mathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 13 Technik - A I - Lösung mit CAS Teilaufgabe 1 mit f a ( x)

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Klaus Dieter
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1 mhphys-online Abiurprüfung Berufliche Oberschule 05 Mhemik 3 Technik - A I - Lösung mi CAS Teilufgbe Gegeben is die Funkion f mi f ( ) Definiionsmenge D f IR. e e mi IR\ {0} und der mimlen Teilufgbe. (7 BE) Besimmen Sie D in Abhängigkei von sowie ds Verhlen von f f ( ) n den Rändern von D. f d ( ) e 0 uflösen ln( ) d ( ) ln( ) oder: d ln 0 D IR f 0 D IR \ { ln( ) f } f( ) e e f( ) 0 f( ) 0 Für < 0: d ( ) f( ) nnehmen 0 d ( ) f( ) nnehmen 0 Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie von 9

2 mhphys-online Im Folgenden gil nun > 0. Teilufgbe. (8 BE) Ermieln Sie ohne CAS ds Monoonieverhlen des Grphen von f sowie die Ar und die Koordinen des Erempunkes des Grphen von f. [ Teilergebnis: f' ( ) e e ] e f' ( ) e e e e e e e 3 e 4e 3 e 3 e e f' ( ) e e e Wgreche Tngene: e 0 uflösen ln( ) eisier, flls 0. Sei 0: ln( ) Zähler pos neg Nenner pos pos Konrolle: e 0 uflösen nnehmen 0 ln( ) f '() pos neg G f sms smf e 0 HP uflösen nnehmen 0 ln( ) G is sreng monoon seigend in ] ; ln( ) f G f is sreng monoon fllend in [ ln( ) ; [. ]. f ln( ) e ln e ln HP ln( ) Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie von 9

3 mhphys-online Teilufgbe.3 (4 BE) mi CAS Zeigen Sie, dss der Grph von f chsensymmerisch is und geben Sie die Gleichung der Symmeriechse n. f( ) e e >0 ln D bei ln der einzige Erempunk lieg, muss hier die gesuche Achse liegen. f( 4) Symmeriechse: ln ln( ) f ln u fln u vereinfchen 0 oder: u Koordinenrnsformion: ln y v f_ ( u ) f ln e u u ln e u ln f_ ( u ) f_ ( u ) vereinfchen 0 Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 3 von 9

4 mhphys-online Teilufgbe ln( ) Gegeben is nun die Funkion g mi g ( ) mi der Definiionsmenge D g ] 0 ; [. Teilufgbe. ( BE) Besimmen Sie ohne CAS die Gleichungen der Asympoen und die Ar und die Koordinen des Erempunkes des Grphen von g und geben Sie die Weremenge von g n. [ mögliches Teilergebnis: g' ( ) ln( ) ] 4 L'Hosp. ln( ) 0 wgreche Asympoe: y 0 ln( ) ln( ) 0 0 senkreche Asympoe: g ( ) Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 4 von 9

5 mhphys-online g' ( ) ln( ) 4 4 ln( ) ln( ) 4 Wgreche Tngene: ln( ) 0 uflösen e y e Zähler n.d. pos neg Nenner n.d. pos pos g '() n.d. pos neg G g n.d. sms smf Konrolle: ln( ) 0 uflösen 0 e ln( ) 0 uflösen e HP e ge HP e e Weremenge: W ] ; e ] Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 5 von 9

6 mhphys-online Teilufgbe. (7 BE) Gegeben is weier die Inegrlfunkion G durch G ( ) D G g () d mi der Definiionsmenge D g. Ermieln Sie ohne CAS die Koordinen des Wendepunkes des Grphen von G. G ( ) ln() d u () ln() u' () v' () v () ln() d ln() d ln() d ln() ln() G ( ) ln( ) ln( ) ln( ) Wendeselle von G ensprich Eremselle von g: e Ge e Wendepunk: W( e / ) Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 6 von 9

7 mhphys-online Teilufgbe.3 (7 BE) Die Funkion h is fesgeleg durch h ( ) rccos( g( ) ), D h [ 0.5 ; [. Begründen Sie, ob die Funkion h Nullsellen besiz. Besimmen Sie ußerdem für den Grphen von h ds Monoonieverhlen und die Ar und die Koordinen der Erempunke. h ( ) cos ln( ) g ( ) Nch.: g ( ) e es gib lso keine Nullselle. oder: h ( ) 0 uflösen i komple h' ( ) d d h ( ) vereinfchen 3 ln( ) 4 ln( ) Vorzeichen enscheide der Zähler. h' ( ) 0 ln( ) 0 uflösen e nnehmen 0.5 h' ( ) 0 ln( ) 0 uflösen nnehmen e G is sreng monoon fllend in [ h ; e ]. G h is sreng monoon seigend in [ e ; [. Tiefpunk: he cose.94 y-achse 4 3 Grph von h e Hochpunk: h π cos ln( ) Achse Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 7 von 9

8 mhphys-online Teilufgbe 3 (7 BE) Für eine Zunkonsrukion werden für die Sndsäulen Kronenbschlüsse benöig. Der Grph der Funkion k mi k ( ) e 0 bilde die obere Konur einer solchen zwiebelförmigen Säulenkrönung, die durch Roion des Grphen von k um die posiive -Achse enseh (siehe nebensehende Grphik). Berechnen Sie ohne CAS ds Volumen des Roionskörpers, wenn seine Höhe 5 LE beräg. Runden Sie ds Ergebnis uf eine Nchkommselle. 5 V π ( k ( )) d 0 e 0 d e 0 e 4 0 d Nebenrechnung. e 0 d e 0 e 0 d e 0 e 0 u ( ) u' ( ) v' ( ) e 0 v ( ) e 0 e 0 d 3 3 e 0 e 0 4 e4 0 V π e 0 e0 4 e0 π e 0 e 0 4 e 0 V 449π π e 0 e Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 8 von 9

9 mhphys-online Teilufgbe 4 (9 BE) Gegeben is die seprierbe Differenzilgleichung y' ( 3) y mi und y 0. y Besimmen Sie ohne CAS die Lösung der Differenzilgleichung, deren Grph durch den Punk P( / 7 ) verläuf. y' ( 3) y y' y y y 3 dy d y y 3 y y y d 3 d 3 A B A( ) B ( ) ( A B) A B Koeffizienenvergleich: A B A B 3 A A B 3 d d ln ln Berg knn weg gelssen werden, d : ln ln ln ( ) ln ln y ( ) k y ( ) e k K ( ) Allgemeine Lösung: y ( ) K ( ) d y 0 nch Vors. 7 K ( ) 9K 7 9K K Spezielle Lösung. y s ( ) ( ) Abi 05, Mhemik Technik 3. Klsse, A I - Lösung mi CAS Seie 9 von 9

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