Lösung zur Hausaufgabe in Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen SS x 1. x 2. x 1+x 2+x 3

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1 Bl Nr. 11 Simon Reisser Lösung zur Husufgbe in Topologie und Differenilrechnung mehrerer Vriblen SS 17 Aufgbe () Sei f(x 1, x, x 3 ) = (y 1, y, y 3 ) = (e x1x x3, e x1x+x3, e xx3 ) und dg(y 1, y, y 3 ) = y y 3 dy 1 + y 1 y 3 dy + y 1 y dy 3. ( ) Wir berechnen f dg uf folgende zwei Aren. (1) Wir berechnen dy i, i = 1,, 3 und sezen ds Ergebnis in ( ) ein. Dmi erhlen wir dy 1 = e x1x x3 (x dx 1 + x 1 dx dx 3 ) dy = e x1x+x3 (x dx 1 + x 1 dx + dx 3 ) dy 3 = e xx3 (x 3 dx + x dx 3 ) (f dg) (x1,x,x 3) = e x1x+x3+xx3 (e x1x+x3 )(x dx 1 + x 1 dx dx 3 )) + e x1x x3+xx3 (e x1x x3 )(x dx 1 + x 1 dx + dx 3 )) + e x1x (e xx3 )(x 3 dx + x dx 3 )) = e x1x+xx3 (x dx 1 + (x 1 + x 3 )dx + x dx 3 ). () Sei g(y 1, y, y 3 ) = y 1 y y 3. Wir sehen, dss g ( ) erfüll. Berechnen wir lso g f und erhlen dmi g f(x 1, x, x 3 ) = e x1x x3 e x1x+x3 e xx3 = e x1x+xx3 f dg (x1,x,x 3) = d(g f) (x1,x,x 3) = e x1x+xx3 (x dx 1 + (x 1 + x 3 )dx + x dx 3 ) ( (b) Sei f(x 1, x, x 3 ) = (y 1, y, y 3 ) = gegeben durch x 1 x 1+x +x 3, ) x x 1+x +x 3, x 1 + x + x 3 und weier sei dg dg(y 1, y, y 3 ) = e y1y3+yy3 (y 3 dy 1 + y 3 dy + (y 1 + y )dy 3 ). ( ) (1) Wir berechnen zuers dy i und sezen dnn in ( ) ein. x + x 3 dy 1 = (x 1 + x + x 3 ) dx x (x 1 + x + x 3 ) dx x 1 + (x 1 + x + x 3 ) dx 3 x dy = (x 1 + x + x 3 ) dx x 1 + x (x 1 + x + x 3 ) dx x + (x 1 + x + x 3 ) dx 3 dy 3 = dx 1 + dx + dx 3 Dmi erhlen wir f dg (x1,x,x 3) = e x1+x [ + x + x 3 dx 1 + x 1 + x + x 3 x dx 1 + x 1 + x 3 x 1 + x + x 3 + x 1 + x x 1 + x + x 3 (dx 1 + dx + dx 3 ) 1 x 1 x 1 + x + x 3 dx + x 1 x 1 + x + x 3 dx x x dx + dx 3 x 1 + x + x 3 x 1 + x + x ] 3 = e x1+x (dx 1 + dx ).

2 () Sei g(y 1, y, y 3 ) = e y1y3+yy3. Dnn erfüll g( ) und wir erhlen g f(x 1, x, x 3 ) = e x1+x, sowie f dg (x1,x,x 3) = d(g f) (x1,x,x 3) = e x1+x (dx 1 + dx ) Aufgbe 3 () Is h = D f für eine gle Funkion f, dnn gil für lle i, j, k {1,..., n}, H i,k = D i D k f : R n R und somi folg us der Veruschbrkei prieller Ableiungen sofor (b) Wir folgen zuers den Hinweisen: D j H i,k = D j D i D k f = D i D j D k f = D i H j,k. (i) Wir berechnen sepr für i, j {1,..., n} ( ) λx i x [x i H ik (λx)] = j H ik (λx), i j ( ) x j H ik (λx) + λx i x j H ik (λx), i = j. Somi erhlen wir ( ) [x i H ik (λx)] = H jk (λx) + λ x i H ik (λx) x j x j und weier uner Verwendung der Keenregel für j {1,..., n} λ [λh jk(λx)] = H jk (λx) + = H jk (λx) + λ ( ) λ H j,k (λx) x i x i ( ) x i H ik (λx) x j d nch Vorussezung x j H ik = x i H jk für lle 1 i, j n gil. (ii) Wir berechnen direk uner Verwendung von Lineriä und Lemm.7 x j g k (x) = x j x i H ik (λx) dλ = (i) = λ [λh jk(λx)] dλ = λh jk (λx) Aus der Symmerie von H folg die zweie Gleichung. x j [x i H ik (λx)] dλ 1 = H jk (x). (iii) Funkionier komple nlog zu (i) wobei wir die Kommuiviäseigenschf us (ii) verwenden. (iv) Anlog zu (ii) können wir uch hier Inegrl und Ableiung veruschen und erhlen somi mi Teil (iii) x k f(x) = = x k j=1 x j g j (λx) dλ = λ [λg k(λx)] dλ = g k (x). j=1 x k [x j g j (λx)] dλ

3 Fssen wir Hinweise (i)-(iv) zusmmen erhlen wir für lle i, j {1,...n} und somi is H = D f. x i x j f (iv) = x i g j (x) (ii) = H ij Aufgbe 4 Wir wiederholen zunächs die Definiion der Länge einer seig differenzierbren Kurve k : [, b] U (z.b. Forser, Anlysis II, 4, Sz 1). Is U R, dnn folg us Seigkei schon gleichmäßige Seigkei und somi ε > δ >, sodss k () k (s) ε für lle, s mi s δ. Für U δ () [, b], < gib es nch dem Mielwersz ein s [, ] mi k( ) k() = k (s), lso k( ) k() k () = k (s) k () ε. Sei nun k : [, b] U R n, dnn folg us der Äquivlenz ller Normen uf R n die Exisenz eines c > so, dss k( ) k() k () c mx k i ( ) k i () 1 i n k i() cε =: ε für lle, mi < δ. Sei ˆε fes. Nch Definiion des Inegrls (Anlysis I, 5.1 und 5.4) gib es ein δ so, dss b k f() d f ( i ) ( i i 1 ) ˆε für lle Zerlegungen = < 1 <... < k = b, i i 1 δ, 1 i k. Wie wir schon gesehen hben gib es jez ein ˆδ δ so, dss us i i 1 < ˆδ schon k( i ) k( i 1 ) k ( i ) i i 1 ˆε (b ), 1 i n folg. Nch Muliplikion mi i i 1 und ufsummieren liefern unsere beiden Abschäzungen und die Dreiecksungleichung schon k k( i ) k( i 1 ) b k () d ˆε k ( i i 1 ) + ˆε (b ) = ˆε. Der linke Term konvergier mi zunehmender Feinhei der Zerlegung gegen die Länge, d.h. L(k) = b k () d (b ) mx [,b] k () <. Nun zur eigenlichen Aufgbe: f is seig-differenzierbr, lso is f k eine seig differenzierbre Kurve. Nch der Keenregel gil D(f g) = (Df)(k(s))k (s) und L(f k) = b k (s) g(k(s))k (s) ds 3

4 folg ( us der Definiion ) der Sndrnorm. Für f P (r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) is wegen (Df)(r, ϕ) = cos ϕ r sin ϕ die Riemnnsche Merik gleich sin ϕ r cos ϕ ( ) 1 r. Ensprechend gil für f K (r, θ, ϕ) := (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ (Df K )(r, θ, ϕ) = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ. cos θ r sin θ Uner Ausnuzung der Symmerie und sin + cos = 1 erhäl mn die Form der Riemnnsche Merik 1 r. r sin ϕ Für die Kurve γ : s f P (r(s), ϕ(s)) = f P (e s, s) R erhlen wir ( ) ( ) (e s 1 e s, 1) e s = e s L(γ) = e. 1 Aufgbe 5 ( ) x Sei h(x) =, xf(,b). Nch reeller Keen- und Produkregel und mehrdimensionler Keenregel gil z (x) = f h + x (Df)(h) (Dh)(x), lso z (x) = f Ensprechend ergib sich ( x f(, b), b + ) + x (D xf + f(, b)d y f) ( ) x xf(, b), b +. z (x) = (Df)(h) (Dh)(x) + x 4 ((D xd x + f(, b)(d x D y + D y D x ) + f(, b) D y D y )f)(h(x)). Für eine beliebige Lösung y is Ausweren bei liefer y (x) = Df(x, y(x) = (D x f, D y f)(x, y)(1, y (x)). z() = b = y(), z () = f(, b) = y (), z () = (D x f + f(, b)d y f)(, b) = y () 4

5 Aufgbe 6 Wegen e y K y gil f(x, ) π e (x y) g(y)dy. Jez können mi Φ miels der Trnsformion φ : u 1/ (u x) mi φ 1 y 1/ + + x umschreiben in : y Φ( 1/ (x + log K)) π e u du π 1/ ( x ) e ( 1/ (u x)) 1/ du π e (u x) e ((u x) du = e (x+/) π e (u x)) du Anlog erhäl mn mi der Trnsformion φ : u 1/ (u x) mi Umkehrung φ 1 : y y 1/ + x Φ( 1/ (x log K)) π e du π 1/ ( x) e ( 1/ (u x)) 1/ du π e (u x)) du Es folg f(, x) = e x+/ Φ( 1/ (x + log K)) KΦ( 1/ (x log K)). Bevor wir dieses Inegrl bleien, berechnen wir die inneren Ableiungen zu ( 1/ (x + log K)) = 1 (log K x) + 1, x ( 1/ (x + log K)) = 1/, ( 1/ (x log K)) = 1 (log K x), Φ(z) = e z /. z 5

6 Mi der Keen- und Produkregel ergib sich jez und π ( ) ex+/ π f(, x) = (log K x) + 1 e ( 1/ (x+ log K)) / +... ex+/ f(, x) = x... + K 1 (x log K) e ( 1/ (x log K)) / = ex+/ + 1 (log K x) + 1 e ( 1/ (x log K)) / K 1 (x log K) e ( 1/ (x log K)) / = ex+/ + K 1/ e ( (x log K)) / ( 1 + ( 1/ 3/ (x + log K))e ( 1/ (x+ log K)) / ) K 3/ (x log K)e ( 1/ (x log K)) / = ex+/ + K 1/ e ( (x log K)) / Dies zeig die Ideniä f(, x) = f(, x). 6