Übungsblatt 2 Musterlösung

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1 Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen MA234 - SS6 Übungsbltt 2 Musterlösung Funktion s k : [,b] R ist ein Spline vom Grd k, bezüglich der Knoten x,...,x n, flls i) s k C k ([,b]), ii) s k [xj,x j+ ] P k, für lle j,...,n. Wir bezeichnen weiters: { x,x,...,x n b} ist ds Gitter ller Knoten/Stützstellen, S k, ist der Rum ller Splines von Grd k, mit dim n+k. Aufgbe 6 (Spline-Bestimmung) Gegeben sei ein Gitter {x,x,x 2 } und die folgenden Dten: wobei t R. Bestimmen Sie: x i 2 f i t ) die zugehörige linere Spline-Interpoltionsfunktion s S,, b) die zugehörige kubische Spline-Interpoltionsfunktion s 3 S 3, unter Annhme ntürlicher Rndbedingungen, d.h., s 3(x ) s 3(x 2 ), in Abhängigkeit von dem reellen Prmeter t. Zeichnen Sie die beiden spline-funktionen für t 2. Lösung 6 (Spline-Bestimmung) ) Für die Spline-Interpoltionsfunktion erster Ordnung gilt: s [x,x ] g und s [x,x 2 ] g 2, wobei g und g 2 sind zwei Gerden mit: g (x ) f(x ), g (x ) g 2 (x ) f(x ) und g 2 (x 2 ) f(x 2 ). Ds heißt, g (x) tx und g 2 (x) (2 x)t. Dmit ist die linere Spline-Interpoltionsfunktionen gegeben durch: { tx x, s (x) (2 x)t x >.

2 b) Die Anstzpolynome für den kubischen Spline sind: q (x) x 3 +b x 2 +c x+d, q 2 (x) 2 x 3 +b 2 x 2 +c 2 x+d 2. Ds heißt, wir hben insgesmmt 8 Unbeknnten. Dfür hben wir die folgende Konditionen uf ds Spline s 3 : C 2 ([x,x n ]): q () q () t q () q 2() () : Stützpunkt (2) : Stützpunkt (3) : Stetigkeit. Ableitung q () q 2() (4) : Stetigkeit 2. Ableitung q 2 () t (5) : Stützpunkt q 2 (2) (6) : Stützpunkt q () (7) : ntürliche Rndbedingung q 2(2) (8) : ntürliche Rndbedingung Wobei die Ableitungsfunktionen gegeben sind durch: q j(x) 3 j x 2 +2b j x+c j, q j(x) 6 j x+2b j, j,2. Dmit hben wir 8 lineren Gleichungen us den gegebenen Dten: d () +b +c +d t (2) 3 +2b +c [3 2 +2b 2 +c 2 ] (3) 6 +2b [6 2 +2b 2 ] (4) 2 +b 2 +c 2 +d 2 t (5) b 2 +2c 2 +d 2 (6) 2b (7) b 2 (8) die können representiert werden ls: b c d b 2 2 c d 2 Die Lösung lutet: [ t/2 3t/2 t/2 3t 9t/2 t ]. Dmit ist die kubische Spline-Interpoltionsfunktionen gegeben mit: { t ( 2 s 3 (x) x3 + 3x) x, 2 t ( 2 x3 3x 2 + 9x ) x >. 2 t t 2

3 Der Grph der Splinefunktionen für t 2 ist: Aufgbe 7 (Interpoltionsfehler) Sei f C 2 ([,b]), wobei [,b] in n äquidistnte Intervlle zerlegen ist. Zeigen Sie, dss für den Interpoltionsfehler von dem lineren Spline die folgende Fehlerbschätzung gilt: f s L ([,b]) 8 h2 f L ([,b]), wobei h b. Diskutieren Sie diese Fehlerbschätzung im Vergleich zu der Fehlerbschätzung bei der n Polynominterpoltion. Lösung 7 (Interpoltionsfehler) Sei Π (i) ds linere Interpoltionspolynom uf dem i-ten Teilintervll. So gilt mit dem Stz für den Interpoltionsfehler für die Polynome: f s L ([,b]) mx i...n ( 2 mx i...n f Π (i) L ([x i,x i+ ]) ( f L ([x i,x i+ ]) ω (i) 2 L ([x i,x i+ ]) ) ), wobei 2 (x) (x x i )(x x i+ ) [xi,x i+ ] ω (i) D ω (i) 2 Nullstellen n den Intervllgrenzen x i und x i+ ht und ω (i) 2 ein Polynom 2. Grdes ist, muss ds Mximum in der Mitte des Intervlls liegen, d.h. bei x x i+x i+. Dvon 2 folgt: ω (i) 2 (x) L ([x i,x i+ ]) 4 (x i+ x i ) 2 4 h2. Es wurde im letzten Rechenschritt usgenützt, dss die Intervlle lut Vorussetzung äquidistnt unterteilt wurden. Insgesmt erhält mn lso f s L ([,b]) 8 h2 mx i...n f L ([x i,x i+ ]) 8 h2 f L ([,b]). 3

4 Im lgemein, für s k und f C k ([,b]), der Fehler der besten Splinepproximtion wie die k-te Potenz der Schrittweite fällt. Anders ls bei der Polynompproximtion gewinnt mn größere Genuigkeit durch Verfeinerung der Knotenfolge. Aufgbe 8 (Krümmungsminimierung) Gegeben seien die Stützstellen x < x < < x n b, ds dzugehörige Gitter und f C 2 ([,b]). Betrchten Sie den kubischen Spline s 3 S 3, mit den Rndbedingungen s () f () und s (b) f (b). Zeigen Sie, dss für eine beliebige Funktion g C 2 ([,b]) mit g(x i ) f(x i ) und g () f (), g (b) f (b), die Abschätzung gilt. Lösung 8 (Krümmungsminimierung) s L 2 ([,b]) g L 2 ([,b]) D s 3 C 2 ([,b]) existiert s (j), j 2 und ist stetig, und s 3 P 3 ([x i,x i ]), i,...,n, existiert uch s (j), j N, uf den jeweligen Teilintervllen. Zuerst berechnen wir (g (2) s (2) )s (2) dx Dmit erhlten wir g (2) (x) 2 L 2 ([,b]) ws zu beweisen wr. n i xi (g (2) s (2) )s (2) dx x i n ( [(g s )s (2)] xi ) x i x i (g s )s (3) dx x i n ( [(g s )s (2)] x i x i [ (g s)s (3)] xi ) x i x i + (g s)s (4) dx x i i i (g (b) s (b))s (2) (b) (g () s ())s (2) () (g (2) ) 2 dx (s (2) ) 2 dx+2 (s (2) ) 2 dx+ s (2) 2 L 2 ([,b]), (s (2) +g (2) s (2) ) 2 dx (g (2) s (2) )s (2) dx+ (g (2) s (2) ) 2 dx (g (2) s (2) ) 2 dx 4

5 Aufgbe 9 (Qudrtische Splines) Aufgben zum Selbststudium Gegeben seien die Stützsstellen x < x < x 2 b. Weiter sei s 2 S 2, ein qudrtischer Spline mit der Rndbedingung s (b). Wäre es uch möglich, in dem Fll dss x i 3 f i - nsttt von s (b) die Integrlbedingung s(x) dx zu fordern? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung 9 (Qudrtische Splines I) Allgemein gilt: Auf jedem Intervll hben wir für ds jeweilige qudrtische Polynom 3 Koeffizienten zu bestimmen. Folglich liegen 3n Freiheitsgrde vor. Die vorgegebenen Funktionswerte liefern n den Rndknoten x und x n jeweils eine Bedingung und n den inneren Knoten x,...,x n jeweils 2 Bedingungen. Folglich hben wir drus 2+2(n ) Bedingungen. Die Stetigkeit der ersten Ableitung ergibt n den inneren Knoten weitere (n ) Bedingungen. Somit liegen insgesmt 2+2(n )+(n ) 3n Bedingungen vor. Also sind die qudrtischen Splines llein duch die Vorgbe der Funktionswerte n den Knoten nicht eindeutig bestimmt, denn es fehlt eine weitere Bedingung. Wir mchen den Anstz { x s(x) 2 +b x+c für x, 2 x 2 +b 2 x+c 2 für x 3. Die Funktionswerte liefern uns 4 Bedingu Die Stetigkeit der ersten Ableitung ergibt c, +b +c, 2 +b 2 +c 2, b 2 +c b 2 2 +b 2. Die Integrlbedingung liefert weitere Bedingung: b +c b 2 +2c 2. Also hben wir ds folgende linere Gleichungssystem zu lösen: b c b c 2 Dieses ist eindeutig lösbr, d det(a) 2. 5

6 Aufgbe (Interpoltionsfehler) Für einen lineren Spline s S,, der die Funktion f C 2 ([,b]) uf dem Gitter {x,...,x n } mit den Knoten x < x < < x n b interpoliert, gilt die Fehlerbschätzung us der Aufgbe 7 mit h mx i,...,n (x i x i ). In dieser Aufgbe sollen Sie diese theoretische Aussge numerich untersuchen. Gehen Sie dbei wie folgt vor. ) Schreiben Sie eine Mtlb-Funktion function [err] PLOTSPLINE(x,func), welche die Funktion f(x) und den interpolierenden lineren Spline s uf dem Gitter x plottet und den Fehler err in der Mximumsnorm zurückgibt. Ds Argument func bezeichnet hierbei eine Mtlb-Funktion, die f(x) uswertet. Erstellen Sie hierfür eine Schleife über die Teilintervlle [x(i),x(i+)], und plotten Sie jeweils die Werte des Splines (svec) und der Funktion (fvec) n den Punkten y linspce(x(i),x(i+),2). Berechnen Sie den Fehler in jedem Teilintervll ls mx(bs(svec - fvec)), und geben Sie den mximlen Wert dieser Fehler über die Teilintervlle in err zurück. Testen Sie Ihr Progrmm mit der Funktion und dem Gitter x linspce(-,,5). f(x) /(+25x 2 ) b) Schreiben Sie ein Skriptfile, ds für die Funktion f und n 2 k,k,...,, zu den äquidistnten Gittern x linspce(-,,n+) die Fehler mit der in ) implementierten Mtlb-Funktion berechnet. Plotten Sie diese logrithmisch mit x-achse: n, y-achse: Fehler zusmmen mit einer Gerde C/n 2 O(h 2 ), n die sich symptotisch die Fehlerkurve nnähert. Lösung (Interpoltionsfehler) ) Die Mtlb-Funktion lutet function [err] PLOTSPLINE(x,func) n length(x); fx fevl(func, x); err ; hold on; box on; for i :n- y linspce(x(i), x(i+), 2); fvec fevl(func, y); svec fx(i) + ((fx(i+) - fx(i))/(x(i+) - x(i)))*(y - x(i)); plot(y, fvec, r-, y, svec, b-, LineWidth, 4); 6

7 erri mx(bs(svec - fvec)); if (erri > err) err erri; end end set(gc, fontsize, 25); legend( f(x), s(x) ); Die Funktionsdefinition von f(x) ht die Gestlt function [y] FUNC(x) one ones(size(x)); y one./(one+25*x.^2); Ein mögliches Skriptfile für den Test lutet cler ll;close ll; x linspce(-,,5); err PLOTSPLINE(x,@FUNC); und liefert die Grfik.8 f(x) s(x) b) Ein mögliches Skriptfile lutet cler ll; close ll;.5.5 kmx ; -; b ; error zeros(kmx, ); n zeros(kmx, ); for k :kmx 7

8 n(k) 2^k; error(k) PLOTSPLINE(linspce(, b, end close ll; loglog(n, error, -, n, 25./n.^2, --, linewidth, 3); xis([n() n(kmx) error(kmx) error()]); set(gc, fontsize, 8); legend( Fehler, Ch^2,3); Es liefert die Grfik Fehler Ch