13.1 Charakterisierung von Schwingungen

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Manfred Amsel
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1 87 Schwingungen reen in allen Fachgebieen mi rückgekoppelen Prozessen auf. Im Maschinenbau ensehen Schwingungen durch elasische Radaufhängungen, Maschinenfundamene oder Maschineneile, in der Elekroechnik durch Schwingkreise, in der Technischen Kyberneik durch Regelkreise, im Bauwesen an Brücken und Türmen, in der Wirschaf in Form von Konjunkur- oder Kursschwankungen, in der Biologie als Populaionsschwankungen und Pulsschlag, in der Chemie und Verfahrensechnik durch gekoppele chemische Reakionen. Ensprechend vielfälig sind die Schwingungserscheinungen und Mechanismen der Schwingungserregung. Schwingungen können periodisch oder regellos sein, ihre Ampliuden können abnehmen oder aufklingen. Wird ein Schwinger einmalig angesoßen und sich anschließend selbs überlassen, bezeichne man die Bewegung als freie Schwingung. Enseh die Schwingung dagegen durch dauernde Sörung von außen, heiß sie erzwungene Schwingung. Sörungen müssen nich nowendig eine Schwingung erzwingen. Veränder man z.b. die Länge eines Fadenpendels, kann die Gleichgewichslage erhalen bleiben. Sie änder jedoch ihren Sabiliäscharaker und im Zusammenspiel mi einer Anfangsauslenkung können Schwingungen schnell aufklingen, man bezeichne diese als parameererrege Schwingungen. Bei selbserregen Schwingern wie dem Uhrenpendel is die Sörung über einen inneren Schalmechanismus mi der Schwingung rückgekoppel, so dass die Energiezufuhr ses im richigen Augenblick erfolg und die Schwingung anfach bzw. aufrech erhäl. Mahemaisch lassen sich Schwingungen in Form von Differenialgleichungen beschreiben, ihre Anzahl häng vom Freiheisgrad des Schwingungssysems ab. Die Differenialgleichungen können linear oder nichlinear in den Schwingungskoordinaen sein. Lösungen für nichlineare Differenialgleichungen sind nur in ausgewählen Fällen bekann, z.b. für die Schwingung eines Pendels. In vielen Fällen ineressier man sich jedoch lediglich für kleine Schwingungen um eine vorgegebene Sollbahn oder Gleichgewichslage. In diesem Fall kann die nichlineare Schwingungsgleichung linearisier werden, um bekanne Lösungsverfahren auf die ensehenden linearen Differenialgleichungen anzuwenden.

2 Charakerisierung von Schwingungen Schwingungen lassen sich hinsichlich folgender Krierien klassifizieren: Freiheisgrad Einfacher Schwinger ( f 1) Mehrfacher Schwinger ( f n) Koninuierlicher Schwinger ( f ) Zeiverlauf periodische Schwingung abklingende (gedämpfe) Schwingung aufklingende (angefache) Schwingung regellose Schwingung (sochasisch/chaoisch)

3 89 Schwingungsdifferenialgleichung lineare Schwingungen ẋ. m c 0 nichlineare Schwingungen.. g sin 0 l Ar der Schwingungserregung freie Schwingungen (Anregung durch Anfangsauslenkung oder Soß) ẋ. m c 0 erzwungene Schwingungen (Zwangserregung durch Unwuchen, Fahrbahnunebenheien, ec.) ẋ. m c f () parameererrege Schwingungen (Gleichgewichslage 0 bleib Lösung, ers Anfangsauslenkung führ zur Schwingung) l().. 2l. () l(). g sin 0 l() selbserrege Schwingungen (Energiezufuhr im Tak der Schwingung) Anker (Schaler) Pendel (Schwinger) Gewich (Energiespeicher)

4 Nichlineare Pendelschwingungen Schwingungsgleichung z.b. Mahemaisches Pendel:.. 2 o sin 0 mi 2 o g L L m Phasenporrä Phasenkurven (,. ):.. 2 o sin 0 Inegraion o cos cons o cos 0. spez. Anfangsbedingung: 0 A, cos cos A

5 91 Schwingungszei (Periode) Inegraion:. d d 0 d 0 T 4 0 A 0 2 cos cos A 1 d 2 cos cos A 1 d 2 cos cos A T 2 0 führ auf vollsändiges ellipisches Inegral 0 2 A

6 Gleichgewichslagen und Linearisierung Nichlineare Schwingungsgleichung Die Schwingung mechanischer Syseme wird i.allg. durch Differenialgleichungen 2. Ordnung beschrieben, in denen die Beschleunigungen linear aufreen: ẋ. f (, ẋ) 0 Gleichgewichslagen Ansaz: () 0 cons eingesez: f ( 0, 0)! 0 Linearisierung der Schwingungsgleichung um eine Gleichgewichslage Ansaz: () 0 () mi () 1 ẋ() ẋ() 1 ẋ. () ẋ. () 1 eingesez: ẋ. f ( 0, ẋ) 0 Taylorreihenenwicklung f ( 0 h) f ( 0 ) f( 0 )h 1 2 f ( 0 )h2 f ( 1 0 h 1, 20 h 2, ) f ( 10,, ) 20 f h 1 f h 1 1 0, , 20 linearisiere Schwingungsgleichung: ẋ. f ẋ f 0 ẋ 0, 0 0, 0

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