Zu Aufgabe 1: Bringen Sie die nachstehenden Gleichungssysteme in die Form A x
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- Ingelore Beutel
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1 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski u ufgbe : Bringen Sie die nchstehenden Gleichungssysteme in die Form c und untersuchen Sie ihr Lösungsverhlten und geben Sie ggf. die Lösungsmenge n! b c u Mittels Gus schem lgorithmus digonlisieren wir ds GS: ( c Rg( Rg Ds System ist nicht lösbr. * * * * * ( c ( c (chtung : Es ist hier b c* Hier ist Rg(* Rg(* b * Ds GS ist nicht lösbr! Lösungsmenge: L Φ
2 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski u b... Mittels Gus schem lgorithmus digonlisieren wir ds GS (Bemerkung: die rechte Seite c können wir bei der Mtri ( b weglssen, lso nur betrchten, d diese Splte b immer gleich bleibt, egl, welche Opertion des Gusschen lgorithmus wir nwenden Hier ist Rg (* Rg(* b * < n, wobei n die nzhl der Unbeknnten ist. Ds GS ht unendlich viele Lösungen. Die Dimension des Lösungsrumes ( Lösungsmenge ist dn - Rg(* ( nzhl der frei wählbren Unbeknnten Ist es ein homogenes GS (b, so ist der Lösungsrum ein Vektorrum der Dimension d. Ist ds GS ein inhomogenes GS ( b, so ist der Lösungsrum ein ffiner Rum der Dimension d. Ds GS ht die Digonlgestlt: Wir hben Gleichungen und Unbeknnte, d.h., eine Unbeknnte, wir wählen, können wir beliebig wählen. nschließend lösen wir die beiden Gleichungen von unten nch oben nch und uf. Wir erhlten:. D.h., die Lösungsmenge des GS ist folgender Vektorrum der Dimension :
3 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski L {, R } u c Mittels Gus schem lgorithmus digonlisieren wir ds GS: ( c rg( rg( b <. D.h. ds GS ht unendlich viele Lösungen. Der Lösungsrum ist ein ffiner Rum der Dimension d n rg( -, lso eine Gerde. Berechnung der Lösungsmenge: us der digonlisierten Mtri ergibt sich folgende Digonlgestlt des GS: Wir hben Gleichungen und Unbeknnte, d.h., eine Unbeknnte, wir wählen, können wir beliebig wählen. nschließend lösen wir die beiden Gleichungen von unten nch oben nch und uf. Wir erhlten:. Die Lösungsmenge ist lso: R L,
4 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski d (ls Ergänzung nun noch die folgende ufgbe, - wr nicht uf dem Übungsbltt Mittels Gus schem lgorithmus digonlisieren wir ds GS: 5 ( c rg(* rg(. D.h. ist regulär und folglich ht ds GS genu eine Lösung! Hier ist Rg (* Rg(* b * n, wobei n die nzhl der Unbeknnten ist. Ds GS ht genu eine Lösung! Ds GS ht die Digonlgestlt: Ds können wir eindeutig von unten nch oben uflösen und erhlten die Lösungen: - D.h. L u ufgbe : Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Hilfe des Guß schen lgorithmus!
5 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski 5 6 b Lösung: u 5 ( c eilen vertuschen: und. vertuschen und hlbieren :
6 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski u b ( c ( * c * u ufgbe : Für welche Werte von t bildet die Lösungsmenge des Gleichungssystems t 5 5 eine Gerde? Wie lutet in diesem Fll die Lösung des Gleichungssystems? Lösung: Ds Gleichungssystem ist äquivlent mit folgender Mtri t 5 t Vertuschen der Splten, s.d. in der Reihenfolge S,S,S Guss ' - ' 6
7 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski. t t t 6 ' ' ' '. t t 6 t Ist n nzhl der Unbeknnten, dnn gilt: dim(lösungsrum n - rg(. Der Lösungsrum soll eine Gerde sein, d.h., die Dimension des Lösungsrumes muss sein. D n folgt us - rg( dss rg rg( b sein muss. Deshlb muss in der obigen Dreiecksmtri 6-t sein. D.h., es ist 6 t t Die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems ht lso die Dimension für t. Berechnen der Lösung des Gleichungs-Systems: Einsetzen von t (in obige Mtri: ( Die Lösungsmenge unseres inhomogenen Gleichungssystems ist lso für t: 5 L R, R u ufgbe : Für welche R ist dieses GS
8 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski eindeutig b mehrdeutig c nicht lösbr? d Geben Sie im Flle der eindeutigen Lösbrkeit die Lösung n! Lösung: Gusscher lgorithmus: Vertuschen Guss dersplten Lösbrkeitsbedingungen: u eindeutig, flls rg( rg( b, lso flls det(. Dzu müssen lle Digonlelemente der Mtri sein. D.h., eindeutig lösbr Die Lösung der Gleichung - - ergibt:, ± ± D.h., ds GS ist eindeutig lösbr, flls gilt: 5 5 u b Mehrdeutig lösbr, flls rg( rg( b <. Ds ist der Fll, wenn gilt:. Dh. ds GS ist mehrdeutig lösbr, flls gilt: u c Ds GS ist nicht lösbr, flls gilt: rg( rg( b. Ds ist der Fll, wenn gilt: D.h., ds GS ist nicht lösbr, flls gilt:
9 Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski 9 u d Die Lösung des GS im Fll der eindeutigen Lösbrkeit berechnen wir z.b. mittels Crmerscher Regel: mit det(, det(, det(, det( Die Lösungen lssen sich leicht mittels Sruss scher Regel berechnen. Wir erhlten: det( ( -(- und, ( (, ( (
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UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt
8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!
Darstellung von Ebenen
Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor
Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?
ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch
Mathematik-Aufgabenpool > Normalparabeln, spezielle allgemeine Parabeln I
Michel Buhlmnn Mthemtik-Aufgbenool > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I Einleitung: Normlrbeln sind qudrtische Funktionen von der Form: y = + + q (Normlform), y = ( d) + c (Scheitelform), y = (- )(-
Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
( ) Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f, g und h durch
Hilfsmittelfreie Aufgben us dem Mthemtik-Pool zum Abitur 015 T. Wrncke m301 Abi015_M_Pool1_A1 Anlysis Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f, g und h durch ( ) f = + 1, ( ) 3 g = + 1 und ( ) 4
2 2 Reguläre Sprachen. 2.6 Minimale DFAs und der Satz von Myhill-Nerode. Übersicht
Formle Systeme, Automten, Prozesse Übersicht 2 2.1 Reguläre Ausdrücke 2.2 Endliche Automten 2.3 Nichtdeterministische endliche Automten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.7 Berechnung
Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen
Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern
Das Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch
FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 2. November 2017 Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_better/, CC-BY-NC 2.5 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 8
Mthemtik für Wirtschftswissenschftler im WS /3 Lösunen zu den Übunsufben Bltt 8 Aufbe 3 Berechnen Sie die folenden Interle durch prtielle Intertion. ) c) e d. (Hinweis: Interieren Sie zweiml prtiell).
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]
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38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung 38.10 Huptstz
4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
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Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 06
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 06 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fkultät für Mthemtik 23. Mi 2014 Keine Gewähr uf vollständige Richtigkeit und Präzision ller (mthemtischen) Aussgen. Ds Dokument ht
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Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung
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