Bewertung von Versicherungsrisiken mittels des Äquivalenznutzenprinzips

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1 Bewerung von Versicherungsrisiken miels des Äquivalenznuzenprinzips Diplomarbei zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirschafsmahemaiker der Fakulä für Mahemaik und Wirschafswissenschafen der Universiä Ulm vorgeleg von Gregor Mummenhoff Ulm im Februar 2004

2 1. Guacher: Prof. Dr. Rüdiger Kiesel 2. Guacher: Prof. Dr. Hans-Joachim Zwiesler

3 Inhalsverzeichnis Einleiung 1 1 Sochasische Seuerung und Opimierung Das Finanzmarkmodell Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung Bewerungsverfahren Die Definiion der Vorbehalsprämien Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes-Preis Bewerung von Versicherungsverrägen Die versicherungsmahemaischen Grundlagen Die Verräge mi feser Fälligkei der Leisungen bei fesem Enscheidungshorizon Risiko-Lebensversicherung für einen Versicherungsnehmer Risiko-Lebensversicherung für mehrere Versicherungsnehmer Reine-Erlebensfallversicherung für einen Versicherungsnehmer Schadenhöhe als Diffusionsprozess Schadenzahl als Poisson-Prozess I

4 3.3 Die Verräge mi randomisierer Fälligkei der Leisungen bei fesem Enscheidungshorizon Risiko-Lebensversicherung für einen Versicherungsnehmer Risiko-Lebensversicherung für mehrere Versicherungsnehmer Diskree emporäre Leibrene Seige emporäre Leibrene Schadenhöhe als Diffusionsprozess Schadenzahl als Poisson-Prozess Die Verräge mi randomisierer Fälligkei der Leisungen bei zufälligem Enscheidungshorizon Todesfall-Versicherung Seige lebenslange Leibrene Schadenhöhe als Diffusionsprozess Schadenzahl als Poisson-Prozess Zusammenfassung 73 Lieraurverzeichnis 77 II

5 Einleiung Ziel dieser Arbei is es, für einen dynamischen Finanzmark eine Mehode zur Bewerung verschiedenariger versicherbarer Risiken vorzusellen. Ein klassisches Verfahren zur Bewerung von Finanzproduken sell die Black-Scholes- Mehode dar. Sie beruh darauf, dass der Auszahlungssrom eines Finanzprodukes durch ein geeignees Porfolio replizier und dami das zugehörige Risiko eliminier wird. Infolgedessen muss dann der Wer des Finanzprodukes den Bereisellungskosen für das Porfolio ensprechen. Auf unvollsändigen Märken wie dem Mark für Versicherungsrisiken kann diese Mehode jedoch keine Anwendung finden, da sich die Unvollsändigkei dadurch auszeichne, dass nich für jedes Finanzproduk ein solches replizierendes Porfolio aufgesez werden kann. Die Unvollsändigkei des Markes ergib sich hierbei daraus, dass Versicherungsrisiken aus Unsicherheien resulieren, die nich Risiken eines oder mehrerer gehandeler Werpapiere sind. Das in der nachfolgenden Unersuchung vorgeselle Bewerungsverfahren wird daher einen Erwarungsnuzenansaz verfolgen und dabei das Äquivalenznuzenprinzip erweiern. Dieses Prinzip sell einen Ansaz zur Prämienkalkulaion aus Sich eines Versicherungsunernehmens zur Verfügung. Dazu wird angenommen, dass das Versicherungsunernehmen am Ende einer fesgelegen Periode Versicherungsleisungen in einer zufälligen Höhe Z zu erbringen ha. Ausgesae mi einer Nuzenfunkion u und einem Sarkapial in Höhe von w sez demnach das Versicherungsunernehmen für die Summe aller Prämien P folgende Gleichung an: E[u(w + P Z) = u(w). 1

6 Einleiung 2 Die Idee des Ansazes is demnach, eine faire Prämie so zu kalkulieren, dass für das Versicherungsunernehmen die unsichere Erwarung über den Endnuzen bei Bereiben des Versicherungsgeschäfes dem sicheren Endnuzen aus dem Sarkapial ensprich. Dami is das Versicherungsunernehmen folglich indifferen oder auch ohne einen Vorbehal gegenüber diesen beiden Alernaiven. Demensprechend werden die Prämien dieses Bewerungsverfahrens Vorbehalsprämien heißen. Der beschriebene Erwarungsnuzenansaz sell von Hause aus ein saisches Verfahren dar, da angenommen wird, dass sich das Sarkapial während der gesamen Periode nich änder. Die vorliegende Unersuchung zur Bewerung von Versicherungsrisiken erweier diesen Ansaz dahingehend, dass Handel mi dem Sarkapial während der gesamen Periode zugelassen wird. Eine wesenliche Rolle bei dieser Erweierung werden darin die bereis erwähnen Vorbehalsprämien spielen. Diese Prämien ergeben sich sowohl für den Versicherungsnehmer als auch für das Versicherungsunernehmen dadurch, dass jeweils der bezüglich der Anlagesraegien am Finanzmark maximal erwaree Endnuzen mi und ohne Abschluss eines Versicherungsverrages unersuch wird. Für das Versicherungsunernehmen sellen sie somi die Mindessumme dar, für die es berei is, das Risiko zu übernehmen. Für den Versicherungnehmer is es ensprechend die größe Summe, die er für die Abreung seines Risikos aufwenden möche. Das Vorhaben, den Erwarungsnuzen über alle Anlagesraegien am Finanzmark zu maximieren, führ zunächs auf Probleme aus der Theorie der sochasischen Seuerung und Opimierung. Die zur Lösung nowendigen Grundlagen sind somi als erses in Angriff zu nehmen und werden im folgenden Kapiel geleg. Im zweien Kapiel können im Anschluss daran das Bewerungsverfahren und die Vorbehalsprämien vorgesell werden. Für den Fall einer Exponenialnuzenfunkion zur Bewerung des Endnuzens heiß das zugrunde liegende Prinzip auch Exponenialnuzenprinzip. Es wird die Grundlage der im drien Kapiel folgenden Anwendungsbeispiele sein, da diese Wahl der Nuzenfunkion eine Lösbarkei der sochasischen Opimierungsprobleme ermöglich. Die Beispiele werden in drei Abschnie geglieder sein, die eine wachsende Komplexiä der Modellierung widerspiegeln. So werden zunächs nur Verräge berache, bei denen

7 Einleiung 3 der Enscheidungshorizon für den Versicherungsnehmer und das Versicherungsunernehmen durch einen im Vorhinein besimmen Zeipunk dargesell wird. Außerdem sollen zu diesem Zeipunk auch die Versicherungsleisungen fällig werden. Die Berachung eines fesen Fälligkeiszeipunks ermöglich den gedanklichen Einsieg, ensprich aber im Allgemeinen noch nich der Realiä. Daher werden in einem zweien Schri Verräge unersuch, bei denen die Leisungen mi Einri des Versicherungsfalles fällig werden. Zur vollsändigen Annäherung an die Bedürfnisse der Praxis wird das Modell schließlich dahingehend erweier, dass ein variabler Enscheidungshorizon zugelassen wird, der ewa den Tod des Versicherungsnehmers darsellen kann. Innerhalb der sufenweisen Anpassung der Modellumsände gib es eine zweie Gliederungsebene, in der mi zunehmender Komplexiä konkree Verräge unersuch werden. So werden zunächs Sandardlebensversichungsproduke für einen einzelnen Versicherungsnehmer berache, bei denen es sich um einen saischen Schadensfall handel. Bei diesen Verrägen kann nämlich der Schadensfall im Versicherungszeiraum nur einmal aufreen und die Versicherungssumme is ein bei Verragsbeginn vereinbarer Berag. Nach einer Erweierung auf mehrere Versicherungsnehmer werden in einem nächsen Absrakionsschri auch solche Verräge bearbeie, bei denen die Schadenhöhe ganz allgemein durch geeignee sochasische Prozesse modellier is. Grundlage der Arbei is ein Aufsaz von Virginia R. Young und Thaleia Zariphopoulou (s. [Young & Zariphopoulou 2002).

8 Kapiel 1 Sochasische Seuerung und Opimierung 1.1 Das Finanzmarkmodell Berache wird ein Finanzmark mi zwei Werpapieren. Das Erse davon sei risikobehafe, und sein Preisprozess {S(s), s } sei modellier als geomerische Brownsche Bewegung: ds(s) = S(s)[µ ds + σ db(s), s, (1.1) S() = S > 0, mi 0 < µ, σ < und einer Brownschen Bewegung B = {B(s), s } auf einem filrieren Wahrscheinlichkeisraum (Ω, F, F, P ), wobei F = {F s, s } die Brownsche Filraion sei. Das zweie Werpapier sei ein risikoloser Bond, für dessen Preisprozess {S 0 (s), s } gele: ds 0 (s) = S 0 (s)r ds, s, (1.2) S 0 () = S 0 > 0, mi 0 < r < µ. Im Folgenden sei S(s) = (S 0 (s), S(s)) der Vekor der Preise zum Zeipunk s. 4

9 1.1. Das Finanzmarkmodell 5 Ein Invesor, ausgesae zum Zeipunk > 0 mi einem Sarkapial von w 0, ha nun zu jedem Zeipunk s die Möglichkei, mi den beiden Werpapieren zu handeln. Dazu seien zwei vorhersagbare Prozesse ϕ 0 = {ϕ 0 (s), s } und ϕ 1 = {ϕ 1 (s), s } die Anzahl von Werpapieren, die der Invesor zum Zeipunk s jeweils von dem Bond und der Akie in seinem Porfolio hale. Die so definiere Handelssraegie ϕ = (ϕ 0, ϕ 1 ) sei außerdem selbsfinanzierend im Sinne von Definiion 1.1. Die Handelssraegie ϕ heiß selbsfinanzierend, falls gil: ϕ(s) S(s) = ϕ() S() + s ϕ(u) d S(u) s, P f.s. Dami gil für den Werprozess W = {W (s), s } des Porfolios: W (s) = ϕ(s) S(s) = w + s ϕ(u) d S(u), s, oder in Form einer sochasischen Differenialgleichung: dw (s) = ϕ 0 (s) ds 0 (s) + ϕ 1 (s) ds(s), s, (1.3) W () = w. Bezeichne man mi π 0 (s) = ϕ 0 (s)s 0 (s) und π 1 (s) = ϕ 1 (s)s(s) die Summen, die jeweils in den beiden Werpapieren zum Zeipunk s gehalen werden, so gil mi (1.1) und (1.2) in (1.3): (1.4) dw (s) = ϕ 0 (s) ds 0 (s) + ϕ 1 (s) ds(s) = ϕ 0 (s)s 0 (s)r ds + ϕ 1 (s)s(s)[µ ds + σ db(s) = rw (s) ds + (µ r)π 1 (s) ds + σπ 1 (s) db(s), s. Bemerkung 1.2. Durch die Umformungen in (1.4) konne π 0 (s) eliminier werden. Für den Werprozess is also nur noch die in das risikobehafee Werpapier invesiere Summe π 1 (s) relevan. Im Folgenden sei daher π 1 (s) mi π(s) bezeichne.

10 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung Ziel des Invesors soll es nun sein, so mi den beiden Werpapieren zu handeln, dass der erwaree Nuzen aus dem erzielen Wer des Porfolios zu einem fesen Zeipunk T maximal wird. Der Nuzen des Weres wird dabei als Funkionswer einer Nuzenfunkion u gemessen. Dazu sei u : R R, u C 2 (R), sreng monoon wachsend und sreng konkav. Der Porfolioprozess π( ), mi dem der Invesor handel, muss Zulässigkeisbedingungen erfüllen, dami aufreende Inegrale exisieren. Definiion 1.3. (i) Ein Porfolioprozess is ein F s progressiv messbarer Prozess {π(s), s [, T } mi Weren in R, für den gil: (1.5) T π 2 (s) ds < P f.s. (ii) Die Menge aller Porfolioprozesse, die zu [0, T in w 0 saren, das heiß, W () = w, sei mi A(, w) bezeichne. Bemerkung 1.4. Die Bedingung (1.5) gewährleise, dass die sochasische Differenialgleichung (1.4) eine P f.s. eindeuige Lösung {W (s), s [, T } ha. So gil nämlich: W (s) = e r(s ) w + s e r(s u) (µ r)π(u) du + s e r(s u) σπ(u) db(u). Um schließlich das Ziel des Invesors mahemaisch zu formulieren, fehl noch: Definiion 1.5. Die Funkion (1.6) V (, w) = sup E [u(w (T )) W () = w π( ) A(,w) = sup J(, w; π( )) π( ) A(,w) mi J(, w; π( )) := E [u(w (T )) W () = w heiß Werfunkion.

11 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 7 Dami is also das Porfolioproblem des Invesors, eine Sraegie π ( ) A(, w) zu finden, für die gil: (1.7) V (, w) = J(, w; π ( )). Die Sraegie π ( ) heiß dann opimal. Zur Lösung von (1.7) gil es also zunächs, die Werfunkion zu besimmen. Dies geschieh im weieren Verlauf dieses Abschnies in Anlehnung an [Korn, Elke & Korn, Ralf 1999, S Um ein nowendiges Krierium für die Werfunkion zu finden, benöig man: Lemma 1.6 (Bellman-Prinzip ). Für alle [0, T und alle Soppzeien τ [, T gil: V (, w) = sup E [V (τ, W (τ)) W () = w π( ) A(,w) E [V (τ, W (τ)) W () = w π( ) A(, w). Dami läss sich heurisisch die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung (kurz: HJB) als nowendige Bedingung für eine Lösung von (1.7) herleien. Sei dazu V C 1,2 ([0, T ) R) angenommen. Dann gil mi der Iô-Formel für h 0: V ( + h, W ( + h)) = V (, w) + (1.4) h +h V (s, W (s)) ds + V ww (s, W (s))σ 2 π 2 (s) ds +h +h +h V w (s, W (s)) dw (s) = V (, w) + V (s, W (s)) ds + V w (s, W (s))σπ(s) db(s) +h { + V w (s, W (s))[rw (s) + (µ r)π(s) + 1 } 2 V ww(s, W (s))σ 2 π 2 (s) ds.

12 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 8 Sez man dies in die Gleichung aus dem Bellman-Prinzip ein, folg mi τ = + h: V (, w) = sup E [V ( + h, W ( + h)) W () = w π( ) A(,w) [ +h = V (, w) + sup E {V (s, W (s)) + V w (s, W (s))[rw (s) + (µ r)π(s) π( ) A(,w) V ww(s, W (s))σ 2 π 2 (s)} ds W () = w [ +h + sup E V w (s, W (s))σπ(s) db(s) W () = w. π( ) A(,w) } {{ } =0, da das Inegral ein Maringal is. Subrahier man auf beiden Seien V (, w) und eil durch h, so erhäl man also: 0 = 1 h [ +h sup E {V (s, W (s)) + V w (s, W (s))[rw (s) + (µ r)π(s) π( ) A(,w) V ww(s, W (s))σ 2 π 2 (s)} ds W () = w, und für h 0+: 0 = sup E [V (, W ()) + V w (, W ())[rw () + (µ r)π() π( ) A(,w) V ww(, W ())σ 2 π 2 () W () = w. Zum Zeipunk is der Wer von W () aber bekann, so dass der Erwarungsweroperaor wegfäll. Außerdem is das Supremum nur noch über die möglichen Anfangsinvesiionen in das risikobehafee Werpapier, also über den Werebereich des Porfolioprozesses zu bilden. Zusammen mi einer Endbedingung bei T erhäl man also die HJB-Gleichung: (1.8) 0 = V (, w) + sup {V w (, w)(µ r)π + 12 } V ww(, w)σ 2 π 2 + rwv w (, w), π R u(w) = V (T, w). Uner weieren Voraussezungen läss sich die Lösung der HJB-Gleichung charakerisieren, die der Werfunkion ensprich. Außerdem kann man dann eine opimale Sraegie angeben.

13 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 9 Saz 1.7 (Verifikaionsheorem ). Sei Ṽ C1,2 ([0, T ) R) C([0, T R) mi u(w) = V (T, w). Ṽ (, w) K(1 + w k ) für K > 0 und k N eine Lösung der HJB-Gleichung: 0 = V (, w) + sup {V w (, w)[rw + (µ r)π + 12 } V ww(, w)σ 2 π 2, 0 < T, w R, π R Dann gil: (i) Ṽ (, w) V (, w) (, w) [0, T ) R. (ii) Exisier für alle (, w) [0, T ) R ein π ( ) A(, w), so dass für alle s [, T gil: π (s) argmax {Ṽ (s, W (s)) + Ṽw(s, W (s))[rw (s) + (µ r)π π R + 1 } 2 σ2 π 2 Ṽ ww (s, W (s)), wobei W (s) die sochasische Differenialgleichung (1.4) zusammen mi π (s) lös, so gil: Ṽ (, w) = V (, w) = J(, w; π ( )) (, w) [, T ) R. Beweis. (i) Sei (, w) [0, T ) R. Im Folgenden wird gezeig, dass für jede Soppzei τ [, T gil: Ṽ (, w) E [Ṽ (τ, W (τ)) W () = w, wobei {W (s), s [, τ} der Werprozess uner einer Poliik π( ) A(, w) is. Wegen Ṽ (T, W (T )) = u(w (T )) folg dann die Behaupung mi τ = T. Sei zunächs O R offen und beschränk. Definiere τ 0 := inf{ > 0 : W () O}, und es gele τ τ 0. Da Ṽ die HJB-Gleichung erfüll, gil für alle π( ) A(, w): 0 Ṽ(s, W (s)) + Ṽw(s, W (s))[rw (s) + (µ r)π(s) + 1 2Ṽww(s, W (s))σ 2 π 2 (s), für s τ.

14 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 10 Wende man die Iô-Formel auf Herleiung: Ṽ (τ, W (τ)), so gil wie schon in der heurisischen τ Ṽ (τ, W (τ)) = Ṽ (, w) + Ṽ (s, W (s)) ds + Ṽ w (s, W (s))σπ(s) db(s) τ { + Ṽ w (s, W (s))[rw (s) + (µ r)π(s) + 1 } 2Ṽww(s, W (s))σ 2 π 2 (s) ds. Dabei is der Erwarungswer des sochasischen Inegrals = 0, denn da W (s) auf O beschränk is, is auch Ṽw als seige Funkion auf O (f.s.) beschränk, und π(s) τ is in L 2 nach Definiion einer Porfoliosraegie. Dami gil: [ τ Ṽ (, w) = E Ṽ (τ, W (τ)) Ṽ (s, W (s)) ds τ { Ṽ w (s, W (s))[rw (s) + (µ r)π(s) + 1 } 2Ṽww(s, W (s))σ 2 π 2 (s) E [Ṽ (τ, W (τ)) W () = w, also die Behaupung für den beschränken Fall. ds W () = w Sei jez O = R. Approximiere O durch beschränke Mengen der Form [ ) O p := {x R : x < p}, und seze Q p := 0, T 1 O p p, p N, 0 < 1 < T. p Außerdem sei σ p die Ausriszei von (s, W (s)) aus Q p. Für τ p := σ p τ gil dann wegen des beschränken Falles: Ṽ (, W ()) E [Ṽ (τp, W (τ p )) W () = w. Für p gil: τ p τ f.s. Wegen der Seigkei von Ṽ und W gil daher auch: lim Ṽ (τ p, W (τ p )) = Ṽ (τ, W (τ)) f.s. p Die Wachsumsbedingung an Ṽ liefer darüber hinaus: Ṽ (τ p, W (τ p )) K ( ( ) 1 + W (τ p ) k) K 1 + sup W (s) k s [,T [ Wegen der f.s. Beschränkhei von W (s) is dami also E Ṽ (τ p, W (τ p )) 2 W () = w } beschränk für alle p, und daher is die Familie von Zufallsvariablen {Ṽ (τp, W (τ p )) p.

15 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 11 gleichmäßig inegrierbar. Somi folg schließlich: lim [Ṽ E (τp, W (τ p )) W () = w = E [Ṽ (τ, W (τ)) W () = w, p und dami die Behaupung. (ii) Für π (s) gil = in (i). Bemerkung 1.8. (i) Das Verifikaionsheorem leg folgende Vorgehensweise zur Lösung des Porfolioproblems nahe: 1. Lösen des saischen Maximierungsproblems in der HJB-Gleichung. 2. Einsezen der Lösung aus dem Maximierungsproblem in die HJB-Gleichung und Besimmung der Werfunkion. 3. Überprüfen der Voraussezungen des Verifikaionsheorems. (ii) Kann im Vorhinein gezeig werden, dass die gesuche Werfunkion die Glaheisanforderungen des Verifikaionsheorems erfüll, kann sie mi dessen Hilfe besimm werden. Davon und von der Wachsumsbedingung soll und kann wegen einer speziellen Wahl der Nuzenfunkion u im Folgenden ausgegangen werden. Mi Saz 1.7 is nun ein Werkzeug zur Besimmung der Werfunkion bereigesell. Zur Beanworung der Frage, ob der darin enhalene Lösungsweg auch asächlich erfolgreich is, seien weiere analyische Eigenschafen der Nuzenfunkion ausgenuz. Denn so gil: Lemma 1.9. Die Werfunkion V (, w) is sreng konkav in w [0, T. Beweis. Es sei 0 fes. Für w 1, w 2 > 0 und π 1 (s) A(, w 1 ) sowie π 2 (s) A(, w 2 ) seien W π 1 (s) und W π 2 (s) die zugehörigen Lösungen der Differenialgleichung (1.4). Dann gil für λ (0, 1): π(s) := λπ 1 (s) + (1 λ)π 2 (s) A(, w)

16 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 12 mi w := λw 1 + (1 λ)w 2, und W π (s) = λw π 1 (s) + (1 λ)w π 2 (s) is der dazugehörige Werprozess. Daher folg mi der Konkaviä von u: λu (W π 1 (T )) + (1 λ)u (W π 2 (T )) = ( T T ) λu W π 1 () + {rw π 1 (s) + (µ r)π 1 (s)} ds + σπ 1 (s) db(s) ( T T ) + (1 λ)λu W π 2 () + {rw π 2 (s) + (µ r)π 2 (s)} ds + σπ 2 (s) db(s) ( T < u λw π 1 () + (1 λ)w π 2 () + r [λw π 1 (s) + (1 λ)w π 2 (s) ds T T ) + (µ r) [λπ 1 (s) + (1 λ)π 2 (s) ds + σ [λπ 1 (s) + (1 λ)π 2 (s) db(s) folg schließlich die Be- Nach Auswerung des Erwarungsweres und von sup π1 ( ) A(,w 1 ) π 2 ( ) A(,w 2 ) haupung. Wegen Lemma 1.9 is also das Supremum in (1.8) ein wohldefinieres Maximum, und es wird angenommen für: (1.9) π (, w) = (µ r)v w(, w). σ 2 V ww (, w) Der opimale Porfolioprozess is dann mi dem Verifikaionsheorem gegeben durch: (1.10) π (s, W (s)) = (µ r)v w(s, W (s)), s T, σ 2 V ww (s, W (s)) und die HJB-Gleichung (1.8) wird zu: (1.11) 0 = V (, w) (µ r)2 Vw(, 2 w) 2σ 2 V ww (, w) u(w) = V (T, w). + rwv w (, w), Beispiel Sei u(w) = 1 α e αw, α > 0, eine Exponenialnuzenfunkion. Die Werfunkion zu is der erwaree Endnuzen zu T uner der Bedingung, dass man mi einem Sarkapial von w beginn. Is nur Invesiion in den risikolosen Bond zulässig, so is

17 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 13 der Wer von W (T ) = we r(t ). Der Erwarungswer is dann ohne Bedeuung und die Werfunkion laue: V (, w) = u ( we r(t )) = 1 α exp { αwe r(t )}. Mi der Anlagemöglichkei in das risikobehafee Werpapier komm aber Unsicherhei in den Werprozess hinein. Die Annahme, dass man diese Unsicherhei in einer Funkion modellieren kann, die nich mehr von w abhäng, führ auf den folgenden Trennungsansaz für die Werfunkion: V (, w) = 1 α exp { αwe r(t )} f(). Dami gil für die pariellen Ableiungen von V : V (, w) = 1 α exp { αwe r(t )} [αwre r(t ) f() + f (), V w (, w) = e r(t ) exp { αwe r(t )} f(), V ww (, w) = αe 2r(T ) exp { αwe r(t )} f(). Eingesez in (1.11) führ auf: 0 = 1 α exp { αwe r(t )} [ αwre r(t ) f() + f () + + rwe r(t ) exp{ αwe r(t ) }f(), u(w) = 1 α exp{ αw}f(t ) f (µ r)2 () = f(), 2σ 2 f(t ) = 1. (µ r)2 2ασ 2 exp { αwe r(t )} f() Das is eine gewöhnliche Differenialgleichung in gerennen Veränderlichen mi der Lösung und dami laue die Werfunkion: } (µ r)2 f() = exp { (T ), 2σ 2 V (, w) = 1 { } α exp αwe r(t ) (µ r)2 (T ). 2σ 2

18 1.2. Die Hamilon-Jacobi-Bellman-Gleichung 14 Mi (1.10) laue schließlich der opimale Porfolioprozess: π (s) = (µ r)e r(t s) ασ 2. Bemerkung (i) Der opimale Porfolioprozess häng nich mehr vom Werprozess ab und is dami nich mehr sochasisch. Das lieg in diesem Beispiel an der Wahl der Nuzenfunkion. Denn die absolue Risikoaversion ARA(w) der Exponenialnuzenfunkion is also ebenfalls werunabhängig. ARA(w) := u (w) u (w) α, (ii) Bei seigender Risikoaversion α und bei längerer Zeidauer bis zum Handelsendpunk T sink die in das risikobehafee Werpapier invesiere Summe.

19 Kapiel 2 Bewerungsverfahren 2.1 Die Definiion der Vorbehalsprämien Um im Folgenden zur Bewerung von Versicherungsrisiken zu kommen, sollen von nun an zwei Pareien unerschieden werden: zum einen der (poenielle) Versicherungsnehmer (kurz: VN), und zum anderen das Versicherungsunernehmen (kurz: VU). Beide seien ausgesae mi der gleichen Nuzenfunkion u, wobei die jeweiligen Risikoaversionen unerschiedlich sein können. Wie in Kapiel 1 können beide Pareien laufend in das risikobehafee Werpapier und den risikolosen Bond aus jenem Kapiel invesieren. Daneben beseh zu 0 einmalig aber für den VN die Möglichkei, einen Versicherungsverrag abzuschließen, beziehungsweise für das VU, einen solchen anzubieen. Dieser Verrag sei derar, dass zu einem fesen Zeipunk T das VU dem VN den kumulieren Schaden der Periode [0, T des versicheren Risikos ersaen muss. In dieser Zei sei der Verrag nich handelbar. Die Höhe des Schadens bis zum Zeipunk s [, T für den VN sei dabei mi {Y (s), s [, T } bezeichne. Die Auszahlung aus dem Versicherungsverrag zum Zeipunk T ensprich somi Y (T ). Dabei sei angenommen, dass {Y (s), s [, T } unabhängig sei von B, der Brownschen Bewegung, die den Akienpreis besimm. Daher kann, wie in der Einleiung bereis erwähn, die klassische Black-Scholes-Mehode keine Anwendung finden, da der Mark dami nich vollsändig is. Das Ziel beider Pareien is wiederum, den erwareen Endnuzen zu T zu maximieren. 15

20 2.1. Die Definiion der Vorbehalsprämien 16 Der VN muss dabei zu enscheiden, ob er das Risiko des Schadeneinries versichern lassen will. Enscheide er sich dagegen, muss er zu T für seinen kumulieren Schaden aus der Periode [0, T selbs aufkommen und demnach laue seine Werfunkion: (2.1) U(, w, y) = sup E [u(w (T ) Y (T )) W () = w, Y () = y. π( ) A(,w) Bei gleichem Sarkapial is dies auch die Werfunkion des VU, falls es sich enscheide, das Risiko ohne einen finanziellen Ausgleich zu übernehmen. In diesem Fall jedoch ha der VN sein Risiko abgereen, und seine Werfunkion is dann die aus Kapiel 1: (2.2) V (, w) = sup E [u(w (T )) W () = w. π( ) A(,w) Dem ensprich die Werfunkion des VU, falls es eine Versicherung des Risikos ablehn. Die Frage für das VU, wie niedrig ein Einmalbeirag P V U mindesens sein solle, um das Risiko zu übernehmen, und für den VN, wie hoch sein maximaler Beirag P V N bemessen sein solle, um den Verrag abzuschließen, führ auf die Definiion der Vorbehalsprämien. Sie leg diese Prämien derar fes, dass beide Pareien jeweils zwischen den beiden Alernaiven bezüglich des Risikos indifferen sind. Definiion 2.1. für den gil: (i) Die Vorbehalsprämie des VU is der Einmalbeirag P V U (, w, y), (2.3) V (, w) = U(, w + P V U (, w, y), y) für ein gegebenes Trippel (, w, y). (ii) Die Vorbehalsprämie des VN is der Einmalbeirag P V N (, w, y), für den gil: (2.4) V (, w P V N (, w, y)) = U(, w, y) für ein gegebenes Trippel (, w, y). Bemerkung 2.2. (i) Auch bei gleichem Sarkapial w der beiden Pareien müssen ihre Vorbehalsprämien wegen der Nich-Lineariä der Werfunkionen nich übereinsimmen.

21 2.1. Die Definiion der Vorbehalsprämien 17 (ii) Die Vorbehalsprämien hängen von der Risikoaversion und dem Sarkapial w ab. Erseres is dabei die Konsequenz aus der Wahl des Bewerungsansazes als Erwarungsnuzenansaz und daher auch nich zu vermeiden. Die Abhängigkei vom Sarkapial hingegen is hinfällig bei Wahl der Nuzenfunkion als Exponenialnuzenfunkion. Wie schon in Beispiel 1.10 lieg das daran, dass bei dieser speziellen Nuzenfunkion auch die Risikoaversion werunabhängig is.

22 2.2. Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes-Preis Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes- Preis Der Veranschaulichung der eingeführen Vorbehalsprämien soll nun ein Beispiel dienen. Beispiel 2.3. Anders als im vorangegangenen Abschni sei jez das Risiko aus dem zu bewerenden Verrag vollsändig mi dem risikobehafeen Werpapier korrelier. Dami wird der relevane Mark vollsändig und für den Wer Y (T ) der Auszahlung aus dem Verrag zu T kann Y (T ) = g(s(t )) für eine messbare Funkion g : R + R + angenommen werden. Das leg nahe, in (2.1) die Abhängigkei von y durch eine von S zu ersezen. Uner der Annahme einer werunabhängigen Vorbehalsprämie wird (2.3) dami zu: (2.5) V (, w) = U(, w + P V U (, S), S), für ein gegebenes Trippel (, w, S), und (2.4) laue: (2.6) V (, w P V N (, S)) = U(, w, S), für ein gegebenes Trippel (, w, S). Um daraus die Vorbehalsprämie P V N (, S) des VN herzuleien, berache man zunächs die HJB-Gleichung für U. Diese kann analog zum Abschni 1.2 heurisisch hergeleie werden. So gil auch hier mi der Iô-Formel für U C 1,2,2 ([0, T ) R R + ): U( + h, W ( + h), S( + h)) = U(, w, S) h +h +h U w (s, W (s), S(s)) dw (s) + +h +h U (s, W (s), S(s)) ds U S (s, W (s), S(s)) ds(s) { Uww (s, W (s), S(s))σ 2 π 2 (s) + U SS (s, W (s), S(s))σ 2 S 2 (s) } ds U ws (s, W (s), S(s))σ 2 π(s)s(s) ds, wobei wegen der sochasischen Differenialgleichungen (1.4) und (1.1): +h U w (s, W (s), S(s)) dw (s) = +h + +h U w (s, W (s), S(s))[rW (s) + (µ r)π(s) ds U w (s, W (s), S(s))σπ(s) db(s)

23 2.2. Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes-Preis 19 und +h U S (s, W (s), S(s)) ds(s) = +h + +h U S (s, W (s), S(s))S(s)µ ds U S (s, W (s), S(s))S(s)σ db(s) gelen. Da die Inegrale bezüglich db(s) Maringale sind und somi ihr Erwarungswer = 0 is, laue dann das Bellman-Prinzip (Lemma 1.6): U(, w, S) = sup E [U( + h, W ( + h), S( + h)) W () = w, S() = S π( ) A(,w) = sup E π( ) A(,w) [ U(, w, S) + +h {U (s, W (s), S(s)) + U w (s, W (s), S(s))[rW (s) + (µ r)π(s) + U S (s, W (s), S(s))S(s)µ + 1 [ Uww (s, W (s), S(s))σ 2 π 2 (s) + U SS (s, W (s), S(s))σ 2 S 2 (s) 2 + U ws (s, W (s), S(s))σ 2 π(s)s(s)} ds W () = w, S() = S. Nachdem man U(, w, S) auf beiden Seien subrahier und durch h geeil ha, ergib sich: 0 = 1 [ +h sup E {U (s, W (s), S(s)) h π( ) A(,w) + U w (s, W (s), S(s))[rW (s) + (µ r)π(s) + U S (s, W (s), S(s))S(s)µ + 1 [ Uww (s, W (s), S(s))σ 2 π 2 (s) + U SS (s, W (s), S(s))σ 2 S 2 (s) 2 + U ws (s, W (s), S(s))σ 2 π(s)s(s)} ds W () = w, S() = S, und für h 0+ die HJB-Gleichung für U: { 0 = U (, w, S) + sup (µ r)πu w (, w, S) + 1 } π R 2 σ2 π 2 U ww (, w, S) + σ 2 πsu ws (, w, S) } {{ } =( ) σ2 S 2 U SS (, w, S) + µsu S (, w, S) + rwu w (, w, S), u(w g(s)) = U(T, w, S). Analog zu Lemma 1.9 kann man zeigen, dass sich die Konkaviä der Nuzenfunkion u

24 2.2. Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes-Preis 20 auf die Werfunkion U überräg. Dami is das Supremum in ( ) ein wohldefinieres Maximum, und es wird analog zu (1.9) angenommen für: Dami gil: π (, w) = (µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S). σ 2 U ww (, w, S) ( ) = (µ r)u w (, w, S) [ (µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) σ 2 U ww (, w, S) + [(µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) 2 2σ 2 U ww (, w, S) [ + σ 2 SU ws (, w, S) (µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) σ 2 U ww (, w, S) = [(µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) 2 σ 2 U ww (, w, S) + [(µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) 2 2σ 2 U ww (, w, S) = [(µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) 2. 2σ 2 U ww (, w, S) Also laue die HJB-Gleichung für U: 0 = U (, w, S) [(µ r)u w(, w, S) + σ 2 SU ws (, w, S) 2 2σ 2 U ww (, w, S) (2.7) + µsu S (, w, S) + rwu w (, w, S), u(w g(s)) = U(T, w, S) σ2 S 2 U SS (, w, S) Wegen (2.6) gil aber: U (, w, S) = V (, w P V N (, S)) V w (, w P V N (, S))P V N (, S), U w (, w, S) = V w (, w P V N (, S)), U ww (, w, S) = V ww (, w P V N (, S)), U S (, w, S) = V w (, w P V N (, S))PS V N (, S), U SS (, w, S) = V ww (, w P V N (, S))(PS V N (, S)) 2 V w (, w P V N (, S))PSS V N (, S), U ws (, w, S) = V ww (, w P V N (, S))PS V N (, S).

25 2.2. Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes-Preis 21 Ersez man diese Terme in (2.7), so ergib sich: V (, w P V N (, S)) P V N (, S)V w (, w P V N (, S)) [ σ 2 SPS V N (, S)V ww (, w P V N (, S)) + (µ r)v w (, w P V N (, S)) 2 2σ 2 V ww (, w P V N (, S)) σ2 S [ 2 (PS V N (, S)) 2 V ww (, w P V N (, S)) PSS V N (, S)V w (, w P V N (, S)) [ V w (, w P V N (, S)) + µsv w (, w P V N (, S))P V N S (, S) + rwv w (, w P V N (, S)) = 0 P V N (, S) + rp V N (, S) 1 2 σ2 S 2 PSS V N (, S) rsps V N (, S) [ V (, w P V N (, S)) (µ r)2 V 2 w(, w P V N (, S)) 2σ 2 V ww (, w P V N (, S)) + r(w P V N (, S))V w (, w P V N (, S)) = 0. Dabei is der Term in der zweien Klammer der lezen Gleichung = 0, da V die HJB- Gleichung (1.11) lös. Somi muss die Vorbehalsprämie P V N rp V N (, S) = P V N (, S) σ2 S 2 PSS V N (, S) + rsps V N (, S), P V N (T, S) = g(s), die Differenialgleichung: also die Black-Scholes-Differenialgleichung, lösen. Analog erhäl man P V U, und beide Prämien sind gleich. Bemerkung 2.4. (i) Die Prämien hängen nich mehr von der Nuzenfunkion u ab. Dies und die Tasache, dass beide Prämien gleich sind, lieg an der Vollsändigkei des Markes. (ii) Da die Nuzenfunkion u in diesem Beispiel nich weier spezifizier worden is, wurde zunächs einfach angenommen, dass die Prämien nich mehr vom Wer w abhängen (vgl. Bemerkung 2.2, (ii)). Wegen der Vollsändigkei des Markes müssen aber die Black-Scholes-Preise auch die Vorbehalsprämien sein, da es sons

26 2.2. Die Vorbehalsprämien und der Black-Scholes-Preis 22 Arbirage-Möglichkeien geben würde. Und da die Black-Scholes-Preise auch werunabhängig sind, lieg es nahe, auch die Vorbehalsprämien von vornherein werunabhängig anzusezen.

27 Kapiel 3 Bewerung von Versicherungsverrägen In diesem Kapiel soll das nun erweiere Äquivalenznuzenprinzip auf verschiedene Versicherungsverräge angewende werden. Die Unersuchung wird in drei Abschnie geglieder sein, die sich in der Modellierung unerscheiden. Zunächs wird ein feser Enscheidungshorizon unersell, der zugleich den Fälligkeiszeipunk der Leisungen darsell. Da dieses Szenario bei Lebensversicherungsverrägen auf den Erlebensfall ausreich, bei Versicherungen auf den Todesfall aber nich der Realiä ensprich, werden in einem zweien Abschni die Leisungen sofor bei Einri des Schadensfalles fällig. Schließlich wird in einem drien Abschni das Modell dahingehend erweier, dass zusäzlich der Enscheidungshorizon randomisier wird. Ein solcher Horizon, der ewa durch den Tod des VN besimm sein kann, is für die Enscheidungsräger günsiger und erfüll eher die Anforderungen der Praxis. Bevor jedoch dami begonnen werden kann, sollen zunächs die versicherungsmahemaischen Grundlagen fesgehalen werden, die späer benöig werden. Die Ausführungen dazu sind [Zwiesler 2002 und [Bowers e al ennommen. 23

28 3.1. Die versicherungsmahemaischen Grundlagen Die versicherungsmahemaischen Grundlagen Das Aler X einer Person sei eine seige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeisraum ( Ω, G, Q) mi Vereilungsfunkion F und Diche f. Definiion 3.1. Seien x, 0. (i) Die Größe p x = Q(X > x + X > x) heiß -jährige Überlebenswahrscheinlichkei eines x-jährigen. (ii) Die Größe q x = Q(x < X x + X > x) heiß -jährige Serbewahrscheinlichkei eines x-jährigen. (iii) Die Funkion λ(x) = f(x) 1 F (x) heiß Serblichkeisinensiä eines x-jährigen. Bezeichnung. 1p x = p x, 1q x = q x. Lemma 3.2. Seien x, 0. Dann gil: (i) q x = 1 p x, (ii) p x = 1 F (x + ), q x = 1 F (x) F (x + ) F (x), 1 F (x) (iii) (iv) q x λ(x) = lim 0+, p x = exp { 0 } λ(x + s) ds. Definiion 3.3. Die Lebenserwarung eines x-jährigen is definier als die Zufallsvariable T (x) = X x uner der Bedingung X > x. Bemerkung 3.4. Die Diche f T (x) (s) von T (x) is gegeben durch f T (x) (s) = λ(x + s) s p x.

29 3.1. Die versicherungsmahemaischen Grundlagen 25 Definiion 3.5. Die Größe Āδ x = 0 e δs λ(x + s) s p x ds heiß der seige Leisungsbarwer einer Todesfallversicherung für einen x-jährigen mi Versicherungssumme 1 und Diskonierungszinsrae δ. Bemerkung 3.6. Mi der Poenzreihendarsellung der Exponenialfunkion gil näherungsweise: Ā δ x 1 δet (x), beziehungsweise Ā δ x 1 δet (x) + δ2 2 ET 2 (x).

30 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon Die Verräge mi feser Fälligkei der Leisungen bei fesem Enscheidungshorizon Zunächs werden solche Versicherungsverräge unersuch, bei denen die Versicherungsleisungen zu einem fes vereinbaren Zeipunk fällig sind. Der Enscheidungshorizon für VN und VU sei ebenfalls fes. Der Einfachhei halber wird in einer weieren Gliederungsebene mi Lebensversicherungsverrägen für einzelne Versicherungsnehmer begonnen. Bei dieser Ar von Verrägen handel es sich um ein saisches Risiko, da der Schadensfall im Versicherungszeiraum nur einmal aufreen kann und in diesem Fall die Versicherungssumme von Beginn an fesseh. Daher is also eine Modellierung einer kumulieren Schadenhöhe durch einen Prozess nich nöig. Danach werden ensprechende Verräge für mehrere Versicherungsnehmer berache, und schließlich führ die Unersuchung auf solche Beispiele, bei denen die Schadenhöhe ganz allgemein durch geeignee sochasische Prozesse modellier wird Risiko-Lebensversicherung für einen Versicherungsnehmer Zuers soll eine Risiko-Lebensversicherung für eine einzelne Person berache werden. Dieser Versicherungsnehmer sei dazu zum Zeipunk 0 x Jahre al, und der Versicherungsbeginn liege bei 0. Die Versicherungsdauer berage T und T sei der Fälligkeiszeipunk für die Versicherungsleisungen. Sirb der Versicherungsnehmer innerhalb von [, T, wird die vereinbare Versicherungssumme von 1 zu T fällig. Erleb er hingegen den Zeipunk T, komm es zu keiner Auszahlung. Der versichere Schadensfall kann in [, T nur einmal aufreen. Dami änder sich aber auch die Höhe der Versicherungssumme in dieser Zei nich. Ein Prozess für die kumuliere Schadenhöhe wie in Unerabschni 2.1 is dami hier und in den folgenden Beispielen für Lebensversicherungsverräge für einzelne Personen nich nöig. Relevan is lediglich zum Zeipunk T, ob der Schadensfall eingereen is oder nich. Mi Hilfe der Grundlagen

31 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 27 aus Abschni 3.1 sei dieses Ereignis daher modellier als eine Zufallsvariable Y T auf dem Wahrscheinlichkeisraum ( Ω, G, Q) mi 1, mi Wahrscheinlichkei T q x+, Y T = 0, mi Wahrscheinlichkei T p x+. Dami laue also die Werfunkion U in diesem Fall: U(, w) = sup E P Q [u(w (T ) Y T ) W () = w. π( ) A(,w) Dabei soll der Index P Q verdeulichen, dass der Erwarungswer bezüglich dieses Produkmaßes auszuweren is. Auf eine Abhängigkei der Werfunkion U von einem Anfangswer y kann hier verziche werden, denn wie oben bereis erwähn, änder sich die Höhe der Versicherungssumme bis zu T nich und ein Prozess für die kumuliere Schadenhöhe is nich nowendig. Allerdings änder sich die Vereilung von Y T im Laufe der Zei. Diese Veränderung wird jedoch durch den Erwarungswer bezüglich Q berücksichig. Für die Werfunkion U gil mi dem Bellman-Prinzip (Lemma 1.6): (3.1) U(, w) E P Q [U( + h, W ( + h)) W () = w h [0, T, π( ) A(, w). In dieser Zeiperiode [, + h sirb der Versicherungsnehmer mi Wahrscheinlichkei hq x+. Für diesen Fall is es für das Versicherungsunernehmen aber sicher, dass es zu T die Versicherungssumme in Höhe von 1 auszahlen muss. Zu + h muss es dafür also e r(t h) zurückhalen, ha dafür aber Gewisshei über den Wer von Y T. Dami is also die reche Seie in (3.1) mi Wahrscheinlichkei h q x+ : (3.2) E P [ V ( + h, W ( + h) e r(t h) ) W () = w π( ) A(, w). Mi Wahrscheinlichkei h p x+ erleb der Versicherungsnehmer aber den Zeipunk + h. Dann beseh für das Versicherungsunernehmen nach wie vor Ungewisshei über den Wer von Y T, es muss dafür aber auch noch nich die Versicherungsleisung für den Versicherungsfall bei seinem Porfolioproblem berücksichigen. Die reche Seie in (3.1) laue

32 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 28 dann mi Wahrscheinlichkei h p x+ : (3.3) E P [U( + h, W ( + h)) W () = w π( ) A(, w). Zusammen mi (3.2) gil also in (3.1): (3.4) U(, w) h p x+ E P [U( + h, W ( + h)) W () = w + h q x+ E P [ V ( + h, W ( + h) e r(t h) ) W () = w π( ) A(, w). Uner der Annahme U, V C 1,2 ([0, T ) R) können die Summanden auf der rechen Seie von (3.4) mi Hilfe der Iô-Formel umgeform werden. Für den ersen Summanden gil dann: E P [U( + h, W ( + h)) W () = w = U(, w) [ +h +h + E P U (s, W (s)) ds + U w (s, W (s)) dw (s) W () = w [ +h 1 + E P 2 U ww(s, W (s))π 2 (s)σ 2 ds W () = w = U(, w) [ +h + E P {U (s, W (s)) + [rw (s) + (µ r)π(s)u w (s, W (s))} ds W () = w [ +h 1 + E P 2 U ww(s, W (s))π 2 (s)σ 2 ds W () = w. Analoges kann man für den zweien Summanden zeigen. Mi diesen Umformungen ergib sich in (3.4) für alle π( ) A(, w): U(, w) h p x+ U(, w) + h q x+ V (, w e r(t ) ) [ +h + h p x+ E P {U (s, W (s)) + [rw (s) + (µ r)π(s)u w (s, W (s)) U ww(s, W (s))π 2 (s)σ 2 } ds W () = w [ +h + h q x+ E P {V (s, W (s) e r(t s) ) + [rw (s) + (µ r)π(s)v w (s, W (s) e r(t s) ) ds V ww(s, W (s) e r(t s) )π 2 (s)σ 2 } ds W () = w.

33 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 29 Subrahier man auf beiden Seien h p x+ U(, w) und eil durch h, so ergib sich: hq x+ h U(, w) h q x+ h V (, w e r(t ) ) +h [ 1 + h p x+ E P {U (s, W (s)) + [rw (s) + (µ r)π(s)u w (s, W (s)) h U ww(s, W (s))π 2 (s)σ 2 } ds W () = w + h q x+ E P [ 1 h +h {V (s, W (s) e r(t s) ) + [rw (s) + (µ r)π(s)v w (s, W (s) e r(t s) ) ds V ww(s, W (s) e r(t s) )π 2 (s)σ 2 } ds W () = w, und für h 0+ is der Wer von W () bekann und es gil: λ(x + )U(, w) λ(x + )V (, w e r(t ) ) + U (, w) + [rw + (µ r)πu w (, w) + σ2 π 2 2 U ww(, w). Dabei gil ebenfalls mi dem Bellman-Prinzip (Lemma 1.6) Gleichhei, wenn das Supremum über alle zulässigen Porfolioprozesse genommen wird. Im Sarzeipunk is es also das Supremum über alle zulässigen Anfangsinvesiionen in das risikobehafee Werpapier, und zusammen mi der Endbedingung gil die HJB-Gleichung: (3.5) } 0 = U (, w) + sup {(µ r)πu w (, w) + σ2 π 2 π R 2 U ww(, w) + rwu w (, w) + λ(x + )[V (, w e r(t ) ) U(, w), u(w) = U(T, w). Wegen der Konkaviä von U is das Supremum ein wohldefinieres Maximum. Es wird analog zu (1.9) erreich bei π (, w) = (µ r)u w(, w), σ 2 U ww (, w)

34 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 30 und der opimale Porfolioprozess ha mi dem Verifikaionsheorem (Saz 1.7) folgende Gesal: π (s, W (s)) = (µ r)u w(s, W (s)), s T, σ 2 U ww (s, W (s)) wobei W (s) zusammen mi π (s) die Lösung von (1.4) is. Dami laue (3.5): (3.6) 0 = U (, w) (µ r)2 U 2 w(, w) 2σ 2 U ww (, w) u(w) = U(T, w). + rwu w (, w), + λ(x + )[V (, w e r(t ) ) U(, w), Beispiel 3.7. Uner den Voraussezungen dieses Unerabschnies sollen nun die Vorbehalsprämien berechne werden. Sei wieder u(w) = 1 α e αw, α > 0, eine Exponenialnuzenfunkion. Zur Lösung der HJB-Gleichung sei angenommen, dass die Werfunkion U von der Gesal U(, w) = V (, w)φ() is, wobei V (, w) die Werfunkion aus Beispiel 1.10 sei. Dann laue die HJB-Gleichung (3.6): (3.7) 0 = V (, w)φ() + V (, w)φ () + λ(x + )[V (, w e r(t ) ) V (, w)φ() (µ r)2 Vw(, 2 w) φ() + rwv 2σ 2 w (, w)φ() V ww (, w) u(w) = V (T, w)φ(t ). Da V (, w) ihrerseis die HJB-Gleichung (1.11) erfüll, fallen aus der ersen Gleichung in (3.7) der erse, viere und leze Summand heraus. Außerdem gil: V (, w e r(t ) ) = 1 { } α exp α(w e r(t ) )e r(t ) (µ r)2 (T ) 2σ 2 = V (, w)e α.

35 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 31 Dami laue (3.7): 0 = V (, w)φ () + λ(x + )[V (, w)e α V (, w)φ(), u(w) = V (T, w)φ(t ). Wegen V (T, w) = u(w) gil also für φ() die lineare Differenialgleichung 1. Ordnung: mi der Lösung: 0 = φ () + λ(x + ) [e α φ(), 1 = φ(t ) { T } φ() = exp λ(x + s) ds ( T { T + λ(x + s)e α exp s { T } T = exp λ(x + s) ds + e α { T } ( = exp λ(x + s) ds + e α exp wobei M YT } ) { T λ(x + u) du ds exp { λ(x + s) exp = T p x+ + e α T q x+ wegen Lemma 3.2, (iv) = E Q [ e αy T = MYT (α), s { T λ(x + s) ds } λ(x + s) ds } λ(x + u) du ds } ) + 1 die Momenerzeugende-Funkion von Y T is. Die Vorbehalsprämien ergeben sich jez aus Definiion 2.1. So gil für die Vorbehalsprämie P V N des VN: V (, w P V N (, w)) = V (, w)m YT (α) exp { α(w P V N (, w))e r(t )} = exp { αwe r(t )} M YT (α) exp { αp V N (, w)e r(t )} = M YT (α) P V N (, w) = e r(t ) α ln M YT (α), und analog für die des VU: V (, w) = V (, w + P V U (, w))m YT (α) exp { αwe r(t )} = exp { α(w + P V U (, w))e r(t )} M YT (α) 1 = exp { αp V U (, w)e r(t )} M YT (α)

36 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 32 ) e r(t 1 ln α M YT (α) = P V U (, w) r(t ) e ln M YT (α) = P V U (, w). α Bemerkung 3.8. (i) Die Prämien seigen bei seigender absoluer Risikoaversion gemessen in α, denn für die Ableiung von f(α) := ln(p + eα q) mi p := T p x+ und α q := T q x+ gil: f (α) = 1 ( ) α qeα α 2 p + qe ln (p + α qeα ) =: f 1(α) f 2 (α). α 2 Wegen f 1 (0) = f 2 (0) = 0 und f 1(α) f 2(α) = (1 + α)pqeα + q 2 e 2α (p + qe α ) 2 qeα p + qe α = αpqeα (p + qe α ) 2 > 0 α > 0 is also f (α) 0 α 0 und daher f monoon wachsend. Außerdem gil: r(t ) r(t ) e e lim ln M YT (α) = lim ln ( T p x+ + e α T q x+ ) α 0+ α α 0+ α = lim α 0+ e r(t ) e = e r(t ) T q x+, also der Leisungsbarwer und dami die Neo-Prämie. α T q x+ T p x+ + e α T q x+ (ii) Bei gleicher absoluer Risikoaversion von VN und VU sind die Prämien gleich. Nimm man eine höhere Risikoaversion des Versicherungsnehmers an, so gil wegen (i): P V U (, w) < P V N (, w). (iii) Die Prämien sind unabhängig vom risikobehafeen Werpapier.

37 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon Risiko-Lebensversicherung für mehrere Versicherungsnehmer In diesem Unerabschni wird eine Gruppe von n x-jährigen Versicherungsnehmern berache. Diese Gruppe wird dabei als Kollekiv behandel, das heiß, das VU enscheide, ob es enweder alle oder keinen der VN versicher, und die Versicherungsnehmer reffen ihre Enscheidung ebenfalls gemeinsam. Der Versicherungsbeginn sei wieder 0, und der Fälligkeiszeipunk der Versicherungsleisungen liege bei T. Für jeden Versicherungsnehmer, der bis zum Zeipunk T versirb, muss das VU wiederum die Versicherungssumme der Höhe 1 zum Zeipunk T zahlen. Bezeichne {Y (s), s [, T } die Anzahl der VN, die bis s versorben sind, so ensprich Y (T ) der Summe der Versicherungsleisungen, die das VU zu T auszuzahlen ha. Y (T ) is dabei eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeisraum ( Ω, G, Q), für die jez uner der Annahme idenischer und unabhängiger Serbewahrscheinlichkeien gil: Y (T ) Bin(n Y (), T q x+ ), wobei Bin(, ) die Vereilungsfunkion der Binomialvereilung sei. Für die Werfunkion U(, w, y) des VU, das alle n VN versicher ha, gil jez: U(, w, y) = sup E P Q [u(w (T ) Y (T )) W () = w, Y () = y. π( ) A(,w) Zur Herleiung einer HJB-Gleichung für U seien die möglichen Were für y unerschieden. Gil y = n, so muss das VU mi Sicherhei zu T n-mal die Versicherungssumme auszahlen. Dafür sell es zu den abdiskonieren Wer, also ne r(t ) zurück. Für den Res der Periode bis T beseh aber dami keine Ungewisshei mehr über den Wer von Y (T ), und die Werfunkion laue in diesem Fall: (3.8) U(, w, n) = V (, w ne r(t ) ). Für y {0,..., n 1} sei zunächs wieder das Bellman-Prinzip (Lemma 1.6) auf U

38 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 34 angewand: (3.9) U(, w, y) E P Q [U( + h, W ( + h), Y ( + h)) W () = w, Y () = y h [0, T, π( ) A(, w). Wegen der seigen Vereilung der Zufallsvariable, die das Aler einer Person angib, is die Wahrscheinlichkei, dass mehrere Versicherungsnehmer zur selben Zei verserben, = 0. Daher sei im Bellman-Prinzip das h so klein gewähl, dass in [, + h höchsens ein Versicherungsnehmer versirb. Dami nimm Y ( + h) zu + h mi Wahrscheinlichkei ( h p x+ ) n y den Wer y und mi Wahrscheinlichkei ( ) n y 1 hq x+ ( h p x+ ) n y 1 den Wer y + 1 an. Analog zu (3.4) gil somi in (3.9): U(, w, y) ( h p x+ ) n y E P [U( + h, W ( + h), y) W () = w, Y () = y + (n y) h q x+ ( h p x+ ) n y 1 E P [U( + h, W ( + h), y + 1) W () = w, Y () = y π( ) A(, w). Mi den gleichen Rechenschrien wie im Unerabschni und der Überlegung für den Fall y = n gelang man schließlich zu einer rekursiven HJB-Gleichung: V (, w ne r(t ) ) = U(, w, n); (3.10) Für y = 0, 1,..., n 1 : 0 = U (, w, y) + rwu w (, w, y) (µ r)2 Uw(, 2 w, y) 2σ 2 U ww (, w, y) + (n y)λ(x + )[U(, w, y + 1) U(, w, y), u(w y) = U(T, w, y). Bemerkung 3.9. Für y = 0 und n = 1 ensprich das Szenario aus diesem Unerabschni dem des Vorangegangenen. In diesem Fall simmen auch die HJB-Gleichungen (3.10) und (3.6) überein.

39 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 35 Beispiel Sei auch hier u(w) = 1 α e αw, α > 0, die Exponenialnuzenfunkion. Wegen Bemerkung 3.9 lieg ein analoger Ansaz zu dem aus Beispiel 3.7 nahe. Für y = 0, n = 1 muss demnach gelen: U(, w, 0) = V (, w)φ(), mi φ() = T p x+ + e α T q x+ und V (, w) aus Beispiel Einsezen und Nachrechnen zeig, dass U(, w, y) = V (, w)e αy φ() n y die rekursive HJB-Gleichung (3.10) lös. Dami können die Vorbehalsprämien besimm werden. Wegen der Berachung der n Versicherungsnehmer als Kollekiv sehen sie für die kumulieren Prämien, nich für die eines einzelnen VN. Für P V N gil: V (, w P V N (, w, y)) = V (, w)e αy φ() n y exp { αp V N (, w, y)e r(t )} = e αy φ() n y P V N (, w, y) = ye r(t ) + n y α e r(t ) ln φ(), und analog für P V U : V (, w) = V (, w + P V U (, w, y))e αy φ() n y 1 = exp { αp V N (, w, y)e r(t )} e αy φ() n y P V U (, w, y) = ye r(t ) + n y α e r(t ) ln φ(). Bemerkung Die Prämien sezen sich zusammen aus den abdiskonieren Versicherungsleisungen der y VN, die zu bereis versorben sind, und einer Risikoprämie für die verbliebenen n y VN. Dieser Risikoaneil ensprich dabei der Prämie für einen einzelnen VN aus Unerabschni

40 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon Reine-Erlebensfallversicherung für einen Versicherungsnehmer Die Reine-Erlebensfallversicherung für die Periode [, T is das Gegensück zur Risiko- Lebensversicherung aus Unerabschni Bei ihr muss das VU die Versicherungssumme in Höhe von 1 zu T auszahlen, falls der VN den Zeipunk T erleb. Versirb der VN hingegen bis dahin, wird keine Auszahlung fällig. Die Höhe der Versicherungsleisung zu T sei auch hier als Zufallsvariable auf ( Ω, G, Q) mi: 1, mi Wahrscheinlichkei T p x+ Y T = 0, mi Wahrscheinlichkei T q x+. modellier. Die Werfunkion U(, w) = sup E P Q [u(w (T ) Y T ) W () = w π( ) A(,w) kann dann auch hier mi dem Bellman-Prinzip (Lemma 1.6) abgeschäz werden: (3.11) U(, w) E P Q [U( + h, W ( + h)) W () = w h [0, T, π( ) A(, w). Sirb der VN in dieser Periode [, + h, is Y T = 0 und die Werfunkion zu + h dami: U( + h, W ( + h)) = V ( + h, W ( + h)). Erleb der VN aber den Zeipunk + h, so bleib die Unsicherhei über den Wer von Y T erhalen. Dami wird (3.11) zu: U(, w) h p x+ E P [U( + h, W ( + h)) W () = w + h q x+ E P [V ( + h, W ( + h)) W () = w π( ) A(, w). Analoges Vorgehen zum Unerabschni führ schließlich auf die HJB-Gleichung: 0 = U (, w) (µ r)2 Uw(, 2 w) + rwu 2σ 2 w (, w) U ww (, w) (3.12) + λ(x + )[V (, w) U(, w), u(w 1) = U(T, w), wobei die Endbedingung ensprechend angepass is.

41 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 37 Beispiel Gegeben sei die Exponenialnuzenfunkion u(w) = 1 α e αw, α > 0. Für die Werfunkion U sei angenommen: U(, w) = V (, w)η(), mi V (, w) aus Beispiel Ersez man diesen Ansaz in der HJB-Gleichung (3.12), so folg: 0 = V (, w)η() + V (, w)η () + λ(x + )[V (, w) V (, w)η() (µ r)2 Vw(, 2 w) η() + rwv 2σ 2 w (, w)η(), V ww (, w) u(w 1) = V (T, w)η(t ). Da V die HJB-Gleichung (1.11) lös, gil: ( η() V (, w) (µ ) r)2 Vw(, 2 w) + rwv 2σ 2 w (, w) = 0. V ww (, w) Daher muss η() folgende lineare Differenialgleichung 1. Ordnung lösen: Deren Lösung is gegeben durch: η() = 0 = η () + λ(x + ) (1 η()), e α = η(t ). ( T { T e α + λ(x + s) exp s = e α T p x+ + T λ(x + s) exp } ) { T λ(x + u) du ds exp { s } λ(x + u) du ds = e α T p x+ T p x+ + 1 = e α T p x+ + T q x+ = E Q [ e αy T = MYT (α), } λ(x + s) ds wobei M YT die Momenerzeugende-Funkion von Y T is. Für die Vorbehalsprämien gil dami analog zu Beispiel 3.7: P V N (, w) = P V U (, w) = e r(t ) α ln M YT (α).

42 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon 38 Bemerkung (i) Es gil ensprechend der Bemerkung 3.8: Die Prämien seigen bei seigender Risikoaversion α, sind unabhängig vom risikobehafeen Werpapier r(t ) und es gil: lim e α 0+ α ln M YT (α) = e r(t ) T p x+, also der Leisungsbarwer oder die Neoprämie. (ii) Der Abschluss einer Risiko-Lebensversicherung aus Beispiel 3.7 zusammen mi einer Reinen-Erlebensfallversicherung aus diesem Beispiel garanier dem VN eine sichere Auszahlung von 1 zum Zeipunk T. Für die Summe der beiden Prämien, die der VN dafür zu enrichen ha, gil aber: r(t ) e [ln ( T p x+ + e α T q x+ ) + ln(e α T p x+ + T q x+ ) α = = e r(t ) α e r(t ) α [ln ( T p x+ + e α T q x+ )(e α T p x+ + T q x+ ) [ ln e α ( T p x+ T q x+ e α + T p 2 x+ + T q 2 x+ + T p x+ T q x+ e α ) = e r(t ) [ α ln ( (e α + e α ) T p x+ T q x T p x+ T q x+ ) = e r(t ) [ α ln ( 1 + (e α 2 e α 2 ) 2 T p x+ T q x+ ) > e r(t ). Die Summe der Prämien is also größer als der abdiskoniere Wer der sicheren Auszahlung. Darin drück sich die Unvollsändigkei des Markes aus.

43 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon Schadenhöhe als Diffusionsprozess In diesem Unerabschni sei die kumuliere Schadenhöhe bis zum Zeipunk s [, T Y (s) modellier als Diffusionsprozess: dy (s) = θ(s, Y (s)) ds + ζ(s, Y (s)) d B(s), s T, (3.13) Y () = y 0. Dabei sei { B(s), s [, T } eine Brownsche Bewegung unabhängig von B aus (1.1). Dami (3.13) eine eindeuige Lösung besiz, sollen θ(, y) und ζ(, y) die folgenden Bedingungen erfüllen für ein K > 0: θ(, y) θ(, x) + ζ(, y) ζ(, x) K y x, θ(, y) 2 + ζ(, y) 2 K(1 + y) 2. Mi dem Bellman-Prinzip (Lemma 1.6) gil dann zunächs für die Werfunkion U: U(, w, y) E [U( + h, W ( + h), Y ( + h)) W () = w, Y () = y h [0, T, π( ) A(, w). Und für U C 1,2 ([0, T ) R 2 ) ergib sich für die reche Seie mi der Iô-Formel: E [U( + h, W ( + h), Y ( + h)) W () = w, Y () = y = U(, w, y) + E + + [ +h +h +h = U(, w, y) + E + + U (s, W (s), Y (s)) ds + U y (s, W (s), Y (s)) dy (s) +h U w (s, W (s), Y (s)) dw (s) 1 { Uww (s, W (s), Y (s))π 2 (s)σ U yy (s, W (s), Y (s))ζ 2 (s, Y (s)) } ds W () = w, Y () = y +h +h [ +h U (s, W (s), Y (s)) ds U w (s, W (s), Y (s))[rw (s) + (µ r)π(s) ds U y (s, W (s), Y (s))θ(s, Y (s)) ds

44 3.2. Fese Fälligkei bei fesem Enscheidungshorizon h 1 { Uww (s, W (s), Y (s))π 2 (s)σ U yy (s, W (s), Y (s))ζ 2 (s, Y (s)) } ds W () = w, Y () = y. Analoges Vorgehen zu den vorherigen Unerabschnien führ dann auf die HJB- Gleichung: (3.14) 0 = U (, w, y) (µ r)2 U 2 w(, w, y) 2σ 2 U ww (, w, y) + rwu w (, w, y), u(w y) = U(T, w, y). + θ(, y)u y (, w, y) ζ2 (, y)u yy (, w, y) Beispiel Sei u(w) = 1 α e αw, α > 0, die Exponenialnuzenfunkion. Sei außerdem angenommen, dass die Koeffizienen θ und ζ des Diffusionsprozesses unabhängig von y sind, und die Werfunkion von der Form: U(, w, y) = V (, w) exp{αy + ψ()} mi V (, w) aus Beispiel 1.10 is. Einsezen dieses Ansazes in die HJB-Gleichung (3.14) führ auf die lineare Differenialgleichung 1. Ordnung für ψ: 0 = ψ () + αθ() α2 ζ 2 (), 0 = ψ(t ). Diese Gleichung ha die Lösung: ψ() = T und dami laue die Werfunkion U: ( αθ(s) + 1 ) 2 α2 ζ 2 (s) ds, { T ( U(, w, y) = V (, w) exp αy + αθ(s) + 1 ) } 2 α2 ζ 2 (s) ds.