Analysis: Exp. und beschränktes Wachstum Analysis Übungsaufgaben zum exponentiellen und beschränkten Wachstum

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1 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Analysis Übungsaufgaben zum exponeniellen und beschränken Wachsum Gymnasium Klasse 10 Alexander Schwarz Februar

2 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Aufgabe 1: Der Lufdruck nimm mi zunehmender Höhe ab, und zwar alle 100 m um ewa 1,3%. Auf welchen Brucheil des Lufdrucks in Meereshöhe is der Lufdruck auf dem Moun Everes (rund 8000 m) abgesunken? Aufgabe 2: 1 cm³ Kuhmilch enhiel 2 Sunden nach dem Melken 9000 Keime; 1 Sunde späer waren Keime vorhanden. Wie viele Keime befanden sich in 1 cm³ frisch gemolkener Milch, wenn man exponenielles Wachsum annimm? Aufgabe 3: In einem Land mi 78 Millionen Einwohner kommen lau Saisik auf 1000 Einwohner 9 Geburen und 11 Todesfälle. Die Saisik gib ferner an, dass im Durchschni jährlich Personen auswandern und Personen einwandern. a) Mi welcher Einwohnerzahl is nach 5 Jahren zu rechnen? b) Zeige, dass die Enwicklung der Einwohnerzahl nach dem Gesez des beschränken Wachsums folg. Mi welcher Einwohnerzahl wäre danach langfrisig zu rechnen? Aufgabe 4: Auf einem 5000 m³ großen See breien sich Algen aus. Bei Beginn der Beobachung is er bereis zur Hälfe mi Algen bedeck. Der Flächeninhal der von Algen bedecken Fläche Monae nach Beginn der Beobachung sei A() m². a) Für die ersen 6 Monae ergeben sich folgende Messdaen: A() Zeige, dass sich die Algenenwicklung näherungsweise als beschränkes Wachsum modellieren läss. Zeichne ein Schaubild (-Achse: 17 cm ; 1 cm = 1 Mona; y-achse: 1 cm = 500 m²) Besimme A() für 0 6 Prognosiziere, ab wann 99% der gesamen Fläche mi Algen bedeck sein werden. b) Zum Zeipunk 1 = 6 wird mi einer biologischen Algenbekämpfung begonnen. Einen Mona späer erreich die von Algen bedecke Fläche ein Maximum von 4580 m² und sink dann nach folgender Tabelle ab: A() Ergänze das Schaubild von a) mi diesem Wachsumsverlauf. Begründe, welches Wachsumsmodell für 8 geeigne is. Wie viele Monae nach Beginn der Algenbekämpfung is der See nur noch zu 20% mi Algen bedeck? 2

3 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Aufgabe 5: Das Wachsum der Algenfläche auf einem See wird durch die Funkion f() = ,92, 0 in Wochen, f() in Ar modellhaf beschrieben. a) Um wie viel Ar wächs die Fläche in der 4.Woche? b) Die Wasserfläche des Sees is 1,5 ha groß. Wann sind 20% der Wasserfläche mi Algen bedeck? c) Nach wie vielen Wochen wächs die Algenfläche zum ersen Mal um weniger als 10m² je Woche? Aufgabe 6: Eine Flasche Saf mi einer Temperaur von 8 C wird aus dem Kühlschrank auf einen Tisch gesell. Die Umgebungsemperaur beräg 30 C. Die Temperaurenwicklung des Safes werde durch das Modell des beschränken Wachsums beschrieben. Das Säigungsmanko nehme exponeniell um 4% je Minue ab. a) Besimme eine Funkionsgleichung für die Temperaur des Safes. b) Nach welcher Zei beräg die Safemperaur 20 C? c) Nachdem sich der Saf auf 30 C erwärm ha, wird er dieser in den 8 C kalen Kühlschrank gesell. Nach 15 Minuen beräg seine Temperaur 19 C. Wie lange dauer es, bis der Saf auf 10 C abgekühl is, wenn die Abkühlung durch das Modell des beschränken Wachsums beschrieben wird? Aufgabe 7: Ein Wasserank ha ein Fassungsvermögen von 500 l. Die folgende Tabelle zeig die Wassermenge im Tank in Abhängigkei von der Zei (Beginn der Messung zum Zeipunk = 0; in h; V() in l V() a) Zeichne ein Schaubild für den Verlauf des Wachsums. b) Es wird der Zeiraum 0 5 berache. Zeige, dass die Wassermenge im Tank näherungsweise durch ein exponenielles Wachsum modellier werden kann. Besimme V(). Berechne die Verdoppelungszei. c) Es wird der Zeiraum 5 berache. Zeige, dass die Wassermenge im Tank näherungsweise durch ein beschränkes Wachsum mi der Säigungsgrenze 500 modellier werden kann. Besimme V(). d) Wie viel Wasser is 3 h 15 min nach Beginn der Messung im Tank? Wann sind 200 l Wasser im Tank? Wann wird der Tank voraussichlich zu mehr als 99,9% gefüll sein? 3

4 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Aufgabe 8: Einem Paienen werden einmal am Tag 15 mg eines Medikamens durch eine Sprize inravenös verabreich. Über die Nieren werden in den folgenden 24 Sunden 30% der nach der Sprize im Blu vorhandenen Medikamenenmenge ausgeschieden. a) Wie hoch is die nach der 3.Sprize im Blu vorhandene Medikamenenmenge m? b) Gegen welche Were sreb m nach bzw. vor der äglichen Sprize? c) m(n) beschreib die Medikamenenmenge nach der n.sprize. Zeige, dass m(n) durch das Modell des beschränken Wachsums beschrieben werden kann. Besimme einen Funkionserm für m(n). Aufgabe 9: Für einen Kredi über wird folgender Tilgungsplan ersell: Die monalichen Kredizinsen beragen 0,5% der Schuld zu Monasbeginn. Am Monasende werden 400 für Zinsen und Tilgung zurückgezahl. Wie hoch is die Schuld nach 12 Monaen? 4

5 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Lösungen Aufgabe 1: Der Lufdruck nimm exponeniell ab. Die Funkion, die den Vorgang beschreib ha die Bauar B() = B(0) a B() gib den Lufdruck an, die Höhe über der Meereshöhe in 100-Meer-Schrien. Der Funkionserm laue In 8000 m Höhe gil: B() = B(0) 0, B(80) = B(0) 0,987 = B(0) 0,351 In 8000 m Höhe is der Lufdruck auf 35,1% gegenüber des Lufdrucks auf der Meereshöhe abgesunken. Aufgabe 2: Da für die Anzahl der Keime exponenielles Wachsum unersell wird, gil der Funkionsansaz B() = B(0) a. B() gib die Anzahl der Keime in 1cm³ Milch an, gib die Zei in Sunden an, wobei = 0 dem Zeipunk "2 Sunden nach dem Melken" ensprechen soll. Dami is B(0) = Bei der Funkion B() = 9000 a muss noch a ermiel werden. Es gil gemäß Aufgabensellung B(1) = Eingesez in die Funkion ergib sich 32000= 9000 a a= = Dami is B() = In 1 cm³ frisch gemolkener Milch finde man B( 2) = 9000 = 712 Keime 9 Aufgabe 3: a) Pro Jahr kommen = Personen in das Land Gleichzeiig sink die Einwohnerzahl, da die Todesrae größer als die Geburenrae is = 2 von 1000 Einwohnern fallen pro Jahr weg, dies sind 0,2 % der jeweils akuellen Einwohnerzahl. Daraus ergib sich folgender Zusammenhang: B(+ 1) = B() ,002 B() Es gil B(0) = Mi dem GTR ergib sich: B(5) = Einwohner b) Bei beschränkem Wachsum gil folgendes rekursive Formel: B(+ 1) = B() + k (S B()) B(+ 1) = B() ,002 B() B(+ 1) = B() + 0,002 ( B()) 0,002 B(+ 1) = B() + 0,002 ( B()) Die Formel aus a) kann als beschränke Wachsumsformel geschrieben werden mi k = 0,002 und S = Langfrisig is mi einer Einwohnerzahl von S = Einwohnern zu rechnen. 2 5

6 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Aufgabe 4: a) Als Schranke für ein beschränkes Wachsum kann S = 5000 m³ unersell werden. Zum Nachweis des beschränken Wachsums muss gezeig werden, dass das Säigungsmanko pro Zeischri exponeniell fäll A() S-A() Es gil , Das Säigungsmanko fäll exponeniell mi ca. 24% pro Mona. Es gil A() = S (S A(0)) a mi S = 5000, A(0) = 2500 und a = 0,76. A() = ,76 Schaubild: 99% von 5000 m² sind 0, = 4950 m². Bedingung: ,76 = 4950 Lösung mi dem GTR: Nach ca. 14 Monaen is 99% der gesamen Fläche mi Algen bedeck. 6

7 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum b) Wachsumsmodell für 8: ,942 Es kann exponenielles Wachsum unersell werden. Die Wachsumsgleichung laue B() = ,942 (als Beobachungsbeginn = 0 wird der Zeipunk nach 8 Monaen gewähl, also zwei Monae nach Beginn der Algenbekämpfung) 20% von 5000 m² sind 1000 m². Gesuch is der Zeipunk, zu dem die Algenfläche nur noch 1000 m² beräg. 1000= , = 0, log(0, 2242) = log(0,942 ) log(0, 2242) = log(0,942) log(0, 2242) = 25 Monae. log(0,942) Anwor: 27 Monae nach Beginn der Algenbekämpfung is der See nur noch zu 20% mi Algen bedeck. Aufgabe 5: a) f() = ,92 Es gil f(3) = 18,85 Ar und f(4) = 21,34 Ar. In der 4.Woche wächs die Fläche um 21,34-18,85 = 2,49 Ar b) 1,5 ha = 150 Ar. 20% von 150 Ar sind 30 Ar. Gesuch is der Zeipunk, bei dem die Algenfläche 30 Ar beräg. Lösung mi dem GTR: 7

8 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum Nach ca. 8,3 Wochen sind 20% des Sees mi Algen bedeck. c) Es sind 10 m² = 0,1 Ar Gesuch is der Wer von, bei dem in einem Zeischri um weniger als 0,1 zunimm. Zum ersen Mal wächs die Algenfläche in der 44. Woche um weniger als 0,1. Es is f(43) = 48,891 und f(44) = 48,98 mi 48,98-48,891 = 0,089 < 0,1. Aufgabe 6: a) Die Funkion f() = S (S f(0)) a is die Wachsumsgleichung für beschränkes Wachsum. f() sei die Temperaur des Safes, sei die Zei in Minuen. Es is f(0) = 8 C. Außerdem is S = 30 C, da der Saf nich wärmer werden kann als die Umgebungsemperaur. Da das Säigungsmanko um 4% je Minue abnimm, is a = 0,96. f() = ,96 b) Bedingung: 20= ,96 Nach 19,3 Minuen beräg die Safemperaur 20 C. c) Nun sei g() = S (S g(0)) a die Gleichung, die die Temperaur des Safes zum Zeipunk in Minuen beschreib. ( = 0 ensprich dem Zeipunk, in dem der Saf in den Kühlschrank gesell wird) Es is S = 8 C, da der Saf nich käler als 8 C werden kann. Außerdem is g(0) = 30. Es is S - g(0) = -22 8

9 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum g() = a Bedingung: g(15) = = a ,5 = a a= 0,5 = 0,955 Die Funkionsgleichung laue g() = ,955 Dauer, bis der Saf auf 10 C abgekühl is: 10= ,955 Lösung mi dem GTR Nach ca. 52 Minuen is der Saf auf 10 C abgekühl. Aufgabe 7: a) b) Es gil: , V() = V(0) a V() = 50 1,4 wobei 0 5 is log2 Verdoppelungszei: TV = 2 Sunden. log1, 4 9

10 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum c) Nachweis eines beschränken Wachsums mi S = 500: V() S-V() Es handel sich um ein beschränkes Wachsum, wenn das Säigungsmanko exponeniell abnimm , Das Säigungsmanko nimm pro Sunde um ca. 28% ab. Somi handel es sich für 5 um ein beschränkes Wachsum. Da die Funkion nur für 5 gülig sein soll, wird folgender Ansaz gewähl: 5 V( 5) = S (S V(0)) a 5 V( 5) = ,72 mi 5 d) 3,25 V(3,25) = 50 1,4 = 149,2 Lier Anhand des Schaubildes erkenn man, dass die 200 Lier in den ersen 5 Sunden erreich werden. Somi wird als Funkion V() der Ansaz V() = 50 1,4 genuz. 200= 50 1,4 4= 1,4 99,9% von 500 Lier sind 499,5 Lier. log(4) = = 4,12 Sunden log(1,4) 5 499,5 = ,72 0,5 = 0, log(0,002) 5= 24 log(0,72) Nach ca. 24 Sunden wird der Tank zu mehr als 99,9 % gefüll sein. Aufgabe 8: a) Pro Tag werden zunächs 15 mg des Medikamens zugeführ. Danach bau der Körper 30% des im Körper befindlichen Medikamens wieder ab. m(n) sei die Medikamenenmenge im Körper vor der n-en Sprize. Es is m(1) = 0, da vor der 1.Sprize noch kein Medikamen im Körper is. Der Vorgang kann beschrieben werden durch m(n+ 1) = (m(n) + 15) 0,7 Medikamenenmenge vor der 2.Sprize: m(2) = (0+ 15) 0,7 = 10,5mg Medikamenenmenge vor der 3.Sprize: m(3) = (10,5 + 15) 0,7 = 17,85 mg Medikamenenmenge nach der 3.Sprize: 17,85 mg + 15 mg = 32,85 mg 10

11 Analysis: Exp. und beschränkes Wachsum b) Es gil: m(n+ 1) = (m(n) + 15) 0,7 m(n+ 1) = 0,7 m(n) + 10,5 m(n+ 1) = m(n) + 10,5 0,3 m(n) m(n+ 1) = m(n) + 0,3 (35 m(n)) Vor der äglichen Sprize sreb die Menge m gegen S = 35 mg. Nach der äglichen Sprize sreb die Menge gegen 35 mg + 15 mg = 50 mg. c) Im Gegensaz zu Teilaufgabe b) sei nun m(n) die Medikamenenmenge im Körper nach der n. Sprize. Es gil m(n+ 1) = m(n) 0,7+ 15 m(n+ 1) = m(n) ,3 m(n) m(n+ 1) = m(n) + 0,3 (50 m(n)) Dami is gezeig, dass es sich um ein beschränkes Wachsum handel mi S = 50 mg. Außerdem is m(0) = 0 und m(1) = 15. n Funkionsansaz: m(n) = S (S m(0)) a Hier gil n m(n) = a 1 Mi m(1) = 15 folg 15= a a= 0,7 n m(n) = ,7 Aufgabe 9: B(n) seien die Schulden am Ende des n. Monas. Zu Beginn des Monas wird der akuelle Schuldensand um 0,5% erhöh. Am Ende des Monas werden 400 Euro der Schulden abgeragen. Es is B(n+ 1) = B(n) 1, mi B(0) = Mi dem GTR folg: B(12) = Die Schulden nach 12 Monaen beragen noch