Schwingungen. 1 Schwingung als periodischer Vorgang

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1 -I.D1- D Schwingungen 1 Schwingung als periodischer Vorgang 1.1 Definiion Voraussezungen für das Ensehen einer mechanischen Schwingung sind eine zur Gleichgewichslage gerichee rückreibende Kraf und die Träghei des schwingenden Körpers. Beispiele mechanischer Schwingungssseme sind das ederpendel (Abb.1) oder das adenpendel (Abb.). rückreibende Kraf rückreibende Gleichgewichslage Kraf Gleichgewichslage rückreibende Kraf rückreibende Kraf Abb.1: ederpendel Abb.: adenpendel Uner der mechanischen Schwingung eines Körpers verseh man eine Bewegung, die uner der Einwirkung einer Rücksellkraf um die Gleichgewichslage des Körpers verläuf. Die Auslenkungen wiederholen sich zeilich periodisch. 1. Kennzeichnende Größen Nachfolgende Größen dienen zu Beschreibung von Schwingungen: Die Schwingungsdauer oder Periodendauer T gib den Zeiraum zwischen zwei gleichen, aufeinander folgenden Schwingungszusänden an. Es is somi die erforderliche Zei einer vollsändiger Hin- und Herbewegung. Einhei der Periodendauer: Sekunde s Die requenz f is der Quoien aus der Anzahl an Schwingungen und der hierzu erforderlichen Zei. Einhei der requenz: Herz Hz (= 1/s) Die Auslenkung oder Elongaion is die Srecke, um die sich der Körper aus der Gleichgewichslage enfern ha. Die Elongaion is vorzeichenbehafe. Einhei der Elongaion: Meer m Die Ampliude is die größe Auslenkung oder maximale Elongaion. Die Ampliude erhäl immer ein posiives Vorzeichen. Einhei der Ampliude: Meer m Die rückreibende Kraf oder Rücksellkraf is die auf den Körper wirkende Kraf, die auf die Gleichgewichslage geriche is. Je größer die Elongaion, deso größer is die Rücksellkraf. Einhei der Rücksellkraf: Newon N Sciences naurelles e echnologie

2 -I.D- Harmonische Schwingung.1 Schwingungssseme.1.1. ederpendel Auf einen Körper, der an einer eder häng, wirken die Gewichskraf und die ederspannkraf. Die daraus resulierende Kraf is der Auslenkung der eder proporional (Gesez von Hook). Demensprechend (3. Axiom von Newon) is die rückreibende Kraf der Elongaion proporional. Man kann feshalen: = D Die Größe D ensprich der ederkonsanen c..1.. adenpendel Man erhäl die Rücksellkraf, indem man die Gewichskraf G in zwei Komponenen zerleg (Abb.3). Der Berag der angeniellen Komponene der Gewichskraf is: = Der Weg berechne sich aus der Pendellänge l und dem Winkelmaß ϕ: = Bei Auslenkungen die klein sind gegenüber der Pendellänge gil sinϕ ϕ Man erhäl somi für die Rücksellkraf: = bzw. (mi D = m g / l) = D l ϕ Abb.3: Rücksellkraf am adenpendel ϕ G.1.3. Definiion Bei einer harmonischen Schwingung is die rückreibende Kraf proporional der Auslenkung aus der Gleichgewichslage. = D : Kraf in N D: Direkionsgröße in N/mm : Auslenkung in mm. Eigenschafen harmonischer Schwingungen..1 Weg-Zei-Diagramm Der Zusammenhang zwischen dem Weg und der Zei bei Schwingungsvorgängen wird durch einen Versuch ermiel: Schirm In kleiner Körper A mi Masse m führ hierbei eine gleichförmige Kreisbewegung aus (Abb.). Seine Bewegung wird durch paralleles Lich auf einen Schirm projizier. Der Schaenpunk P beschreib eine r Hin- und Herbewegung zwischen den Punken P 1 und P. ϕ x r x P 1 A P Abb.: Harmonische Schwingung P Sciences naurelles e echnologie

3 -I.D3- Auf den Körper wirk die Radialkraf r : r = m a r = m r Die Radialkraf zerleg man vekoriell in eine Krafkomponene parallel zum Schirm und eine Krafkomponene x senkrech dazu. Die Bewegung auf dem Schirm wird nur durch die parallele Komponene hervorgerufen. = (1) ür den Winkel ϕ gil: sinϕ = () (1) und () ergib: = Die Größen r und r sind konsan, man kann die Gleichung daher anschreiben als = D (3) Ensprechend der Definiion beschreib dies eine harmonische Schwingung. Man kann daher sagen: Wenn ein Körper eine gleichförmige Kreisbewegung beschreib, führ sein Schaen eine harmonische Schwingung aus. Berache man Abb., so erkenn man daß die maximale Auslenkung des Schaenpunkes P dem Radius des Kreises ensprich: = r () Aus (1) = r sinϕ mi (3) = D erhäl man mi (): D = D r sinϕ = r sinϕ Der Winkel ϕ zu einem Zeipunk häng von der Winkelgeschwindigkei ω und dem Winkel ϕ zum Zeipunk = ab (siehe IC5.1.): ϕ() = ω + ϕ (Man bezeichne ϕ als die Phase der Schwingung) v Lezendlich gil: = r sin(ω + ϕ ) Träg man die Hin- und Herbewegung des Schaenpunkes P in ein Weg-Zei- Diagramm ein (Abb.5), erhäl man eine Sinuskurve. 3 ϕ 1 = Abb.5: Weg-Zei-Diagramm einer harmonischen Schwingung Bei der dargesellen Schwingung is der Schaenpunk P zum Zeipunk = in der Mie des Schirmes. Es gil ϕ =. 6 Weg-Zei-Gesez einer harmonischen Schwingung. = sin(ω + ϕ ) : Elongaion (Auslenkung) in m : Ampliude in m ω: Winkelgeschwindigkei in rad/s : Zei in s ϕ : Phasenwinkel bei = in rad Das Weg-Zei-Diagramm einer harmonischen Schwingung is eine Sinuskurve. Sciences naurelles e echnologie

4 -I.D-.. Phasenwinkel Zwei harmonische Schwingungen gleicher Periodendauer und gleicher Ampliude können zeilich verschoben sein. Im Weg-Zei-Diagramm (Abb.6) erkenn man daß die beiden Schwingungen zu gleichen Zeipunken unerschiedliche Elongaionen haben. Der Schwingungszusand wird durch den Phasenwinkwel ϕ beschrieben. = sin(ω+ϕ) ẏ =. sin(ω) Abb.6: Phasendifferenz gleicher Schwingungen..3 Periodendauer von Schwingungsssemen Aus dem Weg-Zei-Diagramm einer harmonischen Schwingung (Abb.7) sind die Periodendauer T und die Ampliude der Schwingung abzulesen. Desweieren gib das Diagramm die Elongaion der Schwingung zu jedem Zeipunk an. T Abb.7: Weg-Zei-Diagramm einer harmonischen Schwingung Die Periodendauer der beiden bekannen Schwingungssseme ederpendel und adenpendel berechne sich wie folg (siehe TP Schwingungen): Schwingungsgleichung eines ederpendels (ederschwingers) T = π m D T: Periodendauer in s m: Masse in kg D: Direkionsgröße in N/m Schwingungsgleichung eines adenpendels T = π l g T: Periodendauer in s l: adenlänge in m g: Erdanziehungskraf in m/s.3 Aufgaben Aufgabe 1: Die requenz eines Schwingungsssems beräg,1 Hz, die Ampliude cm. Selle die Schwingungen in einem Weg-Zei-Diagramm dar. Aufgabe : Zum Zeipunk = beräg die Elongaion des Schwingungsssems aus Aufgabe 1 cm. Ein gleiches Ssem schwing mi einem Phasenwinkel von π/ hinerher. Selle beide Schwingungen in einem Weg-Zei-Diagramm dar. Sciences naurelles e echnologie

5 -I.D5- Aufgabe 3: a) Welche Masse muß an eine verikal hängende Schraubenfeder (D = N/m) gehäng werden dami ihre Periodendauer π s beräg? b) Wie groß is die Verlängerung der Schraubenfeder? Aufgabe : Ein ederschwinger führ pro Minue 3 Schwingungen durch. Wie muß man die Masse verändern, dami er 9 Schwingungen durchführ? Aufgabe 5: Nach eierabend wird auf der Bauselle die Tischkreissäge an den Kran gehäng. Sie schwing mi einer Ampliude von 1, m und einer Schwingungsdauer von,8 s. a) Wie lang is das Seil? b) Um welche Länge ha sich die Tischkreissäge nach,5 s aus der Gleichgewichslage enfern? Aufgabe 6: Eine Pendeluhr geh äglich 3 Minuen vor. Wie genau wird die Uhr wieder richig gesell? (Hinweis: die Periodendauer des Pendels beräg 1 s) Aufgabe 7: Ein GALILEI-Hemmungspendel is ein adenpendel, bei dem verikal uner der Aufhängung A ein Sif S fixier is, so daß der aden dor anschläg und geknick wird (Abb.8). Welche Periodendauer erhäl man für eine adenlänge von 81 cm und einem Absand von 5 cm zwischen Aufhängung und Sif? A S Abb.8: Galilei-Hemmungspendel. Gedämpfe Schwingung Bei vielen Schwingungen nimm die Ampliude im Laufe der Zei ab (Abb.9), nachdem das Ssem durch eine einmalige Anregung in Schwingung versez wurde. Hier sprich man von gedämpfen Schwingungen. Abb.9: Gedämpfe Schwingung Der Grund dafür lieg darin, daß ein Teil der mechanischen Energie allmählich in eine andere Energieform umgewandel wird. Sciences naurelles e echnologie

6 -I.D6-.5 Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher requenz Die resulierende Schwingung aus der Überlagerung von zwei Schwingungen gleicher requenz erhäl man, indem man zu jedem Zeipunk die Summe der Elongaionen besimm. Nachfolgend werden einige Sonderfälle berache:.5.1 Phasengleiche Schwingungen Schwingung 1 Bei Schwingungen gleicher Periodendauer, deren Phasenverschiebung ein geradzahliges Vielfaches von π is ( ϕ = k π, k N ), unerscheiden die Diagramme sich nur in der Elongaion. Die resulierende Ampliude is die Summe der Ampliuden der beiden Schwingungen (Beispiel in - Abb.1). Schwingung 6 Resulierende Schwingung Abb.1: Überlagerung gleichphasiger Schwingungen -6 Die Überlagerung gleichphasiger Schwingungen führ zu einer maximalen Versärkung der resulierenden Schwingung Phasendifferenz π Bei Schwingungen gleicher Periodendauer, deren Phasenverschiebung ein nichgeradzahliges Vielfaches von π is ( ϕ = ( k+1) π, k N), is die resulierende Ampliude is Differenz der Ampliuden der beiden Schwingungen (Beispiel in Abb.11). Schwingung 1 - Schwingung Abb.11: Überlagerung von Schwingungen mi Phasendifferenz π Resulierende Schwingung Die Überlagerung phasenverschobener Schwingungen führ bei einer Phasendifferenz π zu einer Abschwächung der resulierenden Schwingung. Die Überlagerung phasenverschobener Schwingungen gleicher Ampliude führ bei einer Phasendifferenz π zu einer Auslöschung der resulierenden Schwingung. Sciences naurelles e echnologie

7 -I.D Beliebig phasenverschobene Schwingungen Schwingung 1 - Schwingung Resulierende Schwingung Abb.1: Überlagerung beliebig phasenverschobener Schwingungen - Die Überlagerung phasenversezer Schwingungen führ wieder zu einer harmonischen Schwingung..5. Zusammenfassung Bei der Überlagerung frequenzgleicher harmonischer Schwingungen beliebiger Ampliude und Phase enseh immer wieder eine harmonische Schwingung der gleichen requenz..6 Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz.6.1 Eigenschwingung Wenn man jeweils an gleicher Selle über die Saie einer Giarre sreif, führ die Saie jeweils die gleichen Schwingungen aus und man hör einen Ton gleicher requenz. Ebenso bewegen sich Sräucher bei jedem Windsoß mi gleicher requenz, die man als Eigenfrequenz des Schwingungsssems bezeichne. Die einmalige Anregung eines Schwingungsssems führ zu gedämpfen Schwingungen, die man Eigenschwingungen des Ssems nenn..6. Erzwungene Schwingung Wenn ein schwingungsfähiges Ssem durch eine von außen periodisch veränderliche Kraf angereg wird, führ es Schwingungen mi der requenz des Erregers aus. Diese erzwungenen Schwingungen haben demzufolge die Erregerfrequenz..6.3 Resonanz Wenn Eigenfrequenz des Schwingers und Erregerfrequenz übereinsimmen, dann reen die größen Ampliuden auf. Erreger und Schwinger befinden sich dann in Resonanz (Abb.13). Die Resonanz is umso schlanker und höher, je geringer die Dämpfung des Schwingers is. Abb.13: Resonanz Sciences naurelles e echnologie

8 -I.D8-.7 Aufgaben Aufgabe 8: Die requenz von zwei Schwingungsssemen beräg, Hz, die Ampliude 3 cm. Zum Zeipunk = beräg die Elongaion beider Sseme cm, beide sind am anseigen. a) Selle die Schwingungen und die überlagere Schwingung in einem Weg-Zei-Diagramm dar. b) Ein dries Ssem schwing mi gleicher requenz und einer Ampliude von 6 cm um den Phasenwinkel π voraus. Zeichne die drie Schwingung und die resulierende Schwingung aus den drei Ssemen in das gleiche Diagramm. Aufgabe 9: Ein PKW ha eine Eigenfrequenz von 1, Hz. Die ahrbahn wurde aus 15 m langen Beonplaen hergesell, zwischen denen sich eine schmale uge befinde. Bei welcher Geschwindigkei werden die Soßdämpfer (oder besser Schwingungsdämpfer) des Auos am meisen beanspruch? 3 Aus Wissenschaf und Technik Pendeluhr Der Holländer Chrisian Hugens baue 1657 die erse Pendeluhr, bei der die gleichmäßigen Schwingungen die Gang der Uhr regeln. Die Anriebsenergie (Abb.1) wird durch die Gewichskraf einer Masse geliefer, durch Zahnräder sind Zeiger und Minuenrad mieinander verbunden. Abb.1: Pendeluhr Einsurz einer Brücke In Tacoma (US-Bundessaa Washingon) wurde am 7. November 19 eine neu erbaue Brücke (Einweihung am 1. Juli) bei einem Surm dermaßen in Schwingungen gebrach, daß sie einsürze (Abb.15). Der Wind simme mi der Eigenfrequenz der Brücke überein und die Resonanzschwingungen brachen diese zum Einsurz. Abb.15: Tacoma Narrows Bridge Rollen bei Schiffen Die Wellenbewegungen des Wassers führen zu Schwingungen der Schiffe um die Längsachse, die man als Rollen oder Schlingern bezeichne. Dieses kann zu sarkem seilichen Neigen führen. In gleicharigen Schlingeranks an Back- und Seuerbord des Schiffes, die mi dicken Rohren verbunden sind (Abb.16), befinde sich Wasser, das um 18 phasenverschoben schwing. Dadurch kann die Ampliude des Rollens auf ein Driel verringer werden. Abb.16: Schlingerank Resonanz am PKW Die Vibraionen des Moors und das Abrollen auf der ahrbahn erregen alle Baueile des PKW s zu erzwungenen Schwingungen. Bei besimmen Drehzahlen oder Geschwindigkeien können diese mi den Eigenfrequenzen einzelner Baueile übereinsimmen. Dann klirren beispielsweise Teile des Armaurenbrees, das Lenkrad oder der Schalhebel. Abb.17: Berechnungen mi mahemaischem Modell Sciences naurelles e echnologie