Systemtheorie: Übertragungssystem: Beispiele

Transkript

1 Sysemheorie: lieer mahemaische Werkzeuge, um die Umwandlung einer physikalisch kodieren Inormaion in einer andere Darsellung z.b. vom Orsraum in den Fourierraum ohne Inormaionsverlus zu beschreiben. Überragungssysem: Eingang Sysem Ausgang Beispiele: eindimensional kodiere Inormaion: Eingang Sprache; Sysem Teleon; Ausgang akusisches Signal Hörer Inormaion: zeiveränderlicher Membrandruck zweidimensional kodiere Inormaion: Eingang Bild; Sysem Kopierer; Ausgang Kopie Inormaion: orsabhängige Grauwervereilung

2 Überragungssysem abbildendes Sysem Eingang Sysem Ausgang,y Röngendosis D,y Röngenschwächungskoeizien µ,y Proonendiche ρ,y abbildendes Sysem Röngensysem mi Versärkerolie CT-Sysem MR-Sysem g,y Film digiales Bild Monior

3 Deiniionen Sysemeigenschaen

4 Deiniionen Mahemaische Verahren zur Sysemcharakerisierung: Dirac-Funkion Fourier-Transormaion und Falungsgesez Zei: Impulsanwor/Überragungsunkion Or: Punkbildunkion/Modulaionranserunkion Auo-/Kreuzkorrelaion bei realen Sysemen Rauschen Abasung; Aliasing Filerung

5 Deiniionen Mi der Recheck-Funkion rec ür ür / > / D-Dirac-Funkion olg Deiniion der d-funkion Dirac-Funkion oder Dirac-Soß: δ : lim rec T T ür ür T δ-funkion: unendlich kurzer Impuls mi unendlich hoher Ampliude

6 Deiniionen D-Dirac-Funkion Approimaion einer beliebigen Funkion mi Recheck-Funkionen s T T

7 Deiniionen D-Dirac-Funkion Approimaion einer beliebigen Funkion mi Recheck-Funkionen Je kleiner T, deso besser die Approimaion. Für T : + τ τ δ τ δ τ τ d s s d T T n T T lim lim,,

8 Deiniionen D-Dirac-Funkion Approimaion einer beliebigen Funkion mi Recheck-Funkionen Das Inegral + τ δ τ dτ Funkion mi der Dirac-Funkion und man schreib: δ heiß Falung der

9 Deiniionen Analoge Deiniion im zweidimensionalen Fall D-Dirac-Funkion, y + + p, q δ p, y q dpdq, y δ, y δ,y is ein zweidimensionaler Impuls

10 Deiniionen Dirac-Funkion Eigenschaen der δ-funkion: b b c c c c d δ δ δ δ δ δ δ δ Siebeigenscha: Lineariä: Symmerie: Dehnung:

11 Deiniionen Falung Eigenschaen der Falungsalgebra: [ ] [ ] [ ] h h h h c h c h c h c h g h g h h d y h y h g δ δ Falung Ideniä Kommuaiv- Assoziaiv- Disribuiv- Gesez / Lineariä Diereniaion

12 Deiniionen Fourier-Transormaion Eingang Sysem Ausgang h g * h In der Signalverarbeiung heiß h Impulsanwor. Für h δ heiß das Sysem ideal verzerrungsrei denn es gil δ *

13 Deiniionen Eingang Sysem Fourier-Transormaion Ausgang Berache Eingangsunkionen, die vom Sysem nur durch einen Ampliudenakor beeinluß werden, aber ansonsen keine Formveränderung erahren. Derarige Eingangsunkionen heißen auch Eigenunkionen. Beispiel: harmonische Funkionen mi konsaner Frequenz ω. e jπω cosπω + j sinπω

14 Deiniionen Fourier-Transormaion Eingang Ausgang Sysem H d e h e d e h h j j j τ τ τ τ πωτ πω τ πω h H. Sysemanwor mi harmonischer Funkion am Eingang: H

15 Deiniionen Fourier-Transormaion Der i.a. komplee Fakor H is abhängig von Sysem, Frequenz und Eingangsunkion: H ϖ jπϖ h e d Hω heiß Überragungsunkion oder Fileranwor, Frequenzgang. Wegen h j πω d H ϖ e ω sind Impulsanwor h und Überragungsunkion Hω äquivalene Beschreibungen eines linearen saionären Sysems.

16 Deiniionen Fourier-Transormaion h H. Annahme: is eine Überlagerung harmonischer Funkionen. Die durch und F ω j πω d F ω e ω jπω e d beschriebene Transormaion heiß Fourier-Transormaion. Die Transormaion vom Frequenz- in den Zeiraum heiß inverse Fourier-Transormaion.

17 Deiniionen Fourier-Transormaion Schreibweisen: Fω Fω Fω FT FT - Fω

18 Deiniionen Fourier-Transormaion Eigenschaen der Fourier-Transormaion I: ω ω ω ω ω ω ω πω F F F a F a a e F F c F c c c j + + Lineariä Translaion Sreckung konjugier komplees Signal Zeiumkehr Symmerie

19 Deiniionen Fourier-Transormaion Eigenschaen der Fourier-Transormaion II: ω ω ω πω ω δ ω πω τ τ ω ω ω ω ω ω ω d F d S j d d S S j d F F F F F F F F n n n * Falung Kreuzkorrelaion Inegraion Diereniaion Energie Parseval sches Theorem Muliplikaion Auokorrelaion

20 Deiniionen Fourier-Transormaion Eigenschaen der Fourier-Transormaion III: Mi Sysemeigenschaen Lineariä und Verschiebungsinvarianz Saionariä olg: Das Sysemverhalen is vollsändig durch eine einzelne Funkion im Zeibereich: Impulsanwor h im Frequenzbereich: Überragungsunkion Hw beschreibbar. Beschreibung in den reziproken Bereichen is äquivalen. Übergang wird durch das Fourier-Transormaionspaar beschrieben Muliplikaion in einem Bereich Falung im reziproken Bereich

21 Deiniionen D-Fourierransormaion FT FT -

22 Deiniionen Beispiel: Sinus-Signal im Orsraum λ Orsraum D-Fourierransormaion λ : Wellenlänge im Orsraum u/λ : Frequenz im Fourierraum Ampliudenspekrum

23 Deiniionen D-Fourierransormaion Beispiel: Recheck-Funkion im Orsraum rec A ür [, sons ] A

24 Deiniionen D-Fourierransormaion Beispiel: Recheck im Orsraum [ ] [ ] [ ] sin sin sin u u A e u u A u F e u u A e e e u j A e u j A e u j A d Ae d e u F u j u j u j u j u j u j u j u j u j π π π π π π π π π π π π π π π π π π +

25 Deiniionen D-Fourierransormaion Beispiel: Recheck im Orsraum Ampliudenspekrum eines Rechecks im Orsraum F u A sin πu πu Eine Verschiebung von im Orsraum änder Fu nich. Nur die Phase von Fu verschieb sich!

26 Deiniionen D-Fourierransormaion Beispiel: Bild Mari digialer Grauwere

27 Deiniionen D-Fourierransormaion D-FT und Falungsheorem + h g τ g τ dτ FT FT h FT FT g g FT FT g Falung im Zeibereich ensprich Muliplikaion im Fourierraum

28 Deiniionen D-Fourierransormaion Beispiele von Falungen: g: schmale Linienbildunkion; g: breie Linienbildunkion

29 Deiniionen D-Fourierransormaion

30 Deiniionen D-Fourierransormaion D-FT ür quadraische Bilder NMer-Poenz FFT:

31 Deiniionen D-Fourierransormaion D-FT ür quadraische Bilder NMer-Poenz FFT:

32 Deiniionen Original Ampliuden -spekrum D-Fourierransormaion

33 Deiniionen Original D-Fourierransormaion Ampliudenspekrum

34 Deiniionen D-Fourierransormaion D-FT und Falungsheorem + y d d y y g y y g y y h,,,,,,,,,,,, y g y y g y y g y y h DFT DFT DFT DFT DFT DFT

35 Deiniionen Korrelaion Wiener-Khinchin-Theorem

36 Deiniionen Korrelaion Beispiel: bei welcher Verschiebung ha die Funkion g größe Ähnlichkei mi der Funkion? g g Die Kreuz-Korrelaionsunkion g zeig zwei Maima

37 Deiniionen Korrelaion Beispiel: bei welcher Verschiebung ha die Funkion größe Ähnlichkei mi sich selbs? Die Auo-Korrelaionsunkion zeig mehrere Maima

38 Haupsaz der Sysemheorie abbildender Syseme: Is ein Sysem linear und verschiebungsinvarian, dann gib es eine Funkion h,y, so dass gil: g, y +, y h, y, y h, y y d dy Bei abbildenden Sysemen heiß die Funkion h,y Punkbildunkion engl. poin spread uncion PSF. In der Signalverarbeiung heiß die Funkion h hier h Soßoder Impulsanwor: + g h h τ dτ

39 Punkbildunkion CT-Bild eines Drahphanoms Punkbildunkion

40 Haupsaz der Sysemheorie abbildender Syseme: Mi dem Falungsheorem gil: Die Funkion Hu,v heiß komplee Überragungsunkion engl. Transer-Funcion und is die Fourierransormiere der Punkbildunkion h,y In der Signalverarbeiung heiß die Funkion H hier Hw Fileranwor

41 Deiniionen Modulaionsüberragungsunkion MTF Allgemeine Deiniion der MTF: MTF Absoluberag der bei, au normieren kompleen Überragungsunkion

42 Modulaionsüberragungsunkion MTF ür Sinus-Funkionen MTFu,v Hu,v H, Ampliude am Ausgang Ampliude am Eingang Konras am Ausgang Konras am Eingang

43 Modulaionsüberragungsunkion MTF Ideal: