Skriptum Schaltwerke und Rechnerorganisation WS 2002/03. Benedikt Meurer

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1 Skripum Schalwerke und Rechnerorganisaion WS 22/3 Benedik Meurer 29. Januar 23

2 Inhalsvereichnis Einleiung 3. Schichenmodell Programmhierarchie Begriffserklärung Grundlagen 6 2. BOOLEsche Algebra Aussagenlogik Schalalgebra BOOLEsche Funkionen Schalfunkionen Darsellungsformen BOOLEscher Funkionen und ihre Umwandlungen Schalnee 3 3. Beschreibung und Enwurfsmehodik Enwurfsmehodik Verfahren von QUINE/McCLUSKEY für Funkionsbündel Umformung von Schalfunkionen Schalwerke 5 4. Beschreibung Übergangsgraph Schalwerksanalyse Elemenare Schalwerke Schalwerke ur Speicherung einer binären Variablen Takflankengeseueres RS-Flipflop Geakees Vorspeicher-Flipflop (Maser-Slave-Flipflop) JK-Flipflop D-Flipflop Schalwerksynhese Anseuergleichungen für Speicherglieder Speielle Schalwerke Zählschalungen Regiser Enwurfsbeispiel: Geränkeauoma Aufgabensellung Speifikaion

3 4.6.3 Flipflop-Anseuerung und Ausgangsfunkion

4 Kapiel Einleiung. Schichenmodell Sysem aufrufe Maschinen befehle Mikro befehle Anwenderprogramm Beriebssysem Firmware Hardware Beriebssysem daensrukuren Firmware Daensrukuren Hardware Daensrukuren Abbildung.: Schichenmodell eines Rechners Im Schichenmodell werden von einer Schich Befehle und Daensrukuren bereigesell, die von der darüberliegenden Schich benu werden können. Eine Schich is eine absrake Maschine mi Daenypen und Befehlssa ur Inerpreaion der darüber liegenden Schich. Die unerse Schich ensprich der realen Maschine..2 Programmhierarchie Algorihmen müssen vom Programmierer in einer Programmiersprache geschrieben werden, die vom Compuer ausgeführ werden kann. Unglücklicherweise sind höhere Programmiersprachen (wie um Beispiel C, Pascal, Java oder Forran), obwohl sie für den menschlichen Benuer beuem sind, für die direke 3

5 Ausführung durch Compuer ungeeigne, weil die Konsrukionskosen eines solchen Compuers sich als unulässig hoch heraussellen. Die Compuerherseller haben deshalb Compuer gebau, die Programme in einer weiaus einfacheren Sprache, der sogenannen Maschinensprache, ausführen. Daraus ergib sich, daß es Mechanismen für die Überseung von höheren Programmen in Maschinensprachen geben muß. Diese Überseung wird meis über eine Zwischensufe realisier, die unächs das Programm aus der höheren Programmiersprache in eine leßbarere Variane der Maschinensprache, die sogenanne Assemblersprache, überse und dieses wird anschließend in ein Maschinenprogramm überse. Die Überseer für eine höhere Programmiersprache in eine Assemblersprache werden üblicherweise als Compiler beeichne, die Programme für das Überseen von Assemblersprache in Maschinensprache werden als Assembler beeichne. Anwenderprogramm Überseung Assemblerprogramm Maschinenprogramm Mikrobefehlsfolgen Überseung Inerpreaion Abbildung.2: Programmhierarchie Die ersen gebauen Compuer konnen Programme, die in der Maschinensprache des Compuers geschrieben waren, direk ausführen. Es eige sich jedoch schnell, daß die verschiedenen Anweisungen einer jeden Maschinensprache unereinander viele Ähnlichkeien aufweisen. Es is möglich, eine kleine Anahl grundlegender Operaionen - sogenanne Mikrobefehle (engl. micro insrucions oder auch micro code) - ausuwählen und jede Anweisung der Maschinensprache durch eine kleine Menge dieser Mikroanweisungen ausudrücken. So beinhale um Beispiel jede Anweisung der Maschinensprache die Überragung von Daen einer Selle u einer anderen Selle innerhalb des Compuers. Aus ökonomischen Gründen sind moderne Compuer so aufgebau, daß sie eher Mikrobefehle ausführen als Programme in der Maschinensprache. Die Compuerherseller sellen auch ein Programm berei, das man Inerpreer (geschrieben in Form von Mikroanweisungen) nenn und das den Compuer anweis, wie jede Anweisung in der Maschinensprache u lesen, u versehen und ausuführen is. Deshalb is der Compuer usammen mi dem Inerpreer (dieser befinde sich üblicherweise in der enralen Recheneinhei inegrier) in der Lage, Programme, die in Maschinensprache vorliegen, ausuführen. Compuer, die nach dieser Vorsellung gebau sind, nenn man mikroprogrammiere Compuer. 4

6 Zwei weiere Ausdrücke, die häufig im Zusammenhang mi Compuern verwende werden, sind Sofware und Hardware. Mi Sofware mein man alle Programme, die u einem Compuer gehören. Mi Hardware mein man die physikalischen Einrichungen, aus denen ein Compuer usammengese is. Programme, die uner Verwendung von Mikrobefehlen geschrieben sind, erhalen manchmal den speiellen Namen Firmware oder Mikroprogramme. So is um Beispiel der im vorherigen Absa erläuere Inerpreer ein Mikroprogramm oder ein Teil der Firmware..3 Begriffserklärung Überseung Überragung eines vollsändigen Programmes von einer Ebene in die andere. Inerpreaion Erseen von Befehlen durch Befehlsfolgen, und war ur Laufei. Digialrechner verarbeien digiale Daen. Zeichen sind Elemene ur Darsellung von Informaionen aus einer endlichen Menge verschiedener Elemene, dem Zeichenvorra. Wore sind Zeichenfolgen. Sprache wird gebilde aus Woren und Synax. Signale sind physikalische Größen ur Darsellung digialer Daen. Binäre Signale verfügen nur über wei diskree Were und haben dadurch große Toleranbereiche. Abbildung der Gegebenheien der realen Wel auf die Möglichkeien digialer Syseme. Diskreisieren Darsellung eines koninuierlichen Signals durch eine Folge von Abasweren (Abasheorem von SHANNON). Binärkodierung Darsellung (Codierung) der Abaswere durch, -Folgen. 5

7 Kapiel 2 Grundlagen Syseme, die binäre Signale verarbeien können werden beschrieben mi Mehoden, die Variablen verwenden, die wei diskree Were annehmen können, und den ugehörigen Operaionen. Beispiele für boolesche Algebren sind die Aussagenlogik und die Schalalgebra. 2. BOOLEsche Algebra is ein dedukives mahemahische Sysem, das definier wird durch eine Menge von Elemenen, Operaionen und Axiomen. Abgeschlossenhei: a, b, c M : c = a b De Morgan sche Gesee erlauben die Negaion eines Klammerausdrucks u überführen in die Negaion weier einelner Variablen. 2.2 Aussagenlogik Die Aussagenlogik is der Teil der formalen Logik, der sich mi Aussagen und Verknüpfungen von Aussagen befaß. Aussagen sind sprachliche Gebilde, die nach synakischen Regeln aufgebau sind und denen die Eigenschafen wahr oder falsch ugeordne werden können. Aussagen werden mi kleinen Buchsaben beeichne (den sogenannen Aussagenvariablen). Die Verknüpfungen von Aussagenvariablen bilden Formeln, denen ein Wahrheiswer ugeordne wird. Definiion 2. Die Konjunkion weier Aussagen is genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind, sons is sie falsch (siehe Tabelle 2.). Die Disjunkion weier Aussagen is genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind, sons is sie wahr (siehe Tabelle 2.2). Die Negaion einer wahren Aussage is falsch, die einer falschen Aussage wahr (siehe Tabelle 2.3). 6

8 a b a b Tabelle 2.: Konjunkion weier Aussagen a b a + b Tabelle 2.2: Disjunkion weier Aussagen a a Tabelle 2.3: Negaion eines Aussage 2.3 Schalalgebra Die Schalalgebra wurde 936 von dem Mahemaiker Claude SHANNON eingeführ, um Schalungen mi bisabilen Elemenen u beschreiben. Die Schalalgebra is isomorph ur Aussagenlogik. Das heiß Aussagen in der Aussagenlogik ensprechen geöffneen und geschlossenen Schalern in der Schalalgebra, und Verknüpfungen werden symbolisier durch Reihen und Parallelschaler. x a x y b a y b Abbildung 2.: Serien- und Parallelschalung von Schalern Hierbei wird der ses geöffnee Schaler mi und der ses geschlossene Schaler mi beeichne. 2.4 BOOLEsche Funkionen Boolesche Funkionen sind geeigne, um komplexe Schalanordnungen u beschreiben. Sie sind Ausdrücke aus endlich vielen Zahlen mi denen Variablen ursprünglich enwickel für Relayschalungen 7

9 und Konsanen durch boolesche Operaoren verknüpf werden. Der Funkionswer ergib sich durch Auswerung der Ausdrücke. Beispiel 2. Seien a, b, c Elemene einer booleschen Algebra, dann sind BOOLEsche Funkionen. f = (a + b)c + b + f = (a + )(b + c) Auswerungsreihenfolge der Operaoren. (Negaion, NICHT-Verknüpfung) 2. (Konjunkion, UND-Verknüpfung) 3. + (Disjunkion, ODER-Verknüpfung) 2.4. Schalfunkionen Schalfunkionen sind eine speielle Klasse boolescher Funkionen. Ausgehend von der binären Trägermenge B = {, } werden Abbildungen der Ar f : B n B, (n N) definier, d.h. einem n-tupel (x, x 2,..., x n ) wird ein Elemen aus {, } ugeordne. In den Wereabellen werden die Tupel auch als Kombinaionen beeichne. Eigenschafen von Schalfunkionen. Für gegebenes n umfaß eine Schalfunkion genau 2 n Elemene, da B n = {, } n gil und somi alle Kombinaionen von und aufreen. 2. Die Anahl möglicher n-selliger Schalfunkionen ensprich der Anahl möglicher Abbildungen einer 2 n -elemenigen Menge auf eine 2-elemenige Menge, d.h. 2 (2n) (2 Variablen bilden 2 4 = 6 Schalfunkionen). Index x x y = x x 2 3 Tabelle 2.4: Anivalen (OR-Verknüpfung) 8

10 Polynomdarsellung für Schalfunkionen Die Elemene des Definiionsbereichs werden als Variablen berache. Diese werden durch Operaionen der Schalalgebra verknüpf. Definiion 2.2 Gegeben seien n Variable x, x,..., x n und die Konsanen und. Mi diesen läß sich ein Polynom P wie folg definieren: die Variablen x, x,..., x n und die Konsanen sind Polynome sind P und P 2 Polynome, dann auch P + P 2 und P P 2 is P ein Polynom, dann auch P. Jedes Polynom definier eine Abbildung y : B n B. Dadurch wird jedem Polynom eine Schalfunkion aus der Menge der Abbildungen B n B ugeordne. Das heiß aber, daß unerschiedliche Polynome durch diesselbe Schalfunkion beschrieben werden können. Beispiel 2.2 Anivalen (OR-Verknüpfung) P = (x + x ) (x + x ) P 2 = (x x ) + (x x ) P = (x + x ) (x + x = x x + x x + x x + x x = x x + x x = P 2 Normalformen Definiion 2.3 Ein Minerm (Maxerm) von n Variablen is ein Polynom, in dem alle Variablen genau einmal aufreen (negier oder nich negier) und konjunkiv (disjunkiv) verknüpf werden. Ein Minerm (Maxerm) ensprich einer Volldisjunkion (Volldisjunkion). Index x 2 x x Minerme mn i Maxerme mx i y x 2 x x x 2 + x + x x 2 x x x 2 + x + x 2 x 2 x x x 2 + x + x 3 x 2 x x x 2 + x + x 4 x 2 x x x 2 + x + x 5 x 2 x x x 2 + x + x 6 x 2 x x x 2 + x + x 7 x 2 x x x 2 + x + x Tabelle 2.5: Wereabelle der Funkion y Demnach lauen um Beispiel die Gleichungen für den Minerm mi dem Index 4 (mn 4 ) und den Maxerm mi dem Index 3 (mx 3 ) wie folg: 9

11 mn 4 = x 2 x x {, wenn x 2 =, x =, x =, = sons, { mx 3 = x 2 + x + x =, wenn x 2 =, x =, x =,, sons Definiion 2.4 Eine disjunkive (konjunkive) Normalform beseh aus einer endlichen Anahl von Minermen (Maxermen), die disjunkiv (konjunkiv) mieinander verknüpf werden. Definiion 2.5 Eine Funkion y der Variablen x n, x n,..., x läß sich in disjunkiver (konjunkiver) Normalform darsellen, indem man die Minerme (Maxerme) für die sie den Wer () annimm disjunkiv (konjunkiv) verknüpf. Definiion 2.6 Zwei Schalfunkionen sind äuivalen, wenn sie in ihrem Normalformen übereinsimmen. 2 Ersellung der Normalformen Beispiel 2.3 Ersellen der disjunkiven Normalform von y = a + bc: Darsellung mi Diagrammen y = a(b + b)(c + c) + (a + a)bc = (ab + ab)(c + c) + abc + abc = abc + abc + abc + abc + abc + abc = abc + abc + abc + abc + abc In KV-Diagramme 3 können Schalfunkionen eingeragen werden, indem die Felder (deren Minerme) für die die Funkion den Wer annim markier werden. b a c Abbildung 2.2: KV-Diagramm für drei Variable Erweierung auf mehr Variablen durch Spiegelung, d.h. hinukommnder Bereich ensprich der neuen nich negieren Variable. 2 Ein weieres Äuivalenkrierium is die Übereinsimmung der Wereabellen. 3 Das Kürel KV seh für KARNALLCH und VEITCH.

12 Vollsändige Syseme von Operaoren Mi den bisher bekannen Operaoren UND, ODER und NICHT lassen sich drei funkional vollsändige Mengen darsellen.. {UND, ODER, NICHT} 2. {UND, NICHT} 3. {ODER, NICHT} Zur Verdeulichung noch der Beweis für die leen beiden Mengen: SHEFFER-Funkion a b = a + b = a b (2.) a + b = a b = a + b (2.2) Die SHEFFER-Funkion - meis als NAND oder UND-NICHT beeichne - sell eine UND-Verknüpfung dar, bei der das Ergebnis negier is. y = a b = a b a b y = a b Tabelle 2.6: Wereabelle der SHEFFER-Funkion Ein Voreil der SHEFFER-Funkion is, daß sie für sich genommen eine funkional vollsändige Menge darsell, das heiß, daß man Schalfunkionen ohne Zuhilfenahme weierer Verknüpfungen allein mi NANDs darsellen kann. Dau komm, dass sich ein NAND sehr einfach als Baueil realisieren läß. PIERCE-Funkion Die PIERCE-Funkion - meis als NOR oder ODER-NICHT beeichne - sell eine ODER-Verknüpfung dar, bei der das Ergebnis negier is. y = a b = a + b Ähnlich wie die SHEFFER-Funkion, sell auch die PIERCE-Funkion für sich genommen eine funkional vollsändige Menge dar, und biee somi denselben Voreil. Auch ein NOR is als Bausein sehr einfach u realisieren.

13 a b y = a b Tabelle 2.7: Wereabelle der PIERCE-Funkion Darsellungsformen BOOLEscher Funkionen und ihre Umwandlungen. Tabelle DNF: Alle Minerme der Tabelle ennehmen (Zeilen mi dem Funkionswer Eins) und ODER-verknüpfen. DNF Tabelle: Alle Minerme der DNF ennehmen und mi dem Funkionswer Eins in der Tabelle noieren. 2. Tabelle KNF: Alle Maxerme der Tabelle ennehmen (Zeilen mi dem Funkionswer Null) und UND-verknüpfen. KNF Tabelle: Alle Maxerme der KNF ennehmen und mi dem Funkionswer Null in der Tabelle noieren. 3. DNF KNF: Nummern der Minerme auslesen und KNF mi dem komplemenären Maxermen bilden. KNF DNF: Nummern der Maxerme auslesen und KNF mi dem komplemenären Minermen bilden. 4. DNF KV-Diagramm: Größe des KV-Diagramms durch die Anahl der Variablen feslegen und eichnen, Minerme einragen (Eins-Muser). KV-Diagramm DNF: Jede Eins im KV-Diagramm ensprich einem Minerm der Funkion. 5. KNF KV-Diagramm: Größe des KV-Diagramms durch die Anahl der Variablen feslegen und eichnen, Maxerme einragen (Null-Muser). KV-Diagramm KNF: Jede Null im KV-Diagramm ensprich einem Maxerm der Funkion. 6. Tabelle KV-Diagramm: Jede Zeile in der Tabelle ensprich einem Feld im KV-Diagramm und umgekehr. Eine schnelle Zuordnung kann über die Deimaläuivalene der Variablenbelegung erfolgen. 2

14 Kapiel 3 Schalnee Schalnee ergeben sich als echnische Realisierung von Schalfunkionen (Schalungen ohne Gedächnis). In der Schalung gib es keine Rückkopplungen (Verbindungen von Ausgängen auf die Eingänge). 3. Beschreibung und Enwurfsmehodik Schalnee werden beschrieben durch eine Menge von Schalfunkionen (ein sogenannes Funkionsbündel) F = {f, f 2,..., f n } mi gemeinsamen Variablen e, e 2,..., e n, die die Ausgänge a, a 2,..., a n bilden. 3.. Enwurfsmehodik. Speifikaion leg fes welche Aufgabe das Schalne lösen soll (verbal, eils formalisier). 2. Formale Beschreibung der Speifikaion, um Beispiel durch Wereabellen, Diagramme oder auch ein Programm. 3. Enwurf beseh in der Überführung der formalen Beschreibung in eine Form, welche die gewünsche Realisierung wiederspiegel. 4. Opimierung beseh in der Minimierung der Variablenahlen und der Anahl der Verknüpfungen. 5. Umformung für eine besimme Realisierung uner Berücksichigung der ur Verfügung sehenden Bauseine bw. Biblioheken. 6. Opimierung 2 uner Berücksichigung der Realisierung um Beispiel hinsichlich Laufei und Flächenbedarf. 7. Verifikaion vergleich das Enwurfsergebnis mi der Speifikaion. 3

15 3..2 Verfahren von QUINE/McCLUSKEY für Funkionsbündel Funkionsbündel enhalen Funkionen mi gemeinsamen Variablen, können aber auch gemeinsame Terme enhalen, sog. Koppelerme. Diese werden einmal realisier und mehrfach benu Umformung von Schalfunkionen Das Ergebnis der Opimierung soll so umgeform werden, daß die Funkion mi einer besimmen Bauelemenebibliohek realisier werden kann. Ineressan sind NAND- und NOR-Realisierungen, weil diese beiden Operaionen funkional vollsändig sind und ugleich die einfachsen Realisierungen darsellen. Verwendung von De Morgan und den Axiomen und Geseen. Beispiel 3. Umformung der Schalfunkion y = abc + abc + abc in eine Form, die für die Realisierung mi NAND/NAND geeigne is. y = abc + abc + abc = abc + abc + abc = abc abc abc 4

16 Kapiel 4 Schalwerke Schalnee beschreiben einen funkionalen Zusammenhang wischen Eingängen und Ausgängen. Zu jedem beliebigen Zeipunk hängen die Ausgänge nur von den Eingängen u diesem Zeipunk ab. Dami sind nur Vorgänge ohne Gedächnis modellierbar. Schalwerke - auch als seuenielle Schalungen beeichne - sind in der Lage mi Hilfe von Speicherelemenen urückliegende Ereignisse u regisrieren. Ein einfaches Beispiel für ein Schalwerk wäre ein Zähler. Ein weieres Beispiel wäre der aus der Vorlesung bekanne Aufug, der sich merken muss, in welchem Sockwerk er sich befinde, um enscheiden u können, ob nach oben oder nach unen fahren muss, um in ein anderes Sockwerk u gelangen. 4. Beschreibung Zurückliegende Einwirkungen werden bei Schalwerken durch Zusände erfaß, das heiß u einem besimmen Zeipunk kann ein Schalwerk unerschiedliche Zusände annehmen abhängig von Einwirkungen. Die Menge möglicher Zusände definier einen Zusandsraum Z. l = 2 k Elemene bei einem Schalwerk mi k Speicherpläen Zusandsvekoren i, i l Zusandsraum Z: Z = {, 2,..., l }, i B k = {, } k Ausgangsvekor um Zeipunk : a = F (, e ), Z Zusandsübergangsverhalen: +τ = G(, e ), Z, +τ Z Ein Schalwerk beseh allgemein aus k Speicherpläen, m Ausgängen und n Eingängen. Das heiß die Funkionsbündel F und G sind (k + n)-sellige Schalfunkionen: f i : B k+n B m, i m g j : B k+n B k, j k 5

17 . k. 2 Speicher elemene 2. k + τ e 2. k 2. n F und G 2. k 2. m a Abbildung 4.: Schemaische Darsellung eines Schalwerks Definiion 4. Die Mengen A, E sind das Aus- und Eingabealphabe, das heiß A = B m und E = B n. Z is der Zusandsraum. Die Abbildungen F : E Z A, F ( e, ) = a und G : E Z Z, G( e, ) = ordnen jedem geordneen Paar ( e, ) einen Ausgangsvekor a bw. einen Zusandsvekor u. Die Mengen E, A und Z repräsenieren usammen mi den Abbildungen F und G einen seueniellen Auomaen, abgekür (E, A, Z, F, G). Der MEALY-Auoma sell den allgemeinen Fall dar, so wie in Definiion 4. angegeben. Der MOORE-Auoma unerlieg der Einschränkung, daß die Abbildung F nur von Z abhäng, das heiß F ( ) = a. Sprich man von synchronen Schalwerken (siehe Abschni 4.3 Elemenare Schalwerke), so läß sich um MOORE-Auomaen sagen, daß hier die Ausgänge mi dem Tak synchronisier werden, während hingegen beim MEALY- Auomaen sich die Ausgänge sponan mi den Eingängen ändern, also nich durch den Tak synchronisier werden. Als Eselbrücke für die Begriffe möge vielleich folgende Worlauanalogie dienen: MOORE nur von den Zusänden abhängig. 4.. Übergangsgraph Zusälich unerscheiden sich die beiden Auomaen dadurch, daß beim MEALY- Auomaen die Ausgänge den Zusänden ugeordne werden, während beim MOORE-Auomaen die Ausgänge den Übergangen, und dami den Eingängen, ugeordne werden. * a e a Abbildung 4.2: MEALY-Auoma Abbildung 4.3: MOORE-Auoma 6

18 e2 * e Abbildung 4.4: Sabile Zusände 4.2 Schalwerksanalyse Die Schalwerksanalyse beschreib die Unersuchung der Funkionen einer gegebenen Schalung. Speicher in Schalwerken sind rückgekoppele Schalelemene. Rückkopplungen werden aufgerenn, so daß sich die Srukur eines Schalwerks ergib, wie in Abbildung 4.5 u sehen. An der Schniselle enseh eine eingangs- und eine ausgangsseiige Komponene der Zusandsvariablen und. Die Schalfunkionen aller Zusandsvariablen beschreiben das Verhalen der Schalung. Sind und für eine Kombinaion idenisch, dann is der Zusand sabil, anderenfalls handel es sich um einen Übergangsusand. * e Schal ne a Abbildung 4.5: Schalne Allgemeines Vorgehen bei der Analyse von Schalungen. Erkennen, ob es sich um ein Schalne oder ein Schalwerk handel. Schalwerke besien im Gegensa u Schalneen Rückkopllungspfade, u erkennen an vollsändig geschlossenen Kreisen der Signalwege in Daenrichung. 2. Handel es sich um ein Schalwerk, müssen alle Rückkopplungen aufgerenn werden. An den Aufrennung werden usäliche Variablen (Zusandsvariablen), eingeführ - eingangsseiig i und ausgangsseiig i. Beim Aufrennen der Rückkopllungen sollen die folgenden Regeln beache werden: möglichs wenig Aufrennung verwenden so viele Rückkopllungen auf einmal wie möglich aufrennen so nah am Ausgang wie möglich aufrennen möglichs direk hiner einem Gaer aufrennen Nach dem Aufrennen ergib sich die Srukur eines Schalnees. 7

19 3. Zur Analyse eines Schalnees (vorgegeben oder durch Aufrennungen ensanden) werden nun unächs die Funkionsgleichungen für alle kombinaorischen Ausgänge und die durch die Aufrennung ensandenen Zusandvariablen i aus der Schalung besimm. 4. Danach wird die Funkionsabelle aufgesell. 5. War die Ausgangsschalung ein Schalne, kann nun noch versuch werden, die Funkion des Schalnees u ermieln. Die Schalneanalyse is dami abgeschlossen. 6. War die Ausgangsschalung ein Schalwerk, werden in der Funkionsabelle nun die sabilen Zusände gekenneichne. Dies sind solche Zusände, bei denen bei einer besimmen Eingangskombinaion auf beiden Seien der Schniselle (i und i) idenische Were aufreen. Treen unerschiedliche Variablenwere auf beiden Seien einer Schniselle auf, so is der bereffende Übergangsusand insabil. Er kann nur kureiig aufreen und muss schließlich in einen sabilen Zusand übergehen. 7. Ein Zusand kann für unerschiedliche Eingangskombinaionen sabil oder insabil sein. Zur einfacheren Beschreibung des Schalwerkes is es i.a. ausreichend, nur diejenigen Zusände u berücksichigen, für die mindesens eine Eingangskombinaion sabil is. Hiermi kann man die Übergangsabelle verküren und das Schalverhalen anschaulich in einem Übergangsdiagramm darsellen. Insabile Zusände bewirken hierbei immer Zusandsübergange. 8. Anhand des Zusandsdiagramms kann versuch werden, die Funkion der vorgegebenen Schalung u ermieln. Die Schalwerksanalyse is dami abgeschlossen. 4.3 Elemenare Schalwerke Man unerscheide im allgemeinen wischen asynchronen und synchronen Schalwerken. Asynchrone Schalungen sind durch sponane Schalvorgänge gekenneichne. Mi einer Änderung der Eingangssignale ändern sich Zusand und Ausgänge. Daraus folg eine maximale Geschwindigkei, undefiniere Laufeien und hohe Söranfälligkei. Synchrone Schalungen hingegen werden durch ein Signal (den Tak) als Auslösesignal geseuer. Die Eingänge werden hierbei nur u besimmen definiieren Zeien ausgewere, das heiß Schalungseile werden synchronisier und wischeneiliche Sörungen, wie sie bei asynchronen Schalungen aufreen können, werden unerdrück. 8

20 U Abbildung 4.6: Takverlauf für synchrone Schalungen 4.3. Schalwerke ur Speicherung einer binären Variablen Eingänge Ausgänge Abbildung 4.7: Schaleichen eines Flipflop Anforderungen an ein Speicherelemen: Speicherung: Es sind wei sabile Zusände für die Speicherung der binären Variable erforderlich. Schreiben: Die Zusände müssen von außen einsellbar sein. Lesen: Die Speicherinhale sollen negier und nich negier an den Ausgängen ablesbar sein. r s p r * s p Abbildung 4.8: Schalwerk aus wei gekoppelen NOR-Gliedern Abbildung 4.9: Schalwerk mi aufgerenner Rückkopplung 9

21 Nr. r s p Tabelle 4.: Funkionsabelle der Schalung nach Abbildung 4.8 Nr. r s p Bemerkung sabiler Zusand 3 insabiler Übergangsusand 5 sabiler Zusand nich ulässig 2 sabiler Zusand 4 sabiler Zusand 6 insabiler Übergangsusand nich ulässig Tabelle 4.2: Funkionsabelle 4. in anderer Darsellung Daraus ergeben sich folgende Schalfunkionen für die Ausgänge p und des Flipflop: p = s + = r + p = r p r s Bemerkung Speichern Seen (se) Zurückseen (rese) nich ulässig Tabelle 4.3: Verküre Übergangsabelle Dieses asynchrone Schalwerk ur Speicherung einer binären Variablen wie oben beschrieben wird als RS-Flipflop beeichne (siehe Abbildung 4.). Da der durch die Eingänge in das Speicherelemen gespeichere Wer - bei r =, s = bw. bei r =, s = - sofor am Ausgang bw. sichbar is, sprich man hier auch von einem ransparenen Flipflop. 2

22 r s Abbildung 4.: Schaleichen des asynchronen RS-Flipflop Uv U v r s Abbildung 4.: NOR-Schalung rückgekoppel (MNMOS Technologie) Die Eingabe r = und s = wird als Zurückseen (engl. rese), die Eingabe r = und s = wird als Seen (engl. se) beeichne. Seen wir dagegen r = s =, nehmen sowohl als auch den Wer an, und es is nich vorhersagbar, welcher Zusand angenommen wird, wenn danach r = s = gese wird. Bei realen Gaern häng das von den ses vorhandenen Asymmerien ab. Die Eingabe r = s = (also gleicheiiges Zurückseen und Seen) is also u vermeiden, wenn diese Schalung als Speicherelemen verwenden werden soll Takflankengeseueres RS-Flipflop Synchrone Schalwerke werden wie oben bereis erwähn durch ein Taksignal geseuer bw. synchronisier. Man unerscheide hierbei wischen Takusandsseuerung und Takflankenseuerung. Bei der Takusandsseuerung wirk der gesame posiive Tak als Auswereeiraum für die Eingangswere. Abbildung 4.2 eig das Schalbild für ein akusandsgeseueres RS-Flipflop. r r s s T T Abbildung 4.2: Schalbild für ein Abbildung 4.3: Schalbild für ein akusandsgeseueres RS-Flipflop akflankengeseueres RS-Flipflop Der Pfeil auf dem Schalbild des akflankengeseueren RS-Flipflop in Abbildung 4.3 kenneichne einen sogenannen dynamischen Eingang, das heiß, daß nich, wie bei der Zusandsseuerung, der gesame Tak T wirksam is, sondern nur die seigende Flanke des Takes T, wie in Abbildung 4.4 geeig. 2

23 T T Abbildung 4.4: Takusands- und Takflankenseuerung Der Auswereeiraum der Eingangssignale r und s wird bei der Flankenseuerung gegenüber einer Zusandsseuerung sark verkür. Ein Zusandswechsel kann nur bei seigender Takflanke erfolgen. Die Signale r und s werden u Verarbeiungseingängen und der Tak T wirk als Auslöseeingang. T au +au Abbildung 4.5: Takabsände Geakees Vorspeicher-Flipflop (Maser-Slave-Flipflop) Ein Vorspeicher-Flipflop - häufig auch als nich ransparenes Flipflop beeichne - unerscheide sich von den bisher beracheen Flipflop Typen dadurch, daß sich der Zeipunk der Übernahme der Eingangswere r, s von dem des Ausgangsübergangs bw. unerscheided. Die wesenlichen Eigenschafen eines nich ransparenen Flipflops werden durch wei Zeiinervalle erfaß. Das eine Inervall gib die Zei an, während der das Eingangssignal gemessen wird, d.h. während der das Eingangssignal für die durch das Taksignal ausgelöse Zusandsänderung im Flipflop relevan is. Das andere Inervall gib die Zei an, während der sich eine Zusandsänderung im Flipflop als Binärübergang des Ausgangssignals bemerkbar machen kann. Beide Inervalle dürfen sich nich überlappen, will man solche Flipflops als Speicherlemene für ein Schalwerk verwenden. Dieses Verhalen läß sich durch das Maser-Slave-Prinip erreichen. 22

24 s r T r s r s Abbildung 4.6: Schalbild eines Vorspeicher-Flipflop In Abbildung 4.6 wird ein Maser-Slave-Flipflop dargesell, welches mi Hilfe von wei akflankengeseueren RS-Flipflops realisier wird. T s r Abbildung 4.7: Impulsplan des Vorspeicher-Flipflop Wie in Abbildung 4.7 u erkennen, wird also bei seigender Takflanke der Eingangswer - ur Erinnerung, s = bedeue Seen und r = bedeue Zurückseen - in das erse Flipflop, welches durch die Zusandsvariable beschrieben wird, gespeicher. Und ers bei fallender Takflanke wird der in gespeichere Wer in das weie Flipflop, welches durch die Zusandsvariable beschrieben wird, übernommen und lieg dami am Ausgang des Vorspeicher- Flipflops berei. Dieses Prinip der Takung wird auch als Zweiflankenseuerung beeichne. Wir reffen folgende Zuordnung: = (r p) + ( + (s p)) = ( n) + ( + ( n)) (r = s = unulässig) Zusand Zusand Zusand 2 Zusand 3 Zusand 4 Tabelle 4.4: Zuordnung der Zusände 23

25 Bedingungen aus den Übergangsfunkionen, uner welchen Bedingungen Zusände beibehalen bw. uner welchen Bedingungen Zusände verlassen werden. Zusand Bedingung Folgeusände Zusand Zusand Zusand 2 = = rsp = r + s + p = rsp = = = = Zusand 2 Zusand Zusand 2 Zusand 3 = = r + p = rp = r + p = n = = n = n = n = n Zusand 3 Zusand 3 Zusand 4 = = r + p = r + p = r p = = = = Zusand 4 Zusand 4 Zusand 3 Zusand = = rsp = r + s + p = rsp = r + s + p = = n = n = n = n Tabelle 4.5: Erweiere Zusandsübergangsabelle für ein Maser-Slave-Flipflop r+s+p (s+p)n r p 2 s p n n r p 4 3 s p (r+p)n r+p Abbildung 4.8: Übergangsdiagramm des Vorspeicher-Flipflop JK-Flipflop Dieses Universal-Flipflop funkionier im Prinip wie ein RS-Flipflop. Es biee die Möglichkei den Zusandswer des Flipflop u speichern (j = k = ), den Wer auf u seen (j =, k = ) und den Wer des Flipflop auf urückuseen (j =, k = ). Zusälich bewirk der für das RS-Flipflop verboene Fall j = k = ein Kippen (engl. rigger) des Zusandwers. 24

26 k T j & & r s k j T Abbildung 4.9: Schalbild eines JK- Flipflop Abbildung 4.2: Schaleichen eines JK-Flipflop Für die Eingänge am RS-Flipflop gelen also die folgenden Gleichungen: r = k p = k s = j p = j Die Eingangsgrößen j =, k = sind je ulässig, wie die folgende kure Zwischenrechnung eig: r s = (k ) (j ) = (j k ) ( ) = } {{ } = Dami sieh die Übergangsgleichung für das JK-Flipflop wie folg aus: + = (j ) + [(k ) ] = (j ) + (k ) + ( ) = (j ) + (k ) j k + Bemerkung speichern (save) seen (se) urückseen (rese) wechseln (oggle) Tabelle 4.6: Übergangsabelle des JK-Flipflop D-Flipflop Das D-Flipflop - das D seh für Delay (Verögerung) - ha nur einen Vorbereiungseingang, dessen Wer bei Einreffen eines Taksignals gespeicher wird (Verögerungselemen). Die Übergangsfunkion für das D-Flipflop laue + = D. 25

27 D j k T Abbildung 4.2: Schalbild eines D-Flipflop D T Abbildung 4.22: Schaleichen eines D-Flipflop D + Tabelle 4.7: Übergangsabelle des D-Flipflop 4.4 Schalwerksynhese Schalwerksynhese is der Enwurf eines Schalwerks mi vorgegebener Funkionaliä. Dabei sind die einelnen Schrie wie folg:. Speifikaion (verbale Beschreibung) 2. Formale Beschreibung (Eingangs-/Ausgangsfunkionen, Übergangsfunkionen) Feslegung der Anahl der Zusände Zusandscodierung 3. Speicherelemene realisieren bw. anseuern Bei asynchronen Schalwerken werden die Speicherelemene direk realisier, indem für eine besimme Zusandsvariable i eine Verbindung wischen i und i in Form einer Rückkopplung hergesell wird. Bei synchronen Schalungen wird für jede Zusandsvariable ein Flipflop so angeseuer, daß die Übergangsfunkion der ensprechenden Variablen realisier wird Anseuergleichungen für Speicherglieder Das Aufsellen der Anseuergleichungen für Speicherglieder läuf darauf hinaus eine Übereinsimmung wischen + i und + i herusellen. Daraus ergib sich, daß die Anseuerbedingungen für ein Flipflop aus der Zusandsübergangsfunkion der ensprechenden Variablen berechenbar sind, es gil also + i = + i. Mehode des Koeffiienenvergleichs f i (, e ) = g i ( i, v ) diese Gleichung läß sich nur dann erfüllen, wenn die Koeffiienen von auf beiden Seien übereinsimmen. 26

28 Koeffiienenvergleich s = r = bw. r = Einbringung der Nebenbedingung s = r = = {}}{ + = + s = r = + = + ( ) s = r = Mehode der Fallunerscheidung Enwicklungssa besag, daß man jede Schalfunkion nach jeder in ihr aufreenden unabhängigen Variablen enwickeln kann, indem man diese Variable u bw. u se und mi der negieren bw. nich negieren Variablen konjunkiv verknüpf. + i = i (, e ) = j i i + k i i (4.) f(x, x,..., x i,..., x n ) = f(x, x,..., x i =,..., x n ) x i + f(x, x,..., x i =,..., x n ) x i (4.2) Als Abkürung soll die folgende Noaion dienen: f(x, x,..., x n ) = f xi= x i + f xi= x i (4.3) Formulier man den Enwicklungssa für eine Zusandsvariable i, so ergib sich: + i = f i (, e ) i = i + f i (, e ) i = i (4.4) Zusammen mi der Flipflop-Übergangsfunkion + i = j i i + k i i (4.5) ergeben sich dann die Besimmungsgleichungen für die Flipflop-Eingänge wie folg: ji = f i (, e ) = i = + i i = ki = f i (, e ) = i = + i i = (4.6) (4.7) f i (, e ) i = i + f i (, e ) i = i = s i + r i i (4.8) Daraus ergeben sich die beiden Anseuergleichungen. r i = f i (, e ) i = = + i (4.9) i = s i = f i (, e ) i = i = + i i = i (4.) 27

29 Enwurfsbeispiel Es soll ein Schalwerk enworfen werden, daß Dualahlen seriell addier. Dau brauchen wir wei n-bi Regiser, die die Operanden A und B enhalen, ein Speicherelemen, welches das Überragsbi, das bei jeder Addiion enseh speicher, und ein Schalne, das die eigenliche Addierarbei verriche. Das Ergebnis der Addiion soll nach Abschluß der Addiion im Regiser B berei liegen. Abbildung 4.24 eig den Aufbau der Operandenregiser und Abbildung 4.23 eig den aus unseren Überlegungen ensandenen Schalplan für den Addierer. Speicher elemen Regiser A Regiser B b i a i Schal ne c i s i n Abbildung 4.23: Schalplan des seriellen Addierwerks Operandenregiser Abbildung 4.24: Aufbau der Dau muß der Überrag c i (engl. carry) gespeicher werden und bei der Verarbeiung (in diesem Fall bei der Addiion) des Ziffernpaares mi dem nächshöheren Index miberücksichig werden. Benöig wird ein Schalne mi 3 Eingängen a i, b i, c i und wei Ausgängen s i und c i. i is bei dieser Berachung der räumliche Index, im nächsen Schri gehen wir nun über um eilichen Index, den man bei Schalwerken immer ha. x y Speicher für den Überrag c c + Addier schalne s Abbildung 4.25: Blockschalbild des Serienaddierers 28

30 / / / / / c= c= / / / Nr. x y c c + s Abbildung 4.26: Übergangsdiagramm des Überragsspeichers (MEALY-Auoma) Tabelle 4.8: Summen- und Überragsfunkion bei der Addiion weier Dualahlen Aus Tabelle 4.8 läß sich erkennen, daß sich für s in Abhängigkei von x und y für c = eine Anivalen und für c = eine Valen ergib. Das läß schon Rückschlüsse auf die benöige Summenfunkion des Addierwerks u. Diese Symerie ergib sich einfach aus der Tasache, daß das Ergebnis einer Addiion von drei Dualahlen genau dann ergib, wenn enweder einer oder drei der Operanden den Wer haben, in jedem anderen Fall is das Ergebnis. Für den Überrag der Addiion gil, daß er genau dann is, wenn wei oder mehr Operanden den Wer haben, ansonsen. Realisierung des Überragsspeichers mi einem JK-Flipflop. Anseuerbedingungen + = j + k (Allgemeine Form) bw. c + = j c + k c (unser Fall mi der Überragsvariable c + : x y c Abbildung 4.27: KV Diagramm der Übergangsfunkion j : x k : x y y 29

31 s = {f(c, x, y)} minimieren: c + = j c = : j = c + j = x y c + = k c = : k = c + k = x + y k = x y s : x y c Abbildung 4.28: KV Diagramm der Summenfunkion s = [(x y c) + (x y c) + (x y c) + (x y c)] = (x y) c + (x y) c Mi der Summenfunkion und den Flipflop-Anseuergleichungen ergib sich das vollsändige Schalbild für ein Serienaddierwerk mi JK-Flipflop. 4.5 Speielle Schalwerke In diesem Abschni sollen wei Verreer der Klasse speieller Schalwerke berache werden, um einen die Zähler und desweieren die Regiser Zählschalungen Zählschalungen dienen ur Erfassung von Zählereignissen. Der Zähler urückgese und aufreende Zählereignisse werden aufsummier. Jeder Zahl von Zählereignissen ensprich ein Zusand der Zähleinhei. Daraus ergbi sich folgende Übergangsgleichung: +τ = G(, e ) (4.) Wichig hierbei u beachen, is daß wir nur einen Eingang haben, und keinen Eingangsvekor haben. Das heiß wir ählen bei jedem Signal auf e den Zähler um eins hoch. e wird deshalb auch als Zählgröße beeichne. Die Ausgangsgleichung sieh demensprechend wie folg aus: a = F ( ) (4.2) Bei dem Zählwerk handel es sich demnach um einen MOORE-Auoma, da alle Ausgänge um Zeipunk nur von den Zusänden um Zeipunk 3

32 abhängen, nich aber von den Eingängen. Man unerscheide die folgenden Typen von Zählern: Dualähler: Die Zusandscodierung erfolg durch Dualahlen Deimalähler: Die Zusandscodierung erfolg durch BCD (Binary Coded Deimal) Zahlen ( n ) Zähler: Jedem Zählersand ensprich ein Flipflop Zusälich unerscheided man Zähler anhand ihrer Arbeisweise: serielle Zähler: Zählereignis seuer das erse Flipflop an, dessen Ausgang das weie Flipflop, und so for parallele Zähler: Zählereignis gleicheiig auf alle Flipflops Welche Ar von Zähler man verwende häng davon ab, inwiefern die Zählgeschwindigkei wichiger is als der Schalungsaufwand. Ein paralleler Deimalähler Realisier mi 4 JK-Flipflops Zur Erinnerung, die Übergangsfunkion für ein JK-Flipflop laue + i = j i i + k i i und die Anseuerbedingungen für die Eingänge j und k des Flipflop sind: ji = + i i = ki = + i. Speicherelemen: i = j-eingang: k-eingang: + = : 2 + : = j = k = 2. Speicherlemen: 3

33 j-eingang: k-eingang: 2 + : 2 = 2 + : 2 = j 2 = 4 k 2 = 3. Speicherlemen: j-eingang: k-eingang: 3 + : 3 = 3 + : 3 = 2 2 j 3 = 2 k 3 = 2 4. Speicherlemen: j-eingang: k-eingang: 4 + : 4 = 4 + : 4 = j 4 = 2 3 k 4 = Regiser Regiser besehen aus mehreren Speichergliedern (Flipflops), die über einen gemeinsamen Arbeisak berieben werden. Eine speielle Form von Regisern sellen die Schieberegiser dar. Hierbei werden Regiser so verbunden, daß sich der Zusand eines Speicherelemenes auf das nachfolgende überragen läß, usf. Verbinde man usälich den Ausgang des Schieberegisers (der Ausgang des leen Speicherlemens in der Kee) mi dem Eingang des Schieberegisers (der Eingang des ersen Speicherelemens in 32

34 der Kee), so erhäl man eine ringförmige Srukur und kann den Inhal eines Speichergliedes umlaufen lassen. Aufbau Problemaik: Wenn alle Speicherglieder (Flipflops) denselben Tak benuen (siehe Abschni 4.3 Elemenare Schalwerke), kann es bei der Hinereinanderschalung von Flipflops vorkommen, daß die Auslöseei (es is echnisch nich möglich diese Auslöseei auf einen Zeipunk u beschränken, man erhäl immer einen Zeiraum) größer is als die Umschalei der Speicherelemene, und sich daraus unerwünsche Zusandswechsel der nachfolgenden Speicherglieder ergeben. D D D Clk Abbildung 4.29: 2-Bi Schieberegiser Abhilfe schaffen hier Zwischenspeicher ur Enkopplung für die Dauer der akiven Takei, die bereis bekannen Vorspeicher-Flipflops. Abbildung 4.29 eig ein 2-Bi Schieberegiser realisier mi wei Maser-Slave-D-Flipflops. Die Eingabe und Ausgabe kann enweder seriell, das heiß jedes Bi wird eineln in das Schieberegiser gespeicher bw. aus dem Schieberegiser ausgelesen werden, oder parallel, das heiß es können alle Bis gleicheiig gese bw. gelesen werden, erfolgen. Für parallele Ein/Ausgabe is es nowending, daß die Eingänge und/oder Ausgänge der einelnen Flipflops ugänglich sind. serieller Eingang j k a parallele Ausgänge a 2 j j j k k k T T j k j k j k j k serieller Ausgang a 3 parallele Ausgänge a 4 Abbildung 4.3: 4-Bi Schieberegiser mi parallelen Ausgängen Abbildung 4.3 eig ein kombinieres Schieberegiser, daß sowohl seriellen Schreib- und Leseugriff als auch parallelen Leseugriff erlaub. 33

35 4.6 Enwurfsbeispiel: Geränkeauoma 4.6. Aufgabensellung Es soll ein einfacher Geränkeauoma enworfen werden, der beim Einwurf von mindesens,5 Euro ein Geränk ausgib. Der Auoma soll einen Münschli haben, und er soll 5-Cen- und -Euro-Münen akepieren. Ein mechanischer Sensor soll der Seuerung aneigen, ob 5 Cen oder Euro eingeworfen wurden. Ausgabe beseh in einem elekronischen Signal, das die Ausgabe der Flasche auslöß. Überahlung is möglich, es wird allerdings kein Rückgeld ersae Speifikaion Mün sensor C E Auomaen seuerung G Ausgabe mechanik Rückseen Tak Abbildung 4.3: Blockdiagramm des Geränkeauomaen Eingänge des Auomaen (Münsensor): C 5-Cen-Müne eingeworfen E -Euro-Müne eingeworfen Ausgang des Auomaen (Ausgabemechanik): G Geränk ausgeben Es wird exern dafür gesorg, daß andere Münen den Münschli ohne Einwirkungen passieren und wieder ausgeworfen werden. Nach der Geränkeausgabe wird ein Rückseen veranlaß. Daraus ergeben sich folgende mögliche Eingaben: E, C -,5 Euro C, E -,5 Euro C, C, C -,5 Euro C, C, E - 2, Euro (Überahlung) E, E - 2, Euro (Überahlung) 34

36 Rückseen C Sar E C E C 2 E C 3 E Abbildung 4.32: Zusandsgraph des Geränkeauomaen (nich vollsändig) Zu Opimierung dieses Graphen können Zusände mi gleichen Eigenschafen usammengefaß werden. 2, 3 : 2 4, 5, 6, 7, 8 : 3 Hierbei müssen die,5 Euro- und 2, Euro-Klassen nich unerschieden werden, da diese Unerscheidung im Beug auf die Aufgabensellung irrelevan is (es wird kein Wechselgeld urückersae). Rückseen Sar C C C+E * 2 E * 3 Abbildung 4.33: Opimierer Übergangsgraph (nich vollsändig) E 35

37 Index Eingänge Zusand Folgeusand Ausgang E C + + G Tabelle 4.9: Übergangsabelle des Geränkeauomaen Flipflop-Anseuerung und Ausgangsfunkion Als Zusandsspeicher sollen JK-Flipflops verwende werden. Zu Erinnerung noch einmal die Anseuergleichungen für ein JK-Flipflop: + = j + k j = + = k = + = Anmerkung: In der Praxis empfiehl es sich allerdings in solchen Siuaionen auf die besser geeigneeren D-Flipflops urückugreifen. Hier sollen die JK-Flipflops nur ur Übung verwende werden. G : E C Abbildung 4.34: KV Diagramm für die Ausgangsfunkion Es ergib sich folgende Ausgangsfunkion: 36

38 G = j : k : E C E C j : E k : C E C Abbildung 4.35: KV Diagramme für die Flipflop-Anseuergleichungen Aus den KV-Diagrammen ergeben sich folgende Anseuergleichungen: j = + = = C + E k = + = = C j = + = = E + C k = + = = E C & j k & G E & j k C C & Abbildung 4.36: Schalbild der Seuerung des Geränkeauomaen 37