung liefer ξ + ξ ξ ξ (floa) rand()/rand_ma; i S. Müller - 7- Besimme Zufallszahlen mi der p( ), (,) ξ F d Inverierung ( ) [ ] ξ Pseudocode ξ (floa) rand()/rand_ma; sqr (ξ); F( ) F ( ) S. Müller - - D-Zufallsvariablen Beispiel: Dar-Scheibe (Shirley) Bisher: eindimensionale Zufallsvariablen F( ) P( ) p( ' ) d' min Tasächlich brauchen wir D-Variablen F(, y) P( und Y y) p( ', y' ) d' dy' y ymin min Das Werfen von Wurfpfeilen sei ein Zufallseperimen, wobei ein Werfer N Pfeile auf die Scheibe wirf Zähl man für beliebige Flächenelemene da auf der Scheibe die Anzahl der Treffer, die auf da landen - also das Verhälnis der Treffer auf da zu allen Treffern auf der Scheibe so erhäl man die funkion p für jeden (D-)Punk auf der Kreisscheibe. S. Müller - 9- S. Müller - - 5

6 Beispiele verschiedener n F ((, y) ABullauge ) p(, y) da (, y) A Bullauge D-Samples Problem: Besimme D-Samples mi einer D- aus zwei (, )-vereilen Zufallsvariablen ξ und ξ. Berechne F(, y) p( ', y' ) d' dy'. Schri ξ F(, y ma ) y ymin min. Schri F( ξ, y) ξ F( ξ, y ) ma S. Müller - - S. Müller - - Beispiel: Kreisscheibe Gegeben is eine Kreisscheibe mi Radius R. Gesuch sind gleichvereile Samples innerhalb des Kreises, also mi p( r, ) π R y F(, y) p( ', y' ) d' dy' ymin min da r F r, p r', ' r' dr' d' ( ) ( ) da r dr d r R Beispiel: Kreisscheibe Berechnung der r r' r F( r, ) dr ' d' π R π R. Schri r π r ξ F ( r, ma ) F( r, π ) ; r R ξ π R R. Schri F( ξ, ) ξ π R ξ ; F( ξ, ) π R ξ π π ma π ξ S. Müller - - S. Müller - 4- Vergleich: Kreisscheibe Beispiel: Samplen einer Halbkugel gemäß dem Phong-Beleuchungsmodell: n + n p( θ, ) cos θ π r ξ π ξ r R ξ π ξ Samples θ F( θ, ) p( θ ', ' ) sinθ ' dθ ' d' θ arccos ( ) ξ n + π ξ f S. Müller - 5- S. Müller - 6-6

7 Beispiel: Phong Beispiele anderer Samplingfunkionen (Graphics Gems III) n n (vollsändig diffuse Oberfläche) sphere.vcproj S. Müller - 7- S. Müller - - 7

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