D f = 1 π D J (M13.13) 1 Hz = 1 s kg m 2 rad. N m rad

Transkript

1 00 13 Mechanische harmonische Schwingungen T Schwingungsdauer = 1/ f, Dauer einer vollen Schwingung, J Trägheismomen des die Drehschwingung ausführenden Körpers, bezogen auf seine Drehachse, dann gelen analog zu (M13.11) (M13.13) ω = D J ; f = 1 π D J ; J T = π D SI D M ε ω f T J N m N m rad 1 Hz = 1 s kg m rad s s Pendelschwingungen Pendel führen Drehschwingungen aus. Das rücksellende Drehmomen wird von der Schwerkraf erzeug. Mahemaisches Pendel Das Fadenpendel mi punkförmiger Masse am masselosen Faden is nich realisierbar. Is jedoch die Masse des Fadens vernachlässigbar klein gegenüber der Masse des Pendelkörpers und die Fadenlänge groß gegenüber den Abmessungen des Körpers, dann kann mi ausreichender Genauigkei die Bewegung des mahemaischen Pendels als lineare Schwingung angesehen werden, solange die Auslenkung nach jeder Seie klein bleib (ε < 8 ). T Schwingungsdauer = 1/ f, Dauer eines vollen Hin- und Herganges (Periode), l Pendellänge, Absand Drehpunk Schwerpunk, g Fallbeschleunigung = 9,807 m/s (auf der Erde), ε l F 1 F G ε F dann gil F 1 /F G = /l und, da bei kleinem Winkel ε dem Weg auf dem Bogen gleichgesez werden kann, ensprechend (M13.8) k = F 1 = F G = mg und eingesez in (M13.11) l l

2 13. Eigenfrequenz der ungedämpfen harmonischen Schwingung 01 ml T = π mg (M13.14) oder l T = π g T l g SI s m m s Beache: Die Schwingungsdauer T häng nich von der Masse des Pendelkörpers ab. Die Schwingungsdauer häng innerhalb der angegebenen Grenzen (ε < 8 ) nich von der Ampliude ab. M Phsisches Pendel Pendel, bei denen die Bedingungen des mahemaischen Pendels nich erfüll sind, heißen phsische (d. h. körperliche) Pendel (leider manchmal phsikalische Pendel genann). T Schwingungsdauer = 1/ f, A J A Trägheismomen des pendelnden Körpers, bezogen auf die durch den Drehpunk A ε s gehende Achse, m Masse des pendelnden Körpers, s Absand Drehpunk A Schwerpunk S, dann gil D = M ε = F G = F Gs sin ε ε ε oder, weil bei kleinen Winkeln D = F G s = mgs und ensprechend (M13.13) (M13.15) J A T = π mgs S F G sin ε 1, ε T J m g s SI s kg m kg m s m Beache: (M13.15) gil nur für Ampliuden kleiner als 8. J A is mi dem Saz von Seiner zu besimmen. Mi J A = ms und s = l ergib sich die Schwingungsdauer des mahemaischen Pendels (M13.14).

3 0 13 Mechanische harmonische Schwingungen Reduziere Pendellänge Uner der reduzieren Pendellänge eines phsischen Pendels verseh man die Länge eines mahemaischen Pendels gleicher Schwingungsdauer. l reduziere Pendellänge, J A Trägheismomen, bezogen auf die durch den Drehpunk A gehende Achse, m Masse des phsischen Pendels, s Absand Schwerpunk S DrehpunkA, dann gil ensprechend (M13.14) und (M13.15) π l g = π (M13.16) J A mgs l = J A ms oder l J A m s SI m kg m kg m Beache: Im Absand l senkrech uner dem Aufhängepunk eines drehbar gelageren Körpers befinde sich der Schwingungs- oder Soßmielpunk. Söße, die den Körper zum Pendeln bringen sollen, müssen gegen diesen Punk geriche sein, wenn im Aufhängepunk keine Rücksöße aufreen sollen. Die Schwingungsdauer eines phsischen Pendels änder sich nich, wenn Aufhängepunk und Schwingungsmielpunk verausch werden. Anwendung beim Reversionspendel z. B. zur Besimmung der Fallbeschleunigung. Besimmung des Trägheismomens Durch Messung von s, m und T kann das Trägheismomen eines beliebigen Körpers experimenell besimm werden. Aus (M13.15) und (M7.57) folg s A J S = mgst 4π ms F G = mg oder (M13.17) ( gt ) J m g s T J S = ms 4π s SI kg m kg m s m s

4 13. Eigenfrequenz der ungedämpfen harmonischen Schwingung 03 Beache: Zur Besimmung von J S is der Körper an einem Punk außerhalb S aufzuhängen und mi kleiner Ampliude anzusoßen Flüssigkeisschwingungen Wird die Flüssigkei in den Schenkeln eines U-Rohres aus dem Gleichgewich gebrach, so führ sie harmonische Schwingungen aus. T Schwingungsdauer = 1/ f, h l Länge der Flüssigkeissäule von Oberfläche bis h Oberfläche, g Fallbeschleunigung = 9,807 m/s (auf der Erde), dann gil, wenn der Höhenunerschied zwischen beiden Oberflächen h beräg, für die Rücksellkraf l F R = F G = haϱg. DieRichgröße k = F R / = F R /h ergib sich zu k = Aϱg. Mi der Masse m = laϱ folg für die Schwingungsdauer ensprechend (M13.11) T = π m/k laϱ T = π und daraus Aϱg (M13.18) l T = π g T l g SI s m m s M Beache: Die Schwingungsdauer häng nur von l, nichabervonϱ, A oder h ab. Die schwingende Flüssigkeissäule besiz die gleiche Schwingungsdauer wie ein mahemaisches Pendel mi der halben Länge der Flüssigkeissäule Schwingungsenergie Die Energie eines ungedämpf schwingenden Ssems is konsan. Sie sez sich aus poenzieller Energie E p und kineischer Energie E k zusammen. Beide Energiearen ändern ihre Größe periodisch. Zu jedem

5 04 13 Mechanische harmonische Schwingungen Zeipunk gil E = E p + E k. Mi (M 7.1) und (M 7.19) ergib sich E = k + mv. E Energie des Schwingers, k Richgröße, Ampliude, Auslenkungsmaximum, ϕ Phasenwinkel = ω + ϕ 0, dann gil mi (M13.) und (M13.3) E = k ŷ sin ϕ + m ŷ ω cos ϕ. Mi (M 13.8) mω = k folg E = k ŷ sin ϕ + k ŷ cos ϕ, daraus E = k ŷ (sin ϕ + cos ϕ ) und schließlich (M13.19) E E = kŷ = m ˆv E ges E k v m ϕ SI J=N m N m m m kg rad =1 s E k E p E p = E k 0 0 T 4 T 3T T 5T 3T 4 4 Beache: Die Gesamenergie is konsan. Die periodische Umwandlung von kineischer in poenzielle Energie (und umgekehr) erfolg mi der doppelen Frequenz des Schwingers. Beim Nulldurchgang ( = 0, ϕ = 0) besiz der Schwinger nur kineische Energie, die poenzielle Energie is null. In den Umkehrpunken is es umgekehr.

6 13.3 Freie gedämpfe Schwingung 05 Übersich: E p = E k = allgemein Umkehrpunk Nulldurchgang k = kŷ sin ϕ Ê p = kŷ mv = m ˆv cos ϕ 0 Ê k = m ˆv 13.3 Freie gedämpfe Schwingung Die Energie eines schwingenden Ssems wird durch bremsende Kräfe wie innere und äußere Reibung, Lufwidersand u. Ä. allmählich aufgezehr. Da E ŷ (M13.19), nimm auch die Ampliude ŷ bis zu null ab. Als Dämpfung bezeichne man das gesezmäßige Abnehmen der Ampliude im Verlaufe einer Schwingung. Dabei sind unabhängig von der Ar der dämpfenden Kraf zwei Möglichkeien zu unerscheiden: Die Kraf is konsan, z. B. Reibung in der Lagerung des Schwingers. Dann sind die = konsan Ampliuden Glieder einer fallenden arihmeischen Reihe, sie nehmen linear ab. Die Differenz zweier benachbarer Ampliuden gleichen Vorzeichens (ŷ i ŷ i+1 )iskonsan. Die Kraf is der Momenangeschwindigkei proporional, z. B. innere Reibung bei elasischer Verformung Dann sind die Ampliuden Glieder einer fallenden geomerischen Reihe, sie nehmen exponeniell ab. Der Quoien zweier benachbarer Ampliuden gleichen Vorzeichens (ŷ i /ŷ i+1 ) is konsan. 0 M

7 06 13 Mechanische harmonische Schwingungen Bei gedämpfen Schwingungsvorgängen wird in der Technik die geschwindigkeisabhängige Dämpfung angesreb. Da sich aber auch bei guer Lagerung des Schwingers Reibung nie ganz vermeiden läss, reen beide Dämpfungsaren meis gleichzeiig auf. Die Gesamhüllkurve der Ampliuden ergib sich dann aus einer Überlagerung beider Hüllkurven (algebraische Addiion der momenanen Elongaionen) Schwingungsgleichung Verursach wird die Dämpfung durch eine Kraf (meis innere Reibung), die der Geschwindigkei proporional und ihr engegengeriche is: F D v. Der Proporionaliäsfakor wird als Dämpfungskonsane β bezeichne, also F d = β v = β ẏ. SI-Einhei der Dämpfungskonsanen:[β ] = N s m = kg s. Aus Zweckmäßigkeisgründen führ man den Abklingkoeffizienen δ = β /(m) ein. SI-Einhei des Abklingkoeffizienen: [δ ] = 1 s. Elongaion, Auslenkung, ẏ Momenangeschwindigkei, ÿ Momenanbeschleunigung, β Dämpfungskonsane = mδ, δ Abklingkoeffizien = β /(m), ω 0 Eigenkreisfrequenz (Kennkreisfrequenz) der gleichen Schwingung ohne Dämpfung = π f 0, dann laue die Grundgleichung der Dnamik (M7.1) für diesen Fall: Rücksellkraf + Dämpfungskraf = Masse Beschleunigung, also k β ẏ = mÿ. Daraus folg ÿ + β mẏ + k m = 0. Mi β m = δ und k m = ω 0 ergib sich die Gleichung der gedämpfen Schwingung (M13.0) ÿ + δ ẏ + ω 0 = 0

8 13.3 Freie gedämpfe Schwingung 07 Beache: Die Begriffe Dämpfungskonsane, Abklingkoeffizien, Dämpfungskoeffizien u. a. sowie ihre Formelzeichen werden in der Lieraur nich einheilich verwende Elongaion Elongaion (Auslenkung) zur Zei, ŷ 0 Anfangswer der Ampliudenhüllkurve (zur Zei = 0), ŷ Ampliude, e Basis des naürlichen Logarihmus =, , ϕ Phasenwinkel = ω d + ϕ 0, ω d Kreisfrequenz der gedämpfen Schwingung (M13.9), ϕ 0 Nullphasenwinkel, δ Abklingkoeffizien = β /(m), dann gil als eine Lösung der Differenzialgleichung (M13.0), ŷ 0 δ ϕ (M13.1) = ŷ 0 e δ sin ϕ 1 SI m s rad = 1 s Für Messungen und Rechnungen is es günsig, die Zei mi = 0 von einem Augenblick an zu zählen, der eine bequeme (mahemaische) Anwendung von (M13.1) ermöglich. Dies sind der Durchgang durch die Miellage und der Umkehrpunk. 0 0 e δ sin ω d 0 e δ M T d 0 e δ Im Augenblick des Nulldurchgangs herrschen folgende Anfangsbedingungen: = 0, 0 = 0, v 0 = ˆv, ϕ 0 = 0. An Selle des (nich

9 08 13 Mechanische harmonische Schwingungen messbaren) Anfangsweres der Ampliudenhüllkurve ŷ 0 wird wegen (M13.4) ˆv = ŷω in (M13.1) ŷ 0 durch ˆv/ω d ersez. (M13.) = ˆv ω d e δ sin ω d Im Umkehrpunk gelen die Anfangsbedingungen: = 0, v 0 = 0, 0 = ŷ 0, ϕ 0 = 90 = π/ rad. (M13.1) nimm die Form an ( = ŷ 0 e δ sin ω d + π ) (M13.3) = ŷ 0 e δ cos ω d 0 0 e δ cos ω d 0 e δ 1 Der Quoien zweier aufeinander folgender Ampliuden gleichen Vorzeichens is konsan und wird als Ampliudenverhälnis q (manchmal Dämpfungsverhälnis κ) bezeichne. i q Ampliudenverhälnis, δ Abklingkoeffizien = β /(m), T d T d Schwingungsdauer der gedämpfen Schwingung, Λ logarihmisches Dekremen, n beliebige ganze Zahl, dann gil ŷ i /ŷ i+1 = q. Daraus folg für die n-e Ampliude i+1 (M13.4) ŷ i+n = ŷi q n

10 13.3 Freie gedämpfe Schwingung 09 Da der zeiliche Absand zweier benachbarer Ampliuden eine Schwingungsdauer T d beräg, folg aus (M13.1) (M13.5) e δ T d = ŷi ŷ i+1 = q und (M13.6) e nδ T d = ŷi ŷ i+n = q n δ T SI 1 s s Den Exponenen δ T d bezeichne man als logarihmisches Dekremen Λ. Aus (M13.5) erhäl man durch Logarihmieren M (M13.7) ŷi Λ = δ T d = ln = ln q ŷ i+1 Einheien (M13.6) Die Ampliuden nehmen exponeniell mi der Zei ab. Die für den Rückgang auf den e-en Teil des Anfangsweres erforderliche Zei heiß Abklingzei τ. Aus (M13.1) folg mi = ŷ 0 /e = ŷ 0 e δ τ 0 0 e (M13.8) τ = 1 δ 1 δ Für die Halbwerszei T H, also die Zei, in der die Ampliude auf die Hälfe ihres Anfangsweres sink, folg aus (M13.1) ŷ 0 = ŷ 0 e δ T H. Logarihmieren ergib ln = δ T H und daraus (M13.8a) T H = ln δ Eigenfrequenz Die Dämpfung bewirk eine vom Abklingkoeffizienen δ abhängige Veränderung von Frequenz, Kreisfrequenz und Schwingungsdauer. ω d Kreisfrequenz der gedämpfen Schwingung = π f d = π/t d, ω 0 Kreisfrequenz der gleichen, jedoch ungedämpfen Schwingung = π f 0 = π/t 0 = k/m,