Finanz- und Risikomanagement. Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring

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1 Finanz- und Risikomanagemen 1

2 Vorlesungsinhale 1. Basisgüer und Grundbegriffe - Eineilung nach Ar der Basisgüer - Eineilung nach Börsen- oder OTC-Handel - Eineilung in Spo-Geschäfe oder Termingeschäfe 2. Einfache Terminkonrake (Forward, Fuure, europäische Opion) - Forward - Fuure - Margin bei Börsengeschäfen - Europäische Opionen - Opionen - Arbirage (No-Arbirage Prinzip) 3. Ein einfaches Markmodell (oder das Ein-Perioden Modell) - Berechnung der Opionsprämie im einfachen Markmodell (Duplizierendes Porfolio, ) - Berechnung des Forward-Preises im einfachen Markmodell - Random Walk-Theorie oder der Kursverlauf von Akien - logarihmische Rendie und einfache Rendie - Das Black-Scholes Modell für die logarihmische Rendie - Simulaion eines Akienkursverlaufes 4. Das Binomial Modell 5. Eigenschafen von Akienopionen 6. Die Black-Scholes-Formel und Sensiiviäen 7. Sraegien mi Opionen 2

3 Kapiel 1: Basisgüer Basisgüer auf Finanzmärken eineilen in Akien (z.b. Akie auf Daimler, BASF, ) oder Akienindizes (z.b. DAX, TecDAX, EURSTOXX50, ) Anleihen (z.b. Bundeswerpapiere, Länderanleihen, Indusrieanleihen, ) Devisen (z.b. EUR gegen USD, USD gegen GBP, ) Waren (z.b. Sahl, Schweinebäuchen, Gereide, Rohsoffe, ) 3

4 Kapiel 1: Börsen/OTC-Handel Finanzgeschäfe kann man je nachdem wo die Produke gehandel werden eineilen in Börsengeschäfe Börse is ein organisierer Mark für Akien, Anleihen, Devisen oder Waren. An der Börse werden für alle gehandelen Produke ein Kaufkurs ( Geldkurs ) und ein Verkaufskurs ( Briefkurs ) angegeben. Treffen sich Geld- und Briefkurs, so komm ein Geschäf zusande. Die Produke an der Börse sind sandardisier. - Parkebörse - Elekronische Börse OTC-Geschäfe (OTC = Over The Couner = über den Tresen ): Individuell abgesprochene Transakionen zwischen zwei Finanzmark- Teilnehmern. 4

5 Kapiel 1: Parkebörse (I) 5

6 Kapiel 1: Parkebörse (II) 6

7 Kapiel 1: Parkebörse (II) 7

8 Kapiel 1: Elekronische Börse 8

9 Kapiel 1: Spogeschäf/Termingeschäf Finanzgeschäfe kann man je nachdem, ob Basisgüer oder in die Zukunf reichende Konrake (z.b. Opionen oder Fuures) gehandel werden, eineilen in Spo-Geschäfe: Ausausch Basisgüer gegen Geld zum akuellen Zeipunk Termingeschäf: Beim Termingeschäf liegen Verragsabschluß und Verragserfüllung zeilich auseinander. 9

10 Kapiel 2: Forward (I) Ein Forward is ein Verrag zwischen zwei Pareien, ein besimmes Basisgu (z.b. Akie, eine Währung, eine Ware) zu einem zukünfigen Zeipunk T zu einem jez schon fesgelegen Preis K zu kaufen bzw. zu verkaufen. Derjenige Konrahen, der die Akie zum Zeipunk T verkauf, ha eine shor Posiion inne (shor forward conrac). Derjenige Konrahen, der die Akie zum Zeipunk T kauf, ha eine long Posiion inne (long forward conrac). Ein Forward Konrak is immer ein OTC-Konrak, d.h. Laufzei und Verkaufspreis können individuell zwischen den beiden Verragsparnern ausgehandel werden. 10

11 Kapiel 2: Forward (II) Aufgabe 3 Ein Invesor geh eine shor forward posiion in einem Devisen-Forward ein. Darin verpfliche er sich GBP gegen USD zu einem Wechselkurs von 1,5 USD pro GBP zu verkaufen. Welchen Gewinn oder Verlus mach er, wenn am Ende der Laufzei der Wechselkurs bei a) 1,49 USD pro GBP seh. b) 1,52 USD pro GBP seh. 11

12 Kapiel 2: Fuure Im Unerschied zum Forward is ein Fuure aber sandardisier, d.h nur besimme - Basisgüer, - Laufzeien - Verkaufspreise Fuure wird nur an einer Börse gehandel. Schon während der Laufzei eines Fuures muss zu fesgesezen Zeipunken Geld (Margin) an die Börse für unrealisiere Verluse bezahl werden. 12

13 Kapiel 2: Marginzahlung bei Börsen-Termingeschäfen Margin (engl.: "Spanne") bezeichne eine Sicherheisleisung, die bei börsengehandelen Termingeschäfen wie Fuures oder Opionen durch die jeweilige Börse vom einzelnen Handelseilnehmer verlang wird. Der Sinn der Margin beseh darin, sicherzusellen, dass der Inhaber einer Kauf- oder Verkaufsposion (Long oder Shor) seiner Verpflichung auch dann nachkommen wird, wenn der Kursverlauf für ihn ungünsig is. Iniial Margin (engl. Einschuss-Spanne ): Wird bei Abschluss des Geschäfs fällig. Addiional Margin (engl. Nachschuss-Margin ): Kann jederzei miels eines "Margin Call" abgerufen werden, wenn sich das Geschäf für den Invesor negaiv enwickel. 13

14 Kapiel 2: europäische Opion Eine Opion is ein Verrag zwischen zwei Pareien. Der Käufer einer Opion erwirb das Rech (aber nich die Plich!) ein besimmes Basisgu das Underlying in einer vereinbaren Menge der Konrakgröße zu einem fesgelegen Preis dem Srike Preis zu einem fesgeleg Zeipunk dem Ausübungsermin zu kaufen (Call-Opion) oder zu verkaufen (Pu-Opion). 14

15 Kapiel 2: europäische Opion Call Opion Call-Opion: Underlying (z.b. Akien), Konrakgröße M, Srike-Preis K, Laufzei T =0 Opionskäufer Opionsprämie (Geld) Opionsverkäufer Akienkurs Akienkurs K K = T T T Ausübung keine Ausübung M Akien Opionskäufer Opionsverkäufer Opionskäufer Opionsverkäufer Srike*M (Geld) 15

16 Kapiel 2: europäische Opion Pu Opion Pu-Opion: Underlying (z.b. Akien), Konrakgröße M, Srike-Preis K, Laufzei T =0 Opionskäufer Opionsprämie (Geld) Opionsverkäufer Akienkurs Akienkurs K K = T T T Keine Ausübung Ausübung M Akien Opionskäufer Opionsverkäufer Opionskäufer Opionsverkäufer Srike*M (Geld) 16

17 Kapiel 2: Opionen Bemerkungen Beim Opionshandel gib es vier Aren von Markeilnehmern: Käufer einer Call-Opion Verkäufer einer Call-Opion Käufer einer Pu-Opion Verkäufer einer Pu-Opion Der Käufer einer Opion ha nur ein Rech aber keine Pflich (im Gegensaz zum Käufer eines Fuures oder Forwards) Opionen werden sowohl an Börsen als auch OTC gehandel. Bei Börsen gehandelen Opionen gib es nur besimme (von der jeweiligen Börse fesgelege Underlyings, Laufzeien Srike-Preise) Neben den europäischen Opionen gib es auch amerikanische Opionen: Amerikanische Opionen können nich nur am Ende ihrer Laufzei ausgeüb werden, sondern jederzei während ihrer Laufzei Bermuda Opionen: Bermuda Opionen haben nich nur einen Ausübungsermin, sondern können an mehreren Terminen ausgeüb werden. 17

18 Kapiel 2: Opionen Akuelles Beispiel (Opionen auf Hypo-Real Esae Akien am ) Derzeiiger Preis der Akie beräg an der Börse XETRA: 4,83 EUR Auszug aus den akuellen Angaben an der Terminbörse EUREX Name des Underlyings Laufzei der Opion Konrakar Gehandele Konrake Pu-/Call-Raio Hypo Real Esae Ok 08 Call 6 64,16 Hypo Real Esae Ok 08 Pu 385 Hypo Real Esae Nov 08 Call 0 unendlich Hypo Real Esae Nov 08 Pu 180 Hypo Real Esae Dez 08 Call 4 109,5 Hypo Real Esae Dez 08 Pu 438 Pu-/Call Raio: Verhälnis zwischen Verkaufs- und Kaufopionen an der jeweiligen Börse. Die Pu-/Call-Raio is ein Indikaor für die Marksimmung und lieg in der Regel bei knapp uner 1. 18

19 Kapiel 2: Opionen Aufgabe 4 Ein Spekulan sez darauf, dass der Kurs der Amazon-Akie in den nächsen 2 Monaen anseigen wird. Er ha 2000 USD in bar zur Verfügung. Er überleg sich enweder eine Call-Opion auf Amazon zu kaufen oder die Amazon-Akien direk zu kaufen. Der Akienkurs der Amazon-Akie beräg derzei 20 USD. Eine Call-Opion auf Amazon mi einem Srike von 22,5 USD wird an der Börse derzei für 1 USD angeboen Der Spekulan ha also 2 Alernaiven: 1. Alernaive: Kauf von 100 Amazon Akien 2. Alernaive: Kauf von 2000 Call-Opionen auf Amazon Welchen Gewinn oder Verlus mach der Spekulan, wenn sich der Akienkurs von Amazon in 2 Monaen auf a) 27 USD erhöh? b) 15 USD fäll? 19

20 Kapiel 2: Arbirage Arbirage bezeichne das Erzielen von Gewinnen durch die Ausnuzung von Kursunerschieden für dasselbe Produk. Der Kursunerschied kann z.b. durch den Handel an verschiedenen Märken oder verschiedenen Terminproduken auf das selbe Basisgu erfolgen. Aufgabe 6 Händler A in New York biee an Euros zu einem Kurs von 1,39 USD pro EUR zu kaufen. Gleichzeiig biee Händler B in Frankfur Euros zu einer Rae von 1,35 USD pro EUR zum Verkauf an. Wie kann ein Invesor, der kein Geld ha, zu einem kleinen Vermögen kommen? 20

21 Kapiel 2: Arbirage Aufgabe 7 Angenommen Händler A biee in New York an Euros in einem Jahr für eine Rae von 1,58 USD pro EUR zu kaufen. Gleichzeiig biee Händler B in Frankfur Euros zum soforigen Verkauf bei einem Wechselkurs von 1,60 USD pro Euro an. Weierhin sei angenommen, dass US-Dollars zur Zei mi einer jährlichen Zinsrae von 4% geliehen werden können und Euros zu einem jährlichen Zinssaz von 6% angeleg werden können. Wie kann ein Invesor, der kein Geld ha, zu einem kleinen Vermögen kommen? 21

22 Kapiel 2: Arbirage Bemerkungen - Arbirage Möglichkeien sind nur kurze Zei am Mark vorhanden. Aufgrund der versärken Nachfrage gleichen sich Preisunerschiede an verschiedenen Märken sehr schnell aus. - Bei der Bewerung von Opionen und Forwards wird deswegen vom sogenannen No-Arbirage Prinzip ausgegangen No-Arbirage Prinzip Es is auf dem Finanzmark nich möglich einen risikolosen Gewinn ohne eigenen Kapialeinsaz zu erzielen mi anderen Woren "There is no such hing as a free lunch" 22

23 Kapiel 2: Arbirage Folgerung aus dem No-Arbirage Prinzip Haben zwei Porfolios (Ansammlung von Basisgüern und Terminkonraken) morgen den gleichen Wer, wie immer sich der Mark von heue auf morgen enwickel, dann haben sie auch heue den gleichen Wer. Beweis der Folgerung Wenn die Folgerung nich zureffen würde, dann könne man heue das eurere Porfolio verkaufen und das billigere kaufen. Morgen verkauf man dann das ursprünglich billigere wieder und kauf das ursprünglich eurere zurück. Dami is die Ausgangssiuaion wieder hergesell und es bleib ein risikoloser Gewinn, der gleich der Differenz der beiden Porfoliowere is. 23

24 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Angenommen es gib nur zwei Zeipunke = 1 und = 0. Ein Invesor kann sein Geld sowohl in Akien (risikoreiche Anlage), Anleihen oder Sparbuch (risikofreie Anlage), Forwards auf Akien und Opionen auf Akien anlegen. Wer der Akie zum Zeipunk : Wer der risikofreien Anlage zum Zeipunk : Wer des Forwards zum Teipunk : Wer der Call-Opion zum Zeipunk : Wer einer Pu-Opion zum Zeipunk : Vermögen des Invesors zum Zeipunk : S() A() F() C() P() V() Für einen Invesor der x Akien, y risikofreie Anlagen, z 1 Call-Opionen und z 2 Forwards besiz berechne sich der Wer seines Porfolios zum Zeipunk als V() = x S()+y A()+z 1 C()+z 2 F() 24

25 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Annahmen: 1. Zufälligkei: Der zukünfige Akienkurs S(1) is eine Zufallsvariable, die mindesens zwei verschieden Were annehmen kann. Der zukünfige Wer der risikofreien Anlage A(1) is bekann. 2. Posiiviä: Alle Akienkurse und alle Were einer risikofreien Anlage sind immer posiiv. 3. Liquidiä und Shor-Selling: Ein Invesor kann jede beliebige (ganzzahlige, raionale, negaive oder posive) Anzahl x von Akien, y von risikofreien Anlagen z 1 von Opionen und z 2 von Forwards besizen. Also x, y, z 1,,z 2 R 4. Einheilicher Zinssaz: Ein Invesor kann Geld für denselben Zinssaz Geld aufnehmen und Geld anlegen. 5. Es gib keine Transakionskosen. 6. Es gil das No-Arbirage Prinzip. 25

26 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Besimmung der Opionsprämie im einfachen Markmodell: Basisgu = Akien ohne Dividendenzahlung Vorgehen in zwei Schrien: 1. Zum Zeipunk =1 Konsrukion eines Porfolios V(1) = x S(1)+y A(1) mi Wer C(1), also V(1)=C(1) (Konsrukion eines Duplizierenden Porfolios) 2. Zum Zeipunk =0 muss aufgrund des No-Arbirage Prinzipes ebenfalls gelen V(0) = x S(0)+y A(0) = C(0) (Bewerung der Opion) 26

27 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Besimmung der Opionsprämie im einfachen Markmodell: Basisgu = Akien ohne Dividendenzahlung Beispiel: Für die risikolose Anlage gele A(0)=100 und A(1)=110. Der Wer der Akie zum Zeipunk = 0 sei S(0)=100 Euro und S(1)= 120 mi einer Wahrscheinlichkei p 80 mi einer Wahrscheinlichkei von 1-p für 0<p<1 Für den Wer einer Call-Opion mi Srike-Preis 100 zum Zeipunk =1 gil dann: C(1)= 20, wenn die Akie im Kurs seig 0, wenn Akie im Kurs fäll Gesuch is die Opionsprämie, d. h. der Wer der Call-Opion zum Zeipunk = 0. 27

28 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Besimmung der Opionsprämie im einfachen Markmodell: Basisgu = Akien ohne Dividendenzahlung Forsezung des Beispiels: 1. Konsrukion eines duplizierenden Porfolios x S(1)+y A(1)= x 120+y 110, wenn die Akie im Kurs seig x 80+y 110, wenn die Akie im Kurs fäll Um x S(1) + y A(1) = C(1) zu erhalen muss man das LGS (lineare Gleichungssysem): x y 110 = 20 x 80 + y 110 = 0 lösen. x = 1/2 und y = -4/11 2. Bewerung der Opion Aufgrund des No-Arbirage-Prinzipes muss dann auch gelen x S(0)+y A(0)=C(0); also 1/ / = 13,6364 = C(0); 28

29 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Besimmung der Opionsprämie im einfachen Markmodell: Basisgu = Akien ohne Dividendenzahlung Bemerkung - Die Wahrscheinlichkeien p und 1-p für den Fall oder Ansieg des Akienkurs wurden für die Bewerung der Opion nich verwende. - In einem Modell mi mehreren Zeischrien, müsse zu jedem Zeipunk das Duplizierende Porfolio angepass werden, was hohe Transakionskosen verursach und deshalb für viele Markeilnehmer nich prakikabel is. Aufgabe 9 Angenommen die risikofreie Anlage und die Akie besizen die Were wie im Beispiel. Berechnen Sie den Wer einer Call-Opion mi Laufzei bis =1 und Srike-Preis 90 EUR (bzw. 110 EUR) 29

30 Kapiel 3: Ein einfaches Markmodell Besimmung eines Akien Forward-Preises K im einfachen Markmodell: Basisgu = Akien ohne Dividendenzahlung Saz 1: Uner den Annahmen 1. bis 6. ensprich der Forward-Preis K der Höhe des Rückzahlungsberages eines Kredies (Krediberag inkl. Zinsen) der für den Kauf der ensprechenden Akien zum Zeipunk = 0 aufgewende werden musse. Aufgabe 11 Angenommen der Wer meines Sparbuches zum Zeipunk = 0 sei A(0) = 100 EUR und der Wer einer besimmen Akie, die keine Dividenden zahl, zum Zeipunk =0 sei S(0) = 50 EUR. Zum Zeipunk =1 sei mein Sparbuch 110 EUR wer. Zeigen Sie dass dann uner den Vorraussezungen 1. bis 6. der Forward-Preis K der Akie gleich 55 EUR is. 30

31 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Frage: Sind Akienkurse prognosizierbar? Anwor: Nein! Das Auf und Ab der Akienkurse is ein Zufallsprozess (Random Walk) Akienkurs der Deusche Bank AG vom

32 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Rendie eines Akienkurses: Errag eines Akiengeschäfes über einen gewissen Zeiraum. Bei Akien ohne Dividendenzahlung gib es zwei Möglichkeien, die Rendie zu berechnen: 1. einfache Rendie = (Endkurs - Anfangskurs) / Anfangskurs 10% Endkurs = (1+einfache Rendie) Anfangskurs einfache Tagesrendie Akien Deusche Bank % 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% -10% 32

33 Kapiel 3: Random Walk-Theorie 2. logarihmische Rendie = (Endkurs - Anfangskurs) / Anfangskurs Endkurs = e logarihmische Rendie Anfangskurs 10% logarihmische Tagesrendie Akien Deusche Bank % 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% -10% 33

34 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Voreile logarihmische Rendie: Um einfache und logarihmische Rendien besser mieinander vergleichen zu können, schreiben wir die Formel für die einfache Rendie als einfache Rendie = Endkurs / Anfangskurs 1 Und berachen einfache Rendie und logarihmische Rendie in Abhängigkei vom Kursverhälnis Endkurs / Anfangskurs Kursverhälnis Endkurs/Anfangskurs Einfache Rendie Endkurs/Anfangskurs-1 logarih. Rendie ln (Endkurs/Anfangskurs) 0,1-90 % -2,3 0,5-50 % - 0,693 0,9-10 % - 0,105 1,0 0% - 0,0 1,1 10% 0,095 1,5 50 % 0,405 2,0 100 % 0,693 5,0 400 % 1,609 10,0 900 % 2,303 a) Logarihmische Rendien sind symmerisch um Null; einfache Rendien sind asymmerisch um Null 34

35 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Voreile logarihmische Rendie: b) Addiiviäseigenschaf von logarihmischer Rendie: z.b. Kurs der deuschen Bank Akie Daum Akienkurs Deusche Bank Einfache Rendie über vergangenen Mona Logarihmische Rendie über vergangenen Mona , ,94-19,37 % - 0, ,67 21,49 % 0, ,21-10,65 % 0,1126 Daum Akienkurs Deusche Bank Einfache Rendie über lezen drei Monae Logarihmische Rendie über lezen drei Monae , ,21-12,48 % 0,1333 Wird ein Zeiraum in Teilzeiräume unereil, so is die logarihmische Rendie über den gesamen Zeiraum gleich der Summe der logarihmischen Rendien über Teilzeiräume. Aufgrund der Addiiviäs- und der Symmerieeigenschaf werden in der Finanzmahemaik fas ausschließlich logarihmische Rendien über Teilzeiräume verwende. 35

36 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Saisische Vereilung der logarihmischen Rendie Häufigkeisvereilung logarihmische Tagesrendien Deusche Bank Akie ,85% -3,10% 0,65% 4,40% Die logarihmische Rendie is annähernd normalvereil 36

37 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Saisische Vereilung der logarihmischen Tages-Rendien vom Mielwer μ äglich = - 0,002 Empirische Sandardabweichung σ äglich = 0,0218 Berache man ansa den äglichen Rendien wöchenliche Rendien so erhäl man einen Mielwer von μ Woche = - 0,01 = μ äglich 5 und eine empirische Sandardabweichung σ wöchenlich = 0,0487 = σ wöchenlich 5 Klassen absolue Häufigkei -0,0760 bis 0, ,0685 bis -0, ,0610 bis -0, ,0535 bis -0, ,0460 bis -0, ,0385 bis -0, ,0310 bis -0, ,0235 bis -0, ,0160 bis -0, ,0085 bis -0, ,0010 bis 0, ,0090 bis 0, ,0140 bis 0, ,0215 bis 0, ,0290 bis 0, ,0365 bis 0, ,0440 bis 0, ,0515 bis 0, ,0590 bis 0, ,0665 bis 0,

38 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Aufgrund der bisherigen saisischen Analysen in diesem Kapiel schein die folgende Modellannahme für die Enwicklung eines Akienkurses gerechferig: Black-Scholes Modell: S Für die Rendie R = ln einer Akie mi Kurs zum Zeipunk und Kurs zum S S S 0 0 R ~ N( μ, σ Sarzeipunk = 0 wird angenommen, wobei μ und σ > 0 Konsanen sind. 2 ) Für den Erwarungswer der Rendie im Inerval [0, ] gil also: E(R ) = μ Der Parameer μ gib die milere Rendie für die Zeieinhei =1 an. Er wird Drif genann. Für die Varianz der Rendie im Inerval [0, ] gil: Var (R ) = σ 2 Die auf die Zeieinhei =1 bezogene Sandardabweichung σ heiß Volailiä der Akie 38

39 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Aufgabe 13 Für eine Akie wird das Black-Scholes Modell mi Drif μ = 0, 15 und Volailiä σ = 0, 35 bezogen auf ein Jahr angenommen. a) Wie hoch is der Erwarungswer für die wöchenliche Drif? b) Wie hoch is die Volailiä bezogen auf eine Woche? c) Wenn zum Zeipunk = 0 der Akienkurs 250 EUR berug, in welchem Inervall lieg dann der Akienkurs mi einer Wahrscheinlichkei von 90 % nach einer Woche? d) Mi welcher Wahrscheinlichkei überseig der Kurs 270 EUR? 39

40 40 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Die Normalvereilungsannahme der logarihmischen Rendien eines Akienkurses bedeue, dass der Akienkurs log-normalvereil is. Man kann mi Mieln der pariellen Inegraion zeigen, dass dann gil: und e S S E + = ) ( σ μ ( ) 1 ) ( = + e e S S Var σ σ μ

41 41 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Simulaion eines Akienkurses im Black-Scholes-Modell: 1. Schri: Generiere mi einem Zufallszahlengeneraor sandardnormalvereile Zufallszahlen ε. z.b. - Erzeugung von [0,1]-gleichvereiler Zufallszahlen z 1, z 2. - anschließend Konverierung in sandardnormalvereile Zufallsvariablen ε 1, ε 2 miels (Box-Müller Mehode) 2. Schri: Für 1 = 0 und 2 = 1 seze 3. Schri: Wiederhole 1. Schri und 2. Schri für 2 = 2 und 1 = 1 usw. ( ) ( ) cos ) 2ln( 2 sin ) 2ln( z z z z = = π ε π ε ε σ μ ε σ μ σ μ ε + = + = = = S ln e S S S R R

42 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Simulaion eines Akienkurses im Black-Scholes Modell: gl. Drif gl. Volailiä Daum gleichvereile Zufallszahlen gleichvereile Zufallszahlen normalvereile Zufallszahl normalvereile Zufallszahl simulierer Akienkurs 1 simulierer Akienkurs 2 asächlicher Akienkurs -0,002 0, ,61 0,00 0,01 0,99 54,11 55,29 51, ,32 0,33 1,33-0,72 55,59 54,32 50,31 Lezer Kurswer ,59 0,77-1,02 0,11 54,26 54,34 50,28 54, ,01 0,46 0,80-2,89 55,11 50,92 57, ,95 0,42 0,16-0,29 55,19 50,50 55, ,24 0,42 0,81-1,47 56,06 48,81 53, ,18 0,58-0,84-1,64 54,94 47,00 55, ,44 0,79-1,25 0,30 53,35 47,21 56, ,48 0,44 0,45-1,13 53,77 45,97 54, ,25 0,90-0,98 1,35 52,52 47,24 50, ,84 0,01 0,03 0,59 52,45 47,76 49, ,68 0,88-0,62 0,62 51,65 48,31 49, ,07 0,70-2,19-0,79 49,14 47,39 49, ,15 0,59-1,06-1,62 47,92 45,66 53, ,59 0,14 0,78 0,66 48,65 46,22 47, ,89 0,25 0,49 0,00 49,07 46,13 43, ,16 0,10 1,13 1,56 50,20 47,64 38, ,48 0,00 0,02 1,21 50,11 48,81 37, ,65 0,84-0,77 0,51 49,18 49,26 31, ,10 0,12 1,47 1,55 50,68 50,85 35, ,43 0,23 1,29 0,18 52,02 50,95 38, ,83 0,70-0,58-0,20 51,27 50,63 33, ,05 0,34 2,08-1,25 53,54 49,17 31, ,67 0,22 0,89 0,15 54,48 49,23 32, ,95 0,17 0,27 0,14 54,70 49, ,97 0,58-0,11-0,20 54,46 48, ,46 0,43 0,53-1,14 54,98 47, ,72 0,29 0,79-0,20 55,82 47, ,09 0,60-1,30-1,74 54,16 45, ,86 0,19 0,51 0,19 54,66 45, ,28 0,26 1,59-0,10 56,48 45, ,26 0,36 1,27-1,03 57,95 44, ,76 0,81-0,70 0,27 56,96 44, ,14 0,22 1,95 0,34 59,32 44, ,93 0,01 0,02 0,39 59,23 45, ,38 0,93-0,57 1,26 58,38 46,20 42

43 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Simulaion eines Akienkurses im Black-Scholes Modell: 80 ech Kurs

44 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Simulaion eines Akienkurses im Binomialmodell über einen Zeiraum [0,T]: 1. Schri: Das Zeiinervall [0,T] wird in n Teilinervalle der Länge T/n eingeeil. Der Akienkurs änder sich also nur zu den Zeipunken T/n, 2T/n,, 2. Schri: In jedem Teilinervall seig der Akienkurs unabhängig von den anderen Teilinervallen enweder um den Fakor u = e T μ + σ n T n oder er fäll um den Fakor d = e T μ σ n T n 3. Schri: Die Aufwärsbewegung ree mi der Wahrscheinlichkei p=1/2 ein, die Abwärsbewegung ree ebenfalls mi der Wahrscheinlichkei 1-p = 1/2 ein. uus us S uds Baum für 2-Perioden-Binomialmodell ds dds 44

45 Kapiel 3: Random Walk-Theorie Simulaion eines Akienkurses im Binomialmodell: Aufgabe 18 Für die Akie der Deusschen Bank sei die Drif μ = 0, 002 und die Volailiä σ = 0, 0218 bezogen auf einen Tag (hisorische berechnee Were über den Zeiraum bis ). Simulieren Sie die Enwicklung des Akienkurses für den Zeiraum bis im Binomialmodell. Kurs am Wahrscheinlichkei 57, ,125 56, , , ,375 54,21 53, , , ,375 51, , ,125 45

46 Kapiel 4: Das Binomial Modell Rückblick: Einfaches Markmodell (Ein-Perioden Modell) Akie Opion us C u S C ds C d Wir sezen zur Vereinfachung 1 = A(0) = Geld für die risikolose Anlage und A(1) = (1+i), wobei i der jeweils gülige Zinssaz is. Um ein das duplizierende Porfolio aus Akie und Geldanlage bzw. aufnahme zu erhalen muss gelen: Cu Cd x = x us + y 1 + i = C ( u d ) S x ds + y ( ) u ( 1+ i) = Cd y = uc d dc u ( u d )( 1+ i) d.h. das duplizierende Porfolio muss Cu Cd Akien und ucd dcu Geld enhalen. ( u d )S ( u d )( 1+ i) Der Preis der Opion zum Anfangszeipunk is dann: C = [( 1+ i) d] Cu + [ u ( 1+ i) ] ( u d )( 1+ i) C d 46

47 Kapiel 4: Das Binomial Modell Überragung auf das n-perioden Binomialmodell Der Baum eines n-perioden Binomialmodells enseh durch Aneinandersezen der Bäume von Ein-Perioden Binomialmodellen. Simulaion des Akienkurses im Binomialmodell In jedem Ein-Perioden-Modell kann der Opionspreis am Anfang der Periode berechne werden. Opionspreise zum Ausübungszeipunk T können im n-perioden Binomialmodell ebenfalls leich berechne werden. Man erhäl den Opionspreis zum Zeipunk = 0 durch Rückwärs arbeien im Binomialbaum 47

48 Kapiel 4: Das Binomial Modell Aufgabe 19 Die logarihmische Rendie der Akie X habe eine Jahresdrif von μ = 0, 155. Die jährliche Volailiä berage σ = 40%. Der Akienkurs der Akie X noiere an der Frankfurer Börse bei 78 Euro. Der risikofreie Zinssaz zu dem Geld aufgenommen oder angeleg werden kann sei 3,35 % p.a. Eine Call-Opion auf diese Akie mi Srike 85 Euro und einem Verfallsermin in 5 Monaen kose an der Börse EUREX 6,57 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mi Hilfe eines 5-Perioden Binomialmodells. 48

49 Kapiel 4: Das Binomial Modell Lösung Aufgabe Schri: Umrechnung Jahresdrif auf Monasdrif 1 μ jährlich = 0,155 μ monalich = 0, Umrechnung von Jahresvolailiä in Monasvolailiä 1 σ jährlich = 0,4 σ monalich = 0,4 12 Umrechnung von Jahreszins auf Monaszins i = 1+ 1 i = 121, 0335 ( ) ( ) monalich i jährlich + monalich 2. Schri: Berechnung des Fakors u für Aufwärs- und d für Abwärsbewegung 0,155 0,4 + 0,155 0, u = e = 1,14 ; d = e = 0, 9 3. Schri: Aufsellen eines 5-Perioden Binomialmodells für die Akie X 49

50 Kapiel 4: Das Binomial Modell Lösung Aufgabe Schri: Aufsellen eines 5-Perioden Binomialmodells für die Akie X 150,18 131,74 115,56 118,57 101, ,92 91,23 93, ,03 82,11 70,2 63,18 64,82 63,18 64,82 56,86 58,34 51,18 46,06 50

51 Kapiel 4: Das Binomial Modell Lösung Aufgabe Schri: Berechnung der Opionpreise an den Konenpunken [( 1+ i) d] 65,18 + [ u ( 1+ i) ] ( u d )( 1+ i) 33,57 = 46,97 131,74 46,97 150,18 65,18 max ( K;0) = 150,15 85 S T 115,56 118,57 31,03 33,57 max ( K;0) = 118,57 85 S T 101, ,13 19,24 88,92 91,23 93,6 11,19 10,31 8,60 max ( K;0) = 93,6 85 S T 78 80,03 82,11 6,28 5,30 3,67 70,2 63,18 64,82 2,64 1,57 0,00 ( K;0) 0 max = S T [( 1+ i) d] 11,19 + [ u ( 1+ i) ] ( u d )( 1+ i) 2,64 = 6,28 63,18 64,82 0,67 0,00 56,86 58,34 0,00 0,00 51,18 0,00 46,06 0,00 ( K;0) 0 max = S T ( K;0) 0 max = S T 51

52 Kapiel 4: Das Binomial Modell Aufgabe 20 Wir nehmen an, dass die logarihmische Rendie der Deuschen Telekom Akie eine Jahresdrif von μ = 0 ha. Die jährliche Volailiä beräg σ = 41,18%. Der Akienkurs der Deuschen Telekom noier derzei an der Börse XETRA 11, 69 Euro. Der risikofreie Zinssaz zu dem Geld aufgenommen oder angeleg werden kann is 3,906 % p.a (EURIBOR). Eine Pu-Opion auf diese Akie mi Srike 13 Euro und einem Verfallsermin in 6 Wochen kose an der Börse EUREX 1,80 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mi Hilfe eines 3-Perioden Binomialmodells. Wieviel würden Sie für eine Call-Opion mi gleichem Srike und gleicher Lauf Zei verlangen? Lösung Aufgabe Schri: Umrechnung von Jahresvolailiä in 2-Wochen-Volailiä 2 σ jährlich = 0,4118 σ 2 wöchenlich = 0, Umrechnung von Jahreszins auf 2-Wochenzins 26 ( 1+ i 2 wöchenlich ) = ( 1+ i jährlich ) i 2 wöchenlich = 1, Schri: Berechnung des Fakors u für Aufwärs- und d für Abwärsbewegung 0, ,4118 u = e = 1,084 ; d = e = 0,

53 Kapiel 4: Das Binomial Modell Lösung Aufgabe Schri: Aufsellen eines 3-Perioden Binomialmodells für die Telekomakie 14,89 13,74 12,67 12,67 11,69 11,69 10,78 10,78 9,95 9,17 53

54 Kapiel 4: Das Binomial Modell Lösung Aufgabe Schri: Berechnung des Opionspreises der Pu-Opion an den Knoenpunken [( 1+ i) d] 0,00 + [ u ( 1+ i) ] ( u d )( 1+ i) 0,33 = 0,03 13,74 0,17 14,89 0,00 ( K S ;0) 0 max = T 12,67 12,67 0,67 0,33 max ( K S ;0) = 13 12, 67 T 11,69 11,69 1,44 1,29 10,78 10,78 2,18 2,22 max ( K S ;0) = 13 10, 78 T 9,95 3,03 9,17 3,83 max ( K S ;0) = 13 9, 17 T 54

55 Kapiel 4: Das Binomial Modell Lösung Aufgabe 20 Für eine Call-Opion gil: 14,89 1,89 max ( K;0) = 14,89 13 S T 13,74 0,93 12,67 12,67 0,45 0,00 ( K;0) 0 max = S T 11,69 11,69 0,22 0,00 10,78 10,78 0,00 0,00 ( K;0) 0 max = S T 9,95 0,00 9,17 0,00 ( K;0) 0 max = S T 55

56 Kapiel 4: Das Binomial Modell Amerikanische Opionen im n-perioden Binomialmodell Simulaion des Akienkurses im Binomialmodell Berechnung des Opionspreis am Laufzeiende, wie bei Europäischen Opionen Berechnung des Opionspreises an den reslichen Knoenpunken, als den größeren der folgenden Were: - Wer, der sich über das Binomialmodell für eine europäische Opion ergib - die Auszahlung bei einer vorzeiigen Ausübung Man erhäl den Opionspreis zum Zeipunk = 0 durch Rückwärs arbeien im Binomialbaum Amerikanische Opionen sind immer mindesens soviel wer, wie die ensprechenden Europäischen Opionen. 56

57 Kapiel 4: Das Binomial Modell Aufgabe 22 Wir nehmen an, dass die logarihmische Rendie der Deuschen Telekom Akie eine Jahresdrif von μ = 0 ha. Die jährliche Volailiä beräg σ = 41,18%. Der Akienkurs der Deuschen Telekom noier derzei an der Börse XETRA 11, 69 Euro. Der risikofreie Zinssaz zu dem Geld aufgenommen oder angeleg werden kann is 3,906 % p.a (EURIBOR). a) Berechnen Sie den Wer einer amerikanische Call-Opion auf diese Akie mi Srike 13 Euro und einem Verfallsermin in 6 Wochen miels eines 3-Perioden Binomialmodells. b) Berechnen Sie den Wer einer amerikanischen Pu-Opion auf diese Akie mi Srike 13 Euro und einem Verfallsermin in 6 Wochen miels eines 3-Perioden Binomialmodells. 57

58 Kapiel 4: Das Binomial Modell Opionen mi einer koninuierlichen Dividendenzahlung im n-perioden Binomialmodell Wir nehmen der Einfachhei halber an, die Akie zahle pro Zeiinervall eine Dividende in Höhe von q (in %). Simulaion des Akienkurses im Binomialmodell, mi u = e T μ + σ n T n ( 1+ q) und d = e T μ σ n T n ( 1+ q) Berechnung des Opionspreises am Laufzeiende Berechnung des Opionspreises an den Knoenpunken Man erhäl den Opionspreis zum Zeipunk = 0 durch Rückwärs arbeien im Binomialbaum 58

59 Kapiel 5: Eigenschafen von Akienopionen Es gib insgesam 6 Fakoren, die den Wer einer Akienopion beeinflussen: Der derzeiige Akienkurs der zugrundeliegenden Akie, der Srike-Preis der Opion, die Laufzei der Opion, die Volailiä der zugrundeliegenden Akie, der risikofreie Zinssaz zu dem Geld angeleg oder aufgenommen werden kann, Dividenden, die während der Laufzei der Opion erware werden. In diesem Abschni sollen die Auswirkungen auf den Opionspreis unersuch werden, wenn sich einer dieser Fakoren änder. 59

60 Kapiel 5: Eigenschafen von Akienopionen 1. Auswirkungen des derzeiigen Akienkurs der zugrundeliegenden Akie auf den Opionspreis: Mi seigendem Akienkurs seig auch der Wer einer Call-Opionen Mi seigendem Akienkurs fäll der Wer einer Pu-Opion 2. Auswirkungen des Srike-Preises auf den Opionspreis: Mi seigendem Srike-Preis fäll der Wer einer Call-Opionen Mi seigendem Srike-Preis seig der Wer einer Pu-Opion 3. Auswirkungen der Laufzei der Opion auf den Opionspreis: Mi zunehmender Laufzei seig der Wer einer amerikanischen Call-Opionen Mi zunehmender Laufzei seig der Wer einer amerikanischen Pu-Opion Bei europäischen Opionen is hier keine Aussage möglich 60

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