5 Versicherung auf mehrere Leben

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1 Versicherung auf mehrere Leben 59 5 Versicherung auf mehrere Leben Zie: nassen der bekannen ehoden, um Lebensversicherungen auf zwei oder mehrere Leben kakuieren zu können. Beisiee: Renenversicherung auf Versicherungsnehmer und Ehearner Risikoebensversicheurng auf den ersen Tod eines Ehearners In dieser Voresung nur der Fa der Versicherung auf zwei Leben. gemeiner Fa ss sich davon abeien. 5. usscheideordnung und Kommuaionswere nsaz: ie Ereignisse Person übereb Jahre und Person übereb Jahre sind sochasisch unabhngig: avon abgeeiee Wahrscheinichkeien: Wahrscheinichkei, dass in Jahren mindesens eine Person sirb: q Wahrscheinichkei, dass in Jahren beide Personen serben (Ereignisse sind sochasisch unabhngig): q q q Wahrscheinichkei, dass in Jahren noch mindesens eine Person eb: q ( ) ( ) + Wahrscheinichkei, dass in Jahren noch genau eine Person eb: q + Wahrscheinichkei, dass der erse des Paares im Jahr sirb: q + r. Schier, WS 004/05

2 Versicherung auf mehrere Leben 60 Kommuaionswere: N S (+ ) min{ ω ; ω } +,+ 0 min{ ω ; ω } N +,+ 0 d +,+ C R d (+ ) + min{ ω ; ω } C +,+ 0 min{ ω ; ω } +,+ 0 Zah der ebenden Paare diskoniere Zah der ebenden Paare Summe der diskonieren Zah der ebenden Paare doe aufsummiere diskoniere Zah der ebenden Paare Zah der Toen in Paaren diskoniere Zah der Toen in Paaren Summe der diskonieren Zah der Toen in Paaren doe aufsummiere diskoniere Zah der Toen in Paaren nmerkung: Wenn nich ganzzahige Eonenen beim iskonsaz vermieden werden soen kann ansa ( + ) auch ma{;} verwende werden. Zusammenhang Wahrscheinichkeien usscheideordnung: q + + +,+ +,+ + +, d +,+ r. Schier, WS 004/05

3 Versicherung auf mehrere Leben 6 5. Leisungsbarwere ischer Versicherungen Vorschüssig zahbare ebensange verbundene Leibrene auf zwei Leben: en beiden versicheren Personen wird ab bschuss der Versicherung so ange bis der/die erse sirb eine vorschüssige Rene der Höhe ausgezah. N min{ ω ; ω } min{ ω ; ω } +,+ 0 0 Vorschüssig zahbare auf n Jahre abgekürze verbundene Leibrene auf zwei Leben: en beiden versicheren Personen wird ab bschuss der Versicherung so ange bis der/die erse sirb, aber maima n Jahre, eine vorschüssige Rene der Höhe ausgezah. n n +,+ :n 0 0 N N + n, + n Vorschüssig zahbare ebensange verbundene Leibrene auf das eze Leben eines Personenaares: en versicheren Personen wird ab bschuss der Versicherung so ange noch einer der beiden eb eine vorschüssige Rene der Höhe ausgezah. ma{ ω ; ω } ma{ ω ; ω } ( ) + So nach dem ersen Tod ansa nur noch 0 < r < an Rene gezah werden, dann nder sich der Barwer in (r) ma{ ω ; ω } 0 ma{ ω ; ω } r ( 0 + ( ( ) + ( r) ) r ) r. Schier, WS 004/05

4 Versicherung auf mehrere Leben 6 Risikoversicherung auf zwei verbundene Leben mi n Jahren Laufzei: Zum ersen Tod der versicheren Personen und nach bschuss in den kommenden n Jahren wird eine Todesfaeisung in Höhe von ausbezah. n C n n + +,+ q n, + n Kaiaebensversicherung oder gemische Versicherung auf zwei verbundene Leben: Zum ersen Tod der versicheren Personen und nach bschuss in den kommenden n Jahren wird eine Todesfaeisung in Höhe von ausbezah. Ereben beide versichere Personen das Versicherungsende, dann wird eine Erebensfaeisung von fig. :n + n, + n + + n, + n Einseiige Todesfaversicherung: Bei Tod des Versicheren vor dem Versicheren wird eine Todesfaeisung in Höhe von ausbezah. min{ ω ; ω } 0 min{ ω ; ω } 0 ( + q + ++ ) + + min{ ω ; ω } + 0 v d + v + +, Beiragsbarwere Je nach Vereinbarung mi Versicherungsnehmer is fogendes mögich: oder, wenn Beirge gezah werden, so ange bzw. eb : :, wenn Beirge gezah werden so ange beide eben :, wenn Beirge gezah werden so ange mindesen einer eb : r. Schier, WS 004/05

5 Versicherung auf mehrere Leben Vereinfache arseung Probem: Um die Serbeafen oder Kommuaionswere in der EV abzuegen benöig man ansa Größenordnung 00 jez bei Versicherungen auf zwei Leben Einrge. i der nzah der verbundenen Leben wchs der Seicherbedarf eonenie an. Lösung: Versuche durch geeignee roimaion der Serbeafe durch ein Serbegesez von einem Paar (,) auf ein mieres er zu kommen. ann ießen sich die Barwere für zwei versichere Personen durch die bereis bekannen mi nur einer versicheren Person annhern. er nsaz iefer aber nur gue Nherungen, wenn beide Personen der seben usscheideordnung angehören, aso z.b. nich bei unerschiedichem Geschech. Gehören die versicheren Personen zu unerschiedichen usscheideordnungen, dann muss bei der Nherung zuszich mi ersverschiebungen hnich der Rueff schen bei Renen gearbeie werden. roimaion durch Gomerz-akeham: Für geeignee k, s, g, c > 0 gi für einen großen ersbereich von ewa {30, 3,, 69, 70} as gue Nherung c k s g. araus fog + + c c (c + c )(c ) s g und s g. Zur Berechnung des mieren ers sez man an, dass ( ) s g c (c ) c c + c oder c + s g (c + c )(c ) und dami og ( (c c )) geeigne auf eine naüriche Zah gerunde. r. Schier, WS 004/05