Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 6 c 2016 A. Kersch

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1 Vorkurs Mahemaik-Physik, Teil 6 c 6 A. Kersch Kinemaik In der Kinemaik geh es um die Frage: wie kann ich Bewegungen, also Bahnen von punkförmigen (Kinemaik der Translaion) oder ausgedehnen Körpern (Kinemaik der Drehbewegung), am besen beschreiben? Die vorläufige Anwor is: die bese Beschreibung geschieh mi Hilfe von Ableiungen der Orsposiionen nach der Zei. Die Begründung dafür gib es aber ers in dem Abschni Dynamik. Bewegung in einer Dimension. Ors-Zei Diagramm Im folgenden Diagramm werden zwei verschiedene geradlinige Bewegungen dargesell. Geradlinig heiß, dass die Bewegung in einer räumlichen Dimension safinde. Die Darsellung dieser Bewegung als Graph einer Funkion der Zei ergib das Ors-Zei Diagramm. Das folgende Diagramm beschreib die gleichförmige Bewegung eines (punkförmigen) Jägers und die ungleichförmige Bewegung eines Hundes, der zwischen dem Jäger und dem Ziel in km Enfernung hin- und herpendel. Die Kurve, die der Körper als Funkion von der Zei beschreib, is die Bahnkurve (). Ein Or-Zei Diagramm mi Achsenbeschrifung Diagramme von physikalischen Vorgängen enhalen immer Achsenbeschrifungen. Die genanne physikalische Größe ha immer eine Einhei. Die Schreibweise is z.b. Größe / Einhei oder Größe / [Einhei].. Differenzialrechnung für Geschwindigkei und Beschleunigung.. Milere Geschwindigkei und Momenangeschwindigkei Im Eperimen können die Posiionen des Wagens als Funkion der Zei gemessen und im Ors-Zei Diagramm aufgeragen werden. Der Wagen ha hier eine gleichförmige Bewegung.

2 , () = v,8 Or (m),6,, v = =,8m,m = 8,6,s 3,s Zei (s) m s Die milere Geschwindigkei einer geradlinigen Bewegung is ein Maßfür die Änderung des Ores in einem Zeiinervall. Sie is durch den Differenzenquoienen gegeben v = = Der horizonale Srich bei v bezeichne die zeiliche Mielwerbildung über das Zeiinervall. Im Falle einer gleichförmigen Bewegung (wie vom Jäger) wird die Bahnkurve durch eine Geradengleichung der Form () = + v beschrieben, wobei v die Seigung der Geraden und der Wer bei = is. Im Falle einer nich gleichförmigen Bewegung (wie vom Hund) ergeben sich für unerschiedliche Zeiinervalle = unerschiedliche Differenzenquoienen. Jedoch kann in jedem Zeipunk der Grenzwer des Differenzenquoienen berechne werden. Dieser Grenzwer is der Differenzialquoien und beschreib die Momenangeschwindigkei der Bewegung in = v( ) = lim = lim = d d = ẋ Die Momenangeschwindigkei ergib sich daher aus der Ableiung der Bahnkurve nach der Zei. Neben der mahemaischen Noaion für die Ableiung nach der Funkion () nach der Zei gib es die in der Physik gebräuchliche Noaion ẋ = ẋ() = d()/d s() 5 Bahnkurve Hund und Jger Milere Geschwindigkei und Momenangeschwindigkei v() Momenan-Geschw. Hund, Jaeger

3 Die Momenangeschwindigkei einer gleichförmigen Bewegung (wie der des Jägers) is jederzei gleich groß und gleich v. ẋ = v = cons. Diese Gleichung wird Bewegungsgleichung der geradlinig, gleichförmigen Bewegung genann. Bewegungsgleichungen beschreiben eine ganze Klasse von Bewegungen, hier diejenigen deren Bahnkurve nach der Zei abgeleie konsan sind. Die Bewegungen mi gleicher Geschwindigkei unerscheiden sich dann noch durch die Anfangsbedingung ( = ) = () = Eine ganz besimme geradlinig, gleichförmige Bewegung wird daher beschrieben durch ẋ = v = cons () = Mahemaisch gesehen is dies eine Differenzialgleichung misam einer Anfangsbedingung. Die durch () = eindeuige Lösung (Bahnkurve) laue () = + v v() = v = cons. Zusammenfassung geradlinig, gleichförmige Bewegung Die Bedeuung der Bewegungsgleichungen komm daher, dass man in der Physik im Allgemeinen zunächs die Bewegungsgleichungen aufsell (siehe Kapiel Dynamik), und für diese dann Lösungen berechne... Milere Beschleunigung und Momenanbeschleunigung Bei einer nich gleichmäßigen Bewegung änder sich die Geschwindigkei. Solche Vorgänge reen beim Anfahren und Abbremsen auf, allgemein beim Beschleunigen (in unserem Beispiel änder sich die Geschwindigkei des Hundes über die Zei). Dabei änder sich die Geschwindigkei. Die Beschleunigung is das Maßfür die Änderung der Geschwindigkei. Die Änderung der Geschwindigkei v in einem Zeiinervall kann wieder durch einen Differenzenquoienen beschrieben werden, welcher die milere- oder Durchschnisbeschleunigung beschreib. Deails der Bewegung in der Zei von nach gehen darin nich ein ā = v v = v Eample Wie hoch is die milere Beschleunigung, um in.s auf eine Geschwindigkei von km/h zu kommen? Soluion a = km h km h s = m 36s s.78 m s Diese Beschleunigung ensprich ewa /3 der Fallbeschleunigung g. Bei Beschleunigungen mi g sind die km/h in ca. 3.s erreich Die Momenanbeschleunigung wird wieder über den Grenzwer des Differenzenquoienen definier v v v a = lim = lim = dv d = v = d ( ) d = d d d d = ẍ

4 s() s() 5 Bahnkurve Hund und Jger s() = a v() v() Momenan-Geschwindigkei Hund und Jger v() = a () a() a() Momenan-Beschleunigung Hund und Jger a() = a.3 Zusammenfassung Bewegungen werden durch ihre Bahnkurven beschrieben, zum einen als Graph im Ors-Zei Diagramm, zum anderen durch Größen, die Änderungen beschreiben: Geschwindigkei is Änderung des Ores, Beschleunigung is die Änderung der Geschwindigkei. Der mahemaische Formalismus is die Differenzialrechnung. Bewegungsgleichungen sind Differenzialgleichungen, die eine ganze Klasse von Bahnkurven in einer allgemeinen Form zusammenfassen. Gegeben: Or Geschwindigkei Beschleunigung () () v() = ẋ() a() = ẍ() v() () = v()d v() a() = v() a() () = τ a(ξ)dξdτ v() = a(τ)dτ a() Funkionale Abhängigkei zwischen Or, Geschwindigkei und Beschleunigung für geradlinige Bewegungen

5 3 Bewegungsgleichungen und Bahnkurven als Lösung Das einfachse Beispiel für eine geradlinige, aber ungleichförmige Bewegung is die gleichmäßig beschleunige Bewegung. Die Bewegungsgleichung für gleichmäßig beschleunige Bewegungen laue nun ẍ() = a = cons. Gleichmäßig beschleunige Bewegungen können sich dann noch durch verschiedene Anfangsgeschwindigkeien v unerscheiden v( = ) = v ebenso durch verschiedene Sarposiionen ( = ) = Wenn die Bewegungsgleichung einer Bewegung zusammen mi seinen Anfangsbedingungen gegeben is, läss sich die Bahnkurve der Bewegung ausrechnen. Man sprich hier von der Lösung der Bewegungsgleichung. Dies wird hier allgemein für den Fall einer geradlinig, gleichmäßig beschleunigen Bewegung (mi Anfangsbedingungen) gezeig ẍ() = a = cons. v( = ) = v ( = ) = Die Lösung geschieh durch zweifache Anwendung der Inegraion (auf beide Seien der Gleichung) ẍ() = a ẍ(τ) dτ = ẋ() = a + v ẋ(τ) dτ = a dτ ẋ(τ) = a τ ẋ() ẋ() = a Geschwindigkeisgleichung v() = a + v (a τ + v ) dτ (τ) = ( a τ + v τ ) () () = a + v Bahngleichung: () = a + v + Grafische Darsellung der Lösung der Bewegungsgleichung für eine gleichmäßig beschleunige Bewegung Beipiel Ein allgemeinerer Fall is eine geradlinige, ungleichmäßige Bewegung, wie zum Beipiel ẍ() = k v( = ) = v ( = ) = Die Lösung geschieh durch zweifache Anwendung der Inegraion (auf beide Seien der Gleichung) ẍ() = k ẍ(τ) dτ = ẋ() = k + v ẋ(τ) dτ = k dτ ẋ(τ) = k τ ẋ() ẋ() = k Geschwindigkeisgleichung v() = k + v ( k τ ) + v dτ (τ) = ( k 3 τ 3 + v τ ) () () = k v Bahngleichung: () = k v +

6 a() a()..5 a()..5 a() =. 3 a() = +. 3 sckweise definier v() 5 v() = τdτ v() 3 3 v() = +τ dτ a() 3 3 inegral () s() s() = ( ) ξ τdτ dξ s() 3 3 s() = ξ +τ dτ dξ a() 6 3 inegral(inegral) 3. Der freie Fall Wenn die sörende Lufreibung vernachlässig oder ausgeschale werden kann, werden in der Nähe der Erdoberfläche alle Körper (auch wenn sie unerschiedlich schwer sind) mi einer gleich großen, gleichmäßig beschleunigen Bewegung senkrech nach unen beweg (sie fallen ). Galileo Galilei Fallzei und Fallgeschwindigkei Eample 3 Eine Kugel fäll aus einer Höhe von h = m. Fallzei? Fallgeschwindigkei? Soluion Anfangsbedingungen sind: y( = ) = y = h, v( = ) = v = m/s, a = cons = g, g = m/s. Bahngleichungen (gelen für alle ) y() = h g v() = g a = g Fallzei F bei Konak mi dem Boden (gil also nur für = F ) y( F ) = = h g h F F = g = m m/s =.7 s

7 Daraus folg die Fallgeschwindigkei v( F ) = g F = g 3.. Der loreche Wurf h g = gh = m s m =.7 m s Eample 5 Ein Sein flieg mi einer Anfangsgeschwindigkei von m/s lorech nach oben. Gesuch sind: höchser Punk, Seigzei, Or und Geschwindigkei nach doppeler Seigzei, die Graphen der Bahnkurven von y(), v(), a() Soluion 6 Wir verwenden die Bahngleichungen (die Lösungen der Bewegungsgleichungen) in allgemeiner Form und sezen die Anfangsbedingungen des Problems ein a = cons. v() = v + a y() = y + v + a Koordinaensysem nach oben orienier (d.h. y wird nach oben größer), daher Fallbeschleunigung g = m/s nach unen geriche, also a = g = m/s. Sarhöhe y =, Sargeschwindigkei v = m/s, also (gil für alle ) a = g v() = v g y() = v g Am höchsen Punk (Scheielpunk) is die Geschwindigkei Null (gil also nur für = s ) = v( s ) = v g s Daraus ergib sich die Seigzei s s = v g = m/s m/s = s Dami is die Seighöhe y s y s = y( s ) = v s g s = v v g g Die Höhe nach der doppelen Seigzei is ( v g y( s ) = v s g ( s) = v v g g ) = v g = (m/s) m/s = m ( ) v = g und die Geschwindigkei v( s ) = v g s = v g v g = v = m s y[m] 5 5 y()=m/s* 5m/s * v[m/s] v()=m/s m/s * a[m/s ] a()= m/s 3 [s] 3 [s] 3 [s] Or-, Geschwindigkei- und Beschleunigung- Zei Diagramm des lorechen Wurfes Eample 7 Galilei mach seine Fallversuche von Turm von Pisa. Dabei wirf er aus einer Höhe von h = 3m Kugeln mi einer Geschwindigkei von v = 5m/s senkrech nach oben, die dann bis auf den Boden fallen. Mi welcher Geschwindigkei reff en die Kugeln auf dem Boden auf?

8 Soluion 8 Die Bahngleichung laue (gil für alle ) y() = h + v g v() = v g und für die Fallzei gil (gil nur für = F ) = h + v F g F = F v g F h g F = v g ± ( F = v g ) ± ( v ) + h g g { v h > für +, Fallzei= Konak mi Boden in der Zukunf + g g = < für, Konak mi Boden in der Vergangenhei Die Lösung mi ensprich der Zei in der Vergangenhei, in der die Kugel den ersen Konak mi dem Boden gehab haben könne. Die Geschwindigkei nach Erreichen der Fallzei is v = v( F ) = g F = v + g F = v + gh Anders ausgedrück gil für v (in der Höhe y( S ) = oder wenn h als Höhendifferenz aufgefass wird) v v = gh Und für die Zahlenwere v( F ) = ( v + gh = 5 m ) m + s s 3m = 5.m s Hier is es egal (wegen den Quadraen), ob die Kugel mi v oder v geworfen wurde! Eercise 9 Wurf senkrech nach unen: Ein Sein wird senkrech nach unen geworfen. Bahngleichungen [ auf und illusrieren Sie diese in einem y()-, v()-, a()- Diagramm dar. y() = h v g v() = v g a() = g ] Sellen Sie die 3. Ungleichmäßig beschleunige Bewegungen 3.. Geradlinige Fallbewegung mi elasischer Reflekion am Boden (Gummiball) Eperimen Ors-, Geschwindigkei- und Beschleunigungskurven hängen über Ableiungen zusammen. Diese Gesezmäßigkei kann an dem Messergebnis (hier schemaisch wiedergegeben) eplizi überprüf werden. Or-, Geschwindigkei- und Beschleunigung-Zei Diagramm des Schliens auf der schiefen Ebene

9 3.. Harmonische Schwingung Die geradlinige harmonische Schwingung wird hier zunächs über die Bahnkurve definier. Späer wird gezeig werden, dass eine solche Bewegung z.b. von einer Masse ausgeführ wird, die an einer Feder häng und angesoßen wird. Die Bewegung is ungleichmäßig beschleunig. Die harmonische Schwingung y() = C sin (ω) f() = sin is eine periodische Funkion mi einer Periode π was das Funkions-Argumen beriff. Die Schwingungsdauer T is daher gegeben durch ωt = π Die Größe ω = π/t wird Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkei genann. Der Vorfakor C ha die physikalische Bedeuung der maimalen Ampliude y ma = C und die Einhei der Länge. Die Geschwindigkei der Bewegung is v() = ẏ = dy() d = ωc cos (ω) Der Vorfakor ha die physikalische Bedeuung der maimalen Geschwindigkei v ma = ωc und die Einhei der Geschwindigkei. Die Beschleunigung der Bewegung is a() = ÿ = dv() d = ω C sin (ω) Der Vorfakor ha die physikalische Bedeuung der maimalen Beschleunigung a ma = ω C und die Einhei der Beschleunigung. Diagramm Or, Geschwindigkei, Beschleunigung y() v() a() Or-, Geschwindigkei- und Beschleunigung-Zei Diagramm einer harmonischen Schwingung 3..3 Andere ungleichmäßige Beschleunigung Zunächs ein Beispiel, mi gegebener Bewegungsgleichung und gesucher Bahngleichung. Eample Ein Auo habe eine nich-gleichmäßige Beschleunigung von a() = b, d.h. die Beschleunigung nimm mi der Zei zu. Bahnkurve? Anfangsbedingungen () =, v() = Zei Soluion Erse Inegraion zur Berechnung der Geschwindigkei a() = ẍ() = b ẍ( )d = b / d ẋ( ) = + / b +/ ẋ() = 3 b 3/

10 Die Geschwindigkei seig schneller an als linear.. Inegraion zur Berechnung der Posiion ẋ( )d = 3 b 3/ d ( ) = 3 b + 3/ b +3/ () = 5 3 b 5/ Die Orskoordinae wächs schneller als quadraisch. 3.3 Zusammenfassung Die Bahnkurve einer gleichmäßig beschleunigen Bewegung is () = + v + a v() = v + a 3. SVA Diagramme von Bewegungen Beispiele für (),v(),a() Diagramme gleichmäßiger und nich-gleichmäßiger Bewegungen