Aufgaben zu Mathematik 3

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1 Aufgaben zu 3 Sudiengang Sensorik Hochschule Karlsruhe Lieraur/Theorie: Thomas Wesermann: für Ingenieure Ein anwendungsorienieres Lehrbuch mi CD-Rom Springer-Verlag, 5. Auflage 8 Version. Sand.4.9

2 Aufgaben zu kompleen Zahlen Maple-en Aufgabe Berechnen Sie a) 4 (-5 i) - 3(--4 i) + (4i-5) b) d) 3 ( 3 i ) i + i e) i f) 3 c) 5 3+ i + 3i 4 5( i) i 3i Aufgabe Schreiben Sie in der eponeniellen Normalform a) -+ i b) 3- i c) 6i d) e) -i f) + ( )i Aufgabe 3 a) Wie lauen die. Einheiswurzeln in algebraischer und eponenieller Normalform? 5 b) Geben Sie alle en von z + 4= 4i in eponenieller Normalform an. Aufgabe 4 Besimmen Sie alle kompleen en von z z 8z + 4z z 3z = Aufgabe 5 (Maple) Verwenden Sie die Maple-Befehle evalc, conjugae, Re, Im, um für a= i, b= i+, c= 6 i die folgenden kompleen Ausdrücke zu berechnen ab * * c a) b b+ 5 b) c) ab + a b d) b c a * e) (( a+ b)( a c)) f) ab c * * a b + g) * c * Re( ab c) h) Im(( a b) ) * ( bezeichne die komple-konjugiere Zahl.)

3 Aufgabe 6 Beweisen Sie die Addiionsheoreme, indem Sie die Formeln im Kompleen berachen: a) sin( + y) = sin( cos( y) + cos( sin( y ) b) cos( + y) = cos( cos( y) sin( sin( y ) Aufgabe 7 Zerlegen Sie die folgenden Funkionen in Real- und Imaginäreil, indem Sie z durch + iy ersezen 3 a) f ( z) = z b) f( z) = z c) 3z f ( z) = e Aufgabe 8 Berechnen Sie iz f ( z) = e für z /3 = 6e iπ.

4 Aufgaben zur Anwendung kompleer Zahlen Maple-en Aufgabe a) Wie groß is die Summe der beiden Spannungen? u = Vsin( ω ) u = 3Vsin( ω+.6 ) b) Wie groß is die Summe der drei Sröme? i = 3Asin( ω 45 ), i = 3Asin( ω 5 ), i3 = 3Asin( ω+ 95 ) Aufgabe (TA, Maple) a) Gegeben sind die beiden Schwingungen ( ) = 5sin(3 + π /) und () = 7sin(3 π /3). Besimmen Sie die Überlagerung graphisch. Lesen Sie anhand der Graphik die resulierende Ampliude und die Nullphase (wie?) ab. Berechnen Sie Ampliude und Nullphase dieser Überlagerung. b) Gegeben sind die beiden Schwingungen ( ) = 5sin(3. + π /) und () = 7sin(3 π /3). Besimmen Sie die Überlagerung graphisch. Kommenieren Sie das Ergebnis. c) Gegeben is die folgende Superposiion von Schwingungen. ( = sin( + sin(3 + sin(5 + sin(7 ) Besimmen Sie graphisch die resulierende Schwingung. Kann man das Ergebnis versehen? Aufgabe 3 Besimmen Sie den kompleen Scheinwidersand der angegebenen Schalung als Funkion in ω. Für welche Frequenzen verschwinde der Blindwidersand? Wie groß is dann die Phasenverschiebung? Aufgabe 4 In einem RCL-Reihenschalkreis (L=5mH, C=5 μ F, U=V) eil der Srom der Spannung bei einer Kreisfrequenz von ω = 4 /s um 63,435 voraus. Wie groß is der Ohmsche Widersand R?

5 Aufgabe 5 Besimmen Sie für die nebensehende Schalung den kompleen Gesamwidersand. Wie verhäl sich dieser Widersand für ω und ω? Aufgabe 6 Gegeben is die nebensehende Schalung. Wie is das Überragungsverhalen dieser Schalung, wenn Sie eine Sinuswechselspannung als Eingangsspannung wählen? Wie is das Überragungsverhalen für ω und ω? Um welchen Schalungsyp handel es sich? Aufgabe 7 Gegeben is die nebensehende Schalung. Wie is das Überragungsverhalen dieser Schalung, wenn Sie eine Sinuswechselspannung als Eingangsspannung wählen? Wie is das Überragungsverhalen für ω und ω? Um welchen Schalungsyp handel es sich?

6 Aufgaben zu Differenzialgleichungen erser Ordnung Maple-en Aufgabe Lösen Sie folgende Anfangswerprobleme: a) () v + v () =, v() = m s. Wann is v( < cm s? b) y ( + λ y( =, y () =. Was ergib sich für λ, wenn y ( ) =. () c) dn N () d τ N() N. Wie groß is τ, wenn N(,89 ) = N = is? Aufgabe Lösen Sie folgende inhomogenen Differenzialgleichungen: a) y ( + y( = 4 c) y ( + y( = U sin( ω RC y ( ) R b) y ( + = e d) y () + y () = Ue + L Aufgabe 3 Lösen Sie folgende Differenzialgleichungen durch Trennung der Variablen: a) y ( = d) y ( y( y ( + = 5 ( y( ) b) ( + ) ( ) y ( = y( e) y ( = cos ( y( )) 4 c) y ( + y ( = y( f) y ( = y ( Aufgabe 4 Welche en haben folgende Anfangswerprobleme: a) y ( = sin( y (, y( ) = c) y π sin( ) = cos( y, y ) = b) y( + y ( = e, y( ) = d) y ( ( + ) = y( ), y( ) = 4 ( π Aufgabe 5 (Maple) Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse aus 4, indem Sie die Differenzialgleichungen mi dem dsolve- Befehl von Maple lösen. Maple-en

7 Aufgaben zu Differenzialgleichungen erser Ordnung () Aufgabe 6 Besimmen Sie die allgemeine der folgenden linearen DG. Ordnung: a) y ( + y( = sin( c) y ( cos( y( = cos( b) y ( cos( y( sin( = d) y ( y( = + 4 Aufgabe 7 Wie lauen die allgemeinen en der folgenden linearen DG. Ordnung mi konsanen Koeffizienen: a) y ( + 4 y( = c) 3 y ( = 8 y( e) 3 y ( + 8 y( = b) y ( + 4 y( = d) ay ( by( = di() f) L + RI() = d Aufgabe 8 Lösen Sie die folgenden DG. Ordnung durch Trennung der Variablen: a) y ( = y ( c) y ( = ( y( ) e) b) y ( ( + ) = y( ) d) y ( sin( y( ) = y = e y( ( ) cos( ) Aufgabe 9 Lösen Sie die folgenden Anfangswerprobleme: a) y ( + cos( y( =, y ( π ) = π c) b) ( ) y + ( = y( ), y ( ) = d) y ( y ( + =, y ( ) = = e, y ( ) = y( y ) ( *Aufgabe y ( ) Man löse durch Subsiuion mi u ( ) = a) y ( = y( + 4 b) y ( = 4 + y ( c) ( ) = ( ) + ( ) y y y

8 *Aufgaben zu Anwendungen DG erser Ordnung Maple-en Aufgabe Die radiale Geschwindigkeisvereilung saionärer laminarer Srömung eines viskosen inkompressiblen Flüssigkei (Viskosiä η) längs eines Rohrsücks, in dem ein Druckabfall Δ p Δz wirk, kann durch p d d Δ + η r vz () r = Δz r dr dr beschrieben werden. Wie groß is vz () r, wenn am Rand vz ( R ) = gil? Δ p Hinweis: Man beache, dass = cons is. Inegrieren Sie daher, nach geeigneen Umformungen, Δz zunächs über r und besimmen die Inegraionskonsane für r =. Inegrieren Sie dann nochmals über r und sezen anschließend die Randbedingung vz ( R ) = ein. Aufgabe Eine chemische Reakion A + B X d () = k ( a () ) ( b () d läss sich durch die Differenzialgleichung beschreiben, wenn die Anzahl der Moleküle vom Typ A bzw. B zu Beginn der Reakion a bzw. b (mi a < b) und ( die Anzahl der Reakionsmoleküle zum Zeipunk sind. (k is eine Reakionskonsane). a) Man löse die Differenzialgleichung für ( ) =. b) Wann komm die Reakion zum Sillsand? ) Aufgabe 3 Ein Körper roll eine schiefe Ebene (Winkel ϕ) hinuner und erfähr dabei Reibungskräfe (proporional zu seiner Geschwindigkei und einen Druckwidersand (proporional zum Quadra seiner Geschwindigkei. Es gil: m v + R v + D v Die Anfangsgeschwindigkei sei v( ) = : a) Was ergib sich für v( mi D =? b) Was ergib sich für v( mi R =? c) Besimmen Sie v( für m =, g =, ϕ π /6 = m g sin( ϕ) =, D = 4/5, R = 3.

9 Aufgabe 4 Ein Körper besiz zur Zei die Temperaur T und wird in der Folgezei durch vorbeisrömende Luf der konsanen Temperaur = T L gekühl gemäß der Gleichung dt = a ( T TL), a > d a) Wie is der zeiliche Verlauf der Körperemperaur T? b) Gegen welchen Endwer sreb diese? Aufgabe 5 Die Sinkgeschwindigkei v () eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkei wird beschrieben durch die Differenzialgleichung dv() m + kv() =mg d (k: Reibungsfakor, g: Erdbeschleunigung). a) Besimmen Sie die Geschwindigkei und Posiion zu Zeien > für die Anfangswere v () = v und s () =. b) Welche Geschwindigkei kann das Teilchen maimal erreichen? Aufgabe 6 Nimm man eine Reibungskraf quadraisch zur Geschwindigkei an, dann wird die Sinkgeschwindigkei v () eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkei beschrieben durch mv '( + kv ( = mg (k: Reibungsfakor, g: Erdbeschleunigung). Besimmen Sie die Geschwindigkei v () zu Zeien für den Anfangswer v () = v. Welche Geschwindigkei kann das Teilchen nun maimal erreichen? >

10 Aufgaben zu lineare Differenzialgleichungssyseme en in Maple Aufgabe Besimmen Sie die Eigenwere und Eigenvekoren der Mari A: 5 a) A = b) A = 5 7 *c) A = 7 Aufgabe Besimmen Sie ein Fundamenalsysem von für die Marizen A aus Aufgabe a) und b). y'( = Ay( Aufgabe 3 Geben Sie für das lineare Differenzialgleichungssysem. Ordnung y''() = Ay() mi den Marizen A aus Aufgabe a) und b) ein Fundamenalsysem an. Aufgabe 4 Lösen Sie das Anfangswerproblem: y ( = 3y ( + y ( y ( ) y () ' 3 ' ( y( + 3y( y3( 3' ( y( y( 4y3( y = = ) y () 4 = y = + ) y () 3 = *Aufgabe 5 Knacken Sie die Differenzialgleichung. Ordnung (*) y '' 5y' + 6y =, indem Sie die Hilfsfunkionen y = y, y = y' einführen und (*) als Sysem schreiben und lösen! Wie laue die für die Anfangsbedingungen y ( ) =, y'() =? (Hinweis: Verwenden Sie für die Rechnung Maple) Maple

11 *Aufgabe 6 a) Schreiben Sie das LDGS. Ordnung y ''( = y( 3 als Sysem. Ordnung und lösen Sie es. b) Welchen sweg gib es mi Hilfe eines Sazes aus der Vorlesung? (Hinweis: Verwenden Sie für die Rechnung Maple) Maple

12 Aufgaben zu Differenzialgleichungssysemen () Aufgabe 7 Man besimme ein sfundamenalsysem des LDGS erser Ordnung: y' ( = Ay( mi (Prüfen Sie, ob die Eigenvekoren eine Basis des A = R 3 bilden!) 4 5 Aufgabe 8 Man besimme ein Fundamenalsysem des LDGS zweier Ordnung: y' '( = Ay( mi A = 4 *Aufgabe 9 a) Die Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens im Magnefeld lauen: v v y e = Bzv m e = Bzv m Besimmen Sie ein reelles Fundamenalsysem. y B z wenn =. *b) Man besimme eine parikuläre, wenn neben dem Magnefeld B noch ein elekrisches e v = Bzvy m Feld E = E wirk, d.h. e v y = Bzv + E m B

13 Aufgaben zu Differenzialgleichungen n-er Ordnung () Aufgabe Lösen Sie die folgenden homogenen linearen DG.Ordnung: a) y' '( + y'( 3y( = b) ( + ( + 5( = c) ( + ( ) ( + ( = d) ϕ ( + 4ϕ ( = Aufgabe Besimmen Sie ein reelles Fundamenalsysem für die folgenden DG n-er Ordnung: a) y''( 4 y'( + 4 y( = b) y'''( y''( + y'( y( = c) y'''( y( = d) y (4) ( + y( = Aufgabe 3 Gegeben is die inhomogene lineare DG.Ordnung y ''( + y'( + y( = g( mi dem Sörglied g (. Man ermile eine parikuläre y p ( für g ( = + g( = e + cos( a) b) g( = e cos( c) d) g( = e Aufgabe 4 Besimmen Sie die allgemeine der folgenden inhomogenen DG: a) y''( 3 y'( y( b) + + = y ''( 5 y'( + 6 y( = 4e sin( c) y '''( y''( + y'( = + e cos( d) (4) y ( + y''( + y( = 5e Aufgabe 5 Lösen Sie die folgenden Schwingungsprobleme: a) ( + 4( = ; ( ) =, () = (freie ungedämpfe Schwingung) b) ( + ( + ( = ; ( ) =, () = 3 (freie gedämpfe Schwingung) c) ( + 7 ( + ( = ; ( ) = 5, () = (aperiodischer Grenzfall) Aufgabe 6 Wie laue die der folgenden Anfangswerprobleme: a) ( + 6 ( + ( = cos( ; ( ) =, () = 4 b) y''( y'( + 3y( = e ; + y ( ) =, y'() =

14 *Aufgaben zur Anwendung DG höherer Ordnung en in Maple Aufgabe Das Wachsum einer Populaion genüg nach dem er und Biologen Verhuls der einfachen nichlinearen Differenzialgleichung p () = ap() bp (). Die Koeffizienen a und b wurden von Ökologen für die Menschhei auf a =,9, b =,695 geschäz. Auf welchen Grenzwer sreb danach die Erdbevölkerung zu? Aufgabe Für die Sröme I und I in zwei mieinander gekoppelen ungedämpfen Schwingkreisen ergib sich das Differenzialgleichungssysem LI () + LI () + I() = LI () + LI () + I() = C C mi den Selbsindukionen L, L und der Wechselindukion L. Welche Form ha die I (? Hinweis: Sellen Sie eine Differenzialgleichung 4. Ordnung für I auf; verwenden Sie abkürzende Symbole für die aufreenden Koeffizienen und sonsige Ausdrücke. Aufgabe 3 Wiederkäuer lagern das ungekaue Fuer zunächs im Pansen (Inde ), nach dem Kauen gelang es in den Labmagen (Inde ) und von dor in die Eingeweide (Inde 3). Sez man die jeweils weiergegebene Menge proporional zur vorhandenen Menge an, ergib sich das Differenzialgleichungssysem: m = km, m = km km, m 3 = km, das uner den Anfangsbedingungen m () = M, m () =, m () zu lösen is! 3 = Aufgabe 4 Viele Vorgänge in der Physik (harmonischer Oszillaor, Trägheisschwingung der Amosphäre,...) können idealisier durch das lineare Differenzialgleichungssysem () = ω y(), y () = ω () beschrieben werden. a) Welche ha dieses Sysem für () =, y () =? b) Zeigen Sie, dass sich bei der numerischen des Sysems mi dem Eulerverfahren i+ i y = ω yi, i+ yi = ω i Δ Δ von Zeischri zu Zeischri der Absand vom Ursprung (,) um einen konsanen Fakor wächs. c) Wie is das Verfahren in diesem Fall zu beureilen?

15 Aufgaben zu Differenzialgleichungen n-er Ordnung () en in Maple Aufgabe ϕ = cos( und ϕ = cos ( sind en von y '' (an( + co( ) y' + 4y = Überprüfen Sie diese Aussage. Bilden sie ein Fundamenalsysem? Aufgabe Lösen Sie folgende homogene lineare Differenzialgleichungen. Ordnung: a) u ( + 3u ( + 4u( = b) v ( + v ( + 36v( = c) y' '( + 6y'( + 34 y( = d) z' '( + 6z( = Aufgabe 3 Besimmen Sie reelles Fundamenalsysem für (4) a) y ( y''( + 9y( = b) u ( u ( + u ( = (6) *c) y ( y( = Aufgabe 4 Gegeben is die inhomogene lineare Differenzialgleichung. Ordnung y ''( 3y'( + y( = s( mi der Inhomogeniä s(. Ermieln Sie parikuläre en für a) s( = 6 b) s ( = c) s e d) s ( = cos( e) s ( = 4 + cos( f) s e *g) s = ( = ) ( = ( ) cos( e )

16 Aufgabe 5 Lösen Sie die Schwingungsprobleme a) ( + 6( = () = 3, () = 4 b) ( + ( + ( = () =, () = c) ( + 3 ( + 4( = () = 3, () = Aufgabe 6 (Maple) Lösen Sie die folgenden Differenzialgleichungen mi Maple, indem Sie den dsolve-befehl verwenden: (4) a) y ( y''( + 9y( = sin( b) y' ''( 7y'( 6y( = e y '''( y''( + y'( y( = cos( c) ) d) y' ''( 6y''( + y'( 8y( = 6e Aufgabe 7 (TA) a) Geben Sie eine DG.Ordnung an, deren Fundamenalsysem e, e 3 laue. e sin(3, e cos(3 b) Geben Sie eine DG.Ordnung an, deren Fundamenalsysem laue. c) Wie muss eine DG. Ordnung aussehen, dami man mi dem Ansaz parikuläre erhäl? ( A ) 3 + B e eine

17 Aufgaben zu Fourier-Reihen en in Maple Aufgabe Besimmen Sie für die unen skizzieren π-periodischen Funkionen im Periodeninervall einen formelmäßigen Ausdruck, suchen Sie nach evenuell vorhandenen Symmerien und enwickeln Sie die Funkionen dann in eine reelle Fourier-Reihe: a) b) 3 π π π 3 π π Aufgabe Skizzieren Sie die folgenden T-periodischen Funkionen, besimmen Sie das zugehörige Ampliudenspekrum und die Fourier-Reihe. T e f ( = T e h T f() T = für T h T a) für b) Aufgabe 3 Geben Sie die kompleen Fourier-Koeffizienen der Funkionen aus Aufgabe und Aufgabe a) an. Aufgabe 4 (TA) Geben Sie den Unerschied an zwischen der Fourier-Reihe und den Fourier-Koeffizienen. Welches is der Unerschied zwischen f () und der Fourier-Reihe von f (). Wie kann man das Ampliudenspekrum berechnen? Was sag das Ampliudenspekrum aus? Inerpreieren Sie die Zerlegung eines periodischen Signals in die Fourier-Reihe physikalisch.

18 Aufgaben zu Fourier-Reihen (Forsezung) Aufgabe 5 Enwickeln Sie die Funkion f ( =, < π auf ganz R forgesez wird. Welchen Wer ha die Fourier-Reihe in <, in eine Fourier-Reihe, wobei f π-periodisch = und = π? Aufgabe 6 (TA, Maple) Gegeben is die Funkion f () = u( T) im Zeibereich T. Sezen Sie die Funkion ungerade auf das Inervall [ T,] for. Sezen Sie die Funkion anschließend T -periodisch auf ganz R for. a) Zeichnen Sie für u =, T = die Funkion im Inervall [, T ]. b) Besimmen Sie von der punksymmerischen Funkion die Fourier-Koeffizienen. Geben Sie für u =, T = die ersen drei von Null verschiedenen Koeffizienen eplizi an. Was für Konsequenzen ha das Verhalen der Koeffizienen? c) Zeichnen Sie die Funkion und sin( π / in ein Diagramm. Kann man das Verhalen versehen? Aufgabe 7 (Anwendung) In der uneren Abbildung is der zeiliche Verlauf einer Kippspannung (Sägezahnimpuls) mi der Schwingungsdauer T angegeben. Geben Sie für < T die Funkionsgleichung von u( an. a) Besimmen Sie das Spekrum des Zeisignals. b) Wie verhalen sich die Fourier-Koeffizienen qualiaiv für? n u( T T 3T Aufgabe 8 Zeichnen Sie die unen angegebenen Funkionen. Besimmen Sie zu den Funkionen die Fourier- Koeffizienen uner Berücksichigung möglicher Symmerieeigenschafen. Sellen Sie die Fourier- Reihen der Funkionen auf. 8 < < a) f ( = für mi Periode 4 8 < < 4 b) f ( = für 4 4 mi Periode 8

19 Aufgaben zur Fourier-Transformaion en in Maple Aufgabe a) Berechnen Sie die Fourier-Transformaion von T T ( A < < f = für. sons b) Sezen Sie A = und diskuieren Sie die Funkion F( f )( ω) bezüglich ihren Nullsellen und T das Verhalen für ω. c) Was ergib sich für ( A f = < < ( + T ) für? sons Aufgabe Besimmen Sie das Spekrum des Dreiecksignals Komm die Frequenz π T ω = f A ( = T ( ) für T > T im Signal vor? Wenn ja mi welcher Ampliude? Komm die Frequenz ω = im Signal vor? Wenn ja mi welcher Ampliude? Besiz das Signal einen Gleichaneil? Aufgabe 3 Beweisen Sie a ω = e ω a) die Skalierungseigenschaf F( f ( a )( ω ) = F( f () )( ) b) den Verschiebungssaz F iω ( f ( ))( ) F( f ( )( ω ) a Aufgabe 4 Geben Sie die Fourier-Transformiere der skizzieren Funkion an: A A -T T Aufgabe 5 Besimmen Sie uner Benuzung der Eigenschafen der Fourier-Transformaion die Transformiere von i δ (, ) δ + ) δ ( ) und sin( ω. ( ( δ, ( )

20 Aufgabe 6 Wie laue die Falung des Recheckimpulses rec mi sich selbs? rec () = für > Aufgabe 7 (Maple) Besimmen Sie mi Hilfe der Maple-Befehle fourier und invfourier die Fourier-Transformiere der Funkion und die Zeifunkion des Spekrums f ( = für > ω cos( ω) si n( ) F( ω) = 4 3 ω ω. Aufgabe 8 [ f ( )] g ( = L Ein lineares Überragungssysem wird für durch die Differenzialgleichung f ( = g ( + 3g ( + g(, g ( ) =, beschrieben. Geben Sie die Überragungsfunkion (Sysemfunkion) an. Wie laue die Impuls- und die Sprunganwor des Sysems? Aufgabe 9 Lösen Sie die Differenzialgleichung y () + 3 y () + y() = r(), für a) r () = S () b) r () = δ () c) r () = 6 S () mi Hilfe der Impulsanwor, die in Aufgabe 8 mi Hilfe der Fourier-Transform aion besimm wurde: h( = ( e e ) S(. Welchen Anfangsbedingungen erfüllen die so g ewonnen en? *Aufgabe Ein lineares Sysem reagier auf das Eingangssignal f ( = rec( mi der Anwor ) = Δ( ). Besimmen Sie die Überragungsfunkion und die Impulsanwor. g ( *Aufgabe Für die in den Figuren a) c) skizzieren Nezwerke sollen die Überragungsfunkionen berechne werden. Normieren Sie die Überragungsfunkion so, dass geschrieben werden kann in der Form a + aiω + a( iω ) H ( ω ) =. + ω + ( iω) b b i

21 a) b) c) E L R C U E L C R y(=i E R L C U Aufgabe (TA) a) Was besag die Fourier-Transformaion aus der Sich der Signalanalyse? Wie komm der Unerschied zwischen der Fourier-Transformaion und den Fourier-Reihen zusande? Wie is das Spekrum von periodischen Funkionen, wie das der nich-periodis chen? Kann man den Unerschied versehen? b) Gib es ein reales Zeisignal, welches als Spekrum ein Recheck liefer? Welche Konsequenzen ha dies für die Realisierung eines idealen Tiefpasses? c) Geben Sie ein mechanisches, schwingungsfähiges Sysem an. Wie können Sie von diesem Sysem die Resonanzfrequenzen besimmen? Gib es mehrere Möglichkeien? Aufgabe 3 a) Die Impulsanwor eines linearen Sysems is gegeb en durch h( = δ ( + ) + δ ( ). Wie lauen Sprunganwor und Überragungsfun kion? b) Die Sprunganwor eines Sysems is gegeben durch den Graph: 3 Wie lauen Impulsanwor und Sysemfunkion? H is durch ( ω) cos( ω ) und Sprunganwor? c) Die Überragungsfunkion (ω ) 3 H = gegeben. Wie lauen Impuls- *Aufgabe 4 (Anwendungen, TA) a) Konsruieren Sie einen Tiefpass, der sich aus einem Energiespeicher zusammensez, indem Sie von einem Überragungsverhalen der Form H ( ω) = + iω ausgehen. Welche unerschiedlichen Möglichkeien haben Sie? b) Konsruieren Sie einen Hochpass, der sich aus einem Energiespeicher zusammensez, indem Sie von einem Überragungsverhalen der Form H ( ω)= + iω ausgehen. iω Welche unerschiedlichen Möglichkeien haben Sie?

22 Aufgaben zu pariellen Differenzialgleichungen en in Maple Aufgabe Zeigen Sie, dass u(, = cos( ω sin( k der Wellengleichung u c u = für ω = c k is. Für k n π / L u( =, = u( = L, = = sind die Randbedingungen erfüll. Aufgabe u( e k u Du Zeigen Sie, dass die Funkion, ) = ω sin( ) für ω = D k eine der Wärmeleiungsgleichung is: = Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass die folgenden Funkionen die jeweiligen DGen erfüllen: a) f ( y, ) = ln( + y) is der Laplace-Gleichung f + f yy = ( + y + ) b) g (, y, z) = z is der Laplace-Gleichung g g + g =. + yy zz *Aufga be 4 a) Zeigen Sie, dass die durch 4πD 4D T (, = e beschriebene Temperaurvereilung eines (unendlich ausgedehnen, nach Außen wärmeisolieren) Sabes der Wärmeleiungsgleichung genüg. T(, sell einen Wärmepol dar, bei welchem die Wärme von der ursprünglich sehr heißen Selle bei = nach beiden Seien wegsröm. b) Wie sieh die Temperaurvereilung zu r Zei =, =/D, =/D aus? c) Wann erreich die Temperaur an einer fesen Selle = ihren maimalen Wer? (Rechnen sie mi =5cm, D=,cm /sec (Cu)!) *Aufgabe 5 a) Beweisen Sie, dass mi zwei beliebigen, zweimal seig differenzierbaren Funkionen f, f : R R die Funkion u, f( c f( c r Wellenglei ( = + + de chung is. b) Lösen Sie das Anfangswerproblem u c u =, u(, = u, u (, = ) = v für vorgegebene Funkionen u,v mi dem Ansaz c) Was ergib sich daraus für ) u (, = f( + c + f( c. π u ( = sin( k, k = n, v =? L

23 *Aufgabe 6 Der Halbraum > sei von einer isoropen Subsanz mi der Temperaurleizahl D ausgefüll. An der Grenzfläche = herrsche eine Temperaur, die periodisch nach dem Gesez ( =, ) = + cosω schwank. Diese Temperaur sez sich in dem Halbraum als gedämpfe T A T Welle for. (Ansaz: T (, = Re( A + T i( k ω a) Berechnen Sie die Temperaur als Funkion von Or und Zei. b) In welcher Tiefe is die Ampliude der Temperaurschwankung auf den e-en Teil abgesunken? Berechnen Sie (.) das Eindringen der jährlich en Temperaurschwankung in die Erde 8 ( D = m / s, T = 3 C, ω =?). (.) das Eindringen in Eisen (Wand eines Eplosionsmoors) 5 ( D =, m / s, T = 4 C, ω = π 3/ s ). e )) Aufgabe 7 a) Besimmen Sie die allgemeine der pariellen Differenzialgleichung u (, y) u yy (, y) = mi dem Separaionsansaz. b) Welche allgemeine genüg davon auch noch den Randbedingungen: u ( =, y) = für alle y, u (, y = ) = für alle, u (, y = L) = für alle? *Aufgabe 8 Die Laplace-Gleichung laue in Polarkoordinaen Δu = urr + ur + u = ϕϕ r r a) Führen Sie einen Produkansaz u ( r, ϕ) = R( r) Φ( ϕ) durch und besimmen Sie die gewöhnli- chen Differenzialgleichungen für R (r) und Φ (ϕ ). b) Zeigen Sie, dass für ein geeignees ω die Gleichung Φ ( ϕ) = A sin( ωϕ ) + B cos( ωϕ ) der Differenzialgleichung für Φ (ϕ ) is. n ( ) eine der Differenzialgleic) Zeigen Sie, dass für ein geeignees n die Gleichung chung für R(r) is. R r = cr Aufgabe 9 Verwenden Sie einen Separaionsansaz zur des folgenden Randwerproblems: u ( y, u ( y, = y