Lernen ist wie rudern gegen den Strom. Sobald man aufhört, treibt man zurück. (Benjamin Britten)

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1 Lernen is wie rudern gegen den Srom. Sobld mn uhör, reib mn zurüc. (Benjmin Brien)

2 Die qudrische Funion Die qudrische Funion Funionen der llgemeinen Form x bx c, b, cir; 0 nenn mn qudrische Funionen. Den Grph einer qudrischen Funion nenn mn eine Prbel. Der wichigse Pun der Prbel is der Scheielpun. Ds is der höchse (Mximum) bzw. iese (Minimum) Pun der Prbel. Erriche mn durch den Scheielpun eine senreche Gerde, so is die Prbel bezüglich dieser Gerden chsensymmerisch. Der Koeizien (Önungsor) besimm die Önung der Prbel. Für 0 is die Prbel nch oben und ür 0 is die Prbel nch unen geöne. Für ; d.h. ; heiß die Prbel uch Normlprbel. Für ; d.h. oder ; is die Prbel schmäler ls die Normlprbel. Für ; d.h. (ber 0 W. Sr; Beruliche Oberschule Freising ); is die Prbel breier ls die Normlprbel. Der Koeizien b h Einluss u die Lge des Scheielpunes. Der Koeizien c verschieb die Prbel nch oben bzw. unen. Berechnung des Scheielpunes einer Prbel Beispiel: Besimme den Scheielpun der Prbel p, die durch die Funion p x x gegeben is.. Möglichei (mi Hile einer Formel): Es gil ür die Koordinen des Scheielpunes olgende llgemeine Formel. b xs S b ys c S b c Die y-koordine y S des Scheiels erhäl mn uch durch einsezen des xs -Weres in die Funionsgleichung. S y x S. Möglichei (mi qudrischer Ergänzung zur Scheielpunsorm) 0 p x x x x x x S Scheielpunsorm Beche: Is, so muss zuers der Koeizien usgelmmer werden ehe qudrisch ergänz werden nn.. Möglichei (ls Mielwer der beiden Nullsellen) Diese Möglichei unionier nur, wenn die qudrische Funion Nullsellen besiz und mn diese enn. H mn die beiden Nullsellen, dnn nimm mn lediglich die Mie dieser beiden Zhlen und schon h mn den x-wer des Scheiels (Begr. Symmeri. b

3 Die qudrische Funion px x x 5 0 b b c x 5 xs x x 5 S 9 ys p Besimme zu olgenden qudrischen Funionen den Scheielpun und zeichne mi dessen Hile die dzugehörige Prbel. ) (x) x x 7 ) (x) x 8x,5 (x) x x (x) x ) (x) x x 6 (x) x 8x (x) x x g) (x) x,5 h) i) j) (x) x x (x) x x (x) x x Ergänzung: Den xs l) m) n) (x) x x (x) x x (x) x x 8 o) (x) x 0,5 p) (x) x 6x (x) 5 x 5,5 (x) x 0x 5 q) r) Wer des Scheiels nenn mn llgemein eine Exremselle der Funion. Den ys Is die Prbel nch oben geöne, so is der xs ys Wer nenn mn den dzugehörige Exremwer. Wer der Minimlwer der Prbel. 5 Wer des Scheiels eine Minimlselle, der Is die Prbel nch unen geöne, so is der xs Wer des Scheiels eine Mximlselle, der ys Wer der Mximlwer der Funion. Exremwerugben. Nullsellen der qudrischen Funion Die Nullsellen der qudrischen Funion Gleichung (x) x bx c erhäl mn durch lösen der (x) 0 lso : x bx c 0 Die Lösungen dieser Gleichung lieer die Miernchsormel (Lösungsormel). x b b c Den Term uner der Wurzel nenn mn die Disriminne die Anzhl der Nullsellen einer qudrischen Funion W. Sr; Beruliche Oberschule Freising D b c sie enscheide über

4 Die qudrische Funion Es gil: Beispiel: Besimme die Nullsellen der Funion (x) x x 0 x ( ) ( ) (x) x x. Besimme die Nullsellen olgender Funionen. Ermile mi Hile der Nullsellen den Scheielpun der Funionsgrphen und zeichne diesen in ein Koordinensysem ein. ) x x x x,5 x x. Gib den Funionserm zu olgenden Funionsgrphen n D 0 Nullsellen D 0 Nullselle D 0 eine Nullselle. Besimme die Nullsellen einer ) nch oben geöneen Normlprbel mi dem Scheiel S nch unen geöneen Normlprbel mi dem Scheiel S. 5. Besimme die Anzhl der Nullsellen der Funion in Abhängigei von. (Mn nn die Lösung uch hlbgrphisch ngehen!) ) x x x x x x W. Sr; Beruliche Oberschule Freising

5 Die qudrische Funion 6. Für welche IR h die Funion genu eine Nullselle und gib diese n? ) x x x ( )x x x x ( )x x ( )x 5 7. Für welche IR h die Funion genu zwei Nullsellen? ) x x x ( )x x ( )x 5 x x x ( )x IR 8. Für welche IR h die Funion eine Nullsellen? ) x x x ( )x x x x ( )x x ( )x 5 9. Berechne die Koordinen der Schnipune der Grphen von olgenden Funionen: ) x 5x g x 6x x x g x x 5 x x g x 5 x 6 x 5x 7 g x x g x x 0. Berechne die Koordinen der Schnipune der Grphen von und g in Abhängigei des Prmeers: ) x x g x ) x x x x x g x 0 g g m mx x x g m x m g m x x mx W. Sr; Beruliche Oberschule Freising 5

6 Die qudrische Funion. Unersuche, ür welche Were des Prmeers IR die Grphen der beiden gegebenen Funionen einen, genu einen oder zwei gemeinsme Pune hben: ) x x g x x x g x x x g x x x x x g 6x 0,5 g x x 6. Löse olgende qudrische Ungleichungen ) x x 0,5x 5,5 6x ) g) h) i) j) ) l) m) n) x x x x 5 6 x x 0 x x 0 x x 0 x x 5 0 x x 0 0 z z x ( )x 0 x x 0. Gegeben sind die Funionen x x und g x. ) Besimme den Scheiel und die Nullsellen der Funion. Besimme die Schnipune der beiden Funionsgrphen.. Gegeben sind die Funionen x x und g 0,5x. ) Besimme den Scheiel und die Nullsellen der Funion. Besimme die Schnipune der beiden Funionsgrphen. 5. Gegeben sind die Funionen x 7x und g x. ) Besimme den Scheiel und die Nullsellen der Funion. Besimme die Schnipune der beiden Funionsgrphen. 6. Gegeben sind die Funionen x 7x und g x x 8. Besimme die Schnipune der beiden Funionsgrphen. 7. Gegeben sind die Funionen x x und g x x. Besimmen Sie die Nullsellen der beiden Funionsgrphen und deren Schnimenge. W. Sr; Beruliche Oberschule Freising 6

7 Die qudrische Funion 8. Gegeben sind die beiden Funionen x x,5 und g,5x,5 mi mximlem Deiniionsbereich. ) Berechnen Sie den Scheiel und die Nullsellen der Funion. Zeichnen Sie die Grphen von und g in ein gemeinsmes Koordinensysem ein. Zeichenbereich: x 5 9. Gegeben is die Funion x x mi IR. Besimmen Sie so, dss der Scheiel des Grphen der Funion u der x-achse lieg. Geben Sie uch die Koordinen des Scheiels n. 0. Gegeben is die Funion (x ), ID IR. Geben Sie den Scheiel der Prbel n und berechnen Sie die Nullsellen der Funion.. Gegeben sind die Funionen (x ) und h x x 6 mi mximlem Deiniionsbereich. ) Ermieln Sie die Gleichung der Gerden g, die durch die Schnipune der Grphen von und h verläu Besimmen Sie den Scheiel der Funion h und zeichnen Sie die Grphen der Funionen und h sowie die Gerde g in ein gemeinsmes Koordinensysem ein.. Gegeben sind die Funionen x x und g x mi mximlem Deiniionsbereich und IR. Besimmen Sie ür welches IR die beiden Grphen der Funionen und g genu einen gemeinsmen Pun hben. Geben Sie diesen Pun n.. Gegeben sind die beiden Funionen x x und g 0,5x mi jeweils mximlen Deiniionsbereich. ) Besimmen Sie die Pune, in denen sich die Grphen der Funion und g schneiden. Ermieln Sie die Gleichung der Normlen n zu g, die durch den Scheiel der Funion verläu. Zeichnen Sie die Grphen der Funionen und g in ein gemeinsmes Koordinensysem ein.. Gegeben is die Funion x ( )x ; ID IR und IR. Für welche IR h der Grph der Funion genu eine Nullselle. Berechnen Sie diese Nullselle. Um welchen besonderen Pun des Grphen hndel es sich dbei? 5. Gegeben sind die Funionen 8 x 6x und g x,5 mi mximlem Deiniionsbereich. ) Besimmen Sie die Pune, in denen der Grph der Funion den Grph der Funion g schneide. Besimmen Sie die Gleichung der Gerden h, die senrech u der Gerden g seh und durch den Scheielpun des Grphen der Funion verläu. Zeichnen Sie die Grphen der Funion und g in ein gemeinsmes Koordinensysem ein x 9. W. Sr; Beruliche Oberschule Freising 7

8 Die qudrische Funion 6. Gegeben is die Funion IR x mi IR. Besimmen Sie so, dss der Scheiel des Grphen der Funion oberhlb der x-achse lieg. 7. Gegeben sind die Funionen x,5x und g 0,5(x ) mi mximlem Deiniionsbereich. ) Geben Sie die Gleichung der Gerden h n, die durch die Scheiel der Funion und g verläu. Besimmen Sie die Nullsellen der Funion. Zeichnen Sie den Grphen der Funion g und die Gerde h us Augbe ) in ein gemeinsmes Koordinensysem ein x Gegeben sind die Funionen x x und h x x mi mximlem Deiniionsbereich und IR. ) Besimmen Sie IR so, dss sich die Grphen der beiden Funionen berühren. Für welche IR schneiden sich die beiden Grphen nich? Zeigen Sie, dss die Funion h ür lle IR zwei Nullsellen h. Für welche IR h die Funion mindesens eine Nullselle? 9. Gegeben is eine Prbel p mi der Funionsgleichung p(x) 8 (x ) und eine Gerde g mi der Gleichung y x ) Besimmen Sie die Schnipune der beiden Grphen Geben Sie die Gleichung der Gerden h n, die durch den Scheiel von p und den Pun B verläu. 0. Gegeben sind die beiden Funionen p x x und g x mi mximlem Deiniionsbereich. ) Berechnen Sie den Scheielpun der Prbel p! Zeichnen Sie die Grphen der Funion p und g in ein gemeinsmes Koordinensysem ein x 7. Ws verseh mn uner der Normlen n zu g und welche Seigung h sie?. Für welche IR h die Funion x x zwei Nullsellen? W. Sr; Beruliche Oberschule Freising 8

9 Die qudrische Funion. Geben Sie zu olgenden Funionsgrphen den dzugehörigen Funionserm n! G G h G g. Gegeben is die Funion x x mi IR. ) Besimme die Koordinen des Scheiels. Besimme IR so, dss der Grph der Funion Besimme IR so, dss der Grph der Funion durch den Pun P0 8 durch den Pun B 7 läu. läu.. Gegeben sind die Funionen x x 6 und g x mi IR. ) Besimme IR so, sich die Grphen der beiden Funionen berühren. Berechne die Koordinen des Berührpunes und gib die Gleichung der Tngene n. Für welches IR verläu der Grph der Funion g durch den Scheiel der Prbel? Berechne uch die Koordinen des zweien Schnipunes. 5. Der Grph der Funion g x mi IR bilde mi den posiiven Koordinenchsen ein Dreiec. ) Selle die Fläche A des Dreiecs in Abhängigei von dr. Zeichne den Grph der Funion A(). Für welches IR h ds Dreiec 9 Flächeneinheien? 6. Gegeben is eine Gerde G g und eine Prbel G p. Unersuche die Lge der beiden Funionsgrphen und besimme gegebenenlls die gemeinsmen Pune. ) g x p x x ) g x p x x g p x x g x p x x g x 7 p x x g x p x W. Sr; Beruliche Oberschule Freising 9

10 Die qudrische Funion 7. Gegeben sind die Funionen g x und p x x. ) Zu jedem Wer von gehör eine Gerde. Worin gleichen sich diese Gerden? Sie gleichen Sich in ihrer Seigung, sind lso lle zueinnder prllel. Besimme IR so, dss die Gerde die Prbel berühr. Gib die Koordinen des Berührpunes n. Für welche IR schneide die Gerde die Prbel zweiml? Besimme IR so, dss die Gerde durch den Scheiel der Prbel verläu. Für welche IR is die Gerde eine Pssne der Prbel. 8. Der Anhleweg eines Krhrzeuges nn nnähernd durch die Formel s 0,0v 0,v beschrieben werden. ) Berechne den Anhleweg ür den Geschwindigeisbereich von 0m / h bis 0m / h in sinnvollen Absänden. Zeichne einen Grphen ür den Anhleweg in Abhängigei zur Geschwindigei des Auos. Besimme us dem Grphen den Anhleweg ür 5m / h, 75m / h und 95m / h. In der Fhrschule lern mn olgende Fusregeln ür den Anhleweg: Geschwindigei (in m / h) Geschwindigei (in m / h) Anhleweg (in m) 0 0 Wie omm mn mi dieser Fusormel u die oben ngegebene Formel? W. Sr; Beruliche Oberschule Freising 0