Analysis 3.

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Curt Schneider
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1 Analysis 3 Aufgaben. Ermieln Sie die erse Ableiung. Vereinfachen Sie. a) fx) = e x x 3) b) fx) = ln x x + 4. Ermieln Sie die folgenden unbesimmen Inegrale. e x 5 a) e x dx b) dx c) 3 4x 3 3. Gegeben is die Funkion f durch c) fx) = x lnx 5) 4x ln x ) dx fx) = x ln x) x D f ) a) Geben Sie den größmöglichen Definiionsbereich der Funkion f an. Unersuchen Sie die Funkion f rechnerisch auf Nullsellen und lokale Exrempunke einschließlich Ar der Exrema). Geben Sie das Verhalen der Funkion im Unendlichen an. b) Gegeben sei weier eine Funkion g durch gx) = x + Jede Gerade mi der Gleichung x = u u R, u > ) schneide den Graph der Funkion f im Punk P u und die Gerade g im Punk Q u. Ermieln Sie den Wer für u, für den der Absand der Punke P u und Q u am kleinsen is. Geben Sie diesen minimalen Absand an. c) Der Graph der Funkion f, die Gerade x = und die x-achse begrenzen eine Fläche vollsändig. Berechnen Sie den Inhal dieser Fläche.

2 4. Gegeben is eine Funkionenschar f mi f x) = x + ) e x R, ; x R) a) Geben Sie die Nullselle der Funkion f an. Berechnen Sie die Koordinaen des Exrempunkes, die Ar des Exremums sowie die Koordinaen des Wendepunkes der Funkion f. b) Für jedes k k R, k > ) begrenzen die Gerade x = k, die Koordinaenachsen und der Graph der Funkion f,5 ein Fläche vollsändig.ermieln Sie den Inhal Ak) dieser Fläche sowie lim k Ak). c) Der Graph einer quadraischen Funkion mi dem Scheiel im Koordinaenursprung schneide den Graph der Funkion f,5 im Punk P f,5 )). Ermieln Sie die Gleichung dieser quadraischen Funkion. Der Graph der quadraischen Funkion roier um die x-achse. Ermieln Sie das Volumen des ensehenden Roaionskörpers über dem Inervall ; ].

3 Lösungen. a) Mi der Produkregel ergib sich: fx) = e x x 3) f x) = e x x 3) + e x f x) = e x x ) b) Durch Anwendung der Quoienenregel ergib sich hier: fx) = ln x x + 4 f x) = c) Aus der Produkregel folg: x x + 4) ln x x + 4) f x) = + 4x ln x 4x + 6x + 6 f x) = + x ln x x + 8x + 8 fx) = x lnx 5) f x) = x lnx 5) + x f x) = x lnx 5) + x x 5 x 5. siehe Aufgabenbla Unbesimme Inegrale. Aufgaben bis a) Der naürliche Logarihmus is nur für posiive Logarihmanden definier. Also gil für den Definiionsbereich: D f { x R x > } 3

4 An den Nullsellen is der Funkionswer fx) = : = x ln x) x = = ln x = ln x x = e x enfäll siehe D f ). f besiz an der Selle x = e eine Nullselle. Zur Besimmung der Exrema der Funkion f unersuch man die erse Ableiung f auf Nullsellen: fx) = x ln x) f x) = ln x + x ) x = ln x = ln x x = e Die Ar des Exremums ermiel man mi der zweien Ableiung f : f x) = ln x f x) = x f e) = e < Die Funkion f besiz ein Maximum im Punk P Max e e). Für den Grenzwer lim fx) gil: x lim x x ln x) = 4

5 b) Den Absand d berechne man mi der Gleichung: dx) = gx) fx) = x + x ln x) = + x ln x Mi der ersen Ableiung d ermiel man das Exremum: dx) = + x ln x d x) = ln x + x x = ln x + = ln x x = e Aus der zweien Ableiung läss sich ermieln, ob es asächlich um ein Minimum handel: d x) = ln x + d x) = x d e ) = e > Für u = e is der Absand d der Punke P e und Q e am kleinsen. Der minimale Absand beräg d = e. c) Zur Berechnung der Fläche muss man die Funkion f in den Grenzen x = und x = e Nullselle) inegrieren: A = = = e e x ln x) dx x x ln x dx x x ln x ) ] e 5

6 = x ln x )) ] e = e 4 ln e )) ln )) = 4 e a) An der Nullselle is der Funkionswer fx) = : = x + ) e x = x + x = Über die Nullsellen der ersen Ableiung f ermiel man das Exremum: f x) = x + ) e x f x) = e x + x + ) e x ) = e x x = x x = Mi der zweien Ableiung f ermiel man die Ar des Exremum: f x) = e x x f x) = e x ) x e x = e x x ) f ) = e ) = 6

7 ) Für < is der Punk P Exrem ein Minimum der Funkion f. Für > handel es sich um ein Maximum. Zur Besimmung der Wendeselle ermiel man die Nullselle der zweien Ableiung f : f x) = e x x ) = e x x ) = x = x ) = x x = Um zu ermieln, ob diese Wendeselle asächlich exisier, prüf man sie mi der drien Ableiung f : f x) = e x x ) f f x) = e x x ) + e x = e x 3 x + ) ) = e + ) = e ) Der Punk W is ein Wendepunk der Funkion f. e 7

8 b) Zur Ermilung des Flächeninhals A wird die Funkion f,5 in den Grenzen x = und x = k inegrier: Ak) = k x + ) e x dx = e x x + ) = = k e x dx ] k e x x + ) 4e x ] k e x x + 8) = e k k + 8) + e + 8) = e k k + 8) + 8 Für den Grenzwer lim Ak) gil: k lim k e k k + 8) + 8 = + 8 = 8 c) Die allgemeine Gleichung einer quadraischen Funkion laue: fx) = ax + bx + c f x) = ax + b Aus der Aufgabensellung ) kann man direk folgern, dass die Punke S ) und P 3e auf der Funkion liegen. Der Ansieg im Scheielpunk f ) =. Es ergib sich das Gleichungssysem: f) = = a + b + c f) = 3e = a + b + c f ) = = a + b a = 3e b = c = 8

9 Es ergib sich die Funkionsgleichung: fx) = 3e x Das Volumen eines solchen Roaionskörpers berechne man mi der Gleichung: Eingesez ergib sich: V = π b a fx)] dx V = π = π 3e x ) dx 9e x 4) dx ] 9 = π 5 e x 5 ) 9 = π 5 e = 9 5e π Das Volumen des ensehenden Roaionskörpers beräg 9 5e π. 9

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