Green-Funktion. Wir betrachten (z. B.) eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. y +y = r(x) Die allgemeine Lösung mit y(0) = 0 und y( π 2

Transkript

1 Green-Funkion Wir berchen (z. B.) eine inhomogene linere DGL 2. Ordnung y +y = r() Die llgemeine Lösung mi y() = und y( π 2 ) = (Rndwerufgbe) sez sich us der llgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen DGL y +y = und einer prikulären Lösung der inhomogenen DGL zusmmen. Für eine prikuläre Lösung wäre eine geschlossene Drsellung y() = π 2 G(,)r()d wünschenswer, die für lle Sörfunkionen r() gelen würde. Die Funkion G is nch George Green (793-84) bennn, der sie zur Lösung prieller Differenilgleichungen verwnde. Ds Beispiel y = r() y() =, y() =, führ durch zweimlige Inegrion zu einer Green-Funkion. y () = r()d+c y() = ( r(s)ds)d+c +c = = = = = (...)d+... r(s) ds + r()d +c +c Die Vriblen wurden umbennn, dmi keine Kollision mi der rechen Grenze enseh. Nun knn priell inegrier werden. Die Idee führ hier zum Erfolg. ( )r()d+c +c Die Rndbedingung y() = liefer c =. ( )r()d+ ( )r()d+ ( )r()d ( )r()d Aus y() = folg ( ) = = + ( )r()d+c =, ( )+( ) = ( ) ( ) = G(,)r()d ( ) G ermöglich eine Zusmmenfssung.

2 Green-Funkion y = r() y() =, y() =, ( ) Bemerkenswer: ϕ() =, ψ() = ( ) bilden ein Fundmenlsysem G is uf [,] [,] seig, in und symmerisch und von der Form: G (,) (,) Dreieck G 2 (,) (,) 2 Die Funkion G(, ) ( fes) ) erfüll die Rndbedingungen, b) is für = (Digonle) nich differenzierbr, c) erfüll eingeschränk uf und 2 die homogene DGL d) und es gil G 2 (,) G (,) =. Die Ableiung mch einen Sprung. G G 2 2 2

3 Green-Funkion Um zu erkennen, us welchen Eigenschfen der Green-Funkion G (,) (,) G 2 (,) (,) 2 folg, dss y() = G(,)r()d die DGL (z.b.) 2 ()y ()+ ()y ()+ ()y() = r() Rndbedingungen..., b lös, leien wir b. y() = G 2 (,)r()d+ y () = [G 2 (,) G (,)] }{{} =, d G seig = G (, )r()d + G (,)r()d r()+ G 2 (, )r()d G (, )r()d Die Ableiung erfolg mi der Leibnizregel für Prmeerinegrle. Die 2. Ableiung wird in gleicher Weise gebilde. y () = [ G 2 (, ) G (, )] 2 G 2 r() + (, )r()d + }{{ } 2 = Bei dieser Whl fäll r() späer herus. 2 () = r() 2 () + 2 G (, )r()d 2 2 G (, )r()d 2 Diese Ausdrücke werden nun in die DGL eingesez. r()+ [ 2 () 2 G 2 (, ) + () G (, ) + ()G(,)] r()d = r() }{{} =, wenn G(,.) die homogene DGL lös. Wenn G(,.) die homogenen Rndbedingungen erfüll, überräg sich ds uf y(), siehe Seie 9. 3

4 Green-Funkion Nchweis y +y = r(), y() =, y( π 2 ) = Die llgemeine Lösung der homogenen Gleichung lue: y() = c sin+c 2 cos Die Funkionen y () = sin und y 2 () = cos bilden lso ein Fundmenlsysem. cossin cossin π π Die Rndbedingungen sind für G erfüll: G(,) = G( π 2,) = Die Sprungbedingung G 2 (, ) G (, ) = 2 () bedeue hier: sin 2 +cos 2 = y() = = π 2 G(,)r()d G 2 (,)r()d+ π 2 G (,)r()d r() = 2 r() = 2 y() = 2 π sin y() = (2 π2 4 )sin+2cos+2 2 Zur Rndwerufgbe y +y = r(), y () =, y(π) = gehör cossin cossin π π 4

5 Green-Funkion ermieln 2 ()y ()+ ()y ()+ ()y() = r() Rndbedingungen..., b G (,) (,) G 2 (,) (,) 2 Fundmenlsysem ϕ (), ϕ 2 () Nheliegender Ansz für G, d G(,.) die homogene DGL erfüllen muss: G (,) = C k ()ϕ k (), G 2 (,) = D k ()ϕ k (), k= k= Eine äquivlene geschicke Formulierung dieses Anszes ermöglich eine schriweise Berechnung. B, B 2 ergeben sich dnn us der Seigkeis- und us der Sprungbedingung, A, A 2 us den beiden Rndbedingungen. G (,) = G 2 (,) = (A k ()+B k ())ϕ k () k= (A k () B k ())ϕ k () k= A k = 2 (C k +D k ) B k = 2 (C k D k ) Die Seigkei uch uf der Digonlen verlng: (A k ()+B k ())ϕ k () = (A k () B k ())ϕ k () = k= k= B k ()ϕ k () = k= Die Sprungbedingung forder: (A k () B k ())ϕ k () (A k ()+B k ())ϕ k () = 2 () k= k= = k= B k ()ϕ k () = 2 2 () Dies läss sich in Mrizenschreibweise zusmmenfssen: ϕ () ϕ 2 () B () = ϕ () ϕ 2 () B 2 () 2 }{{} 2 () Wronski-Mri Ds Gleichungssysem is zu lösen, z. B. mi Deerminnen (Crmersche Regel). Die Rndbedingungen führen zu einem Gleichungssysem der A k, die B k sind j beknn. 5

6 Green-Funkion Beispiel y +y = r(), y() y(π) =, y () y (π) = Die Funkionen ϕ () = cos und ϕ 2 () = sin bilden ein Fundmenlsysem. G (,) = G 2 (,) = (A k ()+B k ())ϕ k () k= (A k () B k ())ϕ k () k= ϕ () ϕ 2 () B () = ϕ () ϕ 2 () B 2 () 2 2 () cos sin B () = sin cos B 2 () 2 = B () = 2 sin, B 2() = 2 cos Durch Ausweren der Rndbedingungen G(,) G(π,) = d.h. G (,) G 2 (π,) = G (,) G (π,) = erhäl mn A () = A 2 () = Die Greensche Funkion lue dnn (Addiionsheorem sin( ) = sincos sincos): G (,) = 2 sin( ) G 2 (,) = 2 sin( ).8.6 Lösung der Rndwerufgbe: y() = π G(,)r()d π = 2 G 2 (,)r()d 2 G (,)r()d

7 Green-Funkion Beispiel y y = r(), y() =, y () y () = Fundmenlsysem: ϕ () = und ϕ 2 () = e G (,) = G 2 (,) = (A k ()+B k ())ϕ k () k= (A k () B k ())ϕ k () k= ϕ () ϕ 2 () B () = ϕ () ϕ 2 () B 2 () 2 2 () e e B () = B 2 () 2 = B () = 2, B 2() = 2 e G (,) = A ()+ 2 +(A 2() 2 e )e G 2 (,) = A () 2 +(A 2()+ 2 e )e y() = = A ()+A 2 () = 2 e 2 G (, ) = (A 2() 2 e )e G 2 (, ) = (A 2()+ 2 e )e y () y () = = A 2 () 2 e = (A 2 ()+ 2 e )e = A 2 () = 2 e +e e, A () = 2 e 2 2 e +e e =... = e e 2 Dies eingesez führ nch umfngreichen Umformungen zu: e e (e ) e e e Bemerkenswer: G (,) G 2 (,)

8 Es geh uch einfcher Die vorige Rndwerufgbe y y = r(), R : y() =, R 2 : y () y () = knn uf rech einfche Weise mi dem folgendem Ansz gelös werden. (Ds verreib uch die Zweifel n der Richigkei der Lösung.) Au ()+Bu 2 () u ()+Au ()+Bu 2 () u () = e u 2 () = u und u 2 lösen die DGL y y = und erfüllen R bzw. R 2. u () = e u is so zu wählen, dss gil: u () = und u () = Der Ansz genüg offensichlich der Seigkeis- und der Sprungbedingung G 2 (,) = G (,)+. A und B werden mi den Rndbedingungen besimm. R : y() =, G (,) =, Au () +Bu }{{} 2 () = = B = }{{} = = R 2 : y () y () =, G (,) = G 2 (,), Au } () = u {{} () +Au }{{}} () {{} = =e =e = A = e e e e (e ) e + e e (e ) Dies simm mi der vorigen Lösung überein

9 Rndbedingungen y() = y () = G(,)r()d G (, )r()d Homogene Rndbedingungen (z. B.) für G: G(,) G(π,) = G G (,) (π,) = d.h. G(,) = G(π,) d.h. G G (,) = (π,) Es is ersichlich, dss diese Rndbedingungen dnn uch für y gelen. y() = y(π) y () = y (π) 9

10 Spezilfll Im Eingngsbeispiel y = r() y() =, y() =, he die Green-Funkion eine erfreulich einfche Srukur: ( ) ( ) ϕ() =, ψ() = bilden ein Fundmenlsysem. Hier is lso ϕ()ψ() ϕ()ψ() Die Rndbedingungen hben im Beispiel die einfche (sepriere) Form: ϕ() =, ψ() = Dmi für 2 ()y ()+ ()y ()+ ()y() = r() ϕ() =, ψ(b) = die Green-Funkion die Srukur ϕ()ψ() b Auf die Reihenfolge is zu chen. c ϕ()ψ() b hben knn, muss c = 2 ()W() gewähl werden. Hierbei is W() = ϕ()ψ () ϕ ()ψ() die Deerminne der Wronski-Mri. Die Whl von c folg unmielbr us der Sprungbedingung: G 2 (, ) G ϕ G ()ψ() (, ) = 2 () (,) = c ϕ()ψ () Die Rndbedingungen sind für G mi G (,) = und G 2 (b,) = erfüll, die Seigkeisbedingung ohnehin. Somi lieg hier die Green-Funkion vor. Zur Erinnerung: Ds Vorliegen der Sprungbedingung grnier, dss wenn G(,.) die homogene DGL lös, r() herusfäll und somi y() die Rndwerufgbe lös. Im Eingngsbeispiel gil 2 () = und W() =, ds Produk is lso.

11 Green-Funkion Beispiel für den Spezilfll Rndwerufgbe y +y = f(), y() =, y () = Fundmenlsysem: y () = sin, y 2 () = cos y () = sin erfüll y() =, y 2 () = cos( ) erfüll y () =. Die Wronski-Deerminne beräg W() = cos (Addiionsheorem). Dmi finden wir sincos( ) cos sincos( ) cos

12 Heviside-Funkion Einfchses Beispiel y () = f(), y() =, [,] Die Lösung lue: y() = f()d = G(,)f()d { < < Wir erkennen: G(, ) = H( ) Heviside-Funkion y H() = { < Die Green-Funkion 2 ()W() ϕ()ψ() ϕ()ψ() knn dmi uch einzeilig ngegeben werden: (H( )ϕ()ψ() +H( )ϕ()ψ()) 2 ()W() 2

13 Alerniver Weg zur Green-Funkion Sei y() = G(,)r()d eine Lösung der Rndwerufgbe y ()+y ()+y() = r() Rndbedingungen..., b Wir sezen die Lösung in die DGL ein, veruschen Inegrion und Differeniion und klmmern us: ( 2 2 G(,)+ } {{ G(,)+G(,) } )r()d = r() δ( ) G(,) muss lso lösen. 2 2 G(,)+ G(,)+G(,)= δ( ) Die Gleichung knn dem Auffinden von G dienen. G(,) h dnn einen Sprung bei = und G(,) n diesen Sellen einen Knick. 3

14 Beispiel Berchen wir noch einml ds Eingngsbeispiel: y = r() y() =, y() =, Wir suchen die Lösung der Gleichung 2 2 δ( ) = C Die. Ableiung muss eine Sprungfunkion sein. C C +C 2 Inegrion (C ) +C 3 Beide Teilfunkionen müssen für = übereinsimmen, d. h. es muss gelen: C +C 2 = (C )+C 3 Drus folg: C 3 = C 2 + und mn erhäl: C +C 2 (C ) ++C 2 G(,) muss die Rndbedingungen erfüllen, es muss gelen G(,) = und G(,) = bzw. C +C 2 = (C ) ++C 2 = Drus folg C 2 = und C =. Die Greensche Funkion lue lso: ( ) ( ) 4

15 Einheisimpuls y ()+y ()+y() = r() Rndbedingungen..., Die Gleichung 2 2 G(,)+ G(,)+G(,)= δ( ) erlub eine physiklische Inerpreion. Sie beschreib durch G(, ) die Rekion des Sysems uf einen Einheisimpuls n der Selle =. = 2 2 G(,)r()+ G(,)r()+G(,)r()= r()δ( ) r()g(,) is die Lösung der Differenilgleichung für den Fll, dss nur ein Impuls r()δ( ) der Särke r() n der Selle = ufri. Die Summion der Impulse r()δ( ) für [,] führ zur Inegrion: r() = r()δ( )d y() = G(,)r()d besg nun, dss mn die Lösung durch Summion/Inegrion der Beiräge der einzelnen Impulse erhäl Hier werden die Rekionskurven für ds Eingngsbeispiel y = r() y() =, y() =, für verschiedene sichbr (Schriweie,). 5

16 Wirkung zweier Impulse Die Wirkung der Einheisimpulse n den Sellen =, und 2 =,2 wird vernschulich. An der Rückwnd des Quders is die Gesmwirkung zu sehen. r() = [ ε, +ε] + [2 ε, 2 +ε] y() = G(,)r()d Die Summion/Inegrion in -Richung dürfe nun plusibel sein. 6

17 Symmerie und Eindeuigkei der Green-Funkion y ()+y ()+by() =... Rndbedingungen..., b Seien f und h beliebige seige Sörfunkionen. Für ds Rndwerproblem mi der Green-Funkion G(, ) berchen wir: u f () = G(,)f()d, v h () = G(,)h()d Zur Vereinfchung der Schreibweise sei L der zur DGL gehörige Differeniloperor: L: y() 2 2 y()+ y()+by() Weil u f und v h ds jeweilige RWP lösen, gil: L[u f ()] = f() L[v h ()] = h() G(,) is symmerisch in und, flls v()l[u()] d = u()l[v()] d für lle Funkionen u und v gil, die die Rndbedingungen erfüllen. Ds RWP wird ls selbsdjungier bezeichne. Begründung: G(,)h()f()dd = G(,)f()h()dd u f, v h eingesez = G(,)f()h()dd und verusch G(,) beche: f und h beliebig [G(,) G(,)]... = Der Ansz mi G und G 2 führ zur Eindeuigkei. 7