3. Partielle Differentialgleichungen

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1 3.. Grundlagen und Klassifikaion Welche Ordnung haben diese Gleichungen?? Lineare parielle Differenialgleichungen. Ordnung Analogie: Klassifikaion Kegelschnie 1

2 3.4.3 Korrek geselle Probleme Anfangs- und Randbedingungen formulieren, die garanieren, dass das Gesamproblem eine eindeuige Lösung von prakischer Relevanz besiz Insbesondere darf das Problem nich sensiiv gegenüber Fehlern in den Anfangs- und Randbedingungen sein. Definiion (J. S. Hadamard ( )): Ein AWP, RWP oder ARWP heiß korrek gesell (engl. wellposed), wenn 1. eine lokale Lösung des Problems eisier,. die lokale Lösung eindeuig is, 3. die lokale Lösung seig von den Anfangs- und Randbedingungen abhäng. D.h. kleine Änderungen in den Anfangs- und Randbedingungen verursachen nur kleine Änderungen in der Lösung! Achung! Diese Bedingungen sind nur lokaler Naur; d.h. in einem Gebie Ω eisier zwar eine eindeuige Lösung; das globale Problem kann jedoch auch weiere Lösungen besizen! Zur Orienierung: Man benöig auf jeden Fall Je Zeiableiung eine Anfangsbedingung und Je Orsableiung eine Randbedingung.

3 3.5. Lösung parieller Differenialgleichungen Ähnlich wie bei gewöhnlichen Differenialgleichungen Die Lösungsfunkion muss genügend of pariell differenzierbar sein Eingesez in die PDE ergib sich 0=0 in Ω Man unerscheide zwischen allgemeiner und spezieller Lösung, wobei die allgemeine Lösung für die prakische Anwendung kaum Bedeuung ha Lösungsverfahren Analyische Verfahren: Subsiuion Ersezen der Variablen durch eine Transformaion der Variablen. Führ auf eine vereinfache parielle oder gewöhnliche Differenialgleichung erser Ordnung. Charakerisikenverfahren Besimm wird eine Paramerisierung des Graphen der Lösung. Is beschränk auf quasi-lineare Differenialgleichungen erser Ordnung. Führ auf ein Sysem gewöhnlicher Differenialgleichungen. Poenzialheorie Ein Ansaz als Poenzial oder Summe von Poenzialen bei einem Randwerproblem. Führ auf eine Inegralgleichung. 3

4 3.5.1 Lösungsverfahren Analyische Verfahren: Variaionsformulierung Enweder direk durch parielle Inegraion oder durch Formulierung als ein Opimierungsproblem kann eine Variaionsformulierung eines Anfangs- oder Randwerproblems gefunden werden. Separaion Ansaz als Produk von Funkionen, die jeweils nur von einer Koordinae des Koordinaensysems abhängen. Führ auf ein Sysem von (ungekoppelen) gewöhnlichen Differenialgleichungen. Inegralransformaionen Transformaion bezüglich einer oder mehrerer Variablen mi Hilfe der Laplace- oder Fourierransformaion. Führ auf eine gewöhnliche Differenialgleichung (im Bildraum) Lösungsverfahren Numerische Verfahren: Finie-Differenzen-Mehode (FDM) Parielle Ableiungen werden durch Differenzenquoienen approimier. Finie-Elemene-Mehode (FEM) Bau auf der Variaionsformulierung auf. Die Lösungsfunkion wird durch eine Linearkombinaion einfacher Funkionen (Geraden, Polynome) approimier. Randelemenmehode (BEM Boundary elemen mehod) Bau auf einer miels Poenzialheorie gewonnenen Inegralgleichungsformulierung auf. Die Lösung der Inegralgleichung wird wie bei FEM durch einfache Funkionen approimier. Finie-Volumen-Mehode (FVM) Die pariellen Differenialgleichungen werden zu Erhalungsgleichungen umgeschrieben. Das Lösungsgebie wird in kleine Volumen aufgeeil und die Erhalungsgleichungen werden jeweils erfüll. 4

5 Beispiel: Lösung der 1D-Diffusionsgleichung bzw. 1D-Wärmeleiungsgleichung u (, ) a u (, ) = 0 Modell für Temperaurvereilung in einem dünnen (Meall-) Sab Der Sab is überall isolier, außer an den Enden! Randbedingungen Anfangsbedingungen 1 5

6 6 = L e u al sin ), ( Lösung = L e u al sin ), ( Lösung

7 Lösung u(, ) = e al sin L 7